1. ANALIZA Y RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
Según el gráfico:
1. Define verbal y simbólicamente Δf .
2. Simbólicamente escribe a qué es igual tgθ,
qué significado geométrico tiene ?
3. Según el gráfico, es verdad o falso que Δx = dx ?
Justifica tu respuesta.
4. Si y=f(x), ¿qué significado tiene ? Explica
Simbólicamente (sin usar límites), ¿a qué es igual dy
en términos de dx y f (x)?
5. Si y = f(x) ¿qué significado tiene ? ,explica.
Simbólicamente (sin usar límites) a qué es igual?
6.¿Es verdad que f ( + Δx ) = f ( ) + dy ó es
verdad que f ( + Δx ) ≈ f ( ) + dy ?.Explica
Nota: ≈ significa es aproximadamante igual
I.S. F. D. “SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS”
MATEMÁTICA VIII
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
dx
dy
0xxdx
dy
0x 0x
0x 0x
3. Def.1: Incremento de la función (Δf):
El incremento de la función o incremento de la variable
dependiente, que lo denotamos por Δf = ∆y, es igual a la
diferencia de la imagen de ( x0 + Δx ) y la imagen de x0.
Así tenemos: Δf = f (x0 + Δx )- f ( x0 ) , donde x0 es la
abscisa del punto de tangencia de la recta T y la función y = f (x).000 ; yxP
000 ; yxP
4. Def 2:Diferencial de la variable independiente (dx):
La diferencial de la variable independiente, que lo denotamos
por dx, es igual al valor del incremento de la variable
independiente. Así tenemos: dx = Δx
000 ; yxP
5. Def 3: La diferencial (general) de la variable dependiente :
Sabemos que la derivada de y respecto de x se denota por dy / dx = f ´(x) ,
de esta igualdad deducimos que la diferencial general de la variable
dependiente, denotada por dy, se define:
dy = f ´(x) dx
0P
6. Def 4: La diferencial de y, en el punto de abscisa x = x0 :
Sabemos que la derivada de y respecto de x, en el punto de
abscisa x = x0 se denota por , de esta
igualdad deducimos que la diferencial de y en x = x0,
denotada por dy se define:
dy = f´(x0) dx, o lo que es lo mismo:
dy = f´(x0) Δx
Def 5: Error al calcular f (x0 + ∆x)
Del gráfico anterior se observa que f(x0 + ∆x) ≈ f(x0)+ dy , teniendo
en cuenta la Def. 4, se obtiene:
f(x0 + Δx) ≈ f(x0)+ f´(x0) Δx
Donde a E= Δy - dy se le llama ERROR DE APROXIMACIÓN
a se le llama ERROR RELATIVO, y
a se le llama ERROR RELATIVO PORCENTUAL
)( 0xf
dy
)´( 0
0
xf
dx
dy
xx
%100.
)( 0xf
dy
7. EJEMPLOS
1. Calcular aplicando diferenciales.
SOLUCIÓN
Se puede afirmar que ,tiene la forma de
03125,0
)16(4
1
)16´(
4
1
)´()(
4 34 3
4
f
x
xfxxfSi
4 00005,16
44 00005,01600005,16
00005,0;16:
00005,016)(;)(
0
44
00
4
xxquededuceseestode
xxxxfxxf
:entoncesx,)f´(x)f(xx)f(x:05. 000DeflaPor
Rpta563100000,2
563001000,02
)05000,0)(25031,0(2
05)000f´(16).(0,f(16))f(16,00005quetieneSe
9. PROBLEMA
Se mide la arista de un cubo y se anota 5 cm,
sabiendo que la medida real es de 4,95cm;
determina:
i. El error al calcular su volumen
ii. El error relativo y
iii. El error porcentual al realizar dicho
cálculo.