Diseño y Análisis de un Filtro Paso Bajo

Universidad Católica
“Nuestra Señora de la Asunción”
Sede Regional Asunción
Facultad de Ciencias y Tecnología
Departamento de Ingeniería
Electrónica e Informática
Carrera de Ingeniería Electrónica
Teoría de Circuítos II
Pedro Ramírez <pedroramirez22@gmail.com>
Hector Ojeda <hector_o25@hotmail.com>
Diseño de un Filtro
TP 13

Índice general
Introducción vii
1. Circuíto 1
1.0.1. Transferencia a partir de los datos . . . . . . . . . . . . . 1
1.0.2. Circuíto propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.3. Función de transferencia del circuíto propuesto (Vo(s)/Vi(s)) 4
2. Respuesta en frecuencia. 7
2.1. Expresiones de impedancia de entrada Zi y salida Zo, pico de
resonancia Mr y ancho de banda BW. . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Impedancia de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Impedancia de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3. Pico de Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4. Ancho de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Gráﬁcas de polos y ceros del sistema en el plano s. . . . . . . . . 14
2.3. Gráﬁco de Bode de la respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . 17
2.3.1. Módulo y fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2. Asintótico y Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3. Puntos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Simulación de la respuesta en frecuencia de la función de trans-
ferencia con programa de simulación matemática. . . . . . . . . . 29
2.5. Simulación de la respuesta en frecuencia del circuíto con progra-
ma de simulación de circuítos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Respuesta en el tiempo 39
3.1. Respuesta en el tiempo de Vo(t) por convolución. Tipo de respues-
ta natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Parámetros de respuesta en el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Tiempo de subida Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2. Tiempo de retardo Td . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3. Tiempo de Máximo Tm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.4. Sobrepaso Máximo SM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iv ÍNDICE GENERAL
4. Respuesta a excitaciones. 57
4.1. Respuesta al escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1. Resultado gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2. Simulación de la respuesta con programa de simulación
matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.3. Simulación de la respuesta con programa de simulación de
circuítos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Respuestas a señales sinusoidales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.1. Resultado gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2. Simulación de la respuesta con programa de simulación
matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3. Simulación de la respuesta con programa de simulación de
circuítos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.4. Simulación considerando resistencia de la bobina y del
generador de señales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5. Implementación del Circuíto. 79
5.1. Diagrama del circuíto armado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1. Justificación de las diferencias con el circuíto propuesto y
analizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2. Justificación de la selección de los componentes. . . . . . . . . . . 80
5.3. Armado experimental del circuíto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Medición del circuíto armado. 83
6.1. Barrido en frecuencia con una señal senoidal. . . . . . . . . . . . 83
6.2. Frecuencia de resonancia del circuíto. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3. Justificación del método propuesto para la medición de los dife-
rentes parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4. Presentación de los valores medidos y gráficos comparativos con
las simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7. Conclusiones 91

Especificaciones del Filtro
Tipo de Filtro: Paso bajo
Rango de Amplitud: 1mV − 5V
Tolerancia de resultados: 1dB − 3dB
Frecuencia central: 10kHz
Diseño para Q: 0.5, 1, 2
Orden del sistema: 2
Limitaciones: Utilizar un componente inductivo de 10, 50 o 100mH

Introducción
El siguiente trabajo esta orientado al análisis de un filtro del tipo paso bajo
de segundo orden, en el se analizarán todos los parámetros que se deben ten-
er en cuenta para contruir un filtro de tales características como los picos de
resonancia, las frecuencias de corte, etc.
Antes que nada debemos definir el concepto de filtro de paso bajo, en pocas
palabras corresponde a un filtro caracterizado por permitir el paso de las fre-
cuencias más bajas y atenuar las frecuencias más altas.
Aquí se verán los análisis para tres valores de factores de calidad diferentes,
como el comportamiento de un filtro se representa matemáticamente mediante
su función o característica de transferencia, expresada directamente en notación
fasorial o utilizando la transformada de Laplace se tendrá una diferente para
cada valor del factor de calidad. De hecho, esto se utilizará para poder ir del
domino de la frecuencia al dominio del tiempo para simplificar los cálculos y
evitar las soluciones de extensas ecuaciones diferenciales, gran parte del trabajo
trata sobre ello, es la convolución.
La aplicación de los filtros en la electrónica es extensa, prácticamente se re-
quiere un tipo de filtro para cualquier circuíto a realizar, en sistemas de comuni-
cación los filtros de utilizan para dejar pasar aquellas frecuencias que contengan
la información deseada y rechazar las restantes.

Capítulo 1
Circuíto
1.0.1. Transferencia a partir de los datos
Se procede a realizar un filtro de paso bajo con una frecuencia central de
10kHz(frecuencia central), un filtro de tales características debe comportarse
de una manera que resultará en una salida de nivel alto para bajas frecuencias
y un nivel cada vez más bajo para frecuencias por encima del valor crítico.
Como ya es sabido, pero vale la pena analizar de nuevo como se comportan los
elementos reactivos ya sea el capacitor o el inductor en función de la frecuencia,
para la construcción del filtro deseado.
En un inductor, se tiene que la reactancia es directamente proporcional a la
frecuencia y a la inductancia, entonces al aumentar la frecuencia, aumenta la
reactancia, en simbolos:
XL = sL
entonces si,
s → ∞ XL → ∞
s → 0 XL → 0
De aquí se saca que a frecuecias altas, el inductor presenta una gran reactan-
cia, el inductor se va comportando como un abierto, y a pequeñas frecuencias,
el inductor se va comportando como un corto.
En un capacitor sin embargo se tiene que la reactancia es inversamente pro-
porcional a la frecuencia, entonces:
XC =
1
sC
entonces si,
s → ∞ XC → 0
s → 0 XC → ∞

2 Circuíto
De aquí se deduce que a frecuecias altas, el capacitor presenta una reac-
tancia practicamente cero, el capacitor se va comportando como un corto, y a
pequeñas frecuencias, el capacitor se va comportando como un abierto, por su
alta reactancia.
Teniendo bien claro esto, y además que lo que necesitamos es un circuíto
que a frecuencias bajas deje pasar todo y a frecuencias altas empiece a cortar,
deducimos que nuestra salida Vo, estaría sobre un capacitor. Además para que
no se presente caídas de tensión dentro de nuestro filtro que afecte a la salida , el
capacitor estará en paralelo con un resistor, asi no habrá una caída de tensión en
el resistor a bajas frecuencias, en otras palabras, a frecuencias bajas la entrada
se ve prácticamente reflejada en la salida, el inductor nos servirá para atenuar
más rápidamente el corte del filtro, estará en serie con la asociación en paralelo
del capacitor y resistor.
1.0.2. Circuíto propuesto
El circuíto propuesto a nuestro criterio es el siguiente, además de lo analizado
y estudiado anteriormente sobre la función que queremos que cumpla nuestro
filtro de paso bajo.
Figura 1.1: Circuíto propuesto para el filtro de paso bajo.
Justificación de la elección
Además de todo lo mencionado con anterioridad, debemos destacar que el
filtro cumple los las condiciones requeridas para una de tales características,
aunque nos enfrentamos a un análisis matemático un poco tedioso para hallar
relaciones entre los componentes como el factor de calidad Q, las frecuencias
de corte, pico de resonancia, anchop de banda, entre otros, comparadas con un
circuíto RLC serie o paralelo, que de acuerdo a lo estudiado resultaron bastante
sencillos.

