1. Cap´
ıtulo 4
Derivadas e Integrales
4.1. Introducci´n a la derivaci´n
o o
En este cap´ ıtulo presentaremos los conceptos m´s b´sicos del c´lculo diferencial e
a a a
integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´s, se ver´ el nexo que existe entre ambos conceptos a trav´s de un muy importante
a a e
teorema.
4.1.1. Derivada de una funci´n
o
Si tuvi´semos que definir a la derivada de una funci´n en pocas palabras, dir´
e o ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´n nos dice, de
o
alguna manera, cu´nto cambia la funci´n(variable dependiente) a medida que cambia la
a o
variable independiente. La derivada de una funci´n nos dir´ si una funci´n crece o decrece
o a o
r´pidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´n, mejor
a o
comenzaremos describiendo el significado geom´trico que tiene, para luego definirla m´s
e a
correctamente.
Significado geom´trico de la derivada
e
Consideremos una funci´n lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la
o
recta descrita por esta funci´n es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
o
esta funci´n es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´n es constante
o o
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´n cuadr´tica f (x) = x2 . Cu´l es la
o a a
tasa de crecimiento de esta funci´n. Al graficar esta funci´n(una par´bola) nos damos
o o a
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´n crece y crece cada vez m´s r´pido.
o a a
¿Como poder medir m´s cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
a
siguientes dos puntos de la par´bola:
a
P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)

2. 112 Derivadas e Integrales
P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)
Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´n f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es
o
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:
4−1
m= =3
2−1
Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´n al ir de x = 1
o
a x = 2 ya que la funci´n crecer´ m´s lentamente cerca de x = 1 y m´s r´pidamente
o a a a a
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1.
F´cil. Consideremos un punto m´s cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el
a a
punto
P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25)
Repitiendo el c´lculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos
a
que:
2,25 − 1 1,25
m= = = 2,5
1,5 − 1 0,5
Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´s cercano a P1 , la
a
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´s con la recta tangente a P1 . Decimos
a
que en el l´
ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .
4
3
recta tangente
a y=x2 en P1
2
1
P1
-2 -1 1 2
´
Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funci´n f (x) en x◦ se
o
define como la pendiente de la recta tangente al gr´fico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )).
a
4.1.2. Noci´n de l´
o ımite
Entender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´lculo.
a
Sin ir m´s all´, la derivada es un l´
a a ımite. Pero, ¿ qu´ es un l´
e ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´n de l´
o ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
1 1 1 1
Sn = + + + · · · + n
2 4 8 2
¿Qu´ pasaba si n crec´ al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´trica
e ıa e
cuyo valor sabemos que es 1. Matem´ticamente, esto se expresa como:
a
l´ Sn = 1
ım
n→∞

3. 4.1 Introducci´n a la derivaci´n
o o 113
x f(x)
±1 0.8415
± 0.5 0.9589
± 0.1 0.9983
± 0.05 0.9996
± 0.01 0.9999
Este es un caso particular de l´
ımite.
De modo m´s general, decimos que el l´
a ımite de una funci´n f (x) cuando x tiende a a es
o
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.
Esto se anota matem´ticamente as´
a ı:
l´ f (x) = L
ım
x→a
Nota: No es necesario que f (a) exista o este definido para que l´ x→a f (x) exista.
ım
Ejemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces
l´ c = c
ım
x→a
l´ c · x = c · a
ım
x→a
Ejemplo 4.1.2
1
l´
ım =0
x→∞ x
Si bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacer
que 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente
grandes.
Ejemplo 4.1.3
sin(x)
l´
ım =1
x→0 x
En el ejemplo anterior, justificamos el valor del l´
ımite pero no dimos una demostraci´n
o
rigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor´ completa. Justificaremos
ıa
el valor del ultimo l´
´ ımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que esto
no constituye una demostraci´n en s´
o ı.
A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte de
f (x) = sin(x) a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0.
x
Propiedades de linealidad del l´
ımite :
l´ cf (x) = c l´ f (x)
ım ım
x→a x→a
l´ [f (x) + g(x)] = l´ f (x) + l´ g(x)
ım ım ım
x→a x→a x→a

4. 114 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.1.4 Sea :
x2 − 1
f (x) =
x−1
Calcular el valor de:
l´ f (x)
ım
x→1
Soluci´n : El valor de f (1) no esta definido ya que tras una simple evaluaci´n obten-
o o
emos:
0
f (1) =
0
Pero notemos que :
(x + 1)(x − 1)
f (x) = = x + 1 ,x = 1
x−1
Entonces:
l´ f (x) = l´ x + 1 = 2
ım ım
x→1 x→1
Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funci´n f (x) evaluada en
o
un punto x◦ se define como:
f (x◦ + h) − f (x◦ )
l´
ım
h→0 h
Otra definici´n equivalente de la misma derivada es la siguiente :
o
f (x) − f (x◦ )
l´
ım
x→x◦ x − x◦
Notaci´n :
o
La derivada de y = f (x) en x◦ se denota por:
dy
= f (x◦ )
dx x◦
Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f (x) = x2 evaluada en x = x◦
d 2 (x◦ + h)2 − x2◦
(x ) = l´
ım
dx x◦ h→0 h
x2 + 2x◦ h + h2 − x2
ım ◦
= l´ ◦
h→0 h
(2x◦ h + h2 )
= l´
ım
h→0 h
= l´ (2x◦ + h)
ım
h→0
= 2x◦

5. 4.1 Introducci´n a la derivaci´n
o o 115
Hemos definido la derivada de una funci´n en un punto cualquiera x◦ . Entonces,
o
ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funci´n:
o
´
Definicion 3 (de la funcion derivada) La funci´n derivada (de otra funci´n) se
o o
define punto a punto como sigue:
f (x + h) − f (x)
f (x) = l´
ım
h→0 h
Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivos
o no al irse acerc´ndose a cero en el l´
a ımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas de
derivadas (y de l´ımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entonces
la derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomando
solo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Para
que una funci´n se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por la
o
izquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para que
una funci´n se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funciones
o
son derivables.
Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funci´n f (x) = |x|. Esta funci´n no es derivable porque
o o
para x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. De
hecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f (x) valen −1 y 1
respectivamente.
Ejemplo 4.1.7 La funci´n derivada de la funci´n f (x) = x2 es:
o o
f (x) = 2x
Demostraci´n: Directa a partir de la definici´n de funci´n derivada y del ejemplo 4.1.5.
o o o
Notaci´n : La derivada de la derivada de una funci´n, o simplemente la segunda
o o
derivada de una funci´n, se anota como sigue:
o
d d d2
f (x) = f (x) = f (x)
dx dx dx2
´
De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funci´n f (x). Esta debe
o
entenderse como una funci´n proveniente de f (x) despu´s de haberla derivado n veces
o e
seguidas.

6. 116 Derivadas e Integrales
4.2. Reglas importantes para derivar
Como el lector ya deber´ poseer una comprensi´n b´sica del significado de la funci´n
ıa o a o
derivada, a continuaci´n enunciaremos una serie de reglas pr´cticas para derivar las
o a
funciones m´s importantes. No abordaremos las demostraciones te´ricas de estas reglas
a o
no porque sea dif´
ıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.
4.2.1. Derivadas de funciones b´sicas
a
y(x) = k ⇒ y (x) = 0
y(x) = mx ⇒ y (x) = m
n
y(x) = x ⇒ y (x) = nxn−1
y(x) = ex ⇒ y (x) = ex
y(x) = ax ⇒ y (x) = ax ln a
y(x) = ln x ⇒ y (x) = 1/x
y(x) = sin x ⇒ y (x) = cos x
y(x) = cos x ⇒ y (x) = − sin x
4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada
Sea c una constante cualquiera, entonces:
y(x) = cf (x) ⇒ y (x) = cf (x)
y(x) = f (x) ± g(x) ⇒ y (x) = f (x) ± g (x)
Derivada de un producto de funciones
La derivada de una producto de funciones es como sigue:
d d d
[f (x) · g(x)] = f (x) · g(x) + f (x) · g(x)
dx dx dx
Ejemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f (x) = x sin(x).
d d d
[x · sin(x)] = x · sin(x) + x · sin(x) = sin(x) + x cos(x)
dx dx dx
Derivada de un cuociente de funciones
d d
d f (x)
= dx f (x) · g(x) − f (x) dx g(x)
dx g(x) [g(x)]2

7. 4.2 Reglas importantes para derivar 117
Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f (x) = tan(x)
d d
d
tan(x) =
d sin(x)
= dx sin(x) · cos(x) − sin(x) dx cos(x) = cos(x) · cos(x) − sin(x) [− sin(x)]
dx dx cos(x) [cos(x)]2 [cos(x)]2
cos2 (x) + sin2 (x) 1
= 2 (x)
= = sec2 (x)
cos cos2 (x)
Derivada de una composici´n de funciones. Regla de la cadena
o
d d d
g(f (x)) = g(x) · f (x)
dx dx f (x) dx
Ejemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2 )
d d d 2
sin(x2 ) = sin(x) · x = cos(x2 ) · 2x
dx dx x2 dx
Ejercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacen
la ecuaci´n diferencial:
o
y(x) + w2 y(x) = 0 (4.1)
Concluir que la funci´n :
o
y(x) = A sin wx + B cos wx
donde A y B son constantes arbitrarias, tambi´n satisface la ecuaci´n 4.1. Se dice que
e o
la funci´n y(x) es la soluci´n general de la ecuaci´n 4.1
o o o
Nota: La ecuaci´n diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones
o
llevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n
o o
en donde figura una funci´n f (x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de
o
ecuaciones, la soluci´n no es un valor real como en una ecuaci´n algebraica, sino que la
o o
soluci´n de la ecuaci´n es una funci´n !.
o o o

8. 118 Derivadas e Integrales
4.2.3. Aplicaciones de la derivada
En esta secci´n abordaremos algunas aplicaciones b´sicas de la derivada en algunos
o a
problemas de matem´ticas y f´
a ısica.
Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuaci´n de la recta tangente a la curva descrita por la
o
funci´n f (x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1.
o
Soluci´n : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a:
o
d 3
m = (x + 3x2 − 5)
dx x=1
2
= 3x + 6x
x=1
= 3+6
= 9
Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para
poder determinar la ecuaci´n punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la
o
recta corresponde a (1, f (1)).
f (1) = 1 + 3 − 5 = −1
Entonces, la ecuaci´n de la recta buscada es :
o
y + 1 = 9(x − 1)
4.2.4. Cinem´tica en una dimensi´n
a o
La cinem´tica se encarga de describir, con el uso de las matem´ticas, el movimiento
a a
de los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales.
Consideraremos un mundo de una dimensi´n(espacial),en donde se necesita una sola
o
coordenada para describir la posici´n de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber
o
en donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a alg´n u
origen arbitrario que supondremos inm´vil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la
o
distancia entre este cuerpo y el origen var´ con respecto al tiempo.
ıa
Definicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posici´n de un m´vil con respecto
o o
al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funci´n x(t) que nos
a o
entrega la posici´n de un m´vil con respecto a un punto fijo O en funci´n del tiempo.
o o o
Entonces, llamamos velocidad instant´nea del m´vil (con respecto a O) a:
a o
d
v(t) = x(t)
dt
Definicion 5 La aceleraci´n es la tasa de cambio de la velocidad de un m´vil con
o o
respecto al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funci´n v(t)
a o

9. 4.2 Reglas importantes para derivar 119
que nos entrega la velocidad de un m´vil en funci´n del tiempo. Entonces, llamamos
o o
aceleraci´n instant´nea del m´vil a:
o a o
d d2
a(t) = v(t) = 2 x(t)
dt dt
Ejemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleraci´n de un m´vil cuya posici´n est´ de-
o o o a
scrita por :
x(t) = 5t2 + 12t + 3
Soluci´n :
o
v(t) = x (t) = (5t2 + 12t + 3) = (5t2 ) + (12t) + (3) = 10t + 12
a(t) = v (t) = (10t + 12) = (10t) + (12) = 10
4.2.5. Optimizaci´n en una variable
o
Una de las aplicaciones del c´lculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos
a
en donde una funci´n alcanza valores m´ximos o m´
o a ınimos. Geom´tricamente, es f´cil ver
e a
que la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funci´n
o
alcanza un valor m´ximo o m´
a ınimo en un punto, entonces la derivada de la funci´n en
o
ese punto deber´ ser nula.
a
Ejemplo 4.2.6 Calcular el valor m´ınimo de f (x) = x2 + 8x − 1.
Soluci´n: Calculemos la derivada de f (x):
o
f (x) = 2x + 8
Ahora impongamos que f (x) = 0:
f ‘(x) = 2x + 8 = 0 ⇒ x=4
f (4) = 42 + 8 · 4 − 1 = 47
El valor m´
ınimo de f (x) es 47.
Observaciones:
Que una funci´n tenga un punto extremo (un m´ximo o un m´
o a ınimo) en un punto implica
que la derivada de la funci´n en ese punto es cero, pero la afirmaci´n rec´
o o ıproca no es
cierta: que la derivada de una funci´n se anule en un punto no implica que la funci´n
o o
tenga un punto extremo en ese punto.
Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funci´n f (x) = x3 :
o
⇒ f (x) = 3x2 = 0 ⇒ x=0
La derivada de f (x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funci´n NO tiene un valor extremo
o
en ese punto.

10. 120 Derivadas e Integrales
20
10
-10 -5 5 10
-10
-20
Para saber mejor que sucede con una funci´n f (x) en un punto x = a donde su derivada
o
se anula (f (a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci´n y la evaluamos en ese
o
punto.
1. Si f (a) > 0 entonces f (x) alcanza un valor m´
ınimo ”local”en torno a x = a
2. Si f (a) < 0 entonces f (x) alcanza un valor m´ximo ”local”en torno a x = a
a
3. Si f (a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f (x)
en torno a x = a

11. 4.3 Introducci´n a la integraci´n
o o 121
4.3. Introducci´n a la integraci´n
o o
Esta secci´n tratar´ de los aspectos b´sicos del c´lculo integral. Pero nuevamente,
o a a a
tal como hicimos con la secci´n de c´lculo diferencial, abordaremos el tema de un mo-
o a
do pr´ctico y no te´rico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o inte-
a o
gral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). La
definici´n de integral definida que presentaremos (tambi´n conocida como integral de
o e
Riemman) no tiene relaci´n alguna con lo que hemos visto de c´lculo diferencial. Las
o a
primitivas, en cambio, tiene directa relaci´n con lo que es el c´lculo diferencial o de
o a
derivadas. Adem´s, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C´lcu-
a a
lo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambi´n
e
se le otorga a esta ultima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puede
´
resultar sumamente dif´ ıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav´s del TFC,
e
el c´lculo puede ser directo.
a
4.3.1. La integral definida
Consideremos una funci´n f (x). S´lo a modo de ilustraci´n, consideraremos que la
o o o
funci´n f (x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ´rea encerrada
o a
entre la funci´n f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos lo
o
siguiente:
Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b]
en n sub-intervalos m´s peque˜os y de igual tama˜o h = (b − a)/n. El intervalo
a n n
i-´simo resulta ser:
e
[a + h(i − 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n}
Dividamos nuestra ´rea en peque˜os rectangulitos de base h y altura f (a + h(i −
a n
1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos
sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos
I− (x).
y
area achurrada
f(a) = I-
a h x
Dividamos nuestra ´rea en peque˜os rectangulitos de base h y altura f (a+hi), i ∈
a n
{1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco
superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+ (x).

12. 122 Derivadas e Integrales
y
area achurrada
f(a) = I+
a h x
Si resulta que
l´ I− = l´ I+ = I = ∞
ım ım
h→0 h→0
ımite ”la integral de f (x) a dx entre x=a y x=b se
entonces se denomina a este l´ 2
denota:
b
I= f (x)dx
a
Ejemplo 4.3.1 Calcular la integral de f (x) = x entre x = 0 y x = b.
Soluci´n: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediante
o
los puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es:
b n−1 n
xdx = l´
ım h · ih = l´
ım h · ih
0 h→0 h→0
i=0 i=1
N´tese que hemos expresado la integral como
o
l´ I− (x) y adem´s como l´ I+ (x)
ım a ım
h→0 h→0
Calculemos primero el primer l´
ımite:
n−1 n−1
(n − 1)n (hn)2 hn · h
l´ I− (x) = l´
ım ım h · ih = l´ h2
ım ·i = l´ h2
ım = l´
ım −
h→0 h→0
i=0
h→0
i=0
h→0 2 h→0 2 2
pero como hn = b entonces
b2 bh
l´ I− (x) =
ım l´
ım −
h→0 h→0 2 2
b2
=
2
Queda propuesto al lector verificar que tambi´n se tiene que:
e
b2
l´ I+ (x) =
ım
h→0 2

13. 4.3 Introducci´n a la integraci´n
o o 123
4.3.2. La integral indefinida o primitiva
La derivaci´n puede ser vista como un operador que toma una funci´n f (x) y retorna
o o
su funci´n derivada f (x). ¿Existir´ el proceso inverso? Es decir, ¿existir´ alg´n operador
o a a u
que tome la funci´n f (x) y retorne f (x) ? Este proceso inverso existe y se denomina
o
integraci´n indefinida,c´lculo de primitivas o de anti-derivadas.
o a
Definicion 6 Sea F (x) una funci´n diferenciable con derivada f (x). Sea, adem´s, C
o a
una constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida de
f (x) a la funci´n F (x) + C. La primitiva de f (x) se anota:
o
f (x)dx = F (x) + C = funci´n que al derivarla entrega f(x)
o
Observaci´n: N´tese que al pedir la primitiva de f (x) se busca una funci´n tal que
o o o
al derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funci´n F (x) cumple con
o
tal condici´n. Pero F (x) no es la unica funci´n que cumple con la condici´n. A decir
o ´ o o
verdad, la funci´n F (x) + C, donde C una constante cualquiera, tambi´n cumple con la
o e
condici´n (ya que la derivada de una constante es cero).
o
4.3.3. Primitivas importantes
kdx = kx + C
xn+1
xn dx = +C
n+1
ex dx = ex + C
ax
ax dx = +C
ln a
1
dx = ln x + C
x
sin xdx = − cos x + C
cos xdx = sin x + C
4.3.4. Propiedades de las primitivas
cf (x)dx = c f (x)dx
[f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx

14. 124 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.3.2
x3 7x6
[x2 − 7x5 + 2 sin x]dx = x2 dx − 7 x5 dx + 2 sin xdx = + − 2 cos x + C
3 6
4.3.5. El Teorema Fundamental del C´lculo (TFC)
a
Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completa-
mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teorema
nos permite calcular integrales dif´
ıciles calculando muy f´cilmente una primitiva.
a
´
Teorema 4.3.1 (Fundamental del Calculo) Sea F (x) una funci´n diferenciable
o
con derivada f (x). Es decir, F (x) es una primitiva de f (x). Entonces,
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Notaci´n : Sea F(x) una funci´n. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaci´n:
o o o
F (x)|b ≡ F (b) − F (a)
a
Corolario (de la notaci´n)
o
b
f (x)dx = F (x)|b
a
a
Ejemplo 4.3.3 Calcular la integral
5
x2 dx
1
Soluci´n: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l´
o ımite
(hacerlo como ejercicio), una manera mucho m´s f´cil es hacerlo empleando el TFC.
a a
Sabemos que una primitiva de f (x) = x2 es F (x) = x3 /3 + C. Entonces, seg´n el TFC,
u
5
x2 dx = F (5) − F (1) = (53 /3 + C) − (13 /3 + C) = 125/3 − 1/3 = 124/3
1

15. 4.4 Aplicaciones de la integral 125
4.4. Aplicaciones de la integral
4.4.1. C´lculo de ´reas
a a
Ejemplo 4.4.1 Hallar el ´rea entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9 − x2
a
Soluci´n : Grafiquemos ambas funciones:
o
y
8 y=x2+1
6
4
2
y=9-x2
-2 -1 1 2
x
Encontremos los puntos de intersecci´n de ambos gr´ficos:
o a
y = x2 + 1
y = 9 − x2
Resolviendo este sistema, encontramos que:
x2 + 1 = 9 − x2 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x = ±2
Luego, el ´rea entre ambos gr´ficos corresponde a:
a a
2 2 2
[(9 − x2 ) − (x2 + 1)]dx = [8 − 2x2 ]dx = 8dx − 2 2x2 dx
−2 −2 −2 −2
2
x3
= 8 · (2 − (−2)) − 2 = 32 − 2 · [8/3 − (−8/3)] = 32 − 32/3 = 64/3
3 −2
4.4.2. Cinem´tica en una dimensi´n
a o
En la secci´n de derivaci´n ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la
o o
posici´n de un m´vil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la
o o
velocidad de un m´vil es su aceleraci´n. Ahora que conocemos la integrar podemos decir
o o
que:
v(t) = a(t)dt + C1
x(t) = v(t)dt + C2
Las constantes de integraci´n C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad y
o
posici´n del m´vil en un instante dado.
o o
Ejemplo 4.4.2 Calcular la posici´n y velocidad de un m´vil sabiendo que a(t) = 2t + 1,
o o
v(0) = 0, x(0) = 3.
Soluci´n : Sabemos que:
o
v(t) = a(t)dt + C1 = [2t + 1]dt + C1 = t2 + t + C1

16. 126 Derivadas e Integrales
Evaluando la condici´n v(0)=0 obtenemos:
o
v(0) = C1 = 0
Por tanto, la velocidad del m´vil es:
o
v(t) = t2 + t
Calculemos ahora su posici´n :
o
x(t) = v(t)dt + C2 = [t2 + t]dt + C2 = t3 /3 + t2 /2 + C2
Evaluando la condici´n x(0) = 3 obtenemos :
o
x(0) = C2 = 3
Por lo tanto, la posici´n del m´vil es:
o o
x(t) = t3 /3 + t2 /2 + 3

