1. LOGARITMOS Mathema
Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 1
Un poco de historia
Los logaritmos irrumpen en la historia de la
humanidad hace casi 400 años y fueron
utilizados durante casi 350 años como la
principal herramienta en los cálculos
aritméticos. Un increíble esfuerzo se ahorró
usándolos, pues permitieron trabajar con
los pesados cálculos necesarios en los
problemas de agrimensura, astronomía, y
particularmente en las aplicaciones a la
navegación.
Merced a estos números, las
multiplicaciones pudieron sustituirse por
sumas, las divisiones por restas, las
potencias por productos y las raíces por
divisiones, lo que no sólo simplificó
enormemente la realización manual de los
cálculos matemáticos, sino que permitió
realizar otros que sin su invención no
hubieran sido posibles.
Si bien Napier fue
uno de los que
impulsó fuertemente
su desarrollo, y por
tal razón es
considerado el
inventor de los
logaritmos, muchos
otros matemáticos de la época también
trabajaron con ellos.
John Napier (en español Neper) nació en
1550 en Edimburgo (Escocia) y allí fallece
el 4 de abril de 1617. Perteneció a una
familia noble de gran riqueza y los
historiadores cuentan que estuvo dedicado
a cuidar de sus propiedades, transformando
su castillo en residencia para científicos y
artistas, lo que llevó a que usara su gran
fortuna para mantener e invitar a
inventores, matemáticos, astrónomos,
poetas, pintores, etc. Se lo define como un
terrateniente escocés (estudió Matemática
sólo como un hobby) de la baja nobleza
(barón) y que estaba particularmente
interesado en la medición de fincas, donde
a grandes números se le pueden hacer
corresponder graves errores y perjuicios. Es
de destacar que en su época, la forma de
operar con grandes números era confusa y
compleja.
PROBLEMAS
1. Calcule el logaritmo de 3
8 4 en base
5
2 .
Rpta: 55/3
2. Hallar el valor de x de la siguiente
ecuación.
7 ( 2) 32 5− =Log xLog
Rpta: 51
3. Hallar el valor de
3
0,7 6,756
0,2
49 3 3
24900
5
5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Log Log
Log
Rpta: 4/3
4. Si 14 28 =Log x , halle el valor de
4916Log en términos de x .
Rpta:
2( 1)
2
−
−
x
x
5. Si 4=yxLog x , calcule el valor de
5
15
3xy
x
Log
y
.
Rpta: 13/15
6. Si se cumple que 1
2
3=Log x ∧
2
3
=xLog y , calcule el valor de
1
colog
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
y .
Rpta: 1/2−
7. Si 2 3 4 1= = =n n n
Log x Log y Log z , halle el
valor de nLog xyz .
Rpta: 9
8. Siendo 2=aLog b y 3=qLog b .
Calcular el valor de 20
c
Log b , si
1 2 3 10. . . .= …c a a a a , además 1−
= i
ia aq ;
∈i .
9. Luego de efectuar
14 2 14 77. 7 2. 2+ −Log Log Log Log
7 214. 14Log Log
se obtiene.
Rpta: 3−
10. Si
1 2
4
1 2
−
=
+
mn
m
n
Log n
Log n
; 0> >m n . Halle el
valor de
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
mn m
n
m
Log Log mn
n
.
11. Simplifique la siguiente expresión
( )( )
.+
+ +
xyz xyz xyz
xyz xyz xyz xyz
Log x Log y Log z
Log x Log z Log x Log y
.
Rpta: 1
12. Reduzca la siguiente expresión.
3
3 3 3
3 3 3
5 5 5
2 3 100
2 3 100
⎡ ⎤+ + +
⎢ ⎥
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
Log Log Log
Log Log Log
.
13. Indique el valor de
2 3 4
1 5 5 5 5Log Log Log Log+ + + + + +… …
Rpta: 210Log
14. Simplifique la siguiente expresión.
1 1 1
( ) ( ) ( )
( )
− − −
+ +
Log x Log y Log z
Logx Logy Logz
x y z
Log xyz
Rpta: 1−
15. Resuelva la ecuación
2
2
4 4
5
( 2) ( )
2+ +
+ + =x x x
Log x Log x .
Rpta: {2}
16. Resuelva la siguiente ecuación.
2
4 4( 1) (5 )+ +− = −x xLog x Log x
Rpta: {2}
17. Halle la suma de soluciones de la
siguiente ecuación.
2
2 2
2 2 (4! 4 )− = −x x
Log Log Log
18. Halle la mayor solución de la ecuación
2
21 ( 2) 2+ = + −x Log x x .
Rpta: 0
19. Halle la solución de la ecuación
1
(2 1) (2 1) 1 2−
− + − = −x x
Log Log Log .
Rpta: 2 (3 41) 1+ −Log
20. Si 4> −x , halle el valor de x que
resuelve la ecuación
2
( 5) ( 8 16)+ + + + =Log x Log x x
2
1 ( 9 20)= + + +Log x x .