3
Pero para evitar tanto cálculo, dejamos la demostración en la pagina 828 del
libro [3], en el cual se afirma que el factor de calidad, para este filtro se expresa
sencillamente mediante la expresión:
Q =
R
XL
en donde el valor de XL se evalúa en la frecuencia resonante f0.
De acuerdo a los valores de Q, se determinan las resistencias
R = QXL R = Q 2πf0 L
Para Q = 0,5
R = 0,5 ∗ 2π ∗ 10kHz ∗ 50mH = 1570[Ω]
Para Q = 1
R = 1 ∗ 2π ∗ 10kHz ∗ 50mH = 3141[Ω]
Para Q = 2
R = 2 ∗ 2π ∗ 10kHz ∗ 50mH = 6283[Ω]
Elegimos utilizar un inductor de 50mH, como la frecuencia central operará
a 10kHz, se tiene que el valor del capacitor estará dado por:
f0 =
1
2π
√
LC
C =
1
2πf0
2
·
1
L
C = 5,066 · 10−9
F
Como valor más cercano se utilizará un capacitor de 5nF para lo que resta
del análisis de todo el trabajo.
Cuadro 1.1: Cuadro de los valores a utilizar en el filtro.
Q0 0.5 1 2
Resistencias 1570Ω 3141Ω 6283Ω
Capacitor 5nF
Inductancia 50mH
Frecuencia
central 10kHz

4 Circuíto
1.0.3. Función de transferencia del circuíto propuesto (Vo(s)/Vi(s))
Observando nuestro circuíto propuesto (1.1), procedemos a hallar la función
de transferencia.
Identiﬁcando las dos mallas y hallando la LTK, se tiene las ecuaciones de las
dos mallas:
−Vi + sLI1 + R(I1 − I2) = 0 sLI1 + RI1 − RI2 = Vi
(sL + R)I1 − RI2 = Vi (1.1)
Para la segunda malla:
R(I2 − I1) +
1
sC
I2 = 0
1
sC
+ R I2 − RI1 = 0
I1 =
1
RCs
+ 1 I2 (1.2)
de la ecuación (1.2), se sustituye en (1.1), y se obtiene lo siguiente:
I2 =
Vi RCs
(sL + R)(1 + RCs) − R2Cs
Entonces la tensión de salida Vo, será:
Vo = I2 ·
1
sC
=
Vi RCs
(sL + R)(1 + RCs) − R2Cs
·
1
sC
Vo =
Vi R
(sL + R)(1 + RCs) − R2Cs
Ahora hallamos la función de transferencia:
H(s) =
Vo
Vi
=
R
(sL + R)(1 + RCs) − R2Cs
H(s) = 1
LCs2+ L
R s+1
(1.3)
Se hallan las funciones de transferencia para los diferentes valores de R.
Para R = 1570[Ω]
H(s) =
1
250 · 10−12s2 + 31,8471 · 10−6s + 1
(1.4)
Para R = 3141[Ω]

5
H(s) =
1
250 · 10−12s2 + 15,9184 · 10−6s + 1
(1.5)
Para R = 6283[Ω]
H(s) =
1
250 · 10−12s2 + 7,9579 · 10−6s + 1
(1.6)

Capítulo 2
Respuesta en frecuencia.
2.1. Expresiones de impedancia de entrada Zi y
salida Zo, pico de resonancia Mr y ancho de
banda BW.
2.1.1. Impedancia de Entrada
La impedancia de entrada de acuerdo a nuestro circuíto (1.1) esta dado por:
Zi(s) = sL +
R · 1
sC
R + 1
sC
sL +
R
RCs + 1
Zi(s) =
RLCs2
+ sL + R
RCs + 1
Dejando en función de jω:
Zi(jω) =
−RLCω2
+ jωL + R
jωRC + 1
(−RLCω2
+ jωL + R) · (1 − jωRC)
1 − (jωRC)2
Zi(jω) = R
1+(ωRC)2 + j R2
LC2
ω3
+(L−R2
C)ω
1+(ωRC)2 (2.1)
Para Q = 0,5:
R = 1570Ω L = 50mH C = 5nF
Zi(jω) =
1570
1 + 61,622 · 10−12ω2
+ j
3,081 · 10−12
ω3
+ 37,675 · 10−3
ω
1 + 61,622 · 10−12ω2

8 Respuesta en frecuencia.
Para Q = 1:
R = 3141Ω L = 50mH C = 5nF
Zi(jω) =
3141
1 + 246,647 · 10−12ω2
+ j
12,332 · 10−12
ω3
+ 670,595 · 10−6
ω
1 + 246,647 · 10−12ω2
Para Q = 2:
R = 6283Ω L = 50mH C = 5nF
Zi(jω) =
6283
1 + 986,902 · 10−12ω2
+ j
49,345 · 10−12
ω3
− 147,38 · 10−3
ω
1 + 986,902 · 10−12ω2
2.1.2. Impedancia de Salida
La Admitancia de salida, con la fuente Vi en corto, en nuestro circuíto (1.1)
esta dado por:
Yo(s) = ZC + R + ZL sL + R +
1
sC
Yo(s) =
sC (sL + R) + 1
sC
LCs2
+ RCs + 1
sC
Zo(s) =
1
Yo(s)
=
sC
LCs2 + RCs + 1
Dejando en función de jω:
Zo(jω) =
jωC
−LCω2 + jRCω + 1
jωC
(1 − LCω2) + jRCω
Zo(jω) =
jωC
(1 − LCω2) + jRCω
·
(1 − LCω2
) − jRCω
(1 − LCω2) − jRCω
Zo(jω) = RC2
ω2
(1−LCω2)2+(RCω)2 + j ωC−LC2
ω3
(1−LCω2)2+(RCω)2 (2.2)

2.1 Expresiones de impedancia de entrada Zi y salida Zo, pico de
resonancia Mr y ancho de banda BW. 9
Para Q = 0,5:
R = 1570Ω L = 50mH C = 5nF
Zo(jω) =
39,25 · 10−15
ω2
(1 − 250 · 10−12ω2)2 + 61,6225 · 10−12ω2
+j
5 · 10−9
ω − 1,25 · 10−18
ω3
(1 − 250 · 10−12ω2)2 + 61,6225 · 10−12ω2
Para Q = 1:
R = 3141Ω L = 50mH C = 5nF
Zo(jω) =
78,525 · 10−12
ω2
(1 − 250 · 10−12ω2)2 + 246,647 · 10−12ω2
+j
5 · 10−9
ω − 1,25 · 10−18
ω3
(1 − 250 · 10−12ω2)2 + 246,647 · 10−12ω2
Para Q = 2
R = 6283Ω L = 50mH C = 5nF
Zo(jω) =
157,075 · 10−15
ω2
(1 − 250 · 10−12ω2)2 + 986,902 · 10−12ω2
+j
5 · 10−9
ω − 1,25 · 10−18
ω3
(1 − 250 · 10−12ω2)2 + 986,902 · 10−12ω2
2.1.3. Pico de Resonancia
Manipulamos la función de transferencia (1.3) para hallar el pico de reso-
nancia Mr, así:
H(jω) =
1
−LCω2 + j L
R ω + 1
1
(1 − LCω2) + j L
R ω
H(jω) =
1
(1 − LCω2) + j L
R ω
·
(1 − LCω2
) − j L
R ω
(1 − LCω2) − j L
R ω
H(jω) =
1 − LCω2
(1 − LCω2)2 + (L
R ω)2
− j
Lω
R (1 − LCω2)2 + (L
R ω)2
La representación es la siguiente:
H(jω) = |H(jω)|∠ϕ
H(jω) = 1−LCω2
(1−LCω2)2+( L
R ω)2
2
+ Lω
R[(1−LCω2)2+( L
R ω)2
]
2
∠− Lω
R−RLCω2

