Razón de cambio y pendiente

1. Ecuaciones lineales y sus
gráficas
Material para examen del
3 de febrero de 2015

2. Vocabulario

3. Variable
• Incógnita o desconocida de una ecuación.
• Mayormente representada por una letra.

4. Entero
• Cualquier número positivo, negativo o
cero, sin incluir las fracciones ni
decimales.

5. Ecuación
• Expresión matemática que contiene un
signo de igualdad y una o más variables.

6. Coeficiente
• Número que se multiplica por la variable.

7. Constante
• Término que no tiene variable.

8. Variable dependiente
• Representa el rango de una función
• Por lo regular identificada por la letra y.

9. Variable independiente
• Variable que representa el dominio de una
función.
• Mayormente representada por la x.

10. Tabla de valores
• Arreglo numérico entre el dominio y
rango de una función
x y
1 -3
6 -2
9 -1
1 3

11. Eje de x
• Eje horizontal en el Plano Cartesiano

12. Eje de y
• Eje vertical en el Plano Cartesiano

13. Razón de cambio
Ejemplos y
Ejercicios de práctica

14. Razón de cambio
• Te permite ver la relación entre dos
cantidades que están cambiando.
• Cambio en y sobre el cambio en x.
• También conocido como tasa de cambio.
• Tasa de cambio =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
=
Δ𝑦
Δ𝑥

15. Hallar una tasa de cambio
• Según los datos de la
derecha, ¿es igual la tasa
de cambio para cada par
de días consecutivos?
¿Qué representa la tasa de
cambio?
Costo de alquilar
una computadora
Número
de días
Costo
1 $60
2 $75
3 $90
4 $105
5 $120
Tasa de cambio =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠

16. Hallar una tasa de cambio
Costo de alquilar
una computadora
Número
de días
Costo
1 $60
2 $75
3 $90
4 $105
5 $120
Tasa de cambio =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠
75 − 60
2 − 1
=
15
1
90 − 75
3 − 2
=
15
1
105 − 90
4 − 3
=
15
1
120 − 105
5 − 4
=
15
1
• La tasa de cambio para cada par de días consecutivos es
15
1
. La tasa de cambio es la misma para todos los datos.
• La computadora cuesta $15 por cada día que se alquila,
después del primer día.

17. Hallar una tasa de cambio
• Razonamiento
crítico:
– ¿Crees que hallar la tasa
de cambio solo para un
par de días significa que
la tasa de cambio es
igual para todos los
datos? Explica
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6
Costo(dólares)
Días

18. Hallar la tasa de cambio
usando una gráfica
• Altura del avión:
La gráfica muestra la
altura de un avión
que va aterrizar.
• Halla la tasa de
cambio y explica qué
significa.
(60, 1000)
(180, 0)
0
200
400
600
800
1000
1200
0 50 100 150 200
Altura(pies)
Tiempo (segundos)
Avión aterrizando

19. Hallar la tasa de cambio
usando una gráfica
• Tasa de cambio:
•
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
=
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
•
0−1000
180−60
=
−1000
120
=
−25
3
= −8.33
• La tasa de cambio es −8.33.
• Esto significa que el avión desciende 8.33
pies por segundo.

20. Ejercicios de práctica
• La tasa de cambio es constante en cada
tabla y gráfica. Halla la tasa de cambio.
Explica lo que significa la tasa de cambio
para cada situación.

21. 1. 2.
Tiempo
(horas)
Temperatura
(°F)
1 -2
4 7
7 16
10 25
13 34
Personas
Costo
(dólares)
2 7.90
3 11.85
4 15.80
5 19.75
6 23.70

22. 3. 4.

23. 5. 6.

24. Hallar la pendiente
usando una gráfica

25. Pendiente
• La pendiente de la línea y = mx + b es la
razón a la cual y está cambiando por
unidad de cambio en x.
• Pendiente =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
=
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

26. Halla la pendiente
usando una gráfica
• Pendiente =
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
• =
3−1
4−(−1)
• =
2
5
• La pendiente de la
recta es
2
5
.
(-1, 1)
(4, 3)
Subir 2
unidades
Derecha 5
unidades

27. Halla la pendiente
usando una gráfica
• Pendiente =
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
• =
2−5
4−(−1)
• =
−3
5
= −
3
5
• La pendiente de la
recta es −
3
5
.
(-1, 5)
(4, 2)
Bajar 3
unidades
Derecha 5
unidades

28. Hallar la pendiente
dados dos puntos
• Puedes usar dos puntos en cualquier
lugar de una recta para hallar su
pendiente.
• Usa subíndices para distinguir entre
los puntos.
• En el diagrama, 𝑥1, 𝑦1 son las
coordenadas del punto P y (𝑥2, 𝑦2) son
las coordenadas de Q.
• Para hallar la pendiente de la recta 𝑃𝑄
usamos la siguiente fórmula:
• Pendiente =
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
, donde
𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0.
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑃(𝑥1, 𝑦1)
𝑄(𝑥2, 𝑦2)

29. Pendientes de rectas
O x
y
O
x
O x
y
O x
Una recta con
pendiente
positiva
se inclina hacia
arriba de
izquierda
a derecha.
Una recta con
pendiente
igual a cero
es horizontal.
Una recta con
pendiente
negativa
se inclina hacia
abajo de
izquierda
a derecha.
y
y
Una recta con
pendiente
indefinida
es vertical.

30. Halla la pendiente de cada
recta
1. 2.
(-2, 1)
(3, 4) (-3, 5)
(3, 1)

31. Halla la pendiente de cada
recta
3.

32. Halla la pendiente de cada
recta
4.

33. Halla la pendiente de la recta que
pasa por cada par de puntos
1. (3, 2), (5, 6)
2. (5, 6), (3, 2)
3. (
1
2
, 8), (1, -2)
4. (-4, 4), (2, -5)
5. (-2, 1), (1, -2)
6. (4, 1
2
3
), (-2,
2
3
)
7. (5, 0), (0, 2)
8. (0, 0), (3, 5)
• Pendiente:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1

34. Reto matemático
• Halla la pendiente de todos los lados de la
figura.

35. Reto matemático
• Cada par de puntos está sobre una recta
con la pendiente dada. Halla x e y.
– 1. (2, 4), (x, 8); pendiente = -2
– 2. (4, 3), (x, 7); pendiente = 2
– 3. (x, 3), (2, 8); pendiente = −
5
2
– 4. (-4, y), (2, 4y); pendiente = 6