Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Trabajo maria romero
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario de Tecnología "Antonio José de Sucre"
Ampliación Anaco
Materia: Matemáticas.
Tema 4: Derivadas
Realizado por:
Br. María Linda Romero
CI: 24.832.073
2. Contenido
Introducción...........................................................................................................................3
Tasa de variación.................................................................................................................4
Punto Crítico .........................................................................................................................4
Valores mínimos y máximos ..............................................................................................5
Método de Newton...............................................................................................................5
Funciones crecientes y decrecientes................................................................................6
Monotonía de una función ..................................................................................................6
Curvatura de una función ...................................................................................................7
Criterio de la derivada primera...........................................................................................8
Criterio de la segunda derivada.........................................................................................9
Regla de l’Hôpital ...............................................................................................................10
Aplicación de la regla de L’Hôpital ..............................................................................10
Teoremas de las derivadas ..............................................................................................11
Teorema de Rolle.........................................................................................................11
El teorema de Rolle .......................................................................................................11
Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange) ..................................................12
Teorema de Cauchy......................................................................................................12
Optimización.......................................................................................................................13
Aplicaciones en el ámbito del comercio .........................................................................13
Aproximación lineal............................................................................................................13
Conclusión...........................................................................................................................15
3. Introducción
El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió
en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El
problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto
dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o
la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la
invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo. En la actualidad el Cálculo se
aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la
naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para
determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y
las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos. Es importante conocer
las formulas y técnicas básicas de derivación, para poder entender correctamente
las reglas básicas de derivación y ser capaces de proceder directamente en las
funciones matemáticas.
4. Tasa de variación
Esta es una o la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su
aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la
localización de un punto da la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa
de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo.
La tasa de variación media se corresponde con la pendiente de la recta que une
los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo
α.
La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es el
límite del valor de la tasa de variación media cuando el incremento de x tiende a
cero. La T.V.I es la derivada de la función en ese punto:
Punto Crítico
El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la
termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel
donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
Si X=C es un punto crítico de la función F(X) Si F(C) existe y si se cumple
alguna de las siguientes condiciones.
F′(C) =0 O F′(C) no existe
Se tienen que tener en cuenta que requerimos que F(C) existe para X=C
para ser realmente un punto crítico, todos los puntos críticos deben estar en el
dominio de la función. Si un punto no está en el dominio de la función, entonces no
es un punto crítico, en este punto, solo trabajamos con números reales, por lo que
se ignorará cualquier número complejo que pueda surgir al encontrar puntos
críticos.
5. Valores mínimos y máximos
Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los
valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del
menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc.
Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo /
máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo
absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, para todos los puntos del
dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, para todos
los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c. La siguiente
definición da los tipos de valores mínimos y / o máximos que veremos.
Definición
Si f(x) tiene un máximo absoluto (o global) en x=c Si f(x) ≤ f(c) para
cada x en el dominio en el que estamos trabajando.
Si f(x) tiene un máximo relativo (o local) en x=c Si f(x) ≤ f(c) para cada
x en algún intervalo abierto alrededor x=c.
Si f(x) tiene un mínimo absoluto (o global) en x=c Si f(x) ≥ f(c) para
cada x en el dominio en el que estamos trabajando.
Si f(x) tiene un mínimo relativo (o local) en x=c Si f (x) ≥ f(c) para cada
x en algún intervalo abierto alrededor x=c.
Método de Newton
Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton,
este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de
etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y
más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos
términos de las Series Taylor.
Método general de Newton
Si Xn es una aproximación una solución de F(X)=0 y si F′(Xn) ≠0 la
siguiente aproximación viene dada por, Xn+1=Xn – ( F(Xn) / F′(Xn)).
6. Funciones crecientes y decrecientes
Para encontrar que una función dada es creciente, decreciente o constante,
digamos en una gráfica, usamos derivadas. Si f es una función que es continua en
[p, q] y diferenciable en el intervalo abierto (p, q), entonces,
f aumenta en [p, q] si f '(x)> 0 para cada x ∈ (p, q)
f es decreciente en [p, q] si f '(x) <0 para cada x ∈ (p, q)
f es una función constante en [p, q], si f '(x) = 0 para cada x ∈ (p, q)
Monotonía de una función
Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de una función
en un intervalo.
7. Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el
siguiente procedimiento:
1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos
la derivada sea f’(x) = 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.
Curvatura de una función
La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera
derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de una
función. La segunda derivada determina la curvatura.
En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras
que una función convexa a un valle.
8. Criterio de la derivada primera
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el
entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.
El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el
entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.
9. El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se
cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia
de signo.
El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:
Criterio de la segunda derivada
El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera
derivada en él es nula y su segunda derivada es negativa.
El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera
derivada en él es nula y su segunda derivada es positiva.
El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este cuadro:
10. Regla de l’Hôpital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den
indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o
términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del
tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites
indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos
anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer
bien la técnica de la derivación>.
Aplicación de la regla de L’Hôpital
Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto
a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el
denominador.Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:
11. Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto
del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera
existir el límite de f/g).
El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de ambas
funciones, incluyendo +∞ y -∞.
La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y a
límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se
puede hacer la transformación:
En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1∞, 00; o
∞0, mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los
logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le
podría aplicar la regla de L’Hôpital.
Teoremas de las derivadas
Los Teoremas de Rolle, Teorema del Valor Medio y Teorema de Cauchy.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle
Consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo
cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de
la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un
punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.
12. El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De
hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando
se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de
Taylor.
Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si
una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un
punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b),
en el se cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle,
puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.
Teorema de Cauchy
13. El teorema de Cauchy establece que dadas
dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b).
Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre
que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:
El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor
Medio.
Optimización
.
La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o mínimo de
una función determinada que recoja el objetivo a optimizar, se averigua el valor o
valores de las variables que hay que ajustar.
Aplicaciones en el ámbito del comercio
Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son
requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las
ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede
utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad
total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un
artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.
Aproximación lineal
14. En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación
lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de
encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente
conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función
lineal.
15. Conclusión
En esta unidad la determinación de las derivadas no solo está limitada a un
punto de vista teórico para que de esta forma se pueda entender distintos temas
de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las
derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en
la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía. Su aplicación a la
problemática empresarial en economía y administración, son un gran acierto para
obtener expresiones de resultados y poder maximizar las ganancias y minimizar
las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede ser usada para verificar la
respuesta correcta y así aumentar la productividad total de un comercio.
Las derivadas tienen muchas aplicaciones como la dirección de la curva
que se utiliza para resolver problemas de elipsis, la ecuación de la tangente que
es utilizada para obtener las pendientes o rectas en un plano, el criterio de la 1º
derivada que se utiliza para poder calcular los máximos y mínimos en una curva
en conclusión su aplicación es muy extensa en lo que se refiere a el cálculo de
figuras en un plano o cuadrante.