Para Q = 0,5
R = 1570Ω L = 50mH C = 5nF f0 = 10kHz
MATHEMATICA nos resolvio, declarando de antemano los valores de r, l y
c para este caso de Q, introduciendo en siguiente código en el programa:
Solve

D

 1 − l ∗ c ∗ w∧2
(1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2 +
l ∗ w
r ∗ (1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2,
w] ==0, w]
Salen los valores de las frecuencias ω, en las cuales se obtienen los puntos
críticos:
ω → 0 ω → 0 − 64139,8ı ω → 0 + 64139,8ı
Como los valores no pueden ser negativos o imaginarios, para este valor de
Q no existe pico de resonancia.
Para Q = 1
R = 3141Ω L = 50mH C = 5nF f0 = 10kHz
Solve

D

 1 − l ∗ c ∗ w∧2
(1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2 +
l ∗ w
r ∗ (1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2,
w] ==0, w]
críticos:
ω → −44416,3 ω → 0 ω → 44416,3
Como los valores no pueden ser negativos o imaginarios, además el cero se
rechaza, para este valor de Q existe pico de resonancia que tiene el valor en Hz
de:
ω = 2πf f =
ω
2π
f = 7,069kHz (2.3)
Evaluando con el programa para obtener el pico de resonancia a esta fre-
cuencia se obtuvo:

Mr = 1,14954 (2.4)
Para Q = 2
R = 6283Ω L = 50mH C = 5nF f0 = 10kHz
Solve

D

 1 − l ∗ c ∗ w∧2
(1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2 +
l ∗ w
r ∗ (1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2,
w] ==0, w]
críticos:
ω → −59104,7 ω → 0 ω → 59104,7
Como los valores no pueden ser negativos o imaginarios, además el cero se
rechaza, para este valor de Q existe pico de resonancia que tiene el valor en Hz
de:
ω = 2πf f =
ω
2π
f = 9,406kHz (2.5)
Evaluando con el programa para obtener el pico de resonancia a esta fre-
cuencia se obtuvo:
Mr = 2,05293 (2.6)
2.1.4. Ancho de Banda
El ancho de banda (de media potencia) de un circuíto se deﬁne como la difer-
encia de dos frecuencias de media potencia, las frecuencias de media potencia
son en las que la magnitud de la admitancia de entrada de un circuíto es mayor
que la magnitud máxima por un factor de
√
2., en otras palabras se tiene que:
ωc = |H(jω)|max
√
2
(2.7)

Para Q = 0,5
R = 1570Ω L = 50mH C = 5nF f0 = 10kHz
Para Q = 1
R = 3141Ω L = 50mH C = 5nF f0 = 10kHz
Utilizando de nuevo MATHEMATICA, se tiene:
Solve

 1 − l ∗ c ∗ w∧2
(1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2 +
l ∗ w
r ∗ (1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2
==
1,14954
√
2
, w
Se obtuvieron los siguientes valores:
ωc → 73840,8 ωc → −73840,8 ωc → 0 + 38818ı ωc → 0 − 38818ı
Q, se tiene el valor en Hz:
ωc = 2πfc fc =
ωc
2π
fc = 11,752kHz (2.8)
Para Q = 2
R = 36283Ω L = 50mH C = 5nF f0 = 10kHz
Utilizando de nuevo MATHEMATICA, se tiene:
Solve

 1 − l ∗ c ∗ w∧2
(1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2 +
l ∗ w
r ∗ (1 − l ∗ c ∗ w∧2)∧2 + l
r ∗ w ∧2
∧2
==
2,05293
√
2
, w
Se obtuvieron los siguientes valores:
ωc → −73768,5 ωc → 73768,5 ωc → 39305,6 ωc → −39305,6

Q, se tiene el valor en Hz:
ωc = 2πfc fc =
ωc
2π
fc1 = 6,255kHz fc2 = 11,740kHz (2.9)
Y el ancho de Banda es:
Bw = ωc2 − ωc1 → fc2 − fc1
Bw = 34,4629krad/s → 5,484kHz (2.10)

2.2. Gráficas de polos y ceros del sistema en el
plano s.
Se van a hallar los las gráficas de los polos y ceros de cada uno de los valores
de Q
Para Q = 0,5, se obtuvo la función de transferencia (1.4), cuya gráfica es
la siguiente.
Figura 2.1: Gráfica de Polos y Ceros Q = 0,5.
Para este valor de Q, se logra observar dos polos, que son reales, según el
MATLAB, los ubicaba en las siguientes frecuencias:
s1 = −56147[Hz]
s2 = −71241[Hz]

2.2 Gráficas de polos y ceros del sistema en el plano s. 15
Para Q = 1, se obtuvo la función de transferencia (1.5), cuya gráfica es la
siguiente.
Figura 2.2: Gráfica de Polos y Ceros Q = 1.
Para este valor de Q, se logra observar dos polos, que son imaginarios, según
el MATLAB, los ubicaba en las siguientes frecuencias:
s1 = −31 · 836 + 54 · 648[Hz]
s2 = −31 · 836 − 54 · 648[Hz]

Para Q = 2, se obtuvo la función de transferencia (1.6), cuya gráfica es la
siguiente.
Figura 2.3: Gráfica de Polos y Ceros Q = 2.
Para este valor de Q, se logra observar dos polos, que son imaginarios, según
el MATLAB, los ubicaba en las siguientes frecuencias:
s1 = −15915 + 61210[Hz]
s2 = −15915 − 61210[Hz]
De las gráficas se podría deducir que al ir aumentando el valor del factor de
calidad la parte imaginaria de la frecuencia va aumentando, mientras la parte
real va disminuyendo, en otras palabras en la frecuencia compleja s = σ +jω, el
valor de σ disminuye y el valor de ω va en aumento, por lo tanto a valores de Q
grandes un circuíto se comportaría de manera extremadamente oscilatoria sin
un atenuador, que es el papel de la parte real de la frecuencia compleja.

2.3 Gráfico de Bode de la respuesta en frecuencia. 17
2.3. Gráfico de Bode de la respuesta en frecuen-
cia.
2.3.1. Módulo y fase
Esta tabla se construyó a través del módulo de la función de transferencia
(1.4), luego se halló su valor en decibeles y se procedió a graficar con Microsoft
Excel:
Cuadro 2.1: Valores Tomados para la gráfica de Bode Q = 0,5.
ω rad/seg 20log|H(jω)| Fase(deg)
1000 -0.002606158 -1.8245
2000 -0.008690235 -3.6434
3000 -0.019130008 -5.3464
4000 -0.040919919 -7.8417
6000 -0.08905101 -11.4901
9000 -0.189671119 -16.8003
11000 -0.277110706 -20.2853
16000 -0.586555146 -29.4162
24000 -1.216606407 -42.1131
36000 -2.430713093 -58.8706
52000 -4.571190267 -79.1439
77000 -7.906840559 -100.8561
100000 -10.93057533 -115.2205
136000 -15.07002838 -130.0156
200000 -20.85743605 -144.7268
294000 -27.07192548 -155.5451
431000 -33.55561411 -163.1997
633000 -40.08729611 -168.5099
929000 -46.74484337 -172.1583
1126000 -50.17276612 -173.5246
1653000 -56.47817482 -175.5863
2426000 -63.0980392 -176.9926
3562000 -70.45757491 -177.9511

Figura 2.4: Gráﬁca de Bode de los puntos tomados Q = 0,5.
Figura 2.5: Gráﬁca de la fase de los puntos tomados Q = 0,5.

