Operaciones combinadas con potencias

LIC. Susan Fernández Sánchez
1
OPERACIONES COMBINADAS CON LAS CUATRO OPERACIONES
BÁSICAS
Para resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división de
números naturales debemos tener en cuenta lo siguiente:
1º Resolver las multiplicaciones y divisiones a la vez
2º Resolver las sumas y restas en orden, de izquierda a derecha.
Resuelve:
a) b)
Efectúa:
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4 5 2 4 8 3 7
     5 6 0 2 5 1 – 3 3 1
     
1 5 3 2 8 6 3
    4 9 7 5 5 0 1 1 9 6
    
8 4 1 2 2 0 4 1 0 0 2 5
     7 2 1 2 – 4 1 7 7
   
1 6 3 – 2 2 + 2 7 – 1 3 3
     
4 8 – 2 2 + 1 4 – 3 9
2 6 + 1 4
4 0 – 3 9 = 1
1 2 0 1 0 3 0 0 1 5 – 5 0 0 1 0 0
   
+   
1 2 + 2 0 – 5
3 2 – 5 = 2 7
E l o rd e n e s m u y im p o rta n te

2
4. 9.
5. 10.
Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas.
1. 3.
2. 4.
OPERACIONES COMBINADAS CON SIGNOS DE COLECCIÓN
Ahora debemos seguir el siguiente orden:
1º Resolver signos de colección: ( ) , [ ] , { }
2º Resolver multiplicaciones y divisiones a la vez.
3º Resolver sumas y restas de izquierda a derecha.
Resolver:
3 3 2 4 0 8 1 5 5
    2 0 8 4 8 0 0 1 6 9 6 0 1 2
    
5 0 0 2 5 3 6 0 4 5 – 6 4
    2 4 7 2 4 3 2
    
2 3 5 7 4 0
    9 5 5 9 2 1 3
   
4 2 1 8 0 1 2 9 3
    3 1 6 4 9 8 2 3 1 5 0 2
        

3
1)
2)
3)
Resuelve:
1. 5.
O b se rv ó q u e p rim e ro se m u ltip lic a o se d iv id e
y lu e g o s e su m a o s e re sta d e iz q u ie rd a a d e re c h a .
3 0 6 1 0 – 3 3 2
     
9 0 8 0 ( 2 3 2 ) 6
   
3 (4 + 7 ) – 5 ( 8 – 3 ) + 2
3 (1 1 ) – 5 ( 5 ) + 2
3 3 – 2 5 + 2
8 + 2 = 1 0
R e c o rd e m o s lo s p a ré n te s is in d ic a n
la o p e ra c ió n d e m u ltip lic a c ió n .
1 ° R e s o lv e m o s ( )
2 ° M u ltip lic a c ió n
3 ° S u m a s y re sta s e n o rd e n , e n e s te
c a s o e s tu v o p rim e ro la re sta .
[(3 6 + 1 4 ) (3 2 – 2 7 )] + 4 0

[ 5 0 5 ] + 4 0

1 0 + 4 0 = 5 0
R e s u e lv o 1 ° lo s p a ré n te s is ( ) y e l
c o rc h e te [ ] se e lim in a la re so lv e r
la d iv isió n lo d e m á s lo c o n o c e s .
¡ Q u e Fá cil !
[ 3 (6 + 4 ) + 1 8 ] { 6 1 – 5 (2 + 9 ) }
 E s ta e s m á s g ra n d e p e ro tra b a ja n d o
e n o rd e n p o d re m o s re s o lv e r e n fo rm a
c o rre c ta .
[ 3 (1 0 ) + 1 8 ] { 6 1 – 5 (1 1 )}

[ 3 0 + 1 8 ] { 6 1 – 5 5 }

4 8 6 = 8


4
2. 6.
3. 7.
4. 8.
¿Sabes cuál es el animal marino más grande del mundo?
Vive en la Antártida, pesa 136 toneladas y mide 29 m de longitud, aproximadamente.
Para saberlo, resuelve cada operación combinada en tu cuaderno; luego, une con
una flecha cada ejercicio con su respuesta. Escribe sobre las líneas las letras de tus
respuestas.
A : 95
2 5 0 1 0 9 7 5 2 0
      
