PROBABILIDADES

1. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: mitagi@gmail.com – mitagi@hotmail.com
Web: http://www.migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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ÁREA: MATEMÁTICA CURSO: ARITMÉTICA
CLASES PRESENCIALES Y ONLINE DE MATEMÁTICAS
Tema: Probabilidad Semana: 16
Nivel: Preuniversitario Turno: Noche Aula: 201 Fecha: 14/07/2018 Semestres: 2018 - I
PROBABILIDAD
Conceptos Básicos de Probabilidad
Experimento Aleatorio y Determinista
Los experimentos (o fenómenos) aleatorios son aquellos
en los que no se puede predecir el
resultado.
Si se puede predecir el resultado, es
un experimento determinista.
Ejemplos:
 Lanzar una moneda es un experimento aleatorio ya
que no sabemos si obtendremos cara o cruz.
 Calentar agua a altas temperaturas es un
experimento determinista ya que sabemos, con toda
seguridad, que el agua hervirá a partir de determinada
temperatura.
 Lanzar un dado es un experimento aleatorio ya que no
podemos predecir el número que obtendremos.
 Extraer una bola de una urna que sólo contiene bolas
rojas es un experimento determinista ya que podemos
predecir que la bola extraída será roja.
2. Espacio Muestral
El espacio muestral es el conjunto de los resultados
posibles de un experimento aleatorio.
Denotaremos el espacio muestral de un experimento
con E o Ω.
Ejemplo:
 El espacio 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 del lanzamiento de una moneda
es 𝐸 = {𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑟𝑢𝑧} ya que éstas son las dos únicas
posibilidades.
 El espacio 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 del lanzamiento de un dado es
𝐸 = {1,2,3,4,5,6} pero también puede ser 𝐸 =
{𝑝𝑎𝑟, 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}
Nótese que, dependiendo de lo que nos interese, el espacio
muestral será de una forma u otra.
Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado puede
interesarnos la paridad del resultado obtenido (es decir,
si el número que ha salido es par o impar) o puede
simplemente interesarnos el número que ha salido.
3. Sucesos Aleatorios
Concepto de suceso aleatorio y sus tipos: seguro,
imposible, dependiente, independiente, compatible e
incompatible.
Un suceso aleatorio es un elemento del espacio muestral.
Es decir, cada uno de los posibles resultados de un
experimento aleatorio es un suceso aleatorio.
Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda, los sucesos
aleatorios son:
 sale cara
 sale cruz
Decimos que un suceso aleatorio es un suceso
imposible si nunca puede ocurrir.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, los siguientes
sucesos son imposibles:

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 sacar un 8
 sacar un número mayor que 6
En contraposición,
Decimos que un suceso aleatorio es un suceso
seguro si siempre ocurre.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, los siguientes
sucesos son seguros:
 sacar un número mayor que 0
 sacar un número menor que 7
Finalmente, clasificamos los sucesos aleatorios según la
relación que existe entre ellos
en dependientes o independientes y
en compatibles o incompatibles.
Decimos que dos o más sucesos aleatorios son sucesos
independientes cuando la posibilidad de que ocurra uno
de ellos no está condicionada por la probabilidad de que
ocurra el otro (o los otros).
En caso contrario, decimos que los sucesos son sucesos
dependientes.
Ejemplo:
 Sucesos independientes:
Si lanzamos dos dados (dado A y dado B), la probabilidad
del suceso “Sacar un número par” en el dado B no se ve
afectada por lo que salga en el dado A.
 Sucesos dependientes:
Tenemos una urna con 10 bolas numeradas del 1 al 10.
Realizamos una extracción (bola A) y después, sin reponer
la bola extraída, realizamos otra extracción (bola B).
Entonces, el suceso “Sacar un número par” está
condicionado por la extracción de la primera bola (bola A)
ya que será menos probable que ocurra si la primera bola
extraída es un número par.
