1. El documento presenta una serie de ejercicios resueltos de cálculo III que incluyen temas como: demostraciones de intersección de rectas y planos, cálculo de distancias entre planos y puntos, determinación de volúmenes limitados por superficies, y cálculo de integrales de línea y superficie. 2. Se proveen las soluciones completas para cada uno de los 82 ejercicios planteados sobre estos temas de cálculo vectorial y geometría analítica. 3. El documento es una guía

1. Ejercicios Resueltos de Cálculo III.
1.- Considere y .
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección.
Solución:
b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas.
Solución:
Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de
intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lo podemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos
, son coplanarios.
Solución:

2. 3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos y
viene dada por la fórmula:
Solución:
La distancia entre ambos planos y vendrá dada por la distancia de a , donde:
4.- Considere el plano dado por y la recta de ecuación
. Determine el valor de tal que el plano y la recta sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del
plano y el punto .
Solución:

3. 6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono y el paraboloide
.
Solución:
7.- Determine el valor de , si y .
Solución:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una
partícula desde el punto al a lo largo de la curva .
Solución:

4. 9.- Calcule la integral de línea , siendo el contorno de la
región rectangular cerrada, con vértices en los puntos y .
Solución:
10.- Demuestre que:
Solución:
11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por y
. Encuentre el área del triangulo .
Solución:

5. 12.- Considere los planos . Encuentre las
ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.
Solución:
13.- Sean y , las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente.
a) Encontrar
Solución:
b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por , y es
perpendicular a .
Solución:
14.- Encontrar sabiendo que: y .
Solución:

6. 15.- Dados los planos Encuentre la ecuación
vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos y
Solución:
16.- Dada la curva y el punto . Hallar la ecuación de la
recta tangente en dicho punto.
Solución:
17.- Dados los vectores . Encuentre el volumen del
paralelepípedo con lados adyacentes .
Solución:

7. 18.- Si los vectores y forman entre si un ángulo de grados y . Calcule de
modo que sea perpendicular a .
Solución:
19.- Calcular la distancia entre los dos planos:
Solución:
Los planos son paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la
distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto
del plano :
Del plano sabemos que:
20.- Calcular la distancia entre el punto y la recta .
Solución:
21.- Hallar la curvatura de en e .
Solución:

8. Derivando implícitamente respecta a :
Derivando implícitamente respecto a x de nuevo:
Cuando e :
Así, reemplazando en la fórmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por , donde se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables: , graficar el dominio del plano
Solución:
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformación dada es la inversa de .

9. b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular usando las variables
Solución:
23.- Encontrar el volumen del sólido limitado por:
Solución:

10. 24.- Sea . Demuestre que es independiente de
la trayectoria que pasa por dos puntos dados.
Solución:
25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano y el
cilindro .
Solución:
26.- El área de una hoja es de . Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado
con márgenes de a ambos lados y arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y
el ancho que maximizan el área del texto.
Solución:

11. 27.- Sea . Calcule .
Solución:
28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas , ,
.
Solución:

12. 29.- Si , donde ; y tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que:
Solución:
30.- Calcule el máximo de la función sobre la curva de intersección
del plano con el cilindro .
Solución:

13. Así,
31.- Cambie el orden de integración y calcule la siguiente integral:
Solución:

14. 32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas la integral:
Solución:

15. 33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la función en el
punto en la dirección que va desde hasta el punto .
Solución:
34.- Si , determine el valor de la expresión:
Solución:
35.- Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones y
en el punto .
Solución:
36.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el
punto .
Solución:

16. 37.- Encuentre los valores extremos de la función si está en la elipse
.
Solución:
38.- Use integrales triples para calcular el volumen del sólido que está dentro del cilindro
y en el elipsoide .
Solución:
39.- Considere la función . Determine el o los máximos y
mínimos si es que existen de la función dada.
Solución:
Puntos críticos:

17. Evaluando:
40.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la
frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y
.
Solución:

18. 41.- La ecuación de estado de un Gas Ideal está dada por , donde y son
constantes. Considere el volumen como una función de la tempratura y la presión .
a) Calcule
Solución:
b) Demuestre que
Solución:
42.- Sea . Calcule la integral usando el
cambio de variable .
Solución:
Así, el cambio de variable transformará la región del plano , encerrada por las rectas
dadas en la región del plano encerrada por .

