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Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO.
Es una figura generada por la rotación de
un rayo, alrededor de un punto fijo
llamado vértice, desde una posición inicial
hasta una posición final.
L.I.: Lado inicial L.F.: Lado Final
1.1. CONVENCIÓN:
Ángulos Positivos
Si el rayo gira en sentido Antihorario
Ángulos Negativos
Si el rayo gira en sentido horario.
Ejemplo:
Nótese en las figuras:
 "θ” es un ángulo trigonométrico de
medida positiva.
 “x” es un ángulo trigonométrico de
medida negativa.
Se cumple: x=- θ
Observación:
a) Ángulo nulo
Si el rayo no gira, ángulo será cero.
b) Angulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa del
rayo, es decir su lado final coincide con
su lado inicial por primera vez.
c) Magnitud de un ángulo
Los ángulos trigonométricos pueden ser
de cualquier magnitud, ya que su rayo
puede girar infinitas vueltas, en
cualquiera de los sentidos. Como se
muestra en el ejemplo.
2. SISTEMAS ANGULARES
Así como para medir segmentos se
requiere de una unidad de longitud
determinada, para medir ángulos se
necesita de otro ángulo como unidad de
medición.
2.1. Sistema Sexagesimal
Su unidadángular esel grado sexagesimal
(1º); el cual es equivalente a la 360ava
parte del ángulo de una vuelta.
Equivalencias:
1º=60´ 1´=60´´ 1º=3600´´
2.2. Sistema Centesimal
Su unidad angular es el grado centesimal
(1g
), el cual es equivalente a la 400ava
parte del ángulo de una vuelta.
Equivalencias:
1g
=100m
1m
=100s
1g
=10000s
2.3. Sistema Radial o Circular o
Internacional
L.F
L.I
0
Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría
Su unidad es el radian, el cual es un
ángulo que subtiende un arco de longitud
equivalente al radio de la circunferencia
respectiva.
Como π= 3,141592653...
Entonces:
3. CONVERSIÓN DE SISTEMAS
Factor de Conversión Es un cociente
“conveniente” de dos magnitudes
angulares equivalentes.
Magnitudes angulares equivalentes
Ejemplos:
 Convertir a radianes la siguiente
magnitud angular α=12º
 Convertir a radianes la siguiente
magnitud angular: β=15°
 Convertir a sexagesimal la siguiente.
magnitud angular: θ=40g
 Hallar:
 Hallar: a + b sabiendo
𝜋
8
rad = a°b'
 Convertir a sexagesimalesy radianes la
siguiente magnitud angular. a=16g
4. FORMULA GENERAL DE
CONVERSION
Sean S, C y R los números que
representan la medida de un ángulo en los
sistemas sexagesimal, centesimal y radial
respectivamente, luego hallamos la
relación que existe entre dichos números.
De la fig. S° = Cg = Rrad …(1)
Además 180° = 200g = πrad…(2)
Dividiendo (1) entre (2) tenemos:
Fórmula o Relación de Conversión
Fórmulas particulares:
Ejemplos:
 Convertir
𝜋
5
rad a grados sexagesimal.
 Convertir 60g
a radianes.
 Convertir 27° a grados centesimales.
Seis veces el número de grados
sexagesimales de un ángulo sumado a
dos veces el números de sus grados
centesimales es 222. ¿Hallar el número
de radianes de dicho ángulo?
PROBLEMAS APLICACIÓN
1. Convertir:
50g
a grado sexagesimal
36º a grado centesimal
rad
5

a grado sexagesimal
20g
a radianes
80º a radianes
rad
10

a centesimales
Rpta.
2. Hallar el valor de “P”
Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría
º
100
g
p
m

Rpta.
3. Hallar el valor de “M”
g
radM 40
3
º27 

Rpta.
4. Hallar el valor de “x”
Rpta.
5. Hallar el valor de “”
Rpta.
6. Hallar “R”
m
g
rad
R
100
4/
'120
20 

Rpta.
7. Hallar “x”
Rpta.
8. Hallar “Q”
gm
rad
Q
1200
º60
8
3




Rpta.
9. En un , sus lados están en P.A. de
razón 20º.
Hallar el mayor ángulo
Rpta.
10. Si 27,55º  aºb’.
Hallar a + b
Rpta.
11. Si 31,12g
 ag
bm
.
Hallar a + b
Rpta.
12. Hallar x, siendo º  g
, º  2x +
15  g
= 70
Rpta.
13. Hallar x, siendo º  2g
, siendo: º
 x + 15  g
= 80
Rpta.
14. Hallar “”
radg
9
2504

 
Rpta.
15. Señale el menor ángulo
º70 BA
radBA
10


Rpta.
PRACTICA PARA CASA
1. Convertir 80g
a radianes
A)
3
2

B)
5
3

C)
7
4

D)
8
3

E)
5
2

2. Hallar “P”
'60
º1
1
300
 g
m
P
Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría
A) 1 B) 3 C) 4
D) 2 E) 5
3. Hallar “M”
º5
18
50  radM g 
A) 50º B) 20º C) 55º
D) 5º E) 60º
4. Hallar “x”
A) 84º B) 42º C) 20º
D) 80º E) 100º
5. Hallar “”
A) 20º B) 12º C) 40º
D) 60º E) 120º
6. En un  los ángulosestán en P.A. de
razón 30º.
Hallar el mayor ángulo
A) 30º B) 60º C) 90º
D) 80º E) 100º
7. Si 47,25º  aºb';
Hallar a + b
A) 62 B) 15 C) 47
D) 25 E) 72
8. Si º  x + 30º  g
= 60
Hallar “x”; Además º  g
A) 84 B) 24 C) 30
D) 50 E) 90
9. Hallar :
Si 5
g
rad 20
10


