Problema resuelto máximos y mínimos Solved Problema derivative applications

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Cálculo Diferencial Formato 3.1
Alumno: _____________________________________________________
Grado: ____ Sección: ____ Fecha: _____________ Calificación: _________
Aplicaciones de la derivada
Máximos y mínimos relativos de una función
Problema: Anota solamente la redacción sintetizada del problema.
Área máxima. Cercar terreno rectangular, sólo tres lados. Material para 100 metros de cerca.
Elaborar modelo matemático: Diagrama con todos los datos, aproximación aritmética del problema y,
posteriormente, identificar la incógnita y sus relaciones con las demás cantidades desconocidas.
Diagrama con los datos del problema y la incógnita Aproximación aritmética del problema
𝐴 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜
𝑆𝑖 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 10
𝐴 = 80 × 10 = 800
𝑆𝑖 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 15
𝐴 = 70 × 15 = 1050
𝑆𝑖 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 20
𝐴 = 60 × 20 = 1200
𝑆𝑖 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 25
𝐴 = 50 × 25 = 1250
𝑆𝑖 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 30
𝐴 = 40 × 30 = 1200
Identificación de cantidades desconocidas y sus
expresiones algebraicas
Incógnita: 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑥
Otras cantidades desconocidas: 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 100 − 2𝑥
Á𝑟𝑒𝑎 = (100 − 2𝑥)𝑥
Operaciones algebraicas necesarias para obtener la
función que se emplea para modelar el problema.
Á𝑟𝑒𝑎 = (100 − 2𝑥)𝑥
Á𝑟𝑒𝑎 = 100𝑥 − 2𝑥2
Á𝑟𝑒𝑎 = −2𝑥2
+ 100𝑥
𝒚 = −𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝟎𝒙
Total = 100 metros
10 m 10 m
80 m
𝒙 = 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒓𝒆𝒏𝒐

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Resolver modelo matemático: Aplicación de la derivada y obtención de máximos y mínimos.
1. Función que se va a derivar 2. Derivada de la función 3. Igualar a cero la derivada
𝑦 = −2𝑥2
+ 100𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −4𝑥 + 100
−4𝑥 + 100 = 0
4. Resolver la ecuación obtenida Análisis de la función: Puntos donde cruza el eje equis, máximos y mínimos.
−4𝑥 + 100 = 0
−4𝑥 = −100
𝑥 =
−100
−4
𝑥 = 25
Esta función tiene solamente un punto crítico, que corresponde al máximo
que se está buscando: 𝒙 = 𝟐𝟓
Para obtener el valor de ye se sustituye 𝒙 = 𝟐𝟓 en la ecuación:
𝑦 = −2𝑥2
+ 100𝑥 = −2(25)2
+ 100(25) = −1250 + 2500
𝒚 = 𝟏𝟐𝟓𝟎
Cruza al eje equis en dos puntos que se obtienen resolviendo la ecuación
cuadrática utilizando el software Microsoft Mathematics.
Las soluciones son:
𝒙 𝟏 = 𝟎
𝒙 𝟐 = 𝟓𝟎
Interpretación del modelo: Responder a la pregunta que se plantea en el problema real y verificar que
dicha respuesta tenga sentido en el contexto que se está proponiendo. Seleccionar los valores de tabulación
para sintetizar los resultados en la gráfica.
El ancho del terreno cercado debe ser: 𝒙 = 𝟐𝟓 𝒎
Con este ancho, la longitud queda de: 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐(𝟐𝟓) = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎 𝒎
El área máxima que se va a cercar es: 𝑨 = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝒙)𝒙 = (𝟓𝟎)(𝟐𝟓) = 𝟏𝟐𝟓𝟎 𝒎 𝟐
Los puntos de intersección con el eje equis son:
𝒙 𝟏 = 𝟎 que significa tomar un ancho de cero, por lo que el área también es cero.
𝒙 𝟐 = 𝟓𝟎 que significa tomar un ancho de cincuenta metros, por lo que la longitud se vuelve cero y el área también es cero.
Con base en esta información es conveniente tabular desde -10 hasta 60, para que se observen mejor los puntos de intersección de la curva
con el eje equis.

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Tabulación en forma horizontal para aprovechar mejor el espacio.
Gráfica de la función con toda la información del problema claramente identificada.
x -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
y -1200 -550 0 450 800 1050 1200 1250 1200 1050 800 450 0 -550 -1200