Guía de Resumen para los estudiantes del curso 4°B del Colegio Tomás Moro

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Vectores y sus componentes
 Módulo: Es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa gráficamente por la
longitud del vector.
 Dirección: Está dada por la orientación e el plano o en el espacio de la recta que lo contiene.
 Sentido: Se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Conceptos Clave
Un vector es un segmento de recta dirigido
caracterizable mediante una magnitud o
módulo, una dirección y un sentido.
Un vector puede representarse usando flechas
sobre las letras correspondientes al punto
inicial y al final, esto es, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ o bien, sobre una
letra minúscula, es decir 𝑢⃗ .
El vector nulo correspondiente a un vector,
pero de módulo 0, y se considera que no tiene
dirección ni sentido.
Un vector 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ que va desde el origen del plano
cartesiano al punto P, se denomina vector
posición de P y se representa por 𝑝 . Las
componentes de 𝑝 coinciden con las
coordenadas del punto 𝑃(𝑝 𝑥, 𝑝 𝑦), dado que
𝑝 = (𝑝 𝑥 − 0, 𝑝 𝑦 − 0) = ⟨𝑝 𝑥, 𝑝 𝑦⟩
Si el origen y extremo de un vector 𝑣 en el plano cartesiano corresponden a los puntos
𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2), respectivamente, entonces la representación cartesiana de ese vector está
determinada por:
𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1⟩
El módulo de un vector, que está asociado a su longitud, se puede calcular mediante la expresión
||𝑣|| = √𝑥2 + 𝑦2, si 𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩
La suma de los vectores 𝑣 y 𝑤⃗⃗ , de coordenadas 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ y 𝑤⃗⃗ = ⟨𝑐, 𝑑⟩ es el vector resultante
⟨𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑⟩
El producto de un escalar λ por un vector 𝑣, de coordenadas ⟨𝑥, 𝑦⟩, es otro vector dado por λ𝑣, y lo
definimos como:
λ𝑣 = λ ∙ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨λ ∙ 𝑥,λ ∙ 𝑦⟩. Decimos que λ es un vector ponderado de 𝑣
COLEGIO TOMÁS MORO
Unidad Técnica Pedagógica
Departamento de Matemática
Profesores: Frank Garrido
Nivel.: Cuarto Medio
Guía Resumen de contenidos de
Vectores en el plano cartesiano e
introducción a Vectores en el
espacio.

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El vector ponderado λ𝑣 tiene las siguientes características:
- Mantiene la dirección de 𝑣
- ||λ𝑣|| = |λ| ∙ ||𝑣||
- Si λ>0, el vector mantiene el sentido de 𝑣
- Si λ<0, el vector cambia de sentido
- Si λ=0, entonces λ𝑣 = 0 (vector nulo)
Vectores en el espacio
Decimos que la recta numérica real tiene solo una dimensión porque cada punto en ella puede
representarse con un solo número real
En este sentido decimos que el plano cartesiano tiene dos dimensiones porque podemos
representar cada punto del plano con dos números reales, es decir, cada punto tiene dos
coordenadas
De igual modo, decimos que el espacio cartesiano tiene tres dimensiones porque podemos
representar cada punto de él con tres números reales, las dos primeras coordenadas, que
corresponden al plano cartesiano (y que podemos asociar al “piso”) y luego agregamos una
coordenada más para indicar su altura, esto es, la distancia del punto a este piso.
Si un vector tiene coordenadas en el espacio ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ entonces su módulo es:
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 y lo denotamos por ||⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩||
El vector de coordenadas ⟨0, 0,0⟩ en el espacio es el llamado vector nulo
La suma de los vectores 𝑣 y 𝑤⃗⃗ , de coordenadas 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ y 𝑤⃗⃗ = ⟨𝑑, 𝑒, 𝑓⟩ es el vector resultante:
⟨𝑎 + 𝑑, 𝑏 + 𝑒, 𝑐 + 𝑓⟩
El producto de un escalar λ por un vector ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ resulta el vector
λ𝑣 = λ ∙ ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨λ ∙ 𝑥,λ ∙ 𝑦,λ ∙ 𝑧⟩.
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