medidas de dispersión

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educación Superior
U.I.P. ¨Santiago Mariño¨
Sede- Barcelona
MEDIDAS DE DISPERSIÓN

2. las medidas de dispersión, también llamadas medidas de
variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución,
indicando por medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media.
cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto
menor sea, más homogénea será a la media. así se sabe si
todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media
aritmética
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la
media.
La desviación media se representa por Dx

3. coeficiente de variación
si hemos realizado un estudio estadístico en dos poblaciones diferentes, y queremos comparar resultados, no
podemos acudir a la desviación típica para ver la mayor o menor homogeneidad de los datos, sino a otro
parámetro nuevo, llamado coeficiente de variación y que se define como el cociente entre la desviación típica
y la media.
por ejemplo, en una exposición de ganado estudiamos un conjunto de vacas con una media de 500 kilos y una desviación típica
de 50 kilos. y observamos también un conjunto de perros con una media de 40 kilos y una desviación típica de 10 kilos. ¿qué
grupo de animales es más homogéneo?
un razonamiento falso sería decir que el conjunto de perros es más homogéneo porque su desviación típica es más pequeña,
pero si calculamos el coeficiente de variación para ambos:
Vv = 50/500 = 0.1 Vp = 10/40 = 0.25
por tanto, es más homogéneo el conjunto de las vacas

4. Coeficiente de variación
las medidas de dispersión anteriores son todas medidas de variación absolutas. una medida de dispersión relativa de los datos,
que toma en cuenta su magnitud, está dada por el coeficiente de variación.
el coeficiente de variación (cv) es una medida de la dispersión relativa de un conjunto de datos, que se obtiene dividiendo la
desviación estándar del conjunto
los coeficientes de variación tienen las siguientes características:
puesto que tanto la desviación estándar como la media se miden en las unidades originales, el cv es una medida
independiente de las unidades de medición.
debido a la propiedad anterior el cv es la cantidad más adecuada para comparar la variabilidad
de dos conjuntos de datos.
en áreas de investigación donde se tienen datos de experimentos previos, el cv es muy usado para evaluar la precisión de
un experimento, comparando en cv del experimento en cuestión con los valores del mismo en experiencias anteriores
entre su media aritmética y se expresa como para una muestra y
para la población.

5. Varianza
Es una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha
variable respecto a su media.
está medida en la unidad de medida de la variable al cuadrado. por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la
varianza se expresa en metros al cuadrado. ladesviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de
dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. la varianza tiene como
valor mínimo 0.
la varianza de una variable aleatoria es una característica numérica que proporciona una idea de la dispersión de la variable
aleatoria respecto de su esperanza. decimos que es un parámetro de dispersión.
la definición es la siguiente
Es, por tanto, el promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que puede tomar la variable respecto
de su valor medio teórico o esperanza.
En el caso de las variables discretas, la expresión se convierte en:

6. mientras que para las variables continuas tenemos
en ambos casos existe una expresión equivalente alternativa y generalmente de cálculo más fácil:
una de las características de la varianza es que viene expresada en unidades cuadráticas respecto de las unidades
originales de la variable. un parámetro de dispersión derivado de la varianza y que tiene las mismas unidades de la variable
aleatoria es la desviación típica, que se define como la raíz cuadrada de la varianza.

7. Propiedades de la varianza
1. Var(X) ≥ 0
2. Var(k · X) = k2 · Var (X) para todo numero real k.
3. Var(k) = 0 para todo numero real k.
4. Var(a · X + b) = a2 · Var(X) para todo par de números reales a i b.
5. Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) únicamente en el caso que X y Y sean independientes.