1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
‘‘FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
PROBLEMAS BÁSICOS DE CLASE
EXAMEN SUMATIVO
1. Si 𝑓(𝑥) =
5+𝑆𝑒𝑛𝑥
3
, 𝑥 ∈ [
𝜋
6
;
3𝜋
4
] ,
entonces el rango de 𝑓, es el
intervalo:
a) [−
1
2
;
√2
2
] b) [−
11
6
; 2] c) [−2;
11
62
]
d) [
11
6
;
2+√2
6
] e) [
√2
6
;
11
6
]
EXAMEN SUMATIVO
2. El rango de la siguiente función:
g(x) = senx + cos2x , es:
a)





8
9
;2
b)




8
3
;4
c)





8
7
;1
d)




8
7
;2
e)




8
5
;0
EXAMEN SUMATIVO
3. Sí Rk  ; de las siguientes proposiciones:
Función Dominio Rango
1. Y = senx R  1;1
2. Y = tgx  







2
12/

kxRxR R
3. Y = Ctgx  kxRxR  / R
4. Y = cosx R  1;1
5. Y = Secx R R
Es falsa:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
EXAMEN SUMATIVO
4. Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 1
1. El rango 𝑓(𝑥) es: [−1; 3]
2. El dominio de 𝑓(𝑥)es: R
3. El periodo 𝑓(𝑥) es: 2𝜋
De las afirmaciones anteriores, son
verdaderas:
a) 1 y 3 b) 2 y 3 c) 1 y 2
d) solo 1 e) Todas
EXAMEN SUMATIVO
5. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥) ; 𝑔(𝑥) = 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑘𝑥)
Son funciones cuyas gráficas se
muestran en la siguiente figura.
Calcular las coordenadas del punto P.
A) B)
C) D)
E)
EXAMEN SUMATIVO
6. El mínimo valor de la expresión:
𝐸 = 𝐶𝑜𝑠4𝑥 + 16𝑆𝑒𝑛2
𝑥, es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 4
EXAMEN SUMATIVO
7. En el intervalo [0;2𝜋⟩ , para que
valores de 𝛼 se cumple la siguiente
inecuación: 𝑆𝑒𝑐𝛼 < 𝑇𝑔𝛼
a) [0;
𝜋
2
⟩ ∪ 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉 b) 〈
𝜋
2
;
3𝜋
2
〉
c) [0;
𝜋
2
⟩ ∪ ⟨
3𝜋
2
;
7𝜋
4
] d) 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉
e) [0;
𝜋
2
⟩ ∪ 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉
f(x)
g(x)
P
 2
2
2
3





  2;
3





  2;
12
5









2
2;
3 








2
2;
12
5





  2;
3
5
Semana Nº 13

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
EXAMEN SUMATIVO
8. Sea la función f definida por
𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (
𝜋
4
+ 2𝑥) . Halle el rango,
∀ 𝑥𝜖 [−
7𝜋
24
;
𝜋
24
]
a) [
1
2
; 1] b) [0; 1] c) [−1; 1]
d) [−
1
2
; 1] e) 〈0; 1〉
9. Halle la suma del máximo y mínimo valor
de la función: f(x) = 3+Senx
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
10. Señale el dominio de la función:
 
12
1cos3



xCos
x
xhy
a) ZnnR  ),( 
b)   ZnnR  ,)12( 
c) ZnnR  ,
2
)12(

d) ZnnR  ,
2
)34(
 e) R
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
11. Determinar el dominio de:
G(x) =
1
2Senx − 1
+
1
2Senx + 1
; n ∈ Z
a) R − {nπ ±
π
6
} b) R − {nπ ±
π
3
}
c) R − {nπ ±
π
4
} d) R − {nπ ±
π
2
}
e) R − {nπ ±
π
8
}
12. Si H(x) =
Sen2x
Senx
Determinar el valor de verdad:
( ) Dom H: R − {nπ/n ∈ Z}
( ) Ran H : [−2;2]
( ) H (
π
3
) + H (−
π
3
) = 2
a) VVV b) VFV c)VVF
d) FVF e) FFV
13. El punto (
π
3
;
2n+1
2n−1
) pertenece a la grafica
de la función y = Cosx.
Calcular “n”
a) 1/2 b) 3/2 c)5/2
d) 3/4 e) 4/3
14. Graficar y = −2Senx; x ∈ [0; 2π]
a) b)
c) d)
15. señale la regla de correspondencia de la
función dada por la gráfica:
a)
2
x
Cos b)
2
x
sen c)
2
cos2
x
d)
2
2
x
sen e) xsen3
Examen ordinario 2012
16. Determine el rango de la función:
F(x)=4-2Sen2x
a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]
d) [-1,1] e) R
17. ¿Cuál es el dominio de la función g
definida por: g(x) = 3Cos (
1
√x
) + 2?
a) R b) R+{0} c) [-1;1]
d) R-{1} e) <0;+>
18. Dada la función:
f(x) = Cos2
x − Senx
Determinar su rango.
a)[
3
2
;
7
2
] b) [−1; 2] c) [2;
7
2
]
d) [
5
4
;
7
2
] e) [−1;
5
4
]
y
x
-2
2
2
y
x
-2
2
2
y
x
-1
1
/2
23/2
y
x
-1
1

