1. LIMITES
1
Anival Torre
ANIVAL TORRE

2. Contenido
2
 Limites laterales
 Limites con las funciones
trigonométricas
 Linealización
 Tipos de limites
 Asíntotas
ANIVAL TORRE

3. Límites
3
lim
f x  Se lee: límite de la función
x a cuando x tiende a “a”.
Limites laterales
lim lim
f x f x
x a x a
+ : por la derecha - : por la izquierda
Cuando el resultado de lim
ambos lim son iguales se dice f x
x a
:
ANIVAL TORRE

4. Límites
4
Sea f una función que está definida en todo elemento
de un intervalo abierto que contiene a c, excepto tal
vez en c. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende
a c es igual a L si para todo e > 0 existe un d >0 tal
que:
si 0< | x - c | < d , entonces
| f(x) - L | < e .
Se denota por:
f(x) = L.
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5. Ejemplos de limites:
Buscar otra solución,
para este caso de
5
indeterminación
3
lim x 1 1 0
Complementar
x 1 x 0 para formar
una suma o
2
lim 3 3 3 diferencia de
x 1 1 x 1 x 1 1
cubos
2
x 1 x 3
x 1 3
x 1 1
lim x 1 1 Dar la
2 tendencia
x 1 x 3
x 1 3
x 1 1
lim 1 1 1
2
x 1 3
x 1 3
x 1 1 1 1 1 3
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6. Casos de Indeterminación
6
0
a)
0 lim p x
hospital
x a g x
b)
c) .0
0
d) analisis matematico
e)
0 ln f x
f )0 regla del log aritmo e
lim f x 1 g x
g )1 regla del epsilon e
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7. Función Máximo Entero
7
f x x
1) 5 5 7) 5/2 3
5
3 1
2) 8 8 8) 0
1000
3 ) 3, 2 3
lim x 2
4) 2,4 3 9)
x 5 2 2
5) 5,2 6
lim 7
6) 2 1, 4 2 10 ) x lim laterales
x 7 6
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8. Método de Ruffini
8
4 3 2
Para romper la
lim 5x 6x 2x 3x 4 0 indeterminación
x 1 x
2
1 x
2
7x 1 0 usamos el Met.
De ruffini
4 3 2
5x 6x 2x 3x 4
5 6 2 -3 -4
X=-1 5 -1 -1 4
5 10 10 5 0
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9. 9
2
x 1 5x x x 4
2
lim x 1 5x x x 4
2
x 1 x 1 x 1 x 7x 1
2
lim 5x x x 4
2
x 1 x 1 x 7x 1
lim 9 1
x 1 18 2
1º formato:
4 3 2
nx n 1 x 2x 2 n 1 n 0
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10. Límite con las funciones trigonométricas.
10
Propiedades:
lim lim sen x
a) 0
senx sen 0 0 b) 0
x 0 x x
c) lim 0 lim sen n x
senx d) n
x 0 0 x 0 x
sen 2 x lim sen n x n
e ) sen 2 x x f )
x x 0 m x m
6 6
lim sen n x 4 sen n x 6 4
g) 2
x 6
n x
x 0 x x
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11. Linealización
11
lim lim
i) f x f x
x a x a
lim
ii ) f x g x lim f x lim g x
x a
lim lim lim
iii ) f x .g x f x . g x
x a x a x a
lim f x lim f x
iv )
x a g x lim g x
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12. Ejercicios
b)
12
a)
lim 6 sen 2 x x
lim 2 sen 3 x x 2
x 0 x
x 0 x sol :
sol : lim 6 sen 2 x lim x
2
x 0 x x 0 x2
lim 2 sen 3 x x lim lim
6 sen 2 x 1 1
x 0 x x x 0 x
2
x x 0 x
6 sen 2 x 1 1
lim 2 sen 3 x lim lim . lim lim
1 5 x x x
x 0 x x 0 1 1
12 lim lim
x x
1 1
12 lim 12 lim 0 12 . 0 0
x x
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13. Continuidad de Funciones.
13
 La función es continua en el número a si y
solo si cumple:
i) f (x0 )
lim
ii ) f x
x x0
lim
iii ) f x f (x0 )
x x0
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14. 14
 Solo cuando la func. es
x 1 evitable se puede evitar o
2 1 3 x 4 redefinir.
 Pero cuando todos los
x 7 4 x 9 puntos son evitables por
f x ejm. : hay 14 funciones y
x 3 4 9 x 12 13 son evitables y 1 un
salto “no se
13 12 x 15 puede”.
 Si 13 son evitables y una
un extremo: se puede
evitar y salvarla.
 En aplicaciones se trabaja
con continuidad, sino son
inútiles y se descartan
ANIVAL TORRE

15. 15
salto analizar : 3 , 4 , 9 ,12 ,15
a) f 3
evitable
b) f 4 9
lim 9 lim
i) f x
x 4 9 x 4
porque no tomo
ii ) 9 9
c) f 9
lim 10 lim
Porque es i) f x
x 9 10 x 9
discontinua, tenemos d ) f 12
que encontrar el lim lim 13 lim
i) f x
x 12 13 x 12
e) f 5
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16. 16
Solo uno de ellos
x 1 lleva el signo
2 1 3 x 4
x 7 4 x 9
Hay que cerrar los puntos
x 3 4 9 x 12 para hacerlo continua
13 12 x 15
ANIVAL TORRE

17. 17
Gracias
ANIVAL TORRE