El documento presenta varios ejercicios de cálculo con números complejos. Incluye operaciones como potencias, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números complejos expresados en forma binómica y cartesiana. También incluye la resolución de ecuaciones cuadráticas con números complejos.

1. DP. - AS - 5119 – 2007 Matemáticas ISSN: 1988 - 379X
www.aulamatematica.com 1
002
Calcula los valores de las siguientes potencias imaginarias:
(c) i1987
(d) i324
1B
(2c) Para hacer esta división y obtener el cociente y el resto acudiremos al concepto de número mixto:
Cociente: 496 Resto: 3
Divisor: 4
Por lo tanto →→→→ i1987
= i3
= - i
(2d) Para hacer esta división y obtener el cociente y el resto acudiremos al concepto de número mixto:
a324R4p
qn
Cociente: 81 Resto: 0
Divisor: 4
Por lo tanto →→→→ i324
= i4
= 1 (también se podría pensar i0
= 1)
005
Dados los siguientes números complejos: z = 3 - 5i w = - 1 - 2i
Efectúa algebraicamente las siguientes operaciones y da el resultado en forma
binómica y cartesiana:
(a) z + w (b) z - w (c) z · w (d) z : w (e) w : z
(b) Comprueba los resultados con la calculadora.
1B
(a) z + w
(3 - 5i) + (- 1 - 2i) =
= 2 - 7i (2, -7)
(b) z - w
(3 - 5i) - (- 1 - 2i) =
= 3 - 5i + 1 + 2i =
= 4 - 3i (4, - 3)
(c) z · w
(3 - 5i) · (- 1 - 2i) =
= - 3 - 6i + 5i + 10i2
=
= - 3 - 6i + 5i - 10 =
= - 13 - i →→→→ (- 13, - 1)
(d) z : w
i
i
21
53
−−
−
=
=
i
i
21
53
−−
−
·
i
i
21
21
+−
+−
= 22
2
)2()1(
10563
i
iii
−−
−++−
= 2
41
10563
i
ii
−
+++−
=
41
117
+
+ i
=
=
5
7
+
5
11
i =
= 1.4 + 2.2i →→→→ (
5
7
,
5
11
)
(e) w : z
i
i
53
21
−
−−
=
=
i
i
53
21
−
−−
·
i
i
53
53
+
+
= 22
2
253
10653
i
iii
−
−−−−
=
259
10653
+
+−−− ii
=
34
117 i−
=
34
7
-
34
11
i =
= 0.206 - 0.324i →→→→ (
34
7
, -
34
11
)

2. ©©©© Abel Martín
Números complejos. Operaciones en forma binómica.2
007
Dados los siguientes números complejos: z = 7 - 6i w = - 3 + 2i
Efectúa algebraicamente las siguientes operaciones y da el resultado en forma
binómica y cartesiana:
(a) z2
(b) w2
(c) z3
(d) w3
(e) z-1
(f) w-1
(b) Comprueba los resultados con la calculadora.
1B
(a) z2
(7 - 6i)2
=
49 + 36i2
– 2 · 7 · 6 i = 49 – 36 – 84i =
= 13 – 84i →→→→ (13, - 84)
(b) w2
(- 3 + 2i)2
=
= 9 + 4i2
+ 2·(- 3)·2i =
= 9 – 4 – 6i =
= 5 – 12i →→→→ (5, -12)
(c) z3
(7 - 6i)3
= [7 + (- 6i)]3
73
+ (-6i)3
+ 3 · 72
· (- 6i) + 3·7·(- 6i)2
=
= 343 - 216i3
- 882i + 21·36i2
=
Sustituyendo los valores de las potencias de la unidad imaginaria:
343 – 216 (- i) - 882i - 126 = 343 + 216i - 882i - 756
= - 413 – 666i →→→→ (- 413, - 666)
(d) w3
(- 3 + 2i)3
=
= (- 3)3
+ (2i)3
+ 3·(- 3)2
·2i + 3 · (- 3) (2i)2
=
= - 27 + 8i3
+ 3·9·2i + 3 · (- 3) 4i2
=
Sustituyendo los valores de las potencias de la unidad imaginaria:
= - 27 + 8 (- i) + 54i + 36 =
= 9 + 46i →→→→ (9, 46)
(e) z-1
i67
1
−
·
i
i
67
67
+
+
=
22
367
67
i
i
−
+
=
3649
67
+
+ i
=
85
67 i+
85
7
+
85
6
i
= 0.082 + 0.071i →→→→ (
85
7
,
85
6
)
(f) w-1
i23
1
+−
·
i
i
23
23
−−
−−
=
22
43
23
i
i
−
−−
=
49
23
+
−− i
=
13
23 i−−
13
3−
-
13
2
i
= - 0.231 - 0.154i →→→→ (
13
3−
, -
13
2
)