19. 43.- Hallar el volumen de la región sólida formada por la intersección de la esfera
con el cilindro .
Solución:

20. 44.- Demuestre que:
Solución:
45.- Calcular el área de la superficie dada por:
Solución:

21. 46.- Si y entonces:
Solución:
47.- Hallar la máxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos
.
Solución:

22. 48.- Determine el volumen del sólido limitado por las curvas
.
Solución:
49.- Encuentre el volumen de la región limitada por el plano y el paraboloide
.
Solución:
50.- Calcular el área comprendida entre las curvas
Solución:

23. 51.- Sea , donde y . Determinar
el valor de la integral.
Solución:
52.- Determinar el área de la superficie de la esfera interior a
.
Solución:

24. 53.- Sea . Encuentre el plano tangente, si existe, a la
superficie en el punto .
Solución:
Como y son funciones diferenciables en , entonces es
diferenciable en (sus derivadas parciales existen y son continuas).
Luego es diferenciable en y:
Así, el plano tangente a en está dado por:
54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de en el punto en la
dirección de la normal exterior a la esfera , donde
.
Solución:

25. 55.- Permutar el orden de integración de:
Solución:
56.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son
continuas. Demuestre que:
Solución:
57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y
resuelva:
Solución:

26. 58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva
orientada de manera positiva:
Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva
con .
Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:

27. 59.- Determine el volumen del sólido que está encima del cono y debajo de la esfera
.
Solución:
60.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la
integral.
Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta .
Solución:
Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
Integrando con respecto a se tiene:

28. Se tiene:
61.- Dadas las funciones . Demostrar que las ecuaciones diferenciales
y se pueden escribir en coordenadas polares como:
Solución:
62.- Calcular la derivada direccional de en el en la máxima dirección.
Solución:
63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano con un vértice en el origen. Determinar
el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano
.
Solución:

29. 64.- Sea
a) Demuestre que es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar
Solución:
c) Calcule donde está dada por:
Solución:

30. 65.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las
gráficas de y .
Solución:
66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se
construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada
trozo de modo que la suma de las áreas de las figuras geométricas sea mínima.
Solución:

31. 67.- Sea . Determine el valor de , si existen, de modo que:
Solución:
68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral , donde
es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por
y en el exterior del cuadrado limitado por .
Solución:

32. 69.- Calcular para , y la región sólida acotada por
los planos coordenados y el plano .
Solución:

33. 70.- Calcular para y la porción del
primer octante del plano .
Solución:

34. 71.- Dada una curva en el espacio por las ecuaciones paramétricas
hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de la curva y que es
perpendicular a la tangente a la misma en dicho punto.
Solución:
72.- Una placa circular, cuyo contorno es , se calienta de tal modo que la
temperatura en el punto es . Determine los puntos más calientes
y más fríos de la misma y hállese la temperatura en cada uno de ellos.
Solución:

35. 73.- Determine el volumen del sólido cuya base es la región del plano que limitan la
parábola y la recta , mientras que su tejado es el plano .
Solución:

36. 74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano en cierta región del
plano se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:
Dibuje la región y exprese mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el
orden de integración.
Solución:
75.- Calcular , siendo y la superficie
del cono encima del plano .
Solución:

37. 76.- Calcular la integral , donde pertenece a
.
Solución:

38. 77.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple
convexa.
Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
78.- Calcular , en que y es la frontera de la
región .
Solución:

39. Por teorema de la divergencia:
Pero:
Aplicando coordenadas esféricas:
79.- Sea en que y , demuestre que:
Solución:
Por teorema de Stokes:
Pero:
Análogamente:

40. 80.- Dada la función byax
eyxuz +
= ),( y 0
2
=
∂∂
∂
yx
u
, halle los valores de la constante a y b,
tales que 0
2
=+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
z
y
z
x
z
yx
z
.
Solución:
byaxbyaxbyaxbyax
byaxbyax
byaxbyax
e
y
u
ae
yx
u
e
x
u
beyxabu
yx
z
e
y
u
eyxub
y
z
e
x
u
eyxua
x
z
++++
++
++
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+=
∂∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
22
),(
),(*
),(*
Por lo tanto
]


