Este documento introduce las matrices de proyección en gráficos 3D. Explica las proyecciones paralelas, ortogonales y oblicuas, así como las proyecciones en perspectiva isométrica y de perspectiva. También cubre cómo se implementan las proyecciones ortogonales y de perspectiva en OpenGL utilizando las matrices de proyección y modelado.

1. Introducción a los gráficos 3D
Instituto Tecnológico de Oaxaca

2. Matrices de proyección
• Hasta ahora hemos visto las matrices que afectan al modelo
- Por ejemplo: translación, rotación, escalado, ..
- Todas ellas se engloban en la matriz OpenGL denominada “modelview
matrix”
• Veremos que la proyección también se representa por una
matriz.
• A continuación veremos cómo representar varias de las
proyecciones más usuales con la “matriz de proyección”
• Al final, OpenGL combinará las matrices de modelo con la
matriz de proyección.

3. ¿Cuantas proyecciones conoces?

5. Proyección paralela
• Trabaja situando el centro de proyección en el
infinito.
- Todos los puntos tienen la misma dirección de
proyección (DOP) (Son rectas paralelas)
View
Plane
DOP

6. Proyección paralela
• Tipos de proyección paralela
- Ortogonal:
• Paralela a la normal al plano de proyección (planta, perfil,
alzado).
• Axonométrica (planos de proyección no normales a un eje
principal).
- Oblicua: Dirección de proyección no normal al plano de
proyección.

7. Proyecciones ortogonales
• La dirección de proyección es perpendicular al plano
Front
Top Side

8. Ejemplos: utilización en diseño

9. Proyección axonométrica

10. Proyecciones oblicuas
• La dirección de proyección no es perpendicular al
plano de proyección
45
Cavalier
(DOP = 45o)
6
Cabinet
(DOP = 63.4o)

11. Proyección Ortogonal
• Transformación básica
• Las unidades originales del mundo se conservan
- Se suelen utilizar unidades en pixels.

12. Orthographic: Screen Space
Transformation
left =10 m right = 20 m
top=20 m
(max pixx, max pixy)
(Alto en pixels)
bottom=10 m
(0, 0)
(ancho en pixels)

13. La transformada para Ortográfica
• Las esquinas (left, right, top, bottom) se refieren al volumen
de visualización en las coordenadas de modelado
• Ancho y largo (width y height) se miden en pixels

14. Perspectiva isométrica
• Técnicamente es una proyección una axonométrica
cilíndrica ortogonal.
• Constituye una representación visual de un objeto
tridimensional en dos dimensiones, en la que los
tres ejes ortogonales principales, al proyectarse,
forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas
a dichos ejes se miden en una misma escala.
• Muy utilizado en juegos (antiguos y no tan antiguos)
• En el mundo de los juegos se la conoce por
“perspectiva ¾”

15. Perspectiva isométrica
Juego Syndicate (1993)
El castillo del Louvre, dibujo isométrico
de Viollet-Le-Duc,(1814-1879).
(Wikipedia)

16. Perspectiva isométrica

17. Proyección en perspectiva
• Ya se utilizaba en el renacimiento (Donatello, Brunelleschi, y
DaVinci)
• La idea es que los objetos lejanos los veamos más pequeños
• Las líneas paralelas convergen hacia un punto

18. Proyección de perspectiva
• Alternativas según el número de puntos de fuga:
3-Point 2-Point 1-Point
Perspective Perspective Perspective

19. La revolución en los juegos
Wolfenstein 3D
Doom

20. Proyección de perspectiva
• Es una proyección cercana a la realidad. Vemos los
objetos lejanos más pequeños
Un cuadro representa nuestro mundo real en 3D

21. Proyección de perspectiva
• Cuando hacemos gráficos en 3D, pensamos que el
monitor es cómo una ventana 2D a nuestro mundo
en 3D.
¿Cómo de grande
debería ser?

22. Proyección de perspectiva
• Las matemáticas se basan en igualdad de triángulos:
X
(0,0,0)
d
View
plane
x’ = ?
P (x, y, z)
Z

23. Proyección de perspectiva
• Dado un punto[x, y, z, 1]T queremos calcular su proyección
en el plano:
• ¿Qué aspecto tendrá nuestra matriz?

24. La matriz de proyección de
perspectiva
• La solución:
1 0 0 0
Mperspectv
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 d 0

25. La matriz de proyección de perspectiva
• Por ejemplo:
x 1 0 0 0 x
y 0 1 0 0 y
z 0 0 1 0 z
zd 0 0 1d 0 1
• En coordenadas 3D:
x
zd
,
z
y
d
, d

26. Perspectiva vs Paralela
• La proyección en perspectiva
+ El tamaño depende de la distancia. Parece real
- Las distancias y los ángulos no se conservan (en general)
- Las líneas paralelas no se representan como paralelas (en general)
• La proyección paralela
+ Es ideal para realizar medidas
+ Las líneas paralelas siguen siendo paralelas
- Los ángulos no tienen que conservarse
- No parece real

