operaciones basicas

1. Polinomios y
operaciones
Profesor Marvin Bacajol:
Colegio Mater Ophanorum
Matemática 8
Segundo Básico

2. 2 0.8 20a b c  
3
a• El volumen del cubo
• El área del círculo
• El perímetro del polígono
Entrada: expresiones algebraicas
En diversas situaciones las expresiones algebraicas son muy útiles, por ejemplo en
geometría:
Las dos primeras expresiones algebraicas son monomios, mientras que la tercera es un
polinomio de cuatro términos.
3/25
a
a
a
r a 20
2b
0.8c
2

3. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica
formada por la suma o la resta de dos o más
monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama término, y si
no tiene parte literal, término independiente.
El grado del polinomio es el mayor grado de
todos sus términos.
{ { { {
polinomio
2 2 2 2
términos
4 15 5 3 5x y xy x xy y    
6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
1 2 3 1 2 3
1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 43
Término
independiente
Recuerden
Un monomio es una
combinación de números
(coeficientes) y letras
elevadas a un número natural
(parte literal).
Dos monomios son
semejantes cuando tienen la
misma parte literal; en caso
contrario, no son semejantes.
3
-5x
2 3
3x y
2
7x y - 2
2x y Monomios
semejantes
Misma parte
literal
4/25
Polinomio de cuarto grado

4. Adición de polinomios
¿Qué nombre recibe un cuadrado que mide un metro por lado?
¿Cómo se representa abreviadamente?
m2
Si tengo 4 de piso 2
y compro 2 ,m m2
¿Cuántos tendré?
m2
m2
m2
m2
m2
4 m2
2 m2
6
m2
m2
m2
m2
m2
m2
m2
m2
m2
2
Respuesta: Tendré 6 de piso.m

5/25
2 2 2
Algebraicamente: 4 2 6 m m m

5. Adición de polinomios
Representa cada variable con una figura, por ejemplo, si
Para comprenderlo mejor:
1y
4
5
x  2
Entonces: 3 4
x  2
2 5
x2
3
x2
2
6/25
x2

6. Como la suma es la unión de los elementos de los polinomios:
Adición de polinomios
Cuando hay términos positivos y negativos,
los términos positivos se representan con un
color y los negativos con otro.
Generalmente los negativos se representan
con rojo.
7/25
x2
5
   x x x    2 2 2
Por tanto: 3 4 2 5 5 9
9

7. Adición de polinomios
Agrupar las figuras congruentes (igual forma y tamaño)
Otro ejemplo:
Representar cada variable y elegir también un símbolo por cada unidad
del término independiente, luego ilustrar cada sumando
Cancelar las figuras opuestas para obtener el resultado
8/25
   x x   Sumar 2 3 3 1
x 2 3
x 3 1
 x
x2  x3 3  1
x x x  2 3 1    3 1 4    x x x     2 3 3 1 1 4

8. Sustracción de polinomios
Recuerden que solamente
se pueden adicionar y
sustraer términos
semejantes.
9/25
a3
Si a 10
3
le quita 4a
a3
Queda 6
a a a 3 3 3
Por lo que 10 4 6 a3
a3
a3
a3
a3
a3
a3
a3
a3
a3
Se

9. Haciendo la representación gráfica:
Minuendo: _
=Sustraendo:
10/25
   2 2 2 2 2 2
5 2 2 4 3 2x x x x x x    
Sustracción de polinomios
Se debe recordar que la sustracción se opera cambiando signo al
sustraendo, gráficamente se representa al invertir el color de cada
término del sustraendo.
3x2 – 2x
2
2x x4
x2
5 x2
   2 2
¿Cómo efectuar 5 2 2 4 ?  x x x x
+
+

10. Cambiando el signo:
(color del sustraendo)
Agrupando para efectuar la adición:
 y el término independiente por .x 
Representar cada variable, luego ilustrar el minuendo y el opuesto al
sustraendo
11/25
Sustracción de polinomios
   Otro ejemplo: calcular la diferencia 5 3 2x x   
5x 
5 2 7   
5 2

11. Adición y sustracción de polinomios
Para sumar polinomios, se suman sus monomios semejantes, dejando indicada la suma
de los monomios no semejantes.
Sumar:
12/25
3 2
4 3 2
4 3 2
4 2 3
2 5 3 2
2 5 3 4 1
x x x
x x x x
x x x x
   
    
    
( ) 4 3 2
2 5 3 2Q x x x x x     
( ) 3 2
4 2 3P x x x x   
( ) ( ) 4 3 2
2 5 3 4 1P x Q x x x x x      

12. Restar:
++
Adición y sustracción de polinomios
13/25
 Calculamos el opuesto de Q x
   Sumamos yP x Q x
         4 3 2
2 3 7 2 5P x Q x P x Q x x x x x        
  3 2
4 2 3P x x x x   
  4 3 2
2 5 3 2Q x x x x x     
  4 3 2
2 5 3 2Q x x x x x     
3 2
4 3 2
4 3 2
4 2 3
2 5 3 2
2 3 7 2 5
x x x
x x x x
x x x x
  
   
   
3 2
4 3 2
4 2 3
2 5 3 2
x x x
x x x x
  
   
Para restar polinomios, se suma el primero con el polinomio opuesto del segundo.

