Este documento contiene tres ejercicios sobre continuidad de funciones entre espacios métricos. El primer ejercicio define formalmente la continuidad de una función y establece que es equivalente a que la imagen inversa de un conjunto abierto sea abierto y la imagen inversa de un conjunto cerrado sea cerrado. El segundo ejercicio pide determinar si cuatro funciones específicas son continuas. El tercer ejercicio analiza la continuidad de tres funciones particulares definidas en el intervalo [0,1].

1. A. Continuidad
Ejercicio1. Sean (𝑋, 𝑑) e (𝑌, 𝑑′)espaciosmétricosysea 𝑓: 𝑋 → 𝑌. Probarque:
i) 𝑓 es continuaen 𝑥0 ∈ 𝑋 si y solosi para toda sucesión (𝑥 𝑛) 𝑛 ∈ 𝑁 ⊂ 𝑋 tal que 𝑥 𝑛 →
𝑥0, la sucesión (𝑓( 𝑥 𝑛)) 𝑛𝜖𝑁 ⊂ 𝑌 converge a 𝑓(𝑥0).
ii) Son equivalentes:
1. 𝑓 es continua;
2. para todo 𝐺 ⊂ 𝑌 abierto, 𝑓−1(𝐺) esabiertoen 𝑋;
3. para todo 𝐹 ⊂ 𝑌 cerrado, 𝑓−1(𝐹) es cerradoen 𝑋.
Ejercicio2. Decidircuálesde lassiguientesfuncionessoncontinuas:
i) 𝑓: (ℝ2, 𝑑) → (ℝ,| |), 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2, donde 𝑑 representalamétricaeuclídea.
ii) 𝑖𝑑ℝ2:(ℝ2, 𝛿) → (ℝ2, 𝑑∞), la funciónidentidad,donde 𝛿 representalamétrica
discreta.
iii) 𝑖𝑑ℝ2:(ℝ2, 𝑑∞) → (ℝ2, 𝛿), la funciónidentidad,donde 𝛿 representalamétrica
discreta.
iv) 𝑖:(𝐸, 𝑑) → (𝑋, 𝑑), la inclusión,donde 𝐸 ⊂ 𝑋.
Ejercicio3. Sean 𝑓, 𝑔,ℎ:[0,1] → ℝ definidaspor:
𝑓( 𝑥) = {
0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ ℚ,
1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ℚ;
𝑔( 𝑥) = 𝑥, 𝑓( 𝑥); ℎ( 𝑥) = {
0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ ℚ
1
𝑛
𝑠𝑖 𝑥 =
𝑚
𝑛
𝑐𝑜𝑛 ( 𝑚: 𝑛) = 1
1 𝑠𝑖 𝑥 = 0
Probar que:
i) 𝑓 es discontinuaentodopunto.
ii) 𝑔 soloes continuaen 𝑥 = 0
iii) ℎ es continuaen [0,1] − ℚ