Excel:
Cuadro 2.2: Valores Tomados para la gráﬁca de Bode Q = 1.
1000 0.00086855 -0.9122
1500 0.00260538 -1.4035
2300 0.00520997 -2.0763
3400 0.01215174 -3.0735
5000 0.02601866 -4.5551
7400 0.05713852 -6.7687
10000 0.10532666 -9.2726
13200 0.18306664 -12.4168
19600 0.38648074 -18.9969
28900 0.77081373 -30.2055
42800 1.20337624 -51.441
63200 -0.05839129 -90
93500 -5.59350565 -128.559
113700 -9.17340845 -1409.746
168200 -16.437735 -156.2041
248700 -23.5174833 -164.6913
367800 -30.4575749 -169.884
543800 -37.3292218 -173.2313
804200 -44.1521662 -175.4449
1000000 -47.9588002 -176.3421

Figura 2.6: Gráﬁca de Bode de los puntos tomados Q = 1.
Figura 2.7: Gráﬁca de fase de los puntos tomados Q = 1.

Excel:
Cuadro 2.3: Valores Tomados para la gráﬁca de Bode Q = 2.
1000 0.001737 -0.4559
1500 0.00434186 -0.7015
2300 0.00954923 -1.0381
3400 0.02168763 -1.5372
5000 0.04677762 -2.2802
7400 0.10275192 -3.3947
10000 0.19071753 -4.6648
13200 0.33648987 -6.2794
19600 0.74613902 -9.7626
28900 1.68508918 -16.222
36500 2.76668564 -23.5452
46500 4.57878085 -38.7762
55300 6.03318533 -61.7014
63200 5.9683276 -89.9312
75200 2.76984334 -124.6351
95700 -3.50187057 -149.4287
111600 -7.20429574 -157.2128
138300 -11.906746 -163.778
204500 -19.6426456 -170.2374
302400 -26.8397721 -173.7206
447200 -33.8073967 -17.5847
661300 -40.7242435 -177.2197
977900 -47.5350142 -178.1284

Figura 2.8: Gráﬁca de Bode de los puntos tomados Q = 2.
Figura 2.9: Gráﬁca de fase de los puntos tomados Q = 2.

2.3.2. Asintótico y Real
Para Q = 0,5
Figura 2.10: Gráﬁca de Bode Asintótico.
Figura 2.11: Gráﬁca de Bode-Fase Asintótico.

Para Q = 1

Para Q = 2

2.3.3. Puntos Singulares
Para Q = 0,5
Figura 2.16: Puntos singulares de la gráﬁca de Bode

Para Q = 1
Cálculos relacionados:
Pico de Resonancia (2.3).
Frecuencia de Corte (2.8).

Para Q = 2
Cálculos relacionados:
Pico de Resonancia (2.5).
Frecuencia de Corte (2.9).
Ancho de Banda (2.10).

2.4 Simulación de la respuesta en frecuencia de la función de
transferencia con programa de simulación matemática. 29
2.4. Simulación de la respuesta en frecuencia de
la función de transferencia con programa de
simulación matemática.
A partir de las funciones de transferencias halladas anteriormente, se graﬁcan
las siguientes respuestas en frecuencia
Para Q = 0,5, se obtuvo la función de transferencia (1.4)
Figura 2.19: Gráﬁca de Bode(Magnitud), Q = 0,5.

Figura 2.20: Gráfica de Bode(Fase), Q = 0,5.
Al ser el factor de calidad este valor, el filtro se comporta de manera muy
parecida a un circuíto críticamente amortiguado, pues la gráfica de bode de
magnitud, no presenta un pico, o es eso lo que se observa a simple vista, además
posee una sola frecuencia de corte, y un ancho de banda muy amplio.

Para Q = 1, se obtuvo la función de transferencia (1.5)
Figura 2.21: Gráﬁca de Bode(Magnitud), Q = 1.

Figura 2.22: Gráﬁca de Bode(Fase), Q = 1.
Al tener el factor de calidad el valor de la unidad el ﬁltro se va comportando
como un circuíto críticamente amortiguado, se puede observar que posee un pico
de resonancia y solo una frecuencia de corte, que es el 70,7 % del valor máximo.

Para Q = 2, se obtuvo la función de transferencia (1.6)
Figura 2.23: Gráﬁca de Bode(Magnitud), Q = 2.

Figura 2.24: Gráfica de Bode(Fase), Q = 2.
Al tener el factor de calidad el valor de 2, se puede notar que posee dos
valores para la frecuencia de corte, en otras palabras, el filtro se va siendo mas
“selectivo”, pues el pico de resonancia se va acentuando más en comparación con
las gráficas de bode anteriores, al aumentar el valor del factor de calidad, el pico
es mayor, las frecuencias de corte se van acercando cada vez más una a otra y
por ende el ancho de banda Bw es menor.

2.5 Simulación de la respuesta en frecuencia del circuíto con
programa de simulación de circuítos. 35
2.5. Simulación de la respuesta en frecuencia del
circuíto con programa de simulación de cir-
cuítos.
Figura 2.25: Gráﬁca de Bode en Pspice(Magnitud) Q = 0,5.
Figura 2.26: Gráﬁca de Bode en Pspice(Fase) Q = 0,5.

Figura 2.27: Gráﬁca de Bode en Pspice(Magnitud) Q = 1.
Figura 2.28: Gráﬁca de Bode en Pspice (Fase) Q = 1.

2.5 Simulación de la respuesta en frecuencia del circuíto con
programa de simulación de circuítos. 37
Figura 2.29: Gráﬁca de Bode en Pspice (Magnitud) Q = 2.
Figura 2.30: Gráﬁca de Bode en Pspice (Fase) Q = 2.

Capítulo 3
Respuesta en el tiempo
3.1. Respuesta en el tiempo de Vo(t) por convolu-
ción. Tipo de respuesta natural.
De acuerdo a la deﬁnición de convolución tenemos que la respuesta esta dada
por:
vo(t) = vi(t) ∗ h(t) (3.1)
lo cual establece que la salida es igual a la entrada convolucionada con la
respuesta al impulso.
Luego realizando la transformada de Laplace nos queda
L {vo(t)} = L {vi(t) ∗ h(t)} → Vo(s) = H(s) · Vi(s) (3.2)
La condición impuesta es que la señal cuadrada debe tener un periodo igual
a la frecuencia central del ﬁltro, por lo tanto nuestra onda cuadrada tendrá una
amplitud de 5[V ], y será de la forma:
T =
1
10kHz
= 100µs
vi(t) = 5 u(t) − 5 u t −
T
2
vi(t) = 5 u(t) − 5 u (t − 50µs)
Entonces aplicando la transformada de laplace sobre este:
L {vi(t)} = Vi(s) = L {5 u(t) − 5 u (t − 50µs)}

40 Respuesta en el tiempo
Vi(s) =
5
s
−
5
s
e−50µ s
La función general de transferencia está dado por:
H(s) =
1
LCs2 + L
R s + 1
Ahora podemos hallar la respuesta de la forma:
Vo(s) = H(s) · Vi(s) =
1
LCs2 + L
R s + 1
·
5
s
−
5
s
e−50µ s
Vo(s) =
5
s(LCs2 + L
R s + 1)
+
−5e−50µ s
s(LCs2 + L
R s + 1)
Con esto procedemos a hallar la respuesta para los tres casos de Q
Para Q = 0,5
R = 1570Ω L = 50mH C = 5nF
Vo(s) =
5
s · (250 · 10−12s2 + 31,847 · 10−6s + 1)
+
−5e−50µ s
s · (250 · 10−12s2 + 31,847 · 10−6s + 1)
Utilizando el MATLAB para obtener los coeﬁcientes de las fracciones par-
ciales, así:
>> num=[1];den=[250e-12 31.84713376e-6 1 0];
>> [r p y]=residue(num,den)
r =
3.7197
-4.7197
1.0000
p =
1.0e+004 *
-7.1241
-5.6147
0

