El documento define el determinante como un número real asociado a una matriz cuadrada. Explica cómo calcular determinantes de orden 3 usando el método de Sarrus o cofactores, y lista 7 propiedades de los determinantes como que si una fila o columna es nula el determinante es 0, o que intercambiar dos filas cambia el signo del determinante. Finalmente menciona la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones.

1. Determinantes Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

2. DEFINICIÓN: El determinante es un número real que se asocia a toda matriz cuadrada A ; denotado por: |A|, det(A), D(A)

3. Pero… ¿cómo se obtiene el determinante de una matriz? Así: - - - + + + METODO DE SARRUS = = = = 3 . 12 5 . 7 0 + 0 + 105 0 – 24 – 14 - - = = 1 67 + -

4. CALCULO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN 3 POR MEDIO DE COFACTORES Se pueden elegir filas o columnas, pero es preferible elegir la tercera fila por tener ceros en su conformación.

5. + = 3 3 + 3 + 1 + 2 + 3 = . . . 5 . + + 6 =

6. OTRO EJEMPLO: Tomamos la Segunda columna + = 1 2 + 3 + 2 + 2 + 2 = . . . 3 + 4 = + 5 . . .

7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1ra. Si en A existe una fila, o columna, nula, entonces |A| = 0 2da. Si en A existen dos filas, o columnas, idénticas entonces |A| = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

8. 3ra. Si A es triangular superior, o inferior, entonces |A| está dado por el producto de los elementos de la diagonal principal. 4ta. Si B es una matriz obtenida sumando una fila, o columna, a otra fila, o columna, de A entonces |B| = |A|. = 1.4 = 4 = 1.4.(-6) = -24 |A| = - 90 |B| = - 90 R 1 + R 3

9. 5ta. Si B es una matriz que se obtiene al intercambiar dos filas, o dos columnas, de A, entonces |B| = - |A|. 6ta. Si B es una matriz que se obtiene multiplicando una fila, o columna, de A por un número “k”, entonces |B| = k |A|. 2 3  4 2 1 5 1 1 1 = B |A| = - 90 |B| = - 270 |A| = - 3 |B| = + 3 R 1  R 3 -3R 2

10. 7ma. Si “k” es un número y A es una matriz de orden “n”, entonces se verifica que |kA| = k n |A|. = 11 |B| = 99 B = 3A

11. x 7 x 6

12. 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- (De orden m) UTILIZANDO LAS PROPIEDADES ANTERIORES SE PUEDEN DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES:

13. REGLA DE CRAMER Esta regla es útil para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones compatibles con solución única. Sea el sistema de ecuaciones: Luego : se llama Determinante de la Matriz de Coeficientes del Sistema. Si   0, se demuestra que: