UDCH

1. FACULTAD DE MEDICINA
201610071
201610181
201610233
201610098
201610094
CÓDIGO
S:201610104

2. Antes de comenzar a desarrollar numerosos
ejercicios de matrices en clase, es indispensable
que conozcamos los conceptos básicos de estas.
Por tanto, hemos hecho este informe con el fin de
aclarar tus dudas acerca de las diversas maneras de
desarrollar ejercicios de matrices. En esta ocasión;
nosotros como grupo, nos concentraremos
principalmente en “Sistema de ecuaciones de
matrices”, el cuál es muy amplio y variado que nos
servirá de mucho en nuestro desenvolvimiento
académico en esta unidad.
Por lo expuesto, hay que tener en cuenta que el
siguiente informe se realiza bajo los fundamentos y
conceptos de Ecuaciones de matrices, estudiados y
practicados en clase, como también hemos optado
por investigar en libros virtuales y páginas
confiables las cuales nos facilitarán a la
comprensión de este tema.

3.  Analizar la definición de sistemas de
Ecuaciones Lineales (Conjunto de una o
más ecuaciones de primer grado con dos
o más variables) ya que luego de este
saber previo podremos identificar una
ecuación lineal.
 Representar un sistema lineal mediante
la notación matricial.
 Comprobar un sistema de ecuaciones
lineales mediante el método de Cramer,
Gauss y la matriz inversa.
 Reconocer y aplicar algunas propiedades
que existen en ecuaciones lineales.
 Realizar las operaciones de suma, resta y
multiplicación en ecuaciones lineales.
OBJETIVOS:

4. Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz.
Para resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra
equivalente usando las propiedades de las matrices.
 Es importante recordar algunas propiedades en las que nos basaremos:
El producto de matrices no es conmutativo
 Para resolver las ecuaciones matriciales, primero despejamos la matriz incógnita
y después realizamos las operaciones con matrices resultantes.
Algunos ejemplos de ecuaciones matriciales, cómo despejar la matriz incógnita:
 Las matrices que estén sumando o restando podemos pasarlas al otro miembro
cambiando de signo (igual que en las ecuaciones con números)

5.  Multiplicamos por la inversa a la izquierda en ambos miembros:
 En este ejemplo tenemos que hacerlo por la derecha
 La matriz “X” se encuentra multiplicada por una matriz por la izquierda y por
otra por la derecha. Debemos multiplicar por la inversa correspondiente a cada
lado.
(Primero pasamos al lado derecho los sumandos)
(Luego pasamos al lado derecho los sumandos)
Podemos sacar factor común porque en ambos términos la matriz va
multiplicando por la derecha
multiplicamos por la inversa por la izquierda

6. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnita y coeficientes en un
cuerpo K (como los reales o los complejos) es:
A los elementos ai j se les denomina coeficientes del Sistema de Ecuación y a
los bi términos independientes.
 Un ejemplo de un Sistema de Ecuaciones de 2 ecuaciones y 2 incógnitas es:
𝟒𝐱 + 𝟖𝐲 = 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟑
 El sistema de la definición lo podemos expresar matricialmente como
Donde
Llamamos matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de términos
independientes a b y matriz incógnita a X.
Definimos la matriz completa del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a
la izquierda y la b a la derecha, es decir

7. Ejemplo:
4𝑥 + 8𝑦 = 2 → 𝐴 = (
4 8
3 5
) 𝑏 = (
2
3
) 𝐴∗
= (
4 8 2
3 5 3
)
3x + 5y = 3
 Sistema incompatible (SI): el sistema que no tiene solución. No existen
valores para las incógnitas.
Ejemplo:
3x +2y + z = 1
5x +3y +4z = 2
x + y - z = 1

8.  Sistema compatible determinado (SCD): existe una solución y es única, es
decir, sólo hay una.
Sistema compatible indeterminado (SCI): Un sistema compatible
indeterminado tiene varias soluciones.
Ejemplo:

10. Método de sustitución:
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones del sistema.
Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación del sistema,
obteniendo una ecuación con una sola incógnita
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la
incógnita despejada.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de
ecuaciones.
1. Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones del sistema.
3𝑥 = −4𝑦
𝑥 = −
4𝑦
3
2. Se sustituye en la otra ecuación la variable x, por su valor anterior:
2(−
4𝑦
3
) + 3𝑦 = −1
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
−
8𝑦
3
+ 3𝑦 = −1 −8𝑦 + 9𝑦 = −3 𝑦 = −3
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
1
2
3
4

11. 2𝑥 + 3𝑦 = −1
2𝑥 + 3(−3) = −1
2𝑥 − 9 = −1
2𝑥 = 8 𝑥 = 4
Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema.
Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con
una incógnita.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en
las que aparecía despejada la otra incógnita.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de
ecuaciones.
1. Se despeja, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2. Igualamos ambas expresiones:

12. Método de reducción
Se multiplica por los números que convenga.
La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
Se resuelve la ecuación resultante.
El valor que se obtiene se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

13. Método de Cramer
Es un método basado en la solución de determinantes que se utiliza para resolver
sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas.
 Sea el sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Ax1 + bx2 + cx3 = C1
Dx1 + ex2 + fx3 = C2
Gx1 + hx2 + ix3 = C3
 Primero se determina la determinante general del sistema con los coeficientes de
las incógnitas.
G= a b c
d e f
g h i
 Cuando se plantea el determínate de una incógnita, se elimina la columna
de los coeficientes de esa incógnita y se constituye por la columna de los
valores constantes a los que están igualadas las ecuaciones.
C1 b c
C2 e f
C3 h i
A b c
D e f
G h i
 Donde A(i) es la matriz que resulta al sustituir en A la columna i por la columna
de términos independientes, b, es decir
=

14. 
Ejemplo:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
-x + y + z = 1
∆=

15. Matriz inversa:
El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible
determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A-1
:
Ejemplo:
 Las matrices asociadas al sistema son
 Con lo que la solución del sistema es

16. Rouché-Frobenius
El enunciado del teorema es el siguiente:
Sea A·X = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un
cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos).
 A·X = B es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango (A | B).
 A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = n = rango(A| B).
 r = r' ≠ n Sistema compatible indeterminado.
 r ≠ r' Sistema incompatible.
Ejemplos:
1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.
r(A) = 3
2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

17. r(A') = 3
3. Aplicamos el teorema de Rouché.

18. El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de
ecuaciones de “n” números de variables.
Para aplicarestemétodosolohayquerecordarquecada operaciónqueserealiceseaplicara
a toda la fila o a toda la columna en su caso.
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los
coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples
operaciones de suma, resta y multiplicación.
El procedimiento es el siguiente:
 Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede
ser de “n” número de variables por ejemplo:
 -3x+3y+2z=1
 4x+y-z=2
 x-2y+z=3
 Se acomodan los coeficientesy los resultados enuna matriz:
 En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la matriz
identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se aplica a toda la
fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre –3:
-⅓ -3 3 2 1 1 -1 -⅔ -⅓
4 1 -1 2 4 1 -1 2
1 -2 1 3 1 -2 1 3
-3 3 2 1
4 1 -1 2
1 -2 1 3
MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN

19.  Después,como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del
1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo.
En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la correspondiente
posición de la fila de abajo:
 Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al primer
renglón sumarlo al tercero:
1 -1 -⅔ -⅓ 1 -1 -⅔ -⅓
0 5 5
/3
10
/3  0 5 5
/3
10
/3
-R1+ R3 1 -2 1 3 0 -1 5
/3
10
/3
 El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que eneste
caso iría en donde esta el 5 en la segunda fila. Para lograrlo hay que dividir toda la
segunda fila entre 5:
1
/5
1 -1 -⅔ -⅓ 1 -1 -⅔ -⅓
0 5 5
/3
10
/3  0 1 ⅓ 2
/3
0 -1 5
/3
10
/3 0 -1 5
/3
10
/3
 Despuésse tienenque hacer 0 los que están arriba y abajo del 1, que en este caso sería,
para el que está arriba R2+R1:
1 -1 -⅔ -⅓ 1 -1 -⅔ -⅓ 1 -1 -⅔ -⅓
R2+R3 =
0 1 ⅓ 2
 0 1 ⅓ 2
/3 0 1 ⅓ 2
/3 /3
0 -1 5
/3
10
/3 0 0 6
/3
12
/3 0 0 2 4
 Ahora hay que hacer cero la posición a12. En este caso con hacer R2+R1 es
suficiente:
R2+R1 1 -1 -⅔ -⅓ 1 0 -⅓ ⅓
0 1 ⅓ 2
/3  0 1 ⅓ 2
/3
0 0 2 4 0 0 2 4
 Dividir entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la posición a33:

20. 1 0 -⅓ ⅓ 1 0 -⅓ ⅓
0 1 ⅓ 2
/3  0 1 ⅓ 2
/3
1/2 0 0 2 4 0 0 1 2
 Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo
a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos:
 El último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3y sumándolo a R2:
-⅓ R3+R2
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 ⅓
2
 0 1 0 0/3
0 0 1 2 0 0 1 2
Al encontrar la matriz identidad se encuentrala solución del sistema de ecuaciones,pues
esto se traduce a:
 x = 1 ; y = 0 ; z = 2
La comprobación es la siguiente:
 -3(1)+3(0)+2(2)= -3+4=1
 4(1)+(0)-(2)=4-2=2
 (1)-2(0)+(2)= 1+2=3
R3+R1 1 0 -⅓ ⅓ 1 0 0
3
/3 1 0 0 1=
0 1 ⅓
2
 0 1 ⅓
2
0 1 ⅓
2
/3/3 /3
0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2

21. MÉTODO GRÁFICO
SE REALIZAN LOS SIGUIENTES PASOS:
1. Se despejala incógnita(y) enambas
ecuaciones.
2. Se construye paracadauna de las
ecuaciones latabla de valores
correspondientes.
3. Se representangráficamente ambas
rectas enlos ejes coordenados.
4. Se hallan los puntos de intercepción.
Puede suceder los siguientes casos:
i) Las rectas se intersectan en un punto,
cuyas coordenadas (a, b) es la solución
del sistema (figura 1).
ii) Las dos rectas coinciden, dando origen

22. 22
22
En el caso de la actividad 1.
Las ecuaciones son:
2x + 3y - z = 7
x + 4y + 2z = 2
x + y + z = 4
Si sustituimos la incógnita z por un parámetro por ejemplo k, las ecuaciones quedarían del
siguiente modo:
2x + 3y - k = 7
x + 4y + 2k = 2
x + y + k = 4
Estas ecuaciones se pueden graficar dándoles valores específicos al parámetro k, en forma
de función lineal se pueden escribir del modo siguiente:
y_1 = (7-2x+k)/3
y_2 = (2-x-2k)/4
y_3 = (4-x-k)/3

23. 23
23
Encontrar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la intersección de
planos y mediante la sustitución de la incógnita z por un parámetro k:
x+ 8y - z = 9
-2x + 5y- 7z = 2
2x + y +6 z = 5
-3x+ y - z = 15
7x + 8y- 4z = 21
x + 3y +5 z = 11

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24
La finalidad de tener conocimiento de dichos
métodos, es que el estudiante sepa identificar a
la perfección lo que es “Sistema de Ecuaciones”,
para que según el grado del problema, o el
grado de dificultad que tenga que el problema,
puedan encontrar formas más fáciles, más
precisas e interactiva para solucionarlos.
Conclusiones:

25. 25
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ANEXO 1: MÉTODODEREDUCCIÓN
ANEXO 2: METODODESUSTITUCIÓN
ANEXO 3: METODODEIGUALACIÓN
ANEXO 4: METODOPOR DETERMIANTES(REGLADECRAMER)
ANEXO 5: MÉTODOGRÁFICO
ANEXO 1
ANEXO 2

26. 26
26
ANEXO 3
ANEXO 4

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ANEXO 5

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 Anónimo. (02 de 06 de 2010). vitutor.net. Obtenido de
http://www.vitutor.net/2/10/sistemas_ecuaciones.html
 Anónimo. (s.f.). Blogspot. Obtenido de
http://profesor10demates.blogspot.pe/2013/10/sistemas-de-ecuaciones-
indeterminados-e.html
 Anónimo. (s.f.). Descartez2D. Obtenido de Ecuaciones lineales.:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_ecua
ciones_lineales_lrm/compatibilidad.htm
 Gloria Jarne, E. M. (11 de 05 de 2011). CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA
ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Obtenido de CURSO BÁSICO
DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES:
http://www.unizar.es/aragon_tres/u6.htm
Bibliografía:

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29
 T. E. A. (17 de 03 de 2007). scribd. Obtenido de ALGEBRA LINEAL:
https://es.scribd.com/doc/59937838/APLICACIONES-DE-ALGEBRA-LINEAL