8 ( 2 9 8 ) 3 1 0 4 5
     
 
1 8 0 ( 4 0 6 0 2 ) 1 5
    4 0 5 ( 4 1 2 3 ) 8
    
 
3 (6 5 ) ( 8 4 ) 2 5 0
         
(7 6 5 8 ) 3 1 0 5 0 ( 4 1 1)
     
2
( 4 4 4 5 ) 2 3 9 8 1
      

5
E : 118
I : 335
U : 119
B : 19
D : 84
L : 69
P : 26
N : 63
Z : 109
DEMUESTRO MI APRENDIZAJE
Resuelve:
1. 2.
3 3
1 0 9 ( 4 9 6 ) 1 8 3
     
( 8 0 1 5 4 ) ( 4 5 9 5 ) ( 3 0 6 3 )
       
(7 5 2 0 ) 4 0 3 8 ( 1 0 2 0 ) 3 6 ( 1 6 5 )
       
( 3 6 9 3 2 5 ) ( 5 2 5 1 8 3 4 ) 6 8
          
8 ( 5 3 2 ) 4 0 5 2 ( 3 5 2 )
        
1 3 2 9 3 ( 1 5 4 2 8 )
      
1 1 8 8 9 3 5 ( 1 8 5 3 )
        
3 2 6 5 1 5 1 0 2 ( 8 1 9 1 0 )
       
1 8 2 4 6 4 1 6 8 8 9
       
6 3 1 1 9 2 6 1 1 9 6 3 6 3 3 3 5 6 9 1 1 9
1 1 9 1 0 9 1 1 8 6 3
2 5 5 2 0 4 5 5 2
         
1 7 ( 4 2 9 0 ) 8

6
3. 4. 9 890 + 7 898 – 58 – 9 762 – 150
5. 6.
7. 8.
MÓDULO N0
09
   
9 ( 6 5 1 2 ) 3
( 8 1 9 6 5 3 ) ( 1 1 2 1 4 )
    
4 ( 5 0 6 ) 1 6 6
  
2 5 2 6 2 7
   2 3 4 6 3
   

7
a) ¿Qué significa 32
? Significa: 3 x 3 = 9 Þ 32
= 9
2 veces
b) ¿Qué significa 24
? Significa: 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Þ 24
= 16
4 veces
c) ¿Qué significa 43
? Significa: 4 x 4 x 4 = 64 Þ
43
= 64
3 veces
OBSERVA Y APRENDE:
La expresión: 32
= 9
24
= 16 Se llama potencia
43
= 64
1. POTENCIA DE UN NÚMERO:
La potencia de los números naturales es la operación matemática, que consiste en multiplicar
un número llamado “BASE” por sí mismo tantas veces como nos lo indique otro número
natural llamado “EXPONENTE”. Ejemplo:
a. 32 = 3 x 3 = 9
b. 43 = 4 x 4 x 4 = 64
2. ELEMENTOS DE UNA POTENCIA:
62
= 36
exponente
potencia
base
 Base: Es el factor que se repite.
 Exponente: Indica la cantidad de veces que se multiplica la base como factor.
 Potencia: Es el resultado de dicha multiplicación.
3. LECTURA DE UNA POTENCIA:
Se lee primero la base y luego el exponente. Se dice:
 Al cuadrado si el exponente es 2.

8
 Al cubo si el exponente es 3.
 A la cuarta si el exponente es 4.
 A la quinta si el exponente es 5.
Ejemplos:
a. 35  Se lee: “3 a la quinta”.
b. 63  Se lee: “6 al cubo”.
c. 42  Se lee: “4 al cuadrado”.
d. 84  Se lee: “8 a la cuarta”.
1. Escribe como se lee las siguientes potencias y halla su valor.
a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 Se lee: “Dos a la quinta”
b. 144 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
c. 84 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
_”
d. 73 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_”
e. 122 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_”
f. 34 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_”
g. 55 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_”
2. Las siguientes multiplicaciones escríbelo como potencia y halla su valor.

9
a. 4 x 4 x 4 x 4 = 44 = 256
b. 9 x 9 x 9 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
c. 7 x 7 x 7 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
d. 6 x 6 x 6 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
e. 1 x 1 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
f. 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
g. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
3. Escribe el cuadrado de los diez primeros números:
a. 12 = 1 x 1 = 1
b. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
c. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
d. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
e. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
f. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
g. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
h. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
i. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
j. _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _
4. Halla la potencia de los siguientes números:
a. 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
b. 32 + 43 = 3 x 3 + 4 x 4 x 4 = 9 + 64 = 73
c. 63. 23 = _ _ _ _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _
d. 91. 52 = _ _ _ _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _

10
e. 53 = _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _
f. 4 . 72 = _ _ _ _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _
1. Las siguientes multiplicaciones escríbelo como potencia y halla su valor.
a. 9 x 9 x 9 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
b. 7 x 7 x 7 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
c. 6 x 6 x 6 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
d. 1 x 1 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
e. 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
f. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _
2. Escribe como se lee las siguientes potencias y halla su valor:
a. 123 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
b. 85 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
c. 73 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
d. 123 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
e. 35 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
f. 64 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
g. 92 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ”
h. 53 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _”
i. 44 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ Se lee: “_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ”
3. Completa las siguientes potencias:
a. 35 = _________ b. 83 = _________
c. 102 = ________ d. 55 = _________
e. 93 = ________ f. 122 = ________
g. 103 = ________ h. 112 = ________
4. Hallar las siguientes potencias:
a. 73 + 53 =___________________ b. 9 . 43 = _________________________

11
c. 93 – 63 = ___________________ d. 121 + 90 = _______________________
5. Escribe el cuadrado y el cubo del 1 hasta el 9 y apréndelos.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN: Estudiaremos algunas de ellas.
1. Exponente Cero.- Todo número elevado al exponente 0 nos da como resultado
1.
Ejemplos:
a) b)
2. Exponente Uno.- Todo número elevado al exponente 1 nos da como resultado
el mismo número.
Ejemplos:
a) b)
3. Base Uno.- El uno elevado a cualquier exponente es siempre 1.
Ejemplos:
a) b)
4. Base 10.- La base 10 elevada a cualquier número es igual a 1 seguido de
tantos ceros como indique el exponente.
Ejemplos:
a)
b)
EJERCICIOS
a)
b)
c)
0
7 1

0
( 4 5 6 ) 1

1
(7 4 ) 7 4
 1
8 8

5
1 1

6 0 0
1 1

1 0 = 1 0 0 0 . . . 0
n
n v e ce s
3
1 0 1 0 0 0

8
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2
9 9 9 8 1
  
5 0
1 1

0
( 4 5 0 0 ) 1

a = 1
0
si a 0

a = a
1
1 = 1
n

12
d)
e)
f)
5
1 0 1 0 0 0 0 0

2
1 8 1 8 1 8 3 2 4
  
0 1 5 6
4 5 1 1 5 1 5
     

13
1.Calcula las siguientes potencias:
1. Resuelve en tu cuaderno
Hallar el resultado de:

14

15
MÓDULO N0
10
Es la operación inversa a la potenciación. Sus términos son:
Esto es: porque .
porque .
LECTURA Y ESCRITURA
a) Si el índice es 2 no se escribe porque se sobreentiende y lo llamaremos raíz
cuadrada.
Ejemplo: raíz cuadrada de 16.
b) Si el índice es 3 diremos raíz cúbica.
Ejemplo: raíz cúbica de 27.
EJEMPLOS:
1. Halla la raíz cuadrada de:
2. Resuelve:
3
1 2 5 = 5 R aíz
R ad ic an d o
Ín d ic e
3
1 2 5 5

3
5 1 2 5

1 0 0 1 0

2
1 0 1 0 0

1 6 
3
2 7 
1 2 1 1 1 p o rq u e 1 1 1 1 1 2 1
   4 9 7 p o rq u e 7 7 4 9
  

16
a) b)
c) d)
I. Calcula:
II. Resuelve:
9 7 1 6 4
  
5
1 4 2 5 1 4 5 9 3
    
3
3 6 8
6 2 1 2
 
 
3 3
3 5 4 7 2 0 7 2 7 3
     
6 4 3 6
+ =
2 5 4
- =
8 1 . 4 =
8 1 4 9
+ =
3 4
8 1 6
+ =
+ =
1 6 9

17
3
2 7 . 9 =
1 4 4 . 3 6 =
3
2 5 . 6 4 = 2 7 2
× + =
2 1 7 4
+ × =
4 0 3 3
+ × =
7 4
+ = 1 0 3 6
+ =

18
I. Resuelve:
=
1 6
=
1
4 0 8 1
+ = 6 9 2 5
- =
3
2 0 4 9
+ =
3
2 5 9
+ =
=
1 9 6 =
3
1
=
3
5 1 2
=
3
1 2 5
=
3
2 1 6
=
4 9

19
MÓDULO N0
11
OBSERVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
(80 – 45) + (112 –
76)
35
+ _ 36
71
Con paréntesis
Se resuelvenprimerolas operaciones
que están dentro del paréntesis.
+ =
6 9
+ =
3
1 2 0 5
=
4 1 6
=
4 1 8
.
+ =
1 0 0 8 1 + =
3 6 0 1 6
+ =
3 2 3 × + =
5 8 9

20
72  8 – 23 + 13 x 7 -
32
9 –8+ 91 – 9
1 + 91 – 9
92 – 9
83
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno:
a. 25 + 4 x 23 =
b. 225  25 + 108  6 + 23 x 18 =
c. (23 + 22)2 + 32 – 72 + 101 =
d. 45 x 9  3 + 44  4 x 3 =
e. 10 + 5 x (62 4) + 12 =
f. (72 + 18)  30 + (302 – 24 x 12)
g. 20 + (3 x 8 – 4)  2
h. 7 + 23 x 3 – 32 1
i. 78240 + 19320  5
1. Calcular el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:
Si: w = 300 x = 689 y = 2100
z = 1007
a. (x + y) z = b. y – (z – x) c. (y – z) – x = d. (y ÷ w)
+ (z - x)
RECUERDA el orden a seguir:
1ro. Signos de colección
2do. Raíces y potencias
3ro. Multiplicación y división
Sin paréntesis
1. Se resuelven las potencias.
2. Luego,lasmultiplicacionesydivisiones en el orden en que
aparecen.
3. Finalmente, las adiciones y sustracciones en el orden en
que aparecen.

21
4to. Sumas y restas (según sea el primero)
Si hubiesen signos de agrupación:
1ro. Paréntesis ( )
2do. Corchetes [ ]
3ro. Llaves { }
Resuelve las operaciones combinadas:
1. 104 ÷ 100 –5 8 2.
3. 4. 10 + 10 + 10 x 10 +
100
5. 8 + 102 + 4 x 104 6. 20 + 20 x 20
16 + 25 8 – 39

9 16 ÷ 6


22
7. 20 + (3 x 8 – 4) ÷ 2 8. 48 – 5x 6 ÷ 15
9. 2890 + 7898 – 58 – 9762 – 150 10. 150000 – (60 + 79) + 14046
– 12050
11. (2 + 3) – (5 – 3) + 41 – (28 – 6) 12.
13. 14. 32 + 22 + 52 – 42 – 7
22
3
7 –199 + 169 –107 17

4
5
2 – 16 + 81
 
 
 

23
15. 1000 + 28 103 – 798 16.
MÓDULO N0
12
¡COMPRUÉBALO!
Escribe cualquier número y súmalo con el siguiente número superior. Suma 9
a este resultado. Divide entre 2 y réstale el número original. ¿El resultado es
5?
RESUELVE:
1. Pedro en su cuenta de ahorros tiene 935 050 nuevos soles y gasta un total
de 829 785. ¿Cuánto le queda?
2. A una universidad postularon 10 000 estudiantes para cubrir 1 500 vacantes
en 5 especialidades. Ingresaron 300 a medicina, 250 a contabilidad, 275 a
Derecho, 260 a Economía y 193 a Enfermería. ¿Cuántas vacantes no
fueron cubiertas?
3. Si una camisa cuesta 32 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará por 2 docenas?
4. Un empresario tiene que repartir S/. 40 158 en partes iguales a 69
trabajadores. ¿Cuánto le daría a cada uno?
5. A una universidad postularon 15 000 estudiantes para cubrir 3 500 vacantes
en 5 especialidades. Ingresaron 905 a medicina, 578 a contabilidad, 955 a
3 2
( 3 2 – 2 36)+ (5 – 14÷ 2)
 