3.1 Respuesta en el tiempo de Vo(t) por convolución. Tipo de
respuesta natural. 41
Por lo tanto la respuesta está dado por:
Vo(s) =
18,5985
s + 71 · 241
−
23,5985
s + 56 · 147
+
5
s
−
18,5985e−50µ s
s + 71 · 241
+
23,5985e−50µ s
s + 56 · 147
−
5e−50µ s
s
Y como la transformada inversa nos dará la respuesta en el tiempo:
L−1
Vo(s) = vo(t)
vo(t) = 18,5985e−71·241 t
− 23,5985e−56·147 t
+ 5 u(t)+
+ −18,5985e−71·241 (t−50µ)
+ 23,5985e−56·147 (t−50µ)
− 5 u(t − 50µ) [V ]
Al intentar graficar el período de la onda mostró ser de período muy corto
para una gráfica donde se pueda ver la respuesta del circuíto, por lo tanto el
periodo de la onda de entrada se modificó y es de la forma:
T = 1ms
T
2
= 500µs
Utilizando el Matlab para graficar la respuesta, y considerando que este tipo
de respuesta es un tipo de función defnida a trozos, se tiene:
>> t=linspace(0,1e-3,10e4);
>> a=18.5985; b=23.5985; c=71241; d=56147; e= 500e-6;
>> respuesta=[a*exp(-c*t)-b*exp(-d*t)+5].*(t>0)+[-a*exp(-c*(t-e))+b*exp(-d*(t-e))-5].*(t>e);
>> plot(t,respuesta)

Y nos generó la siguiente gráﬁca:
Figura 3.1: Gráﬁca de la respuesta obtenida por Convolución Q = 0,5.
Tipo de respuesta: Caso Sobreamortiguado.
Para Q = 1
R = 3141Ω L = 50mH C = 5nF
Vo(s) =
5
s · (250 · 10−12s2 + 15,9184 · 10−6s + 1)
+
−5e−50µ s
s · (250 · 10−12s2 + 15,9184 · 10−6s + 1)
ciales, así:
>> num=[1];den=[250e-12 15.91849729e-6 1 0];
r =
-0.5000 + 0.2913i
-0.5000 - 0.2913i
1.0000

p =
1.0e+004 *
-3.1837 + 5.4648i
-3.1837 - 5.4648i
0
Vo(s) =
−2,5 + 1,4565
s + 31 · 837 − 54 · 648
+
−2,5 − 1,4565
s + 31 · 837 + 54 · 648
+
5
s
−
−
−2,5 + 1,4565
s + 31 · 837 − 54 · 648
e−50µ s
−
−2,5 − 1,4565
s + 31 · 837 + 54 · 648
e−50µ s
−
5
s
e−50µ s
L−1
Vo(s) = vo(t)
entonces,
vo(t) = (−2,5 + 1,4565)e(−31837+54648) t
+ (−2,5 − 1,4565)e(−31837−54648) t
+ 5 u(t)+
+ −(−2,5 + 1,4565)e(−31837+54648) (t−50µ)
− (−2,5 − 1,4565)e(−31837−54648) (t−50µ)
− 5 u(t − 50µ) [V ]
Tenemos la tensión de salida que es un caso senoidal amortiguado exponen-
cialmente, entonces se puede representar de la forma:
vo(t) = 5,7866e−31837 t
cos(54648 t + 149,774) + 5 u(t)+
−5,7866e−31837 (t−500µ)
cos(54648 (t − 500µ) + 149,774) − 5 u(t − 500µ) [V ]

Utilizando el MATLAB de la forma:
>> a=5.7866; b=-31837; c=54648; d=2.61406; e=500e-6;
>> vo=a*exp(b*t).*cos(c*t+d)+5+[-a*exp(b*(t-e)).*cos(c*(t-e)+d)-5].*(t>e);
>> plot(t,vo)
Figura 3.2: Gráﬁca de la respuesta obtenida por Convolución Q = 1.
Tipo de respuesta: Caso Subamortiguado.

Para Q = 2
R = 6283Ω L = 50mH C = 5nF
Vo(s) =
5
s · (250 · 10−12s2 + 7,9579 · 10−6s + 1)
+
−5e−50µ s
s · (250 · 10−12s2 + 7,9579 · 10−6s + 1)
ciales, así:
>> num=[1];den=[250e-12 7.957981856e-6 1 0];
r =
-0.5000 + 0.1300i
-0.5000 - 0.1300i
1.0000
p =
1.0e+004 *
-1.5916 + 6.1210i
-1.5916 - 6.1210i
0
Vo(s) =
−2,5 + 0,65
s + 15 · 916 − 61 · 210
+
−2,5 − 0,65
s + 15 · 916 + 61 · 210
+
5
s
−
−2,5 + 0,65
s + 15 · 916 − 61 · 210
e−50µ s
−
−2,5 − 0,65
s + 15 · 916 + 61 · 210
e−50µ s
−
5
s
e−50µ s
L−1
Vo(s) = vo(t)
entonces,
vo(t) = (−2,5 + 0,65)e(−15·916+61·210) t
+ (−2,5 − 0,65)e(−15·916−61·210) t
+ 5 u(t)+
+ −(−2,5 + 0,65)e(−15·916+61·210) (t−50µ)
− (−2,5 − 0,65)e(−15·916−61·210) (t−50µ)
− 5 u(t − 50µ) [V ]

Tenemos la tensión de salida que es un caso senoidal amortiguado exponen-
cialmente, entonces se puede representar de la forma:
vo(t) = 5,1662e−15916t
cos(61210t + 165,425) + 5 u(t)+
−5,1662e−15916(t−500µ)
cos(61210(t − 500µ) + 165,425) − 5 u(t − 500µ) [V ]
Utilizando el MATLAB de la forma:
>> a=5.1662; b=-15916; c=61210; d=2.8872; e=500e-6;
>> vo=a*exp(b*t).*cos(c*t+d)+5+[-a*exp(b*(t-e)).*cos(c*(t-e)+d)-5].*(t>e);
>> plot(t,vo)
Figura 3.3: Gráﬁca de la respuesta obtenida por Convolución Q = 2.
Tipo de respuesta: Caso Subamortiguado.