Rpta: 6
21. Resolver la ecuación
2 4 2 4 2 2 2+ =Log Log Log x Log Log Log x
22. Halle el valor de 3xy del sistema
3 3
2 2
3 3
. 8
10
⎧ ⎛ ⎞
= −⎪ ⎜ ⎟
⎨ ⎝ ⎠
⎪
+ =⎩
x
Log xy Log
y
Log x Log y
.
Rpta: 1/3

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23. Halle la suma de soluciones de la
ecuación 1 2 ( 2) 1+ − + = −Lnx Ln ex .
Rpta: 2/e
24. Al resolver la ecuación
1 1
1
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Logx
x
Lnx
Log Ln
Lnx e
se obtiene
como CS={ n m
e }, calcule el valor de
+m n .
Rpta: 20
25. Dada la ecuación
[ ] 2
1
2 . 1 0
256
⎡ ⎤⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
senx sen x
Log Log
calcule el valor de senx .
26. Calcular el valor de
[ ]5 5colog (antilog 5)− xLog sí se sabe que
[ ]5 5 5antilog colog ( ) 5=Log x .
27. Calcular el valor de
643
3 2 2 2
log ( ( log ( log 8)))anti log anti co
Rpta: 1/27
28. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la
ecuación 2 (4 ) 2 4− = +x
x x ?
Rpta: 3
29. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
5
4
24
1 2
+
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
+⎝ ⎠
x
Log
Log
x
?
Rpta: 1
30. Sean , , , +
∈x y z w . Calcule el menor
valor de 2 ( )Log xyzw , si
( )+ + + = + +Log x y z w Logx Logy
+ +Logz Logw .
Rpta: 8/3
31. Resuelva 2
1
2
( 5 7) 0− + ≥Log x x .
Rpta: [2;3]
32. Resuelva la inecuación
11 11 11(3 5) (5 3)+ − ≤ −Log x Log x Log x .
Rpta: ]5/3; 3
33. Resuelva la inecuación
10 10 10
( 1) ( 1) (2 7)Log x Log x Log xπ π π+ + − > +
e indique la suma de las soluciones
enteras.
Rpta: 5
34. Resolver la inecuación 0,2 (3 8) 1− >Log x
Rpta:
8 41
;
3 15
35. Resuelva la inecuación
3
1
1
+⎛ ⎞
>⎜ ⎟
−⎝ ⎠
x
x
Log
x
36. Sean los conjuntos
A ={ ∈x / (1 ) 2− <xLog x }
B ={ 4 ∈x / ∈x A }
indique el número de elementos de B .
Rpta: 2
37. Si 9 6
0 < <a a ; resolver la inecuación
3 2
2 3
( 1) ( 1) 3⎡ ⎤− < − −⎣ ⎦a a
Log x Log x x .
Rpta: 2,3
38. Si el conjunto solución de la inecuación
2 / 5 3/ 7log<Log x Co x es ;+∞a ; calcule
el valor de Lna .
Rpta: 0
39. Resuelva el sistema
2 3
6 7
1
1
⎧ < +⎪
⎨
> +⎪⎩
Logx Logx
Lnx Lnx
.
Rpta:
1 1
;
10
x
e
∈
40. Resuelva la inecuación 9 9 10.3+ ≤x x
e
indique su intervalo solución.
41. Resuelva la siguiente inecuación.
2
6[ ( 4)]
2
−−
≤
xLn Log x
e
42. Dados los conjuntos
A ={ 2
( ; )∈x y / 2≤ x
y }
B ={ 2
( ; )∈x y / ≤Lnx y }
C ={ 2
( ; )∈x y / 8+ ≤x y ∧ 0≥y }.
Esbozar la región formada por
∩ ∩A B C .
43. Dados los conjuntos
A ={ 2
( ; )∈x y / | |≤y Ln x }
B ={ 2
( ; )∈x y / | |
4. −
≤ x
y e },
represente gráficamente ∩A B .
44. Resuelva la siguiente inecuación.
1
2 2(2 1). (2 2) 2+
− − >x x
Log Log
Rpta: 2 2
5
0; 3;
4
∪ +∞Log Log
45. Resuelva la inecuación 1≥xLog x
46. Resuelva la inecuación
2
2 2
cos
2 1
2
2 4
− −
+
≤
x
x
x sen x
.
Rpta: [1;3]
47. Con respecto a la función
| |
1
( )
2
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
f x
indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
I. El máximo valor de la función es 1/2.
II. No tiene inversa.
III. Su rango es 0;1] .
Rpta: FVV
48. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
2 | | 2 | |= −Log x x ?
Rpta: 6
49. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente
ecuación?
2
|2 |
2 | |−
=x
x
Rpta: 4
50. Halle el valor de + +a b c , si la función
1 2
2
2
( )
1
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
x
f x Log
x
tiene como
dominio al intervalo ; ] ; ]− ∪a b a c ;
0>a .
Rpta: 3
51. Determine el rango de la función f , si
2 1
2
1
( ) | 2 1|
2
⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
f x Log x Log x .
Rpta: {1}