13. Multiplicación de polinomios
Observen las siguientes expresiones algebraicas:
y veces x
Noten que así como el coeficiente numérico indica las veces que se repite
el factor, el coeficiente y indica las veces que se repite x.
Otro ejemplo:
Recuerden las leyes de los
exponentes: para multiplicar
potencias de igual base se copia la
base y se suman los exponentes.
La conmutatividad de
la multiplicación nos
permite colocar las
letras
alfabéticamente.
14/25
2
2x yx xy
6 2
vecesa a 6 2
a a 6 2 8
Por lo que a a a
…
…

14. Además:
Otro ejemplo: Si = y
15/25
Multiplicación de polinomios
4 veces 3y y 4 veces 3 y vecesy y
4 3 12 
  2
y y y
  2
Por tanto 4 3 12y y y

…

15. Observen que se aplicó la propiedad
distributiva de la multiplicación con
respecto a la adición.
16/25
 2
Al representar en forma gráfica 5 2x x
2 2
5 2 10x x  5 5x x 
 2 2
Entonces 5 2 10 5x x x x  
Multiplicación de polinomios
Se agrupan las figuras congruentes:
Por lo que el monomio queda multiplicado por cada término del polinomio.

16. y veces
=
17/25
Multiplicación de polinomios
Otro ejemplo:  2
Multiplicar 1y x 
2 2
vecesy x yx
veces 1y y  
 2 2
1y x yx y  
 2 2
Por lo que 1y x x y y  
…

17. Multiplicación de polinomios
x
n
m
y
Al sumar dichas áreas:
yn
ym
18/25
  Al representar gráficamente recuerda que el área de un
rectángulo se encuentra multiplicado base por altura
x y m n 
xm ym xn yn
  
Se aplica la propiedad distributiva
a se obtiene: x y m n
x m xm
ymy m
x n xn
yny n
( ) ( )x y m n xm ym xn yn     

18. Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios, se multiplica el primer término del primer
factor por cada término del segundo factor; luego, el segundo
término del primer factor por todos los términos del segundo, al
finalizar se reducen términos semejantes.
Como:
Recuerden que se
multiplican los
coeficientes, respetando
los signos y luego la
parte literal, aplicando
leyes de la potenciación.
19/25
Ejemplo:   Multiplicar 3 4 2 5x y x y 
  3 4 2 5x y x y     3 2x x   3 5x y    4 2y x   4 5y y  
   2
3 2 6x x x
  3 5 15x y xy  
  4 2 8y x yx
   2
2054 yyy 

19. Entonces:
20/25
Multiplicación de polinomios
  3 4 2 5x y x y    2
6x  15xy  8yx
Por la conmutatividad de la multiplicación :xy yx
 15xy  8yx 7xy 
  3 4 2 5x y x y   2
6x 7xyPor lo tanto
 2
20y
2
20y

20. Multiplicación de polinomios
Para multiplicar un polinomio por un monomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos
cada uno de los términos de un polinomio por el
otro, y después sumamos los polinomios obtenidos
en las multiplicaciones.
En la mayoría de los
casos el resultado de la
suma, resta y la
multiplicación de dos
polinomios es otro
polinomio.
21/25

21. Potenciación de polinomios
La potencia de un polinomio, P (x), es un
( ) ( ) ( ) ... ( )
veces
n
n
P x P x P x P x   
1 4 44 2 4 4 43
La relación existente entre los
coeficientes de las distintas potencias
de un binomio se conoce con el
nombre de triángulo de Tartaglia.
 
1
1 1x y 
 
2
1 2 1x y 
 
3
1 3 3 1x y 
 
4
1 4 6 4 1x y 

Observen que todas las filas
comienzan y acaban con un 1, y
los demás coeficientes se
obtienen sumando los términos
contiguos de la fila.
22/25
polinomio que se obtiene de:

22.  
3 3-0 0 3-1 1 3-2 2 3-3 3
2 1 1 (2 ) 1 3 (2 ) 1 3 (2 ) 1 1 (2 ) 1             x x x x x
3 3 2 2
2 3 2 3 2 1      x x x
3 2 1 0
(2 ) 3 (2 ) 3 (2 ) (2 )      x x x x
16128 23
 xxx
 
3
2 1x Ejemplo:
Potenciación de polinomios
Potencia Resultado Coeficientes
1
)ba( 
2
)ba( 
3
)ba( 
4
)ba( 
ba
22
2 baba 
3223
33 babbaa 
432234
464 babbabaa 
23/25
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

23. Potenciación de polinomios
24/25
La expresión correcta es:
Resuelvan gráficamente (a + b)2 .
Se grafica un cuadrado de lado (a + b).
 
2 2 2
2a b a ab b   
Uno de los errores más frecuentes es considerar
que la expresión y la expresión
son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta
observar la figura.
En ella se observa que el cuadrado de , el
cuadrado grande es mayor que la suma de los
cuadrados de a (en rojo) y de b (en verde).
 
2
a b 2 2
a b
 a b
ab 2
b
2
a ab
b
ba
a

24. Cierre
En acción
Resuelvan el problema.
Se desea construir un parque recreativo para la
comunidad. En dicho parque se piensa construir
una cancha de futbol 5, una tienda, juegos
infantiles y servicios sanitarios según se muestra
en la figura. Aún no se determinan las medidas
de la cancha de futbol 5. ¿Cuál debe ser el área
del terreno?
2x
x 3 m
11 m
En acción
Se utiliza la fórmula de área del rectángulo: A b h 
3 11 14b x x     2h x
2
( 14)(2 ) 2 28A x x x x   
El área del terreno debe ser: 2
2 28x x
25/25
En acción