1. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Funciones Trigonométricas.
Una función trigonométrica es una relación o cociente entre las longitudes de dos
de los lados o catetos de un triangulo rectángulo.
Estas funciones se clasifican en:
• Seno.
• Cotangente.
• Coseno.
• Secante.
• Tangente.
• Cosecante.
Definición de las funciones Trigonométricas.
Seno:
Es la razón que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno:
Es la razón que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente:
Es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente:
Es la razón que existe entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante:
Es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante:
Es la razón que existe entre la hipotenusa el cateto opuesto.
Funciones trigonométricas de ángulos notables.
Funciones de 300.
C
H
0
A 60
𝟏
𝟐
1
𝟐
D
600
𝟏
𝟐
1
600
D
B
𝟏
𝟐
Al tomar el triángulo rectángulo DBC podemos
observar que no tenemos la longitud del lado CD.
Por lo cual aplicaremos el Teorema de Pitágoras
para calcularlo.
C
0
𝟑 30
30o
1
Para calcular los valores de las funciones
de 300 hacemos referencia en el triangulo
equilátero de la izquierda, teniendo en
cuenta, que con el fin de conseguir
nuestro propósito usaremos el triangulo
rectángulo DBC.
B
Solución:
CD= BC 2 − DB 2
CD=
𝟏
Reflexiones Matemáticas.
−
𝟏
𝟏− 𝟒=
CD=
CD=
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒−𝟏
𝟒
=
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
Joel Amauris Gelabert S.

2. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Como ya conocemos las longitudes de los 3 lados del triángulo podemos proceder a
calcular las funciones trigonométricas de 300 y 600.
Funciones Trigonométricas de 300.
1. Sen
300
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
=
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝟏
𝟐
=
3. Tan 300 =
=
𝟑
𝟑
=
𝟏
𝟏
𝟐
=
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝟐
=
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
𝟐
𝟑
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
2. Cos 300 =
𝟏
=
1
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
÷
𝟐
𝟐
=
𝟐 𝟑
𝟑
×
𝟑
𝟐 𝟑
=
𝟐(𝟑)
𝟑
=
𝟑
𝟐
4. Cot
300
=
5. Sec 300 =
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
=
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝟏
=
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐
÷ =
𝟐
=
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟑
×
𝟑
=
𝟑
=
𝟐 𝟑
𝟗
Se racionaliza el
denominador para
eliminar el radical.
=
𝟐 𝟑
𝟑
𝟐
6. Cosc 300 =
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
𝟏
=
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝟐
= =2
𝟏
𝟐
𝟏
Funciones Trigonométricas de 600.
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
1. Sen 600 =
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
3. Tan
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
1
=
𝟑
=
𝟏
𝟐
1
𝟐
𝟏
=
𝟐
𝟑
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
=
4. Cot 600 =
=
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
2. Cos 600 =
600
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
=
=
𝟑
=
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏
÷ 𝟐=
𝟐
= 3
Se racionaliza el
𝟏
𝟐
𝟏
= 𝟐÷
𝟑
𝟑
𝟐
=
𝟐
𝟐 𝟑
×
𝟑
𝟑
=
𝟐 𝟑
𝟐(𝟑)
=
𝟑 denominador para
𝟑
eliminar el radical.
𝟐
5. Sec 600 =
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
6. Cosc 600 =
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
=
=
1
𝟏
𝟐
=
1
𝟑
=
𝟐
𝟏
=2
𝟐
3
×
𝟑
𝟑
=
𝟐 𝟑
9
=
𝟐 𝟑
𝟑
𝟐
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.

3. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Funciones de 450.
Consideremos el triangulo rectángulo:
C
Como se observa, en este triángulo no se
conoce la longitud de la hipotenusa (BC).
450
Procederemos entonces a aplicar el
teorema de Pitágoras para calcular el lado BC.
2
0
A 90
450
B
2
Solución:
BC= AB 2 + AC2
BC= 22 + 22
BC= 4 + 4 = 8
BC= 4x2 =2 2
BC=2 𝟐
Conocidos las longitudes de los 3 lados, procederemos a calcular el valor de las
funciones de 450.
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
1. Sen 450 =
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
2. Cos 450 =
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
3. Tan 450 =
4. Cot 450 =
5. Sec 450 =
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐂𝐚𝐭 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
Reflexiones Matemáticas.
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟐
x
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
x
=
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟒
=
=
𝟐 𝟐
𝟐 𝟒
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐
= =1
𝟐
𝟐
= =1
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
=
𝟐
𝐂𝐚𝐭 𝐀𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
6. Cosc 450 =
𝟐
=
𝟐
=
=
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐
=
𝟐
Joel Amauris Gelabert S.

4. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Funciones Trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.
Formulas:
1. Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k
2. Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k
Tang w+Tang k
3. Tan (w+k)=
1−Tang w.Tang k
4. Sen (w−k)=Sen w.Cos k−Cos w.Sen k
5. Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k
6. Tan (w−k)=
Tang w−Tang k
1+Tang w.Tang k
Funciones del ángulo duplo.
Si en Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k, hacemos k=w, entonces:
Sen (w+w)=Sen w.Cos w+Cos w.Sen w.
Lo cual nos indica que:
1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w.
De igual forma se procede con el coseno.
En Cos (w+k)=Cos w.Cos k−Sen w.Sen k, hacemos k= w, luego:
Cos (w+w)=Cos w.Cos w−Sen w.Sen w
2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w
Tan (w+k)=
Tang w+Tang k
1−Tang w.Tang k
Tan (w+w)=
Tang w+Tang w
1−Tang w.Tang w
3. Tan 2w =
𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰
𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟐 𝐰
En resumen las formulas básicas del ángulo duplo son:
1. Sen 2w = 2Cos w.Sen w.
2. Cos 2w = Cos2 w−Sen2 w
3. Tan 2w =
𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰
𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟐 𝐰
Pero:
Cos2 w = 1−Sen2 w
Sen2 w = 1−Cos2 w
Por lo que:
Cos 2w = 1−Sen2 w−Sen2 w
Cos 2w = 1−2Sen2 w.
O también:
Cos 2w = 2Cos2 w −1
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.

5. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Funciones del ángulo triplo.
1. Sen 3w = Sen (w+2w)
Sen 3w = Sen w.Cos 2w+Cos w.Sen 2w
Sen 3w = Sen w. (1−2Sen2 w)+Cos w (2Sen w. Cos w)
Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w.Cos2 w
Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w (1−Sen2 w)
Sen 3w = Sen w −2Sen3 w+2Sen w −2Sen3 w
Sen 3w = 3 Sen w −4Sen3 w
En este caso se
sustituyen Cos 2w
por 1−2Sen2 w y
sen 2w por
2Sen w. Cos w y
se efectúan las
operaciones
correspondientes.
2. Cos 3w = Cos (w+2w)
Cos 3w =Cos w.Cos 2k−Sen w.Sen 2k
Cos 3w =Cos w (2Cos2 w −1)−Sen w (2Sen w. Cos w)
Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Sen2 w. Cos w
Cos 3w =2Cos3 w –Cos w − (1−Cos2 w) 2Cos w
Cos 3w =Cos w +2Cos3 w – (2Cos w−2Cos3 w)
Cos 3w =2Cos3 w –Cos w −2Cos w+2Cos3 w
Cos 3w = 4Cos3 w –3Cos w
3. Tang 3w = Tang (w+2w)
Tang 3w =
Tang w+Tang 2w
1−Tang w.Tang 2w
Se sustituye Tang 2w por
𝟐 𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰
y
𝟏−𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟐 𝐰
efectuamos las operaciones indicadas.
2Tang w
1−Tan g 2 w
2Tang w
w.
1−Tang 2 w
Tang w +
Tang 3w =
1−Tang
Tang 3w =
Tang w −Tang 3 w +2Tang w
1−Tan g 2 w
2Tang 2 w
1−
1−Tang 2 w
Tang 3w =
3Tang w −Tang 3 w
1−Tan g 2 w
1−Tang 2 w −2Tang 2 w
1−Tang 2 w
Tang 3w =
Se eliminan los denominadores
comunes 1−Tang2 w
𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠 𝐰−𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟑 𝐰
𝟏−𝟑𝐓𝐚𝐧𝐠 𝟐 𝐰
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.

6. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Funciones del ángulo mitad.
Puesto que Cos 2w = 1−2Sen2 w y si w =
k
1−2Sen2
k
−2Sen2
Sen2
2
k
2Sen2
2
k
2
entonces:
𝐤
= Cos 2 𝟐
= Cos k−1
= 1−Cos k
=
2
2
k
1−Cos k
2
𝐤
1. Sen = ±
𝟐
𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟐
Para el Coseno del ángulo mitad, usamos:
2Cos2 w −1= Cos 2w y d igual forma w =
k
2Cos2
2
k
2Cos2
cos2
2
k
2
Tang
entonces:
𝐤
= Cos k+1
= Cos k+1
=
Cos k+1
2. Cos
Tang
2
−1= Cos 2 𝟐
2
k
2Cos2
k
k
2
k
2
2
𝐤
𝟐
=±
𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏
𝟐
±
𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟐
±
𝐂𝐨𝐬 𝐤+𝟏
𝟐
=
𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟐
𝟏+𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟐
=±
3. Tang
𝐤
𝟐
=±
𝟏−𝐂𝐨𝐬 𝐤
𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝐤
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.

7. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
Ejercicios Resueltos.
Si w =450 y k=600 halle:
1. Sen 1050
Solución:
Sen (w+k)=Sen w.Cos k+Cos w.Sen k
Sen (450+600)=Sen 450. Cos 600+Cos 450. Sen 600
2
1
+
2
Sen 1050 = 2
2
Sen 1050 =
3
2
6
4
+
4
2
2
𝟐+ 𝟔
Sen 1050 =
𝟒
2. Cos 150
Solución:
Cos (w−k)=Cos w.Cos k+Sen w.Sen k
Cos (600−450)=Cos 600. Cos 450+Sen 600. Sen 450
1
2
+
2
Cos 150 = 2
2
3
2
2
2
6
Cos 150 = 4 + 4
𝟐+ 𝟔
Cos 150 =
𝟒
3. Tan 1050
Solución:
Tan (w+k)=
Tan
Tang w+Tang k
1−Tang w.Tang k
(600+450)=
Tan 1050 =
Tan 1050 =
Tan 1050 =
Tan 1050 =
Tan 1050 =
Tang 60 0 +Tang 45 0
1−Tang 60 0 .Tang 45 0
3+1
1−
3 (1)
3+1
1− 3
3+1
1− 3
x
3+1
1+ 3
9+ 3+ 3+1
1 2−
En este caso sustituimos
Tang 600 y Tang 450 por
sus respectivos valores y
se realizan las
operaciones
correspondientes.
3
2
=
4+2 3
1−3
Se racionaliza el denominador
para eliminar el radical y luego
simplificamos.
4+2 3
−2
Tang 1050 = −2− 𝟑
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.

8. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
4. Cos 1350.
Solución:
Cos 1350 = Cos 3(450)
Cos 1350 = 4Cos3 450 –3Cos 450
3
2
Cos 1350 = 4 2
2
Cos 1350 = 4
2 ( 2)
2x2x2
2
4
Cos 1350 =4
8
2
Cos 1350 =8
8
Cos 1350 = 2 −
Cos 1350 =
2
−3 2
−
−
−
3 2
2
3 2
2
3 2
2
3 2 2 2−3 2
=
2
2
− 𝟐
𝟐
5. Hale Tang 300
Solución:
Tan 300 =
Tang
Tang
k
2
60 0
2
1−Cos k
=±
60 0
2
1+cos k
1−Cos 600
=
1+cos 600
1
1−2
Tang 300 =
Tang 300 =
Tang 300 =
1
2
1+
1
3
x
=
3
3
=
2−1
2
2+1
2
=
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
=
𝟏
𝟑
3
9
𝟑
𝟑
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.

9. Profesor Joel Amauris Gelabert S.
Nagua, Rep. Dominicana.
6. Tan 1200
Solución:
Tang 1200 = Tang 2(600)
Tan 2w =
2 Tang w
1−Tang 2 w
Tan 2(600) =
Tan 1200 =
Tan 1200 =
2 Tang 60 0
1−Tang 2 60 0
2 3
1−
2 3
1−3
Tan 1200 = −
2
3
=
2 3
−2
𝟑
Reflexiones Matemáticas.
Joel Amauris Gelabert S.