3.2 Parámetros de respuesta en el tiempo. 47
3.2. Parámetros de respuesta en el tiempo.
Los parámetros de respuesta en el tiempo fueron calculados utilizando algo-
ritmos en ficheros con extensión (.m) son ficheros de texto sin formato (ficheros
ASCII) que constituyen el centro de la programación en MATLAB.
3.2.1. Tiempo de subida Tr
%Se pasan los tres valores del factor de calidad Q ’’subida(Q)’’ para
%cada tiempo de subida a querer hallar, Ejemplo:
%>> subida(1)
%--------------------------------
%El valor del tiempo de subida es:
%--------------------------------
%
% ans =
%
% 3.2603e-005
%
function E = subida(Q)
bandera=0;
if (Q == 0.5)
a = 18.5985;
b = 23.5985;
c = -71241;
d = -56147;
end
if (Q == 1)
a = 5.7866;
b = 54648;
c=2.61406;
d=-31837;
end
if (Q == 2)
a = 5.1662;
b = 61210;
c=2.88722;
d=-15916;
end
k = 0;

t = 0;
v_max = 0;
time1=0;
time2=0;
while ((t <= 0.0005)&(k == 0))
t = t + 1e-8;
if(Q == 0.5)
v = a*exp(c*t) - b*exp(d*t) + 5;
end
if((Q == 1)|(Q == 2))
v = a*exp(d*t).*cos((b*t) + c) + 5;
end
if (v_max <= v)
v_max = v;
time = t;
else
k = 1;
end
end
t = 0;
while (t <= 0.0005)
t = t + 1e-9;
if(Q == 0.5)
end
if((Q == 1)|(Q == 2))
v = a*exp(d*t).*cos((b*t) + c) + 5;
end
a1=ceil(v*10000);
a2=ceil(0.1*v_max*10000);
if (a1 == a2)
time1 = t;
end
b1=ceil(v*10000);
b2=ceil(0.9*v_max*10000);

if (b1 == b2)
if (bandera == 0)
time2 = t;
bandera = 1;
end
end
end
tim=time2-time1;
disp(’---------------------------------’)
disp(’El valor del tiempo de subida es:’)
disp(’---------------------------------’)
E=(tim);
end
Donde nos arrojo los siguientes valores del tiempo de subida:
Para Q = 0,5:
Tr = 5,3647e − 005
Para Q = 1:
Tr = 3,2603e − 005
Para Q = 2:
Tr = 3,9069e − 005

3.2.2. Tiempo de retardo Td
%Se pasan los tres valores del factor de calidad Q ’’retardo(Q)’’
%para hallar el tiempo de retardo.
%Ejemplo:
%>> retardo(2)
%---------------------------------
%El valor de tiempo de retardo es:
%---------------------------------
%
% ans =
%
% 2.3255e-005
%
function E = retardo(Q)
bandera=0;
if (Q == 0.5)
a = 18.5985;
b = 23.5985;
c = -71241;
d = -56147;
end
if (Q == 1)
a = 5.7866;
b = 54648;
c = 2.61406;
d = -31837;
end
if (Q == 2)
a = 5.1662;
b = 61210;
c = 2.88722;
d = -15916;
end
k = 0;
t = 0;
v_max = 0;
time1 = 0;
while ((t <= 0.0005)&(k == 0))
t = t + 1e-8;

if(Q == 0.5)
end
if((Q == 1)|(Q == 2))
v = a*exp(d*t).*cos((b*t) + c) + 5;
end
if (v_max < v)
v_max = v;
time = t;
else
k = 1;
end
end
t = 0;
while (t <= 0.0005)
t = t + 1e-9;
if(Q == 0.5)
end
if((Q == 1)|(Q == 2))
v = a*exp(d*t).*cos((b*t) + c) + 5;
end
a1 = ceil(v*1000);
a2 = ceil(0.5*v_max*1000);
if (a1 == a2)
time1 = t;
end
end
disp(’---------------------------------’)
disp(’El valor de tiempo de retardo es:’)
disp(’---------------------------------’)
E = (time1);
end

Donde nos arrojo los siguientes valores de tiempo de retardo:
Para Q = 0,5:
Td = 2,6642e − 005
Para Q = 1:
Td = 2,2853e − 005
Para Q = 2:
Td = 2,3255e − 005

3.2.3. Tiempo de Máximo Tm
%Se pasan los tres valores del factor de calidad Q ’’maximo(Q)’’
%para hallar el tiempo de maximo.
%Ejemplo:
%>> maximo(1)
%--------------------------------
%El valor de tiempo de maximo es:
%--------------------------------
%
%ans =
%
% 5.7488e-005
%
function E = maximo(Q)
if (Q == 0.5)
a = 18.5985;
b = 23.5985;
c = -71241;
d = -56147;
end
if (Q == 1)
a = 5.7866;
b = 54648;
c=2.61406;
d=-31837;
end
if (Q == 2)
a = 5.1662;
b = 61210;
c=2.88722;
d=-15916;
end
k = 0;
t = 0;
v_max = 0;
while ((t <= 0.0005)&(k == 0))
t = t + 1e-9;
if(Q == 0.5)

end
if((Q == 1)|(Q == 2))
v = a*exp(d*t).*cos((b*t) + c) + 5;
end
if (v_max <= v)
v_max = v;
time = t;
else
k = 1;
end
end
if (ceil(v_max*1000) ~= 5000 )
disp(’--------------------------------’)
disp(’El valor de tiempo de maximo es:’)
disp(’--------------------------------’)
else
disp(’Error: no existe tiempo maximo, respuesta no Subamortiguada’)
return
end
E=(time);
end
Donde nos arrojo los siguientes valores de tiempo de máximo:
Para Q = 0,5:
Error: no existe tiempo maximo, respuesta no Subamortiguada
Para Q = 1:
Tm = 5,7488e − 005
Para Q = 2:
Tm = 5,1325e − 005

3.2.4. Sobrepaso Máximo SM
%Se pasan los tres valores del factor de calidad Q ’’sobrepaso(Q)’’
%para hallar el valor de sobrepaso maximo.
%Ejemplo:
%>> sobrepaso(1)
%--------------------------------
%El valor de sobrepaso maximo es:
%--------------------------------
%
%ans =
%
% 5.8019
%
function E = sobrepaso(Q)
if (Q == 0.5)
a = 18.5985;
b = 23.5985;
c = -71241;
d = -56147;
end
if (Q == 1)
a = 5.7866;
b = 54648;
c=2.61406;
d=-31837;
end
if (Q == 2)
a = 5.1662;
b = 61210;
c=2.88722;
d=-15916;
end
k = 0;
t = 0;
v_max = 0;
while ((t <= 0.0005)&(k == 0))
t = t + 1e-9;
if(Q == 0.5)

end
if((Q == 1)|(Q == 2))
v = a*exp(d*t).*cos((b*t) + c) + 5;
end
if (v_max <= v)
v_max = v;
time = t;
else
k = 1;
end
end
if (ceil(v_max*1000) ~= 5000 )
disp(’-----------------------------------’)
disp(’El valor de sobrepaso de maximo es:’)
disp(’-----------------------------------’)
else
disp(’Error: no existe sobrepaso maximo, respuesta no Subamortiguada’)
return
end
E=(v_max);
end
Donde nos arrojo los siguientes valores de Sobrepaso Máximo:
Para Q = 0,5:
Error: no existe sobrepaso maximo, respuesta no Subamortiguada
Para Q = 1:
SM = 5,8019
Para Q = 2:
SM = 7,2090
Cuadro 3.1: Valores de Parámetros de respuesta
Q0 Subida Tr Retardo Td Máximo Tm Sobrepaso Máx. SM
0.5 5,3647e − 005 2,6642e − 005 no existe no existe
1 3,2603e − 005 2,2853e − 005 5,7488e − 005 5.8019
2 3,9069e − 005 2,3255e − 005 5,1325e − 005 7.2090

Capítulo 4
Respuesta a excitaciones.
4.1. Respuesta al escalón.
Las gráﬁcas se hicieron con MATLAB, a través de sus correspondientes fun-
ciones de transferencias mediante el comando step().
4.1.1. Resultado gráﬁco
Para la función de transferencia (1.4), el valor de Q = 0,5.
Figura 4.1: Respuesta al escalón con MATLAB.