3. DP. - AS - 5119 – 2007 Matemáticas ISSN: 1988 - 379X
www.aulamatematica.com 3
009
Dado el siguiente número complejo z = 1 - 3i, efectúa z , dando el resultado en
forma binómica.
1B
i31− dando el resultado en forma binómica
i31− =
i31− = a + bi → 1 - 3i = (a + bi)2
→ 1 - 3i = a2
+ b2
i2
+ 2·a·bi
1 - 3i = a2
- b2
+ 2·a·bi




−=
=−
32
122
ab
ba
2ab = - 3 → ab = - 1.5 → a =
b
5.1−
2
5.1





 −
b
- b2
= 1 →
2
25.2
b
- b2
= 1
2.25 - b4
= b2
→ - b4
- b2
+ 2.25 = 0 → b4
+ b2
- 2.25 = 0
Efectuamos un cambio de variable: z = b2
z2
= b4
z2
+ z - 2.25 = 0
z =
12
)25.2(1411 2
⋅
−⋅⋅−±−
=
2
101±−
=
z1 = 1.08113883 ; z2 = - 2.08113883
Deshacemos el cambio de variable: z = b2
³ b = z±
b1 = + 08113883.1 = 1.03977826 → a1 =
b
5.1−
=
03977826.1
5.1−
= - 1.442615275
b2 = - 08113883.1 = - 1.03977826 → a2 =
b
5.1−
=
03977826.1
5.1
−
−
= 1.442615275
b3 = + 08113883.2 = 1.442615274 → a3 =
b
5.1−
=
442615274.1
5.1−
= - 1.03977826
b4 = - 08113883.2 = - 1.442615274 → a4 =
b
5.1−
=
442615274.1
5.1
−
−
= + 1.03977826
a + bi
Solución 1: - 1.442615275 + 1.03977826i
Solución 2: 1.442615275 - 1.03977826i
Solución 3: - 1.03977826 + 1.442615274i
Solución 4: + 1.03977826 - 1.442615274i
016
Simplifica y calcula: 2
5
3
133
2
)1(






−
−+
i
i
ii
1B
(1 + i)3
= 13
+ i3
+ 3··12
·i + 3·1·i2
= 1 – i + 3i – 3 = 2i – 2
i13
→
4
13
= 3
4
1
→ i13
= i1
= i
i5
→
4
5
= 1
4
1
→ i5
= i1
= i
2
5
133
2
)1(






−−
−+
i
i
ii
= 2
2
22






−−
−−
i
i
ii
= 2
2
2
2







 −−
−
i
i
i
=

4. ©©©© Abel Martín
Números complejos. Operaciones en forma binómica.4
= 2
21
2





 −
−
i
i
= 2
1
2





 −
−
i
i
=
2
1
2
i
i −
=
1
1
2
−
−i
=
1
2
−
−i
= 2 - i
017 Simplifica y calcula: )44(
32
−−+
−
i
i
i 1B
)44(
32
−−+
−
i
i
i
=
i
iii 4432 2
−−−
=
i
ii 4432 −+−
=
i
i76 −
=
i
i76 −
·
i
i
= 2
2
76
i
ii −
=
1
76
−
+i
- 7 - 6i
018 Simplifica y calcula: 7
9
1
2
i
i
−
1B
i9
→
4
9
= 2
4
1
→ i9
= i1
= i
i7
→
4
7
= 1
4
3
→ i7
= i3
= - i
7
9
1
2
i
i
−
=
)(1
2
i
i
−−
=
i
i
+1
2
i
i
+1
2
·
i
i
−
−
1
1
= 2
2
1
22
i
ii
−
−
=
)1(1
22
−−
+i
=
2
22 +i
=
2
)1(2 +i
=
i + 1 = 1 + i
019 Simplifica y calcula: )5·(
)32(
2
1
3
128
i
i
i
i +
−
+
−
1B
i128
→
4
128
= 32
4
0
→ i0
= 1
(2 - 3i)3
= (2 + (- 3i))3
= 23
+ (-3i)3
+ 3·22
·(-3i) + 3·2·(-3i)2
=
= 8 – 27i3
- 36i + 54i2
= 8 - 27i - 36i – 54 = - 46 – 9i
)5·(
)32(
2
1
3
128
i
i
i
i +
−
+
−
= )5·(
946
1·2
1
i
i
i +
−−
+
−
= )5·(
946
21
i
i
i
i
+
−−
+−
=
= )5·(
946
21
2
i
ii
i
+
−−
+−
=
946
2105 2
+−
++−−
i
iii
=
i
i
469
295
−
−+−
=
i
i
469
97
−
+−
=
i
i
469
97
−
+−
·
i
i
469
469
+
+
= 2
2
211681
4148132263
i
iii
−
++−−
=
=
211681
41424163
+
−−− i
=
2197
241477 i−−
2197
477−
-
2197
241
i