Decimos que dos sucesos, A y B,
son sucesos contrarios si no pueden
darse al mismo tiempo.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado,
los sucesos
 Suceso A: A = "sacar un número par"
 Suceso B: B = "sacar un número impar"
Son sucesos contrarios ya que si el número que sacamos
es par (suceso A), entonces no puede ser impar (suceso B)
y viceversa.
4. Unión e Intersección de Sucesos
Dados dos sucesos A y B,
llamamos unión de los
sucesos A y B y lo denotamos por 𝐴 ∪
𝐵𝐴 ∪ 𝐵 al suceso “Se da A o se da B”.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, la unión de los
sucesos
 A ="Sacar un número par"
 y B = "Sacar un número mayor que 4"
es A ∪ B = "Sacar un número par o mayor que 4”.
Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de los
sucesos A y B y lo denotamos por 𝐴 ∩ 𝐵𝐴 ∩ 𝐵 al suceso
“Se da A y se da B”.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, la intersección
de los sucesos
 A ="Sacar un número par"
 y B = "Sacar un número mayor que 4"
es A ∩ B = "Sacar un número par y mayor que 4”.
Este suceso es el mismo que "sacar el número 6".
Ejercicios
Escoger la opción correcta en todas las preguntas.
01. Si lanzamos al aire una moneda, entonces
 El espacio muestral es E = {Sacar cara}.
 El espacio muestral es E = {Sacar cara, Sacar
cruz}. Respuesta.

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 El espacio muestral es E = {Sacar cruz}.
Razonamiento: El espacio muestral está formado por los
posibles resultados del experimento.
Cuando lanzamos una moneda, los únicos resultados
posibles son sacar cruz o sacar cara.
02. Lanzamos un dado y nos interesa el número que sale,
 El espacio muestral es E={1,2,3,4,5,6} Respuesta
 El espacio muestral es E = {Sale un número par, Sale
un número impar}.
 El espacio muestral es E ={Sale cara, Sale cruz}.
 Todas las opciones anteriores son falsas.
Razonamiento: En realidad, los espacios muestrales de
las opciones primera y segunda son espacios correctos en
el lanzamiento de un dado.
Sin embargo, puesto que en este experimento nos fijamos
en el número, el espacio muestral del experimento es el de
la primera opción.
03. Extraemos una carta de una baraja española y nos
fijamos sólo en el palo de la carta extraída.
 No se trata de un experimento aleatorio.
 El espacio muestral es
E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
 El espacio muestral es E = {Bastos, Copas, Oros,
Espadas}. Respuesta
 Todas las opciones anteriores son verdaderas.
Razonamiento: Puesto que sólo nos fijamos en el palo,
las únicas posibilidades son Bastos, Copas, Oros y
Espadas.
04. Lanzamos al aire una moneda.
 El suceso "Sacar cara" es más probable que el suceso
"Sacar cruz".
 Los sucesos "Sacar cara" y "Sacar cruz" son
sucesos contrarios. Respuesta
 El espacio muestral es E = {Sacar cruz}.
 Todas las opciones anteriores son falsas.
Razonamiento: Sabemos que el espacio muestral es E =
{"Sacar cara", "Sacar cruz"} ya que son los dos únicos
resultados posibles.
05. Lanzamos un dado.
 "Sacar un número impar" y "Sacar un número mayor
que 3" son sucesos incompatibles.
 "Sacar un número par" y "Sacar un número mayor
que 3" son sucesos incompatibles.
 "Sacar un número impar" y "Sacar un número
mayor que 5" son sucesos incompatibles. Respuesta
 Todas las opciones anteriores son verdaderas.
Razonamiento: Los sucesos incompatibles son los que
no pueden darse al mismo tiempo.
Nótese que los sucesos contrarios tampoco pueden darse
al mismo tiempo. La diferencia es que si dos
sucesos A y B son contrarios y se cumple uno de ellos,
entonces el otro no se cumple; y si uno de ellos no se
cumple, entonces el otro sí se cumple. En cambio, dos
sucesos incompatibles pueden no suceder al mismo
tiempo.