58 Respuesta a excitaciones.
Para la función de transferencia (1.5), el valor de Q = 1.

4.1 Respuesta al escalón. 59
Para la función de transferencia (1.6), el valor de Q = 2.

4.1.2. Simulación de la respuesta con programa de simu-
lación matemática.
Se procedió a simular el circuíto a través de su función de transferencia con
el Simulink de MATLAB.
Figura 4.4: Diagrama de Bloques para la simulación en Simulink.
Se pasaron los siguientes parámetros:
Para Pulse Generator
1. Amplitude: 5
2. Period(secs): 1e-3
3. Pulse Width( % of period): 50
4. Phase delay(secs): 0
Para Transfer Fcn
1. Numerator: [1]
2. Denominator: [L*C R/L 1]
3. Absolute tolerance: auto
donde los valores de R, L y C se deﬁnieron antes en el espacio de trabajo
(Workspace) de MATLAB.

Para Q = 0,5 se obtuvo la siguiente simulación.
Figura 4.5: Gráﬁca de la simulación con Simulink.

Para Q = 1, se obtuvo la siguiente simulación.

lación de circuítos.
Las simulaciones se llevaron a cabo con el ORCAD. con los valores de los
componentes hallados anteriormente.
Para Q = 0,5
Figura 4.8: Diagrama de los componentes para la simulación.
Y nos arrojó la simulación siguiente:
Figura 4.9: Resultado de la simulación con el ORCAD.

Para Q = 1

Para Q = 2

4.2 Respuestas a señales sinusoidales. 67
4.2. Respuestas a señales sinusoidales.
4.2.1. Resultado gráﬁco
Las simulaciones también se pueden hacer con SimPowerSystem de MAT-
LAB, por ejemplo:
Figura 4.14: Diagrama de bloques utilizando SimPowerSystem de MATLAB.
donde la simulación es:
Figura 4.15: Simulación utilizando SimPowerSystem de MATLAB.

lación matemática.
Las siguientes simulaciones se llevarán a cabo de nuevo con el Simulink,
donde se deﬁnen de nuevo los parámetros de los elementos:
Figura 4.16: Diagrama de bloques para la simulación con Simulink.
Donde se pasaron los parámetros:
Para Signal Generator
1. Wave form: sine
2. Time(t): Use simulation time
3. Amplitude: 5
4. Frecuency : 10e3
5. Units: Hertz
Para Transfer Fcn
1. Numerator: [1]
2. Denominator: [L*C R/L 1]
3. Absolute tolerance: auto
donde los valores de R, L y C se deﬁnieron antes en el espacio de trabajo
(Workspace) de MATLAB.

Para Q = 0.5, se obtuvo la siguiente simulación.
Figura 4.17: Gráfca de la simulación con Simulink.

lación de circuítos.
Las siguientes simulaciones se llevarán a cabo de nuevo con el ORCAD,
donde se deﬁnen de nuevo los parámetros de los elementos:
Para Q = 0,5
donde se obtuvo la siguiente simulación:
Figura 4.21: Resultado de la simulación.

Para Q = 1

Para Q = 2

4.2.4. Simulación considerando resistencia de la bobina y
del generador de señales.
El procedimiento utilizado para hallar la resistencia interna del generador fue
en cumplimiento del teorema de máxima transferencia de potencia en donde la
resistencia de Thevenin(resistencia interna del generador) tiene que ser de igual
valor que la resistencia de carga( en este caso un potenciómetro). Primeramente
se analiza el voltaje a utilizar en el osciloscopio, luego el voltaje es aplicado al
potenciómetro que es regulado hasta que la mitad del potencial del generador
caiga en el mismo, luego se saca del circuito y se mide su resistividad. Para el
caso de la resistencia parásita del inductor solo se utilizó el óhmetro en su menor
escala.
Resistencia del generador de señales: 50Ω
Resistencia parásita de la bobina: 40Ω
Para Q = 0,5
Figura 4.26: Diagrama de los elementos a simular.
Donde se obtuvo la siguiente simulación:

Para Q = 1

Para Q = 2
De las siguiente simulaciones se puede observar que el pico de tensión en ha
bajado pues hay cierta caída de tensión en las resistencias consideradas como la
del generador y la parásita del inductor.

Capítulo 5
Implementación del Circuíto.
5.1. Diagrama del circuíto armado.
La siguiente gráﬁca es el diagrama del circuíto a montar en el laboratorio.
Figura 5.1: Diagrama del circuíto.
En donde el generador de funciones se ha seleccionado con una amplitud de
5[V ] para todos los casos de la práctica.

80 Implementación del Circuíto.
5.1.1. Justificación de las diferencias con el circuíto pro-
puesto y analizado.
La diferencia principal entre el propuesto y el analizado es que en este último
no se considero la resistencia del generador de funciones y la resistencia parásita
del inductor para los todos los cálculos hechos en el trabajo anteriormente.
5.2. Justificación de la selección de los compo-
nentes.
Los componentes se seleccionaron de acuerdo a las especificaciones del tra-
bajo y también los componentes más cercanos a los utilizados en el análisis, se
debieron tomar resistencias en serie para aproximar lo más posible a los valores
que deseamos, mediante ello se construye el siguiente cuadro donde se detallan
los elementos utilizados en el laboratorio para cada factor de calidad.
Cuadro 5.1: Elementos a utilizar para la práctica.
Q0 0.5 1 2
Resistencias 1,5kΩ 3,3kΩ 6,28kΩ
Capacitor 4,7nF
Inductancia 50mH
Frecuencia
central 10kHz
A modo de comparación se puede ver la diferencia con el valor de los ele-
mentos hallados para el análisis del circuíto en el siguiente cuadro (1.1).

5.3 Armado experimental del circuíto. 81
5.3. Armado experimental del circuíto.
En la ﬁgura se puede notar el circuíto montado en el laboratorio:
Figura 5.2: Circuito montado en el laboratorio.
En donde estan conectados el generador de funciones y el osciloscopio al
circuíto.

82 Implementación del Circuíto.
Figura 5.3: Osciloscopio en funcionamiento.

Capítulo 6
Medición del circuíto armado.
6.1. Barrido en frecuencia con una señal senoidal.
Tomando los puntos en el laboratorio, luego representando el valor a deci-
beles, se construyó la gráfica de bode y la de fase para el valor de Q = 0,5:
Figura 6.1: Bode de los puntos tomados en el laboratorio.
Gráficas comparativas:
Gráfica hecha analíticamente (2.4).
Gráfica hecha con MATLAB (2.19)

84 Medición del circuíto armado.
Figura 6.2: Fase a través de los puntos tomados en el laboratorio.
6.2. Frecuencia de resonancia del circuíto.
Para poder hallar la frecuencia de resonancia de manera práctica realizamos
un barrido de frecuencias, al realizar este barrido visualizamos en el osciloscopio
el comportamiento de la salida del circuito, observamos que para ciertas frecuen-
cias el voltaje de la salida iba aumentando, pero en cierta frecuencia descendia
nuevamente el voltaje, entonces llegamos a la conclusión de que la frecuencia
de resonancia es aquella frecuencia que nos entrega un voltaje máximo, y asi
pudimos obtener la frecuencia de resonancia. Para obtener un mejor resultado
optamos por una resistencia de 15kΩ , ya que la aproximación de la frecuencia
de resonancia se hace mas exacta cuando la I · R es mayor.
fr = 9,2kHz (6.1)
Hay cierto error pues los elementos que se utilizaron en la práctica varían
con los utilizados en el análisis.