24
Derecho, 569 a Economía y 493 a Enfermería. ¿Cuántas vacantes no
fueron cubiertas?
6. . Diana recibe S/. 36 000; Alicia recibe S/. 2 700 más que Diana y
Lucía recibe tanto como las dos primeras juntas. ¿Cuál es la suma
repartida?
7. Para comprar una moto que cuesta 19 000 nuevos soles tengo 12
875. ¿Cuánto me falta?
8. Si tuviera 2 500 000 nuevos soles más de lo que tengo, tendría 27 000 000
nuevos soles. ¿Cuánto tengo?
9. ¿Cuánto cuesta un televisor si sólo tengo 1 197 nuevos soles y me faltan
143 nuevos soles?
10.Si recibiera 6 400 dólares podría comprar un carro que cuesta 9 150
dólares. ¿Cuánto tengo?
11. Vendí una casa en 535 000 nuevos soles ganando 125 000 nuevos
soles. ¿Cuánto me costó la casa?
12.Si un auto mantiene una velocidad promedio de 95 km por hora. ¿Cuántos
kilómetros recorrerá en 11 horas?
13.Una señora compra 5 kg. de azúcar a S/. 4 cada kilogramo; 2 kg. de carne
a S/. 15 cada kg.; 9 kg. de arroz a S/. 3 cada kg. ¿Cuánto es su gasto y
cuánto recibe de vuelto si paga con tres billetes de 50 soles?.
1. Si 3 vestidos cuestan S/. 360 ¿Cuánto costarán 8 vestidos?
2. En un depósito hay 2 083 botellas, si se colocan en cajas de una decena,
¿Cuántas cajas se podrán llenar y cuántas botellas más se necesitarán para
completar una caja más?

25
3. En una fábrica de gaseosas hay 25 camiones y cada camión puede llevar 160
cajas de gaseosas. Si en cada caja hay una docena de botellas de gaseosas.
¿Cuántas botellas pueden transportar todos los camiones a la vez?
MÓDULO N0
16
Si escribimos los múltiplos de los números 4 y 6 tenemos:
Múltiplos de 4 
 A = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36….}
Múltiplos de 6 
 B = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42……}
Múltiplos comunes de 4 y 6 
 A  B = {0; 12; 24; 36. . .}
Mínimo común múltiplo de 4 y 6 
 MCM (4; 6) = 12
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números
es el menor múltiplo común diferente de cero.
Método Abreviado para hallar el Mínimo Común Múltiplo
Procedimiento Ejemplo
1. Se determina los factores primos
comunes y no comunes de los
números dados.
Hallar el MCM de 18, 30 y 45.
18 - 30 - 45 2
9 - 15 - 45
3 - 5 - 15
1 - 1 - 1
3
3
5
2. El MCM es el producto de los
factores obtenidos.
MCM = 2  3  3  5 = 90 ó
MCM = 2  32  5 = 90
Factores primos
comunes y no
comunes.

26
1. Se divide a los números entre su menor divisor primo.
2. Los cocientes obtenidos se vuelven a dividir entre otro divisor primo, y así
sucesivamente hasta que todos los cocientes sean uno.
3. El M.C.M. es el producto de todos los divisores primos.
Ejemplo: Hallar el M.C.M. de 40; 50 y 60
I. Hallar el M.C.M. de:
1.
4.
7.
2.
5.
8.
3.
6.
2 - 16 - 8
18 - 30
6 - 8 20
12 - 6 - 24
72 - 84
26 - 34 - 56
28 - 14 - 7
25 - 50
1 - 1 - 1
1 - 1
1 - 1 - 1
1 - 1
1 - 1 - 1
1 - 1
M.C.M (2; 16; 8) =
M.C.M (18; 30) =
M.C.M (12; 6; 24) =
M.C.M (72; 84) =
M.C.M (28; 14; 7) =
M.C.M (25; 50) =

27
II. Marca la alternativa correcta:
2. El MCM de 8 y 4 es:
a. 12 b. 32 c. 8 d. N. A.
a. 15 b. 8 c. 30 d. N. A.
4. Sí 2
4
3
3
1
4
3
2
2





 :
B
y
A . Entonces el MCM de A y B es:
a. 30 b. 60 c. 27 d. N. A.
5. Sí
1
5
2
10
100
3
4
3
25 




 :
N
y
x
M . Entonces el MCM de M y N es:
a. 20 b. 10 c. 30 d. N. A.
a. 25 b. 10 c. 50 d. N. A.
a. 40 b. 160 c. 64 d N. A.

