Ecuaciones diferenciales homogéneas Autora MILAGROS TENORIO DURAND

1. CURSO : MATEMÁTICA
TEMA : ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
DOCENTE :
AlumnaS : MILAGROS TENORIO DURÁND.
JAÉN_PERÚ
2017

2. ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
Definimos EL TEMA EN DOS:
 ECUACIÓN DIFERENCIAL: Una ecuación diferencial es una ecuación que
involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o
más variables.
 HOMOGÉNEAS: Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente
de su variable independiente.
Ahora pasaremos a desarrollar los siguientes ejercicios:
OJO: Para poder entender este tema lo primero
que tenemos que tener en cuenta es, hacer un
repaso de los temas anteriores y así poder
desarrollar estos siguientes ejercicios propuestos:
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, tal como
𝑴( 𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙 + 𝑵( 𝒙, 𝒚) 𝒅𝒚 = 𝟎
es homogénea, si 𝑀 y 𝑁 son expresiones homogéneas, del mismo grado, en 𝑥 e 𝑦.
TEN
PRESENTE..
ASÍ MISMO: Una ecuación homogénea de la forma 𝑴( 𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙 + 𝑵( 𝒙, 𝒚) 𝒅𝒚 = 𝟎 se
puede trasformar en otra ecuación en 𝑣 y 𝑥, de variables separables, mediante la sustitución
𝒚 = 𝒗𝒙, 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙

3. EJERCICIOS: “ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS”
1. ( 𝒙𝒚 − 𝒚 𝟐) 𝒅𝒙 − 𝒙 𝟐
𝒅𝒚 = 𝟎
SOLUCIÓN
 Tener en cuenta que: Los coeficientes de la ecuación son homogéneos de grado 2.
 Ahora tenemos, Sustituyendo en la ecuación dada, tenemos:
( 𝑥 ∙ 𝑣𝑥 − 𝑣2
𝑥2) 𝑑𝑥 − 𝑥2( 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥) = 0
Después de dividir por x2
, se obtiene
( 𝑣 − 𝑣2) 𝑑𝑥 − ( 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥) = 0
Es decir:
𝑣𝑑𝑥 − 𝑣2
𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑣 − 𝑣𝑑𝑥 = 0
⇛ −𝑣2
𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑣 = 0
⇛ 𝑣2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣 = 0
𝑑𝑣
𝑣2
+
𝑑𝑥
𝑥
= 0
Aquí las variables x y v están separadas, y la solución es:
−
1
𝑣
+ 𝑙𝑛 𝑥 = 𝐶 ⇒ 𝑙𝑛 𝑥 − 𝐶 =
1
𝑣
Como 𝑦 = 𝑣𝑥 →
1
𝑣
=
𝑥
𝑦
y haciendo −𝐶 = 𝑙𝑛 𝐶, se puede escribir como:
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 =
𝑥
𝑦
⟹ 𝑙𝑛 𝐶𝑥 =
𝑥
𝑦
⟹ 𝑦 =
𝑥
𝑙𝑛 𝐶𝑥
2. Resolver ( 𝒙 + 𝒚) 𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
SOLUCIÓN
Hacemos: 𝑦 = 𝑣𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥
( 𝑥 + 𝑣𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥( 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥) = 0
( 𝑥 + 𝑣𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑣 + 𝑥𝑣𝑑𝑥 = 0
( 𝑥 + 𝑣𝑥 + 𝑥𝑣) 𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑣 = 0
( 𝑥 + 2𝑥𝑣) 𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑣 = 0
𝑥(1 + 2𝑣) 𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑣 = 0
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 +
1
1 + 2𝑣
𝑑𝑣 = 0
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
2𝑣 + 1
𝑑𝑣 =
ln 𝑐
2
ln| 𝑥| +
1
2
ln|2𝑣 + 1| =
ln 𝑐
2
2 ln| 𝑥| + ln|2𝑣 + 1| = ln 𝑐

4. ln 𝑥2(2𝑣 + 1) = ln 𝑐
𝑥2(2𝑣 + 1) = 𝑐 ; 𝑦 = 𝑣𝑥 𝑣 =
𝑦
𝑥
𝑥2
[
2𝑦
𝑥
+ 1] = 𝑐
2𝑦
𝑥
+ 1 =
𝑐
𝑥2
2𝑦
𝑥
=
𝑐
𝑥2
− 1
𝑦 =
𝑐
2𝑥
−
1
2
𝑥
𝑦 =
1
2
(
𝑐
𝑥
− 𝑥)
3. Resolver ( 𝒙 𝟑
− 𝒚 𝟑) 𝒅𝒙 + 𝒚 𝟐
𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
SOLUCIÓN
Hacemos: 𝑦 = 𝑣𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥
[ 𝑥3
− (𝑣𝑥)3] 𝑑𝑥 + ( 𝑣𝑥)2
𝑥. ( 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥) = 0
𝑥3(1 − 𝑣3) 𝑑𝑥 + 𝑣2
𝑥3( 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥) = 0
(1 − 𝑣3
)𝑑𝑥 + 𝑣2
𝑥𝑑𝑣 + 𝑣3
𝑑𝑥) = 0
𝑑𝑥 + 𝑣2
𝑥𝑑𝑣 = 0
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑣2
𝑑𝑣 =
𝑐
3
𝑙𝑛𝑥 +
𝑣3
3
=
𝑐
3
; 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 𝑣𝑥 𝑣 =
𝑦
𝑥
ln 𝑥 +
(
𝑦
𝑥
)
3
=
𝑐
3
3 ln 𝑥 +
𝑦3
𝑥3 = 𝑐
ln 𝑥2
+
𝑦3
𝑥3 = 𝑐
𝑥3
ln 𝑥2
+ 𝑦3
= 𝑐 𝑥3
𝑦3
= 𝑐𝑥3
− 𝑥3
ln 𝑥2
𝑦3
= 𝑥3
(𝑐 − ln 𝑥2
)
𝑦 = 𝑥 √ 𝑐 − 𝑙𝑛𝑥23
3