6.3 Justificación del método propuesto para la medición de los
diferentes parámetros. 85
6.3. Justificación del método propuesto para la
medición de los diferentes parámetros.
Se utilizó los dos canales del osciloscopio, uno para la generador de funciones
y otro sobre nuestra salida para poder visualizar las magnitudes a medir de
acuerdo a la figura (5.1).
Se hallaban los valores de la tensión del circuíto para un barrido de frecuen-
cias entre décadas, luego se anotaban lo observado en una tabla con la tensión
de salida y su respectiva frecuencia y se hallaba esa cantidad en decibeles para
luego graficar el bode.
Para hallar la fase, se hizo un barrido en frecuencias y poniendo el oscilosco-
pio en modo X − Y , se hallaban las magnitudes por el método de lissajous.
Para medir la frecuencia de resonancia ya se ha explicado en su respectivo
punto (6.2).
Para medir la resistencia interna de la fuente también se explico en su punto,
utilizando el principio del divisor resistivo (4.2.4).
Para medir la resistencia parásita del inductor, al estar realizado de un bobi-
nado de hilo metálico, posee cierta resistencia (del hilo metálico) parásita (no
deseable, ya que se espera un comportamiento puramente inductivo).Para hallar
el valor see monto un circuito con una resistencia en serie con el inductor. Se
aplicó una tensión directa y se midio la corriente. Luego se calculo el valor de
la resistencia parásita sabiendo la tensión de la fuente, la resistencia interna de
la fuente, la resistencia utilizada, y la corriente en el circuito. Luego se midío
directamente con un multímetro digital, los resultados eran casi coincidentes.

6.4. Presentación de los valores medidos y gráﬁ-
cos comparativos con las simulaciones.
Cuadro construído a través de un barrido en frecuencia del circuíto armado
en el laboratorio.
Para Q = 0,5
Cuadro 6.1: Valores tomados en el laboratorio.
Frecuencia(rad/seg) 20log|H(s)|
1000 -0.002606158
5000 -0.060140362
10000 -0.271731891
25000 -1.554835531
30000 -2.239781755
60000 -5.870765247
70000 -7.704164161
100000 -11.11598022
170000 -18.05485381
200000 -21.2296055
300000 -27.98054209
600000 -38.63628277
900000 -45.84859648
1000000 -47.53501419
2000000 -60.91514981

6.4 Presentación de los valores medidos y gráﬁcos comparativos con
las simulaciones. 87
Cuadro 6.2: Valores tomados en el laboratorio.
Frecuencia(rad/seg) Fase(deg)
1000 -2.92
5000 -10.5901
10000 -23.5853
50000 -74.9439
75000 -105.896
100000 -117.225
200000 -153.728
300000 -155.5651
400000 -165.29
600000 -168.32
1000000 -173.2583
2000000 -177.53
Estos cuadros pueden ser comparados con la siguiente tabla hecha analítica-
mente (2.1)
Sus gráﬁcas son las siguientes:
Magnitud (6.1).
Fase (6.2).

Todas las siguientes imágenes se hicieron a una frecuencia de 10kHz.
Para Q = 0,5
Figura 6.3: Magnitud
Figura 6.4: Para lissajous, en modo X − Y

6.4 Presentación de los valores medidos y gráﬁcos comparativos con
las simulaciones. 89
Para Q = 1

Para Q = 2

Capítulo 7
Conclusiones
Con el trabajo práctico hemos logrado comprender el comportamiento de los
circuitos RLC, que en nuestro caso se trató de un circuito filtro pasa bajas para
los casos de Q0 = 0,5, Q0 = 1 y Q0 = 2 (que solo deja pasar las frecuencias
inferiores a un valor determinado, atenuando las demás), basándonos en un
análisis en el dominio de la frecuencia, lo cual constituye en un notable concepto
unificador que permite integrar en un solo paquete todas las técnicas analíticas
que hemos aprendido.
Los métodos que hemos utilizado para encarar el problema fue analizar el
concepto básico de la frecuencia compleja y su relevancia en el análisis de cir-
cuitos, a partir de esto pasamos a la transformada de Laplace, reemplazan-
do de esta forma al método de resolución por métodos de ecuaciones integro-
diferenciales que se encuentran en el dominio del tiempo, efectuamos las opera-
ciones necesarias en cada caso, principalmente para obtener la respuesta en el
tiempo de vo(t) para los tres casos, para lo cual fue necesario optar por la técnica
de convolución, tarea que se hace caracterizando el circuito básico del sistema,
que como sabemos, tal función no es más que la transformada de Laplace de la
respuesta de impulso unitario del circuito. Luego multiplicamos esta transfor-
mada por la función del sistema y finalmente obtuvimos la transformada inversa
de Laplace del producto a fin de encontrar la respuesta de salida en el tiempo.
De esta forma aplicamos estas técnicas e integramos con el análisis de cir-
cuitos de una manera estructurada. El conjunto de habilidades resultantes nos
permitió analizar de manera eficiente el circuito lineal de manera a obtener la
respuesta completa (transitoria más estado permanente).
Así mismo nos ha ayudado el concepto de los favores que resultaron tan
útiles en el análisis de circuito en el estado senoidal permanente en el sentido
de la transformación de resistencias, capacitores e inductores en impedancias.
Por otra parte, los métodos de recolección de información sobre el traba-
jo, ya sea prueba en el laboratorio, simulaciones, etc. Fueron una verificación
experimental a nuestros análisis teóricos, experiencias que fortalecen nuestro
aprendizaje sobre utilización de instrumentación y componentes electrónicos.
Mediante éstas pruebas hechas en el laboratorio, pudimos constatar que el

92 Conclusiones
circuito ideal y real se comportan prácticamente de igual manera, es decir, la
formas de onda son similares; la diferencia está en la corriente y voltajes máx-
imos de salida a las que pueden llegar las señales, siendo de mayor valor en
los circuitos ideales, los diagramas de Bode de magnitud obtenidos tanto para
los circuitos reales e ideales, que si bien estas se pueden deber a las distintas
tolerancias y comportamientos internos de los elementos, resistencias, capaci-
tores e inductores; así como el error en las mediciones de las puntas de pruebas
y los testers. Sin embargo, podemos aﬁrmar que estas variaciones no son tan
circunstanciales con respecto a circuitos ideales.
Con respecto a la respuesta en frecuencia que hemos analizado es a la vez un
concepto de suma importancia pues se constituyó en la base para comprender
el concepto de resonancia, efecto que se da en nuestro circuito y que se describe
como la condición que existe en todo sistema físico cuando una función forzada
senoidal de amplitud ﬁja produce una respuesta de amplitud máxima.
De esta forma señalando todo el procedimiento llevado a cabo para resolver
el problema presentado, todas las herramientas fueron necesarias para el traba-
jo, desde las habilidades para resolver y analizar circuitos, el software para el
análisis PSPice-Orcad, Matlab-Simulink-SimPowerSystem y las pruebas hechas
en el laboratorio, todas ellas útiles para comprender la forma el circuito dado y
aproximar al máximo el comportamiento de nuestro circuíto mediante el uso de
estas herramientas informáticas.

Bibliografía
[1] William H. Hayt Jr., Análisis de Circuítos en Ingeniería, Mc Graw Hill, 6th
edición, 2004.
[2] James G. Holbrook, Transformadas de Laplace para Ingenieros en Electróni-
ca, Limusa, 1th edición, 1972.
[3] Malvino, Principios de Electrónica, Mc Graw Hill, 6th edición, 1999.
[4] Joseph A. Edminister, Circuítos Eléctricos, Schaum, 2th edición, 1992.
[5] Boylestad, Introducción al Análisis de Circuítos, Pearson Prentice-Hall, 10th
edición, 2004.

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