28
 Hallar el MCM de:
1. 20 – 30 – 15
2. 80 – 40 - 20
3. 10 – 15 – 9
4. 15 – 40 – 8
5. 24 – 30 -42
Hallar el MCM de los siguientes números:
20 - 30
16 - 30 - 8
32 - 40
5 - 6 - 8
b.
c.
a.
d.

29
36 - 24 - 48
3 - 2 - 10
12 - 8 - 10 5 - 3 - 10
MÓDULO N0
17
Si escribimos los divisores de los números 24; 48 y 60 tenemos:
Divisores de 24 
 A = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
 B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
 C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20;30; 60}
Divisores comunes de 24, 48 y 60 
 (A  B  C) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Máximo Común Divisor de 24, 48 y 60 
 MCD (24; 48; 60) = 12
Luego, el Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes de dichos números.
MÉTODO ABREVIADO PARA HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Procedimiento Ejemplo
1. Se determina los
f.
e.
g. h.
i.
j.

30
factores primos comunes de los
números dados.
Hallar el MCD de 20 ; 30 y 60
20 - 30 - 60 2
10 - 15 - 30
2 - 3 - 6
5
2. El MCD es el producto
de los factores obtenidos.
MCD (20 ; 30 ; 60) = 2  5 = 10
1. Se divide a ambos números entre su menor divisor primo.
2. Los cocientes obtenidos, se vuelven a dividir entre otro divisor primo común
que divida los números exactamente y así sucesivamente.
3. El M.C.D. es el producto de todos los divisores primos comunes.
Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 15, 25 y 30
15 - 25 - 30 5
3 - 5 - 6
Como ya no hay otro divisor común que divida exactamente a los 3 números
entonces el M.C.D. (15, 25, 30) es 5.
I. Hallar el M.C.D. de:
Factores primos
comunes.
Importante:
El MCD de dos números primos entre sí es igual a 1.
1.
4.
2.
5.
3.
6.
20 - 30
25 - 50
18 - 30
40 - 16
60 - 45
44 - 88
M.C.D (20; 30) = M.C.D. (18; 30) = M.C.D (60; 45) =

31
II. Escribe V o F entre los paréntesis; dependiendo de la verdad o falsedad de
cada expresión:
a. El MCD (12 ; 24) = 12……………………………( )
b. El MCD (5 ; 7) = 1………………………………..( )
c. El MCD (3 ; 18) = 6……………………………….( )
d. El MCD (49 ; 7 ; 56) = 9…………………………..( )
e. El MCD (15 ; 16 ; 17) = 3…………………………( )

32
Hallar el MCD de:
a. 15 – 75 – 20
b. 9 – 27 - 54
c. 30 – 90 – 60
d. 128 – 178 - 60
e. 18 – 54 – 36
1. Determinar los siguientes conjuntos por extensión:
A = {Divisores de 28} ______________________________________________
B = {Divisores de 36} ______________________________________________
C = {Divisores de 27} ______________________________________________
D = {Divisores de 45} ______________________________________________
E = {Divisores de 30} ______________________________________________
2. Observa los elementos de los conjuntos anteriores y halla:
a.MCD (28; 36) = _________ b. MCD (45; 36) =
_____________
c.MCD (27; 30) = __________ d. MCD (45; 27; 36) =
_____________
3. Hallar el MCD de los siguientes números:
a) 90 - 80 - 72 b) 45 - 81 - 99 c) 60 - 40 - 80

33
d) 36 - 72 - 120 e) 46 - 84 - 92 f) 160 - 320 - 600
g) 900 - 600 - 800 - 400 h) 125 - 625 - 500 - 100

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