17. 4.5 Problemas propuestos 127
4.5. Problemas propuestos
4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones
1. Derivar:
a) y = 1 x4 − 2x2
4
b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7)
c) y = 2 sin x + 3 cos x
d ) y = (x − 1)(x − 3)(x − 5)
e) y = (2x − 1)3
2. Para la siguiente funci´n, analizar crecimiento, m´ximos y m´
o a ınimos.
y = x3 − 9x2 + 20x − 8
Adem´s, determinar todos los puntos de la curva representada por la funci´n an-
a o
terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaci´n 4x + y = 3.
o
3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la
siguiente funci´n es paralela al eje x :
o
y = x4 − 2x3 + 1
4. Probar que la ecuaci´n de la recta normal a la curva
o
y = 3 − x2
en el punto de abscisa x = a es:
x − 2ay + a(5 − 2a2 ) = 0
y hallar los puntos de la par´bola cuyas normales pasan por el punto (0,2).
a
5. Un autom´vil recorre un camino rectil´
o ıneo, partiendo del reposo en un punto O a
las 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despu´s de una hora y se detiene en un tercer
e
punto B. La distancia s en kil´metros al punto de partida despu´s de t horas de
o e
camino est´ dada por
a
s = 60t2 − 10t3
Hallar :
a) La hora de llegada a B
b) La distancia entre A y B
c) La velocidad media entre A y B
d ) La velocidad m´xima y a qu´ hora la alcanza.
a e

18. 128 Derivadas e Integrales
6. Para la siguiente funci´n, resuelva la ecuaci´n f (x) = 0 y halle el conjunto de
o o
valores para los cuales f (x) es menor o igual que cero.
f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 7
7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia
en kil´metros desde la superficie de la Tierra en el momento t despu´s de ser
o e
descubierto era
s(t) = 50t3 − 300t2 + 4050
Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad.
a) Halle la velocidad y aceleraci´n del invasor extraterrestre correspondiente al
o
tiempo t.
b) ¿Cu´ndo era su velocidad cero?
a
c) ¿Cu´ndo era su aceleraci´n cero?
a o
d ) ¿En qu´ tiempo se acercaba a la Tierra?
e
e) ¿Cu´ndo se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu´l era esa velocidad?
a a
f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de la
tierra.
g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen-
tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo.
h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5]
8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando
los medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplaza
con rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2 . El atleta quiere llegar
del punto A hasta el punto B en el tiempo m´ ınimo. Demuestre que esto lo puede
conseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los ´ngulos θ1 y θ2
a
obedecen la ley de Snell:
sin θ1 v1
=
sin θ2 v2
Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m´s r´pido
a a
entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.
A
θ2 v2
v1 θ2
B

19. 4.5 Problemas propuestos 129
4.5.2. Integrales y sus aplicaciones
1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f (x) y verificar la respuesta por
derivaci´n:
o
dy
a) dx = f (x) = 4x − 3 y f (0) = −9
dy
b) dx = f (x) = 12x2 − 24x + 1 y f (1) = −2
dy
c) dx = f (x) = 3 cos x + 5 sin x y f (0) = 4
dy 2
d) dx = f (x) = 3ex − x y f (1) = 0
2. a) Una part´ ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t en
metros/segundo. Hallar la funci´n que determina su posici´n s en t´rminos
o o e
de t si para t = 0, s = 4m.
b) Una part´ ıcula se est´ moviendo sobre una recta con aceleraci´n dada por
a o
a(t) = t2 −t en metros/segundo2 . Hallar la funci´n velocidad v(t) y la funci´n
o o
s(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12.
3. Calcular:
a)
7
(6 − 2x)dx
−2
b)
1
(x3 − 5x4 )dx
0
c)
π/2
cos t + 2 sin t)dt
0
d)
4 3
dx
1 x
e)
1
8et dt
0
4. Calcular el ´rea limitada por:
a
a) La curva y = x2 − x y el eje x
b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3
c) La curva y = sin x y la recta y = x
d ) La curva y = ex , el eje y y la recta y = 4

20. 130 Derivadas e Integrales
5. Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. De-
terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cu´l es la distancia
a
recorrida en ese intervalo de tiempo?
6. Determinar el ´rea limitada por las curvas:
a
y = 2x2 e y = 12x2 − x
7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci´n a(t) = 2t − 4. Cuando t = 0,
o
M est´ en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cada
a
instante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origen
y calcular su distancia al origen en ese instante.