Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, incluyendo igualación, sustitución, reducción, determinantes y gráficamente. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y pasos para encontrar las soluciones al sistema.

1. Universidad de San Carlos de Guatemala
Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media
Programa Académico Preparatorio
Curso: Matemática
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES
CON DOS INCÓGNITAS
NO. 9
PAP-MATEMÁTICA Lic. en Enseñanza de Matemática Fredy Sandoval

2. SISTEMA DE ECUACIONES
Es la reunión de dos o más
ecuaciones con dos o más incógnitas
a 1 + b1 = c1
a2 + b2 = c2

3. Solución de un sistema de ecuaciones es
un grupo de valores de las incógnitas
que satisfacen todas las ecuaciones del
sistema.

4. Métodos de Solución:
1. Igualación
2. Sustitución
3. Reducción (suma y resta)

5. 1. POR IGUALACIÓN

6. 7h + 4t = 13 (l)
5h – 2t = 19 (2)
Despejemos cualquiera de las incógnitas; por
ejemplo h, en ambas ecuaciones.
Despejando h en l
7h + 4t = 13 (l)
h = 13 – 4t
7

7. Despejando h en (2)
5h = 19+2t
h = 19+2t
5
Ahora se iguala entre si los dos valores de h que
hemos obtenido.
13-4t = 19+2t
7 5
Nos queda una ecuación con una sola incógnita.
5(13-4t) = 7 (19 + 2t)
65 -20t = 133 + 14t
-20t – 14t = 133 -65
-34t = 68
t = -2

8. Sustituyendo este valor t en cualquiera de las
ecuaciones dadas, por ejemplo en l ( general
mente se substituye en la más sencilla ) se tiene:
7h + 4 (-2 ) = 13
7h – 8 = 13
7h = 21
h=3

9. 2. POR SUSTITUCIÓN.

10. 2m + 5a = -24 (l)
8m - 3a = 19 ( 2)
Despejemos cualquiera de las
incógnitas, por ejemplo m en una de las
ecuaciones despejando en la ecuación l
2m = -24 - 5 a
m = -24 -5 a
2
Este valor de “m” se sustituye en la
ecuación 2

11. Este valor de “m” se sustituye en la
ecuación 2
8 ( -24 -5 a ) -3 a = 19
2
Tenemos una ecuación con una
incógnita, hemos eliminado m.
resolviendo esta ecuación simplificando
8y2
4 (-24 -5 a) -3 a = 19
-96 -20 a -3 a = 19
-23 a = 115
a = -5

12. Sustituyendo a = -5 en cualquiera de las
ecuaciones dadas, por ejemplo en 1 .
2m + 5(-5) = -24
2m - 25 = -24
2m = -24 +25
2m = 1
m =½

13. METODO DE REDUCCION
En este método (también llamado de
eliminación) se hacen iguales los
coeficientes de una de las incógnitas.

14. Resolver el sistema
5t + 6w = 20 (1)
4t – 3w = -23 (2)
Igualaremos los coeficientes de w en
ambas ecuaciones. El mínimo común
múltiplo de los coeficientes de “w” 6 y 3
es 6. Multipliquemos la ecuación 2 por 2
porque 2*3 = 6 y tendremos.
5t + 6w = 20
(4t -3w = -23) x 2
8t – 6w = -46

15. Como los coeficientes de w que
igualamos tienen signos distintos, se
suman estas ecuaciones porque con
ello se elimina la w
5t +6w = 20
8t -6w = -46
13t = -26

16. t = -26
13
t = -2
Sustituyendo t = -2 en cualquiera de las
ecuaciones dadas por ejemplo en 1, se
tiene
5 (-2) + 6W = 20
-10 + 6 w = 20
6w = 20 + 10
w = 30
6
w = 5 =5
w

17. Resolver el sistema
10t + 9w = 8
8t -15w = -1
igualaremos los coeficientes determinando el
mínimo como un múltiplo de 10 y 8 que es
40; se multiplica la primera ecuación por 4
porque 4x 10 = 40 y la segunda por -5
`porque -5x8 = -40y tendremos
(10t +9w = 8) 4
(8t – 15w = -1) -5

18. Entonces se suman las ecuaciones ya
efectuado el producto.
40t + 36w = 32
-40t +75w = 5 +
111w = 37
w = 37
111
w = 1/3 = 0.33
Sustituyendo w = 1/3 en la ecuación 2,
tenemos.
8t – 15 (1/3) = -1
8t – 5 = -1
8t = -1 +5
8t = 4
t=4
8
t = ½ = 0.5

19. MÉTODO POR DETERMINANTES
Si los coeficientes de las variables t y d
del sistema
se arreglan así
se obtiene una matriz.

20. El determinante de una matriz se
denota así:
y se define como sigue:

21. Resolver por determinantes el sistema

23. MÉTODO GRÁFICO

24. Se tabulan las ecuaciones despejando a
y en cada una de ellas.

27. •GRACIAS