A) 8g
B) 40g
C) 12g
D) 8º E) 12º
10. Señale el mayor ángulo
A + B = 60º
A – B = rad
9

A) 80º B) 60º C) 40º
D) 20º E) 10º
11. Calcular: J.C.C.H. Si:
A) 6 B) 12 C) 24
D) 30 E) 22
12. Dada la figura:
Calcular:
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25
13. La medida de los ángulosigualesde
un triángulo isósceles son (6x)° y
(5x+5)g
. Calcular el ángulo desigual
en radianes.

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  • 1. Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR 1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. L.I.: Lado inicial L.F.: Lado Final 1.1. CONVENCIÓN: Ángulos Positivos Si el rayo gira en sentido Antihorario Ángulos Negativos Si el rayo gira en sentido horario. Ejemplo: Nótese en las figuras:  "θ” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.  “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa. Se cumple: x=- θ Observación: a) Ángulo nulo Si el rayo no gira, ángulo será cero. b) Angulo de una vuelta Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. 2. SISTEMAS ANGULARES Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición. 2.1. Sistema Sexagesimal Su unidadángular esel grado sexagesimal (1º); el cual es equivalente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta. Equivalencias: 1º=60´ 1´=60´´ 1º=3600´´ 2.2. Sistema Centesimal Su unidad angular es el grado centesimal (1g ), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta. Equivalencias: 1g =100m 1m =100s 1g =10000s 2.3. Sistema Radial o Circular o Internacional L.F L.I 0
  • 2. Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiende un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva. Como π= 3,141592653... Entonces: 3. CONVERSIÓN DE SISTEMAS Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes Ejemplos:  Convertir a radianes la siguiente magnitud angular α=12º  Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: β=15°  Convertir a sexagesimal la siguiente. magnitud angular: θ=40g  Hallar:  Hallar: a + b sabiendo 𝜋 8 rad = a°b'  Convertir a sexagesimalesy radianes la siguiente magnitud angular. a=16g 4. FORMULA GENERAL DE CONVERSION Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números. De la fig. S° = Cg = Rrad …(1) Además 180° = 200g = πrad…(2) Dividiendo (1) entre (2) tenemos: Fórmula o Relación de Conversión Fórmulas particulares: Ejemplos:  Convertir 𝜋 5 rad a grados sexagesimal.  Convertir 60g a radianes.  Convertir 27° a grados centesimales. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo? PROBLEMAS APLICACIÓN 1. Convertir: 50g a grado sexagesimal 36º a grado centesimal rad 5  a grado sexagesimal 20g a radianes 80º a radianes rad 10  a centesimales Rpta. 2. Hallar el valor de “P”
  • 3. Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría º 100 g p m  Rpta. 3. Hallar el valor de “M” g radM 40 3 º27   Rpta. 4. Hallar el valor de “x” Rpta. 5. Hallar el valor de “” Rpta. 6. Hallar “R” m g rad R 100 4/ '120 20   Rpta. 7. Hallar “x” Rpta. 8. Hallar “Q” gm rad Q 1200 º60 8 3     Rpta. 9. En un , sus lados están en P.A. de razón 20º. Hallar el mayor ángulo Rpta. 10. Si 27,55º  aºb’. Hallar a + b Rpta. 11. Si 31,12g  ag bm . Hallar a + b Rpta. 12. Hallar x, siendo º  g , º  2x + 15  g = 70 Rpta. 13. Hallar x, siendo º  2g , siendo: º  x + 15  g = 80 Rpta. 14. Hallar “” radg 9 2504    Rpta. 15. Señale el menor ángulo º70 BA radBA 10   Rpta. PRACTICA PARA CASA 1. Convertir 80g a radianes A) 3 2  B) 5 3  C) 7 4  D) 8 3  E) 5 2  2. Hallar “P” '60 º1 1 300  g m P
  • 4. Prof.WilliamOsmarMendoMaita Trigonometría A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5 3. Hallar “M” º5 18 50  radM g  A) 50º B) 20º C) 55º D) 5º E) 60º 4. Hallar “x” A) 84º B) 42º C) 20º D) 80º E) 100º 5. Hallar “” A) 20º B) 12º C) 40º D) 60º E) 120º 6. En un  los ángulosestán en P.A. de razón 30º. Hallar el mayor ángulo A) 30º B) 60º C) 90º D) 80º E) 100º 7. Si 47,25º  aºb'; Hallar a + b A) 62 B) 15 C) 47 D) 25 E) 72 8. Si º  x + 30º  g = 60 Hallar “x”; Además º  g A) 84 B) 24 C) 30 D) 50 E) 90 9. Hallar : Si 5 g rad 20 10   A) 8g B) 40g C) 12g D) 8º E) 12º 10. Señale el mayor ángulo A + B = 60º A – B = rad 9  A) 80º B) 60º C) 40º D) 20º E) 10º 11. Calcular: J.C.C.H. Si: A) 6 B) 12 C) 24 D) 30 E) 22 12. Dada la figura: Calcular: A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 13. La medida de los ángulosigualesde un triángulo isósceles son (6x)° y (5x+5)g . Calcular el ángulo desigual en radianes.