Cálculo de MDC y mcm

1. MCM y MCD

2. Máximo común divisor: MCD
• MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más números, es el mayor de
los divisores comunes.
Se forma tomando los factores comunes a todos los números con
el menor exponente que presenten.
Ejemplo: Hallar el MCD de los números 18 y 24
Factorizamos los números:
18 = 2.32
24 = 23
.3
Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el menor exponente
que presente cada uno ( 1 y 1 respectivamente )
Luego: MCD (18,24) = 2.3 = 6
• El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.

3. MCD• Verificamos la solución:
• Factorizamos los números:
18 = 2.32
24 = 23
.3
Los divisores de 18 son { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
Los divisores de 24 son { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
• Los divisores comunes son { 1, 2, 3, 6 }
• El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.

4. MCD
• Ejemplo práctico:
• Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas
en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible.
Hallamos el mcd de los números 18 y 24
Como ya hemos visto es 6, el mayor de los divisores
comunes.
• Dividimos 18:6 = 3 trozos se obtienen de la cuerda de
18 cm
• Dividimos 24:6 = 4 trozos se obtienen de la cuerda de
24 cm
• En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno.

5. • Otro ejemplo práctico:
• Tres libros tienen 120, 150 y 180 párrafos cada uno. Deseamos
cortarlos y formar fascículos con la misma cantidad de hojas cada
uno, de forma que esa cantidad sea la mayor posible.
Hallamos el mcd de los números 120, 150 y 180
Factorizamos 120 = 23
.3.5
Factorizamos 150 = 2.3.52
Factorizamos 180 = 2.32
.5
Tomamos factores comunes con el menor exponente:
• Mcd = 2.3.5 = 6.5 = 30
• Dividimos 120:30 = 4 fascículos de 30 párrafos cada uno.
• Dividimos 150:30 = 5 fascículos de 30 párrafos cada uno.
• Dividimos 180:30 = 6 fascículos de 30 párrafos cada uno.
• En total tendremos 4+5+6 = 15 fascículos de 30 párrafos cada uno.

6. Mínimo común múltiplo: MCM
• MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más números, es el menor
de los múltiplos comunes.
Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los
números con el mayor exponente que presenten.
• Ejemplo: Hallar el MCM de los números 18 y 24
• Factorizamos los números:
18 = 2.32
24 = 23
.3
• Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el mayor exponente
que presente cada uno ( 3 y 2 respectivamente ) y todos los
factores no comunes ( en este caso no hay )
Luego: MCM (18,24) = 23
.32
= 8.9 = 72
• El 72 es el menor de los múltiplos comunes.

7. MCM
• Verificamos la solución:
• Factorizamos los números:
18 = 2.32
24 = 23
.3
• Los múltiplos de 18 son { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 144, … }
• Los múltiplos de 24 son { 24, 48, 72, 96, 120, 144, … }
• Los múltiplos comunes son { 72, 144, … }
El 72 es el menor de los múltiplos que tienen en común.

8. MCM
• Ejemplo práctico:
• Dos coches de carrera parten a la vez y tardan 18 y 24 minutos en
dar una vuelta a la pista. ¿Cuándo se vuelven a encontrar en la
línea de salida?.
• Hallamos el mcm de los números 18 y 24
Como ya hemos visto es 72 es el menor de los múltiplos comunes.
• Dividimos 72:18 = 4 vueltas completas da el primer vehículo.
• Dividimos 72:24 = 3 vueltas completas da el segundo vehículo.
Vuelven a encontrar al cabo de 72 mn en la línea de salida, tras dar 3 y
4 vueltas a la pista cada uno de ellos.

9. • Otro ejemplo práctico:
• Un alumno tarda 25 s en leer una página, otro 40 s y un tercero
tarda 54 s en leer una página similar. En un supuesto maratón, si
los tres comienzan a leer a las 9,00 horas, ¿ cuándo volverán a
coincidir los tres en volver a comenzar a leer una página?.
• Hallamos el mcm de los números 25, 40 y 54
Factorizamos 25 = 52
Factorizamos 40 = 5.23
Factorizamos 54 = 2.33
• Tomamos factores comunes y no comunes con el mayor
exponente:
Mcm = 23 .
33 .
52
= 8. 27. 25 = 216. 25 = 5400 s
Coincidirán nuevamente a los 5400 s = 90 mn
• Dividimos 5400:25 = 216 párrafos habrá leído el primero.
• Dividimos 5400:40 = 135 párrafos habrá leído el segundo.
• Dividimos 5400:54 = 100 párrafos habrá leído el tercero.

10. • Otro ejemplo práctico:
• Un alumno tarda 25 s en leer una página, otro 40 s y un tercero
tarda 54 s en leer una página similar. En un supuesto maratón, si
los tres comienzan a leer a las 9,00 horas, ¿ cuándo volverán a
coincidir los tres en volver a comenzar a leer una página?.
• Hallamos el mcm de los números 25, 40 y 54
Factorizamos 25 = 52
Factorizamos 40 = 5.23
Factorizamos 54 = 2.33
• Tomamos factores comunes y no comunes con el mayor
exponente:
Mcm = 23 .
33 .
52
= 8. 27. 25 = 216. 25 = 5400 s
Coincidirán nuevamente a los 5400 s = 90 mn
• Dividimos 5400:25 = 216 párrafos habrá leído el primero.
• Dividimos 5400:40 = 135 párrafos habrá leído el segundo.
• Dividimos 5400:54 = 100 párrafos habrá leído el tercero.