Factorización_Primeros Casos

1. INEM-HERENCIA DEL SABER MATEMÁTICAS VICTOR DE JESÚS OSORIO 1
INEM
JOSÉ CELESTINO MUTIS
HERENCIA DEL SABER
EDUCACIÓN DE ADULTOS
Área: Matemáticas
Tema: FACTORIZACIÓN
Ciclo IV
Profesor: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez
FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus
factores.
Para factorizar un polinomio, podemos intentar averiguar si esa expresión es el
producto de otras expresiones algebraicas.
Para hacer esta averiguación podemos presentar los siguientes casos:
1. Factor común
a. monomio: .- se llama así al factor que aparece en cada uno de los
términos de un polinomio, es decir cuando el factor común a todos
los términos del polinomio es un monomio.
Ejemplo:
Factorizar: 2ax2
-4ay+8a2
x = 2a( x² - 2y + 4a x)
Donde:
 2 es el MCD entre 2, 4 y 8.
 Y a es la parte literal común con el menor exponente.
b. Factor común polinomio: Cuando el factor común que aparece es
un polinomio.
Ejemplo: Descomponer en factores
3x(a + b) + 5y(a + b) = (a + b) (3x + 5y)
Vemos que el factor común corresponde al polinomio (a + b); así en el primer
término, al sacar el factor común queda 3x y en el segundo término obtenemos
5y.
2. Factor Común por agrupación de términos: Se agrupan los términos
que entre ellos exista un factor común y luego procedemos a visualizar si
se obtiene un factor común polinomio.
Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay +by =
Notemos que los dos primeros términos tienen como factor común la parte literal
x y los dos últimos la parte literal y así se obtiene : ax + bx + ay +by = x(a +
b)+ y( a + b) pero se puede observar que se ha formado un factor común
polinomio y al factorizar esta última expresión vemos que la solución a la
descomposición sugerida es:
ax + bx + ay +by = x(a + b)+ y( a + b) = (a + b)(x + y)
3. Trinomio cuadrado perfecto: Una cantidad es cuadrado perfecto, cuando
es el cuadrado de otra cantidad.
Un trinomio ordenado relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el
primero y tercero términos son cuadrados perfectos(o tiene raíz cuadrada
exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces
cuadradas.
Ejemplo: Factorar: x² - 6x + 9
X 3
2
Podemos observar que la raíz del primer término es x, y la raíz del tercer término
es 3, además al multiplicar esas raíces por 2, obtenemos el término central 6x así
confirmamos que es un Trinomio cuadrado perfecto y podemos factorizarlo
elevando la suma o diferencia de las raíces al cuadrado, dependiendo del signo del
segundo término del trinomio, en este caso es x² - 6x + 9= ( x - 3)²
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2. INEM-HERENCIA DEL SABER MATEMÁTICAS VICTOR DE JESÚS OSORIO 2
4. Diferencia de cuadrados perfectos: En los productos notables ya
habíamos visto que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia
es igual a el cuadrado de la primera menos el cuadrado de la segunda así: (a
+ b)(a - b) = a² - b² de acuerdo a esto podemos definir que:
a² - b² = (a + b)(a - b)
Para factorizar una diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada a cada
uno de los términos (Minuendo y Sustraendo) y se multiplica la suma de las
raíces, por la diferencia de las mismas raíces.
Ejemplo: Factorizar 16x² - 25y² =
Inicialmente tenemos que la raíz de 16x², es 4x y la raíz de 25y², es 5y; por
lo tanto de acuerdo a la definición se tiene que:
16x² - 25y² = (4x + 5y)(4x – 5y)
5. Trinomio de la forma X² + bX + c Este trinomio tiene las siguientes
características:
1. El coeficiente del primer término es 1
2. El primer término es una letra elevada al cuadrado
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero, pero con
exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o
negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2°
términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Cuando el trinomio cumple con esas características, procedemos a factorizar.
Para el trinomio x² + 5x + 6 procedemos de la siguiente manera:
a. Descomponemos el trinomio en dos factores binomios cuyo primer
término es x, es decir, la raíz del primer término del trinomio.
x² + 5x + 6 = ( x )(x )
b. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo
término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el
signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del
trinomio, por el signo del tercer término del trinomio. x² + 5x + 6 = (
x + )(x + )
c. Si los dos factores binomios tienen en el medio, signos iguales, se
buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo
término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer
término del trinomio. x² + 5x + 6 = ( x + 3 )(x +2 )
d. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos, se
buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo
término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer
término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término
del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo
binomio.
Nota: Está regla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarará con
los ejemplos.
Ejemplos: Factorizar x² + 7x +10
x² + 7x + 10 = (x + )(x + )
Entonces conseguimos dos números que al sumarlos el resultado sea
7 y al multiplicar esos dos números, el producto sea 10.
x² + 7x + 10 = (x + 2 )(x + 5 ); Porque 5 + 2 = 7
y 5 * 2 = 10.
Ejemplo2: Factorizar n² - 6n - 40
n² - 6n - 40 = (n - )(n + )
Entonces conseguimos dos números que al restarlos la diferencia de 6
y al multiplicar esos dos números, el producto sea 40.
Estos números son 4 y 10. El mayor, se escribe en el primer binomio y
se tendrá que: n² - 6n - 40 = (n - 10 )(n + 4 ).

3. INEM-HERENCIA DEL SABER MATEMÁTICAS VICTOR DE JESÚS OSORIO 3
Ejercicios: Factorizar:
a) x²y + x²z ;
b) 3a²b + 6ab – 5a³b² + 8a²bx + 4ab²m;
c) m(a-b)+ n(a-b)
d) (1 + 3a)(x+1) - 2a(x +1) + 3(x+1);
e) am – bm + an – bn;
f) 4am³ - 12amn – m² + 3n;
g) (x + y)² - a²;
h) (a-2b)² - (x + y)²;
i) a² + 4a +3;
j) x² + 15x +56; k) m² - 20m – 300.
Consulta en el algebra de Baldor ejercicios de los diferentes casos vistos
y resuelve mínimo 5 de cada uno.
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TU SUEÑO EN REALIDAD
-Papá, cuánto ganas por hora?
El padre dirigió un gesto muy severo al niño y le contestó:
-No me molestes que estoy muy cansado.
-Pero Papá- insistía-- dime por favor cuanto ganas por hora.
La reacción del padre fue menos severa. Sólo contesto:
- Ochocientos pesos por hora.
-Papá me podrías prestar cuatrocientos pesos? preguntó el pequeño.
El padre montó en cólera y le dijo:
-Vete a dormir y no me molestes.
Había caído la noche. El padre había meditado lo sucedido
y se sentía culpable, y queriendo descargar su conciencia dolida,
se asomó al cuarto de su hijo. En voz baja preguntó al pequeño:
-Duermes hijo?
-Dime papá, contestó entre sueños.
-Aquí tienes el dinero que me pediste, respondió el padre.
El pequeño le dio las gracias y metiendo la manita debajo de la
almohada sacó unos billetes.
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