De un total de N números, la fracción p son unos, y la fracción q = 1 – p son ceros. Probar que la desviación típica de ese conjunto de números es √pq

1. UniversidadTécnicade Ambato
Facultadde IngenieríaenSistemas,Electrónicae Industrial
HenryAlvarado
De untotal de N números,lafracciónp sonunos,y la fracciónq = 1 – p sonceros. Probarque
la desviacióntípicade ese conjuntode númeroses √ 𝑝𝑞
Suponiendounaserie de cerosy unos:
Siendonel númerototal de datos,entoncesplanteandolasfracciones:
n
xn
n
x
1
n
x



q
p
Entoncesel productode las dosfracciones“pq”es:
n
xxn
n
xn
n
x 2






 
pq
Calculode la media:
Realizandolasumatoriaparael numerode datos,losceros sonneutrosportanto solose
sumanlosunos.
n
x
x 
Realizandoladesviacióntípica
 
n
xx
σ
n
1i
i


   
n
x1x0
σ
2x
1i
2xn
1i
 




Considerandolosnumeradores de lasfraccionespy q sonel númerode vecesque se repite la
sumatoriatenemos:
 
n
n
x
1x
n
x
0xn
σ
22














n
n
xnx2n
x
n
xnx
σ
2
22
2
32





 



















1
1
1
0
0
0
p
q

2. UniversidadTécnicade Ambato
Facultadde IngenieríaenSistemas,Electrónicae Industrial
HenryAlvarado
n
n
xnx2xn
n
xnx
σ
2
322
2
32




n
n
xnx2xn
n
xnx
σ
2
322
2
32




3
32232
n
xnx2xnxnx
σ


 
3
2
n
xxnn
σ


2
2
n
xxn
σ


Comosabemosque
n
xxn
n
xn
n
x 2






 
pq entonces:
pq
n
xxn
σ 2
2



Ejemplo:
Tenemosque lasfraccionesson:
5
2
5
3


p
q
Por tanto: 489,0
5
2
5
3
 pq
Comprobación:
0,4
5
2
x 
 
489,0
5
2,1
n
xx
σ
n
1i
i




ix  2
i xx 
0 0,16
0 0,16
0 0,16
1 0,36
1 0,36
Sum 1,20








1
1
0
0
0
q
p