Interpolación del polinomio_de_newton

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA “
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
Interpolación del Polinomio de Newton.
De la definición de derivada en un punto x = z se puede encontrar una aproximación para la pendiente
que pasa por los puntos (x, y(x)), (z, y(z)):
f ( x)  f ( z ) f ( x)  f ( z ) y ( x)  y ( z )
f’(z)= lím f’(z)   = f[z, x] con esta notación indicaremos la
x z xz xz xz
Primera Diferencia Dividida o diferencia dividida de primer orden(DD1).
Otra manera de relacionar la derivada y la diferencia dividida es mediante el teorema del valor medio:
Teorema de Valor Medio: Sea f una función definida y continua en el intervalo [a, b] y diferenciable
f (b)  f (a)
en (a, b). Entonces existe al menos un punto c en el abierto (a, b) tal que f’(c) = ,b  a.
ba
De esta manera, si x0 , x están en [a, b] en el que f es diferenciable se cumple:
f ( x)  f ( x 0 )
f[x, x0] = = f’(c), para algún c en (x0, x).
x  x0
Deducción del polinomio de interpolación de Lagrange.
Sea Pn el n-ésimo polinomio de Lagrange que coincide con la función f en los n +1 puntos: x0, x1,   
xn. Obtendremos las diferencias divididas de f respecto a los n +1 puntos dados con f(x0) = y0, f(x1) =
y1,    , f(xn) = yn; para expresar Pn(x) de la siguiente forma:
(*) Pn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0(x-x1 +    +bn(x-x0)(x-x1)    (x-xn-1), para constantes apropiadas:
b0, b1,   , bn.
Para n = 0  b0 = P0(x0) = y0
n = 1  f(x1) = P1(x1) = b0 + b1(x1 – x0)  b1 = [f(x1) – f(x0) ]/ (x1 – x0) = DD1 (diferencias
divididas de orden uno) Luego P1(x) = f(x0) + DD1 (x-x0) = f[x0] + f[x1, x0](x- x0).
f(xi) = f[xi] esta se denomina diferencia dividida de orden cero.
Con n = 2 se puede determinar b2 ya que se conocen b0 y b1: b2 = {f[x2, x1] – f[x1, x0]}/(x2 – x1)= DD2
observe que en el donominador va la diferencia de los puntos extremos: x2 y x0.
Luego P2(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1), y así sucesivamente se obtiene:
Pn(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1) +    + f[xn, xn-1,    , x1, x0](x-x0)(x –x1)    (x – xn-1).
FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

2. 2
ORDEN NOTACIÓN DEFINICIÓN O EXPRESIÓN
0 f[x0] = y0 f(x0)
1 f[x1, x0] f ( x1 )  f ( x 0 )
x1  x 0
2 f[x2, x1, x0] f x2 , x1   f x1 , x0 
x2  x0
3 f[x3, x2, x1, x0] f x 3 , x 2 , x1   f x 2 , x1 , x 0 
x3  x0
- - - - - - - -
- - - - - - - -
n f[xn , xn-1,   , x1, x0] f xn , xn 1 ,  , x1   f xn 1,  , x0 
xn  x0
Por ejemplo, para un polinomio de orden cuatro se tiene:
P4(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1) + f[x3, x2, x1, x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)
+ f[x4 ,x3, x2, x1, x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3).
¿Cómo calcular las diferencias divididas?.
METODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
xi DD0 DD1 DD2 DD3
xo f(xo)
f ( x1 )  f ( x 0 ) =fx ,x 
1 o
x1  x 0
x1 f(x1) f x2 , x1   f x1 , x0  =fx2, x1, xo
x2  x0
f ( x 2 )  f x1  f x3 , x 2 , x1   f x 2 , x1 , x 0 
 f x 2 , x1   f x3 , x 2 , x1 , x 0 
x 2  x1 x3  x0
f x3 , x2   f x2 , x1 
x2 f(x2)  f x3 , x2 , x1 
x3  x1
f x3   f x2  f x4 , x3 , x2   f x3 , x2 , x1 
 f x3 , x2   f x4 , x3 , x2 , x1 
x3  x2 x4  x1
f x4 , x3   f x3 , x2 
x3 f(x3)  f x4 , x3 , x2 
x4  x2
f x 4   f x 3 
 f x 4 , x 3 
x 4  x3
x4 f(x4)
f x 4 , x 3 , x 2 , x1   f x 3 , x 2 , x1 , x 0 
DD4 = f[x4, x3, x2, x1, x0] = .
x4  x0
El resto asociado a este polinomio:
Rn(x)  f x, x n , x n 1 ,....., x1 , xo (x – xo)(x – x1)(x – x2)      (x – xn-1)(x – xn).

3. 3
Siendo x un valor adicional para poder estimar el error.
Ejercicio resuelto: dada la siguiente tabla de valores:
i xi yi
0 0.1 0.99750
1 0.2 0.99002
2 0.4 0.96040
3 0.7 0.88120
4 1.0 0.76520
5 1.2 0.67113
6 1.3 0.62009
a) Elaborar una tabla de diferencia divididas
b) Escriba la fórmula de interpolación de Newton ajustada a la tabla de diferencias divididas.
c) Evalúe el polinomio resultante en x = 0.3
d) Estime el error en la interpolación.
Solución:
a) En primer término elaboramos la tabla de diferencias divididas:
i xi DDO DD1 DD2 DD3 DD4 DD5 DD6
0 0.1 0.99750
-0.07480
1 0.2 0.99002 -0.24433
-0.14810 0.02088
2 0.4 0.96040 -0.23180 0.01478
-0.26400 0.03418 -0.00236
3 0.7 0.88120 -0.20445 0.01218 0.00122
-0.38667 0.04636 -0.00090
4 1.0 0.76520 -0.16736 0.01119
-0.47035 0.05643
5 1.2 0.67113 -0.13350
-0.51040
6 1.3 0.62009
b) la fórmula de interpolación ajustada a los datos sería:
P6 ( x)  0.99750  0.07480( x  0.1)  0.24433( x  0.1)( x  0.2)  0.02088( x  0.1)( x  0.2)( x  0.4)
 0.01478( x  0.1)( x  0.2)( x  0.4)( x  0.7)  0.00236( x  0.1)( x  0.2)( x  0.4)( x  0.7)( x  1)
 0.00122( x  0.1)( x  0.2)( x  0.4)( x  0.7)( x  1)( x  1.2)
c) P6 (0.3)  0.97762
d) Para estimar la cota del error se debe aplicar la siguiente ecuación:
R6(x)  f x, x6 , x5 , x 4 , x3 , x 2 , x1 , xo  (x – xo)(x – x1)(x – x2) (x – x4)(x – x5)(x – x6).

4. 4
La diferencia dividida de la ecuación se obtiene calculando la diferencia dividida que involucra el
punto x = 0.3, ubicando éste al final de la tabla y recalculando todas las diferencias nuevamente hasta
llegar a la deseada.
R6(0.3)  0.00122 (0.3 – 0.1)(0.3 – 0.2)(0.3 – 0.4) (0.3 – 0.7)(0.3 – 1.0)(0.3 – 1.2) = 6.1488x10-7