Nótese también los sucesos contrarios son, además,
sucesos incompatibles.
06. Extraemos una carta de una baraja española y
consideramos los sucesos A = "Sacar carta de oros" y B =
"Sacar carta mayor o igual que 6".
Entonces, la unión de los sucesos A y B, es decir,
𝐴 ∪ 𝐵𝐴 ∪ 𝐵
es...
 "Sacar carta de oros y sacar carta mayor o igual que
6".
 "Sacar carta de oros o sacar carta mayor o igual
que 6". Respuesta
 "No sacar carta de oros y sacar carta mayor o igual
que 6".
 "No sacar carta de oros ni sacar carta mayor o igual
que 6".
Razonamiento: La unión de dos sucesos A y B es el
suceso "A o B", es decir, que se cumpla A o que se
cumpla B (o ambos simultáneamente).
07. Se lanzan dos dados: dado A y dado B.
 Los sucesos "Sacar más de 4" en el dado A y "Sacar
un número impar" en el dado B son dependientes.
 Los sucesos "Sacar 4" en el dado A y "Sacar 4" en el
dado B son dependientes.

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 Los sucesos "Sacar 6" en el dado A y "Sacar 6" en
el dado B son independientes. Respuesta
 Todas las opciones anteriores son verdaderas.
Razonamiento: Dos sucesos son dependientes cuando
alguno de ellos influye en el otro.
Al lanzar dos dados, el número que sale en un dado es
independiente del número que sale en el otro.
08. En un bombo con 50 bolas numeradas del 1 al 50, se
extrae una bola.
 Los sucesos "Sacar un número par" y "Sacar un
número mayor que 38" son incompatibles.
 El espacio muestral es E={10,20,,30,40,50}
 Se trata de un experimento determinista.
 Todas las opciones anteriores son falsas.
Respuesta
Razonamiento: La primera opción es falsa porque
podemos sacar un número par y mayor que 38: 40, 42, 44,
46, 48 y 50.
La segunda opción es falsa porque el espacio muestral
está compuesto por todos los números del 1 al 50.
La tercera opción es falsa porque es un experimento
aleatorio (azar).
09. Se ha lanzado 5 veces una moneda y en todas las
ocasiones se ha obtenido cara.
 En el siguiente lanzamiento es más probable que
salga cara.
 En el siguiente lanzamiento es más probable que
salga cruz.
 Es igual de probable que salga cara y que salga
cruz. Respuesta
 Todas las opciones anteriores son falsas.
Razonamiento: Independientemente del número de
lanzamientos, la probabilidad de que salga cara o que
salga cruz es la misma.
Nota: según las leyes de los grandes números, si
lanzamos la moneda infinitas veces, sale cara y cruz el
mismo número de veces.
10. Lanzamos un dado y consideramos los sucesos
A = "Obtener un número par" y B = "Obtener un 5".
Entonces, la unión de los sucesos A y B, es decir,
A∪BA∪B
es...
 "Obtener un número par y obtener un 5".
 A∪B=E={1,2,3,4,5,6}
 Un suceso imposible.
 "Obtener un número par u obtener un 5".
Respuesta
Razonamiento: Recordamos que la unión de dos sucesos
es que ocurra uno, el otro o ambos.
11. En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10.
Realizamos una extracción.
 Los sucesos "Sacar una bola impar" y "Sacar una bola
mayor que 8" son compatibles.
 El espacio muestral es 𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
 El suceso "Sacar una bola mayor que 12" es
imposible.
 Todas las opciones anteriores son verdaderas.
Respuesta
Razonamiento: La primera opción es verdadera porque
podemos obtener el número 10 que es mayor que 8 y par.
La segunda es verdadera porque los posibles resultados
son 1, 2, 3,... y 10.
La tercera es verdadera ya que las bolas están numeradas
del 1 al 10, por lo que nunca podremos obtener una bola
con el número 12.