27. OpenGL: Perspectiva
• Veamos cómo poner los parámetros de la
proyección (p.e. field of view)
• Normalmente solemos utilizar una proyección de
perspectiva:
- Vemos los objetos lejanos más pequeños
- Se pierden en un punto central lejano
- Esto define lo que llamamos: view frustum
• Ya sabemos que existen otras proyecciones:
orthográfica, isométrica

28. Cómo funciona en OpenGL
• Ya sabemos que OpenGL tiene muchas matrices de transformaciones
y que funcionan mediante pilas
• Las dos matrices (y pilas) más importantes son: GL_MODELVIEW y
GL_PROJECTION
• Los puntos se multiplican primero por la matriz de modelview y
después por la de proyección.
- GL_MODELVIEW: Representa la transformación del objeto a la cámara
- GL_PROJECTION: Representa la transformación de la cámara a la ventana
- glViewport(0,0,w,h): Es la transformación de la ventana a la pantalla física

29. Cómo lo hacemos con OpenGL
• Tenemos que tener en cuenta tres aspectos o pasos
fundamentales:
- Situar la cámara
• Define la matriz de model-view
- Seleccionamos una lente
• Define la matriz de proyección
- Definimos el volumen a representar
• Define el área que podemos evitar al dibujar (clipping)
29

30. Una pequeña demo

31. Ejemplo con OpenGL
void SetUpViewing()
{
// The viewport isn’t a matrix, it’s just state...
glViewport( 0, 0, window_width, window_height );
// Set up camera->screen transformation first
glMatrixMode( GL_PROJECTION );
glLoadIdentity();
gluPerspective( 60, 1, 1, 1000 ); // fov, aspect, near, far
// Set up the model->camera transformation
glMatrixMode( GL_MODELVIEW );
gluLookAt( 3, 3, 2, // eye point
0, 0, 0, // look at point
0, 0, 1 ); // up vector
glRotatef( theta, 0, 0, 1 ); // rotate the model
glScalef( zoom, zoom, zoom ); // scale the model
}

32. La cámara de OpenGL
• En OpenGL, y por defecto, las matrices son
matrices identidad (tanto la de modelview como
la de proyección)
• La cámara, por defecto, se encuentra en el origen
y mira hacia los z negativos
• OpenGL también define un volumen de
visualización por defecto igual a un cubo con lados
de longitud igual a 2 y centrado en el origen.
32

33. Situar la cámara
• La cámara tiene un ojo (conocido en inglés como el
“view reference point” o VPR).
• La cámara “mira” hacia un punto distante.
• La cámara tiene una orientación (puede estar
“tumbada”)
• Solemos especificar estos parámetros mediante
gluLookAt
• La cámara tiene un volumen de visualización
definido por el “frustum”
• Solemos especificar estos parámetros mediante las
llamadas a frustum o perspective

34. gluLookAt
gluLookAt(eye, at, up)
34

35. Perspectiva en OpenGL
glFrustum(left,right,bottom,top,near,far)
35

36. Perspectiva en OpenGL (Field of View)
• A veces es difícil utilizar frustum.
• perpective(fovy, aspect, near, far) suele
resultar más fácil.
front plane
aspect = w/h

37. Plano Lejano y Cercano
• El volumen de la cámara define dos planos
importantes: planos cercano y lejano (near y far)
• Son importantes ya que definen el rango de z con el
que va a trabajar OpenGL.
• Mal situados pueden originar problemas de
visualización.
• Uno de los problemas más comunes es el que se
produce cuando el z-buffer pierde precisión.

38. Moviendo la cámara
• Cuando queremos ver objetos situados tanto en posiciones
de z positiva y negativa, podemos hacer dos cosas:
- Mover la cámara
• Trasladamos la cámara en la dirección positiva de z.
- Movemos los objetos
• Trasladamos los objetos en la dirección negativa de z.
• Ambas soluciones son equivalentes ya que modifican la
matriz del model-view
- Translate(0.0,0.0,-d);
- d > 0
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39. Moviendo la cámara
frames after translation by -d
d > 0
default frames
39

40. Moviendo la cámara
• Podemos mover la cámara mediante cualquier
combinación de transformaciones
• Por ejemplo:
- Rotamos la cámara
- La movemos lejos del origen
- La matriz Model-view C = TR
40

41. Otras formas de trabajar
• La función LookAt es una forma de poner la cámara,
pero no la única
• Otras formas podrían ser
- Poniendo los parámetros: View reference point, view
plane normal, view up (PHIGS, GKS-3D)
- Definiendo los ángulos de navegación: la dirección
(heading o yaw), elevación (pitch) y ángulo de guiñada
(roll).
- Definiendo los ángulos de dirección,
- Etc͙ 41

42. Demostración: perspectiva

43. Demostración: perspectiva

44. La proyección por defecto es la ortogonal
clipped out
2
z=0
44

45. Cómo definir la vista ortogonal
Ortho(left,right,bottom,top,near,far)
Los planos cercano y lejano se miden desde la cámara
45

46. Demostración: Ortográfica

47. Otra demostración