2

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
19. Si la función definida por:
f(x) =
2SenxCosx − 1
1 − SenxCosx
𝑥 ∈ 〈−
𝜋
2
; 0〉 , entonces el rango de la
función es:
a) 〈−∞; −
4
3
〉 b) 〈−
5
3
; −1〉 c) 〈−
4
3
: +∞〉
d) 〈−1;
4
3
] e) [−
4
3
; −1〉
20. ¿Cuál de las siguientes funciones son
inyectivas?
I. f(x) = Senx; 0 < 𝑥 < 𝜋
II. g(x) = Cosx; 0 < 𝑥 < 𝜋
III. h(x) = Cotx; 0 < 𝑥 < 𝜋
a) Solo I b)Solo II c)Solo III
d) II y III e) I y II
21. El valor máximo que toma la función:
f(x) = 3Sen2
x + 4Cos2
x ; x ∈ R
a) 3 b)4 c)5 d) 6 e) 7
22. El mínimo valor de la función:
f(x) = Tan2
x ; x ∈ [
π
3
;
5π
6
]
a) 0 b) 1/3 c) 3
d) No existe el mínimo valor de f e) 1
23. Dadas las funciones :
f(x) = Sen2x|Senx| + Cos2x |Cosx|
g(x) = Senx
Se afirma:
I. En 〈0;
𝜋
2
〉, sus gráficas se intersectan
en 1 punto.
II. En 〈𝜋;
3𝜋
2
〉, sus gráficas se intersecan
en 1 punto.
III. En〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉, sus gráficas se intersectan
en 2 puntos.
IV. El periodo principal de "f" es 𝜋.
¿Cuántas son verdaderas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas e) Ninguna
24. Dada la función:h(x) = √Senx + √Cosx ;n ∈ Z
Señale el dominio:
a) [2nπ; (2n + 1)π]
b) [(4n + 1)
π
2
; (2n + 1)π]
c) [(4n + 3)
π
2
; 2nπ + 2π]
d) [2nπ; (4n + 1)
π
2
]
e) [(4n + 1)
π
2
; (4n + 3)
π
2
]
25. Si : f(x) = 1 - Sen|x|
Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para
las siguientes proposiciones:
I. f(x) es creciente en 〈
𝜋
2
;
3𝜋
2
〉
II. f(x) es decreciente en 〈−
3𝜋
2
; −
𝜋
2
〉
III. f(x) tiene como rango [0 ; 2]
a) VFF b) VFV c) VVF
d) VVV e) FVV
26. En la figura adjunta calcular:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
1
0 x1 x2 x3
1/2
y=Senx
x
a) 6𝜋 b) 4𝜋 c) 5,5𝜋 d) 8,5𝜋 e) 7𝜋
27. Calcular el área de la región limitada por
la recta 𝑦 + 1 = 0 y la curva cuya
ecuación es y = Cosx, si 𝑥 ∈ [0; 2𝜋].
a) 2𝜋 b) 𝜋 c) 3𝜋 d) 4𝜋 e) 1,5𝜋
28. Graficar: F(x) =
Sen2x
2TanxCosx
0
2π
0
2π
a) b)
0
2π
0
2π
c) d)

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
29. De la figura calcular el área del triángulo
MNP
0
y=Cosx
x
M
N
P
y
a) 2𝜋 b) 𝜋 c)
𝜋
2
d)
𝜋
4
e) 2,5𝜋
30. De las funciones que se indican no es par:
a) F(x) = |Senx| b) G(x) = Cos|x|
c) G(x) = Cos|x| d) H(x) = Cosx − Senx
e) F(x) = |Cosx| − |Senx|
31. Hallar el número de puntos de
intersección de las gráficas de las
funciones y = √x e y = Senx
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
32. Sea una función definida por:
𝑓(x) = Sen2
x + 3|Senx|
Determinar el rango de 𝑓.
a) [0; 1] b) [0; 2] c) [0; 3]
d) [0; 4] e) [0; 5]
33. Evaluar el dominio de la función definida por:
𝑓(x) = √Senx + √Cosx + √Tanx, 𝑥 ∈ [0; 2𝜋]
a) [0; 𝜋/7] b) [0; 𝜋/5] c)[0; 𝜋/3]
d) [0;
𝜋
2
] e) [0;
𝜋
9
]
34. la gráfica corresponde a la función
f(x) = A0. senBx. si ABCD es un cuadrado
de área 4 u2 ; calcular el valor de A0.cos B
a)1 b)2 c) 4 d) 8 e) 16
FUNCIÓN PERIODICA
Si F es una función periódica existe 𝑇 ≠ 0
que cumpla con:
F(x + T) = F(x) tal que T ∈ DF
CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Sea la funcion:
F(x) = A. FT 𝐧
. (𝐁x + C) + D
Para calcular su periodo interviene las
constantes n y B.
I. Si FT. : Sen, Cos, Sec, Csc
Para n impar: T =
2π
|B|
Para n par: T =
π
|B|
II. Si FT.: Tg,Ctg
Para n par o impar: T =
π
|B|
35. Calcular la suma de los periodos de las
siguientes funciones:
F(x) = Sen5x; G(x) = Cos2
15x y
H(x) = Tan3
3x
a)
4𝜋
5
b)
2𝜋
15
c)
2𝜋
3
d)
2𝜋
5
e)
7𝜋
15
36. El periodo de la función:
𝑓(x) = SenxCos3
x − CosxSen3
x
a)
𝜋
4
b)
𝜋
3
c) 2𝜋 d) 𝜋 e)
𝜋
2
37. Si F(x) = Sen2kx y G(x) = Cos2nx
n y k ∈ Z+
Calcular el periodo de F, si el
periodo de G es al periodo de F como 3 es
a 4 y el periodo de la suma es
𝜋
3
.
a)
3𝜋
8
b)
𝜋
8
c)
𝜋
12
d)
𝜋
6
e)
𝜋
4
38. En la figura adjunta se muestra la gráfica
de una función senoidal. Determinar su
periodo.
0 x
y
θ
a)
2θ
3
b)
θ
3
c)
θ
6
d)
θ
4
e)
θ
8