12. En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10 y
realizamos una extracción.
Consideramos los sucesos
A = "Sacar una bola con un número par" y
B = "Sacar una bola menor que 2".
 La intersección de los sucesos A y B es igual al
espacio muestral, E. Es decir, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐸
 La intersección de los sucesos A y B es un suceso
imposible. Respuesta
 Los sucesos A y B son el mismo suceso.
 Todas las opciones anteriores son falsas.
Razonamiento: La intersección de los sucesos A y B es
el suceso "se cumple A y se cumple B".

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Por tanto, este suceso es "bola par y menor que 2", que es
una situación imposible (porque 1 es impar).
13. Tenemos una urna con 40 bolas: 10 bolas rojas (R), 10
azules (A), 10 moradas (M) y 10 blancas (B).
Además, para cada color, las bolas están numeradas del 1
al 10: R1, R2, R3,..., R10, A1, A2, A3,...A10, M1, M2,...,
M10, B1, B2, B3,..., B10.
Realizamos una extracción y nos interesa el color y el
número de la bola.
 Si la bola extraída es roja (R), es más probable que
salga un número par.
 El espacio muestral no puede determinarse (es
desconocido).
 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
 E = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, A1,
A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, M1, M2, M3,
M4, M5, M6, M7, M8, M9, M10}. Respuesta.
Razonamiento: El espacio muestral es el conjunto de
todas las posibilidades: 4 colores y, para cada color, 10
números.
14. Sean A y B son dos sucesos del mismo espacio
muestral E.
 Si A y B son incompatibles, entonces al menos uno
de ellos es imposible.
 (b) Si A es imposible pero B no lo es, entonces la
unión A∪B es imposible
 (c) Si A es imposible, entonces la
intersección A∩B es imposible. Respuesta
 Sólo las afirmaciones (b) y (c) son correctas.
Razonamiento: La primera opción es falsa ya que dos
sucesos pueden ser incompatibles porque no pueden
suceder simultáneamente (como los sucesos "ser par" y
ser "impar" en el lanzamiento de una moneda) y no ser
imposibles.
La segunda opción es falsa porque la unión de dos sucesos
es "un suceso o el otro". Por tanto, si A es imposible
pero B no lo es, la unión no es imposible (porque B no lo
es).
La tercera opción es verdadera porque la intersección de
dos sucesos es "un suceso y el otro". Por tanto, si uno de
los sucesos es imposible, su conjunción también lo es.
15. En el espacio muestral E = {A, B}, los
sucesos A y B son sucesos contrarios. Si A es un suceso
posible, entonces...
 (a) Al menos uno de los sucesos es imposible.
 (b) La unión de los sucesos, A∪B, es un suceso
imposible.
 (c) La unión de los sucesos es A∪B=E
 (d) La intersección de los sucesos, A∩B, es un suceso
imposible.
 Sólo las afirmaciones (c) y (d) son correctas.
Respuesta
Razonamiento: La primera opción es falsa porque no
existen razones para pensar que alguno de los sucesos sea
imposible.
La segunda opción es falsa porque al menos A es posible.
La tercera opción es verdadera porque el espacio muestral
está formado únicamente por A y por B.
La cuarta opción es verdadera porque, como los sucesos
son contrarios, no pueden cumplirse ambos sucesos al
mismo tiempo (esta situación es la intersección de los dos
sucesos).
Bibliografía:
DURÁ PEIRÓ J.M., LÓPEZ CUÑAT J.M.:
"Fundamentos de Estadística. Estadística descriptiva y
modelos probabilísticos para la inferencia", Ed. Ariel
Economía, 1988. (Teoría-Problemas)
Referencia:
https://www.matesfacil.com/ESO/probabilidad/concepto
s-experimento-aleatorio-espacio-muestral-suceso-
independiente-incompatible-contrario-ejemplos-test-
moneda-bolas.html
http://flamingtext.es/logotipo/Dise%C3%B1oCorredor