∂
∂
−+
∂
∂
−++−−=
+
∂
∂
−−
∂
∂
−−
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
∂
∂
−−
∂
∂
−−
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
+
++++++++
y
u
a
x
u
bubaabe
u
y
u
bu
x
u
au
y
u
a
x
u
babue
uee
y
u
buee
x
u
auee
y
u
ae
x
u
babue
z
y
z
x
z
yx
z
byax
byax
byaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyax
)1()1()1(
)(
2
Por lo tanto,
01)1()1()1)(1(1
1
1
=+−−=+−−
=
=
baab
b
a

41. 81.- Determine los valores extremos de la función xzyzxyzyxf ++=),,( sobre la esfera
.3222
=++ zyx
Solución:
Sea )3( 222
−+++++= zyxxzyzxyF λ
(i.) 02 =++=
∂
∂
xzy
x
F
λ
(ii.) 02 =++=
∂
∂
yzx
y
F
λ
(iii.) 02 =++=
∂
∂
zxy
z
F
λ
(iv.) 03222
=−++=
∂
∂
zyx
F
λ
De (i.) –(ii.):
yx
Sixy
yxxy
=
≠−=−−−
=−−+
021;0)21()21(
022
λλλ
λλ
De (i.)-(iii.)
xz
Sixz
zxxz
=
≠−=−−−
=−−+
021,0)21()21(
022
λλλ
λλ
Reemplazando en (iv.): 03222
=−++ xxx
1
1
1
±=
±=
±=
z
y
x
Max: 3)1,1,1( =±±±F
Min: 2)1,1,1( −=±±±F

42. 82.- Halle el valor de la integral ∫∫∫R
dzdydxzyx 22
con R definido por
10,122
≤≤≤+ zyx .
Solución:
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫∫∫
∏
=
∏
= = =
∏
= = =
=
=
=
2
0
22
2
0
1
1
1
0
225
2
2
0
1
1
1
0
222
cos
2
1
*
6
1
cos
)()()()cos(
θ
θ ρ
θ ρ
θθθ
θρθθρ
θρρθρθρ
dsen
dddzzsen
dddzzsendzdyzdxyx
z
zR
De
2
2
cos
θ
θθ
sen
sen =
Tenemos
4
2
cos
2
22 θ
θθ
sen
sen =
De
2
2cos12 α
α
−
=sen
Tenemos:
2
4cos1
22 θ
θ
−
=sen
Por lo tanto, θθ
θθ 22
2
cos
8
4cos1
4
2
sen
sen
=
−
=
[ ]
48
2
96
1
8
4cos1
12
1
2
0
∏
=∏=
−
= ∫
∏
θ
θ
d

43. 83.- Calcule la integral ∫∫S
dSnF

* con )2,,( zyxF =

y S es la superficie externa del sólido
acotado por .0122
=−=+ zyzyx
Solución:
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫=⋅∇=⋅
=++=⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=⋅∇
S
R R
dvdvFdsnF
zyx
zyx
F
4
4211)2,,(),,(


∏=



−∏=
−∏⋅=
=
∫
∫ ∫ ∫
=
∏
= =
−
=
2
4
1
2
1
8
)1()2(4
4
1
0
2
2
0
1
0
1
0
2
ρ
θ ρ
ρ
ρρρ
θρρ
d
dddz
z
84.- Calcule la integral de línea ∫ +
C
xyxy
dyxedxye , donde C es la curva formada por los
siguientes segmentos de rectas:
Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→
Punto Final
Solución:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
),()( xyxyxyxy
ye
y
xyeexe
x ∂
∂
=+=
∂
∂
se tiene que la integral de línea es independiente de la
trayectoria, y por lo tanto:

44. 2
2
1
1
2 1
2
e
edte
dyxedxyedyxedxye
t
xy
C
xy
C
xyxy
+−=−=
+=+
∫
∫∫
−
+
Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ
85.- Qué puede decir de ∫∪
+
*
,
CC
xyxy
dyxedxye donde .11,2)(:* ≤≤−+= tjtitrC

Solución:
La integral de línea es nula, ya que
  0)(
* rConservadoCampoDdeGreenTeorema
xy
CC
xy
dA
y
P
x
dyxedxye =
∂
∂
−
∂
∂
=+ ∫∫∫∪
θ
Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada *CC ∪ y
xyxy
xeyxQyeyxP == ),(,),(
86.- Calcular ∫ ⋅
C
dsnF

donde kxyjxyixzF

32 ++= y C es la frontera de la parte del
plano 33 =++ zyx que está en el primer octante.
Solución:
Por Teorema de Stokes, se tiene que:
dAR
y
g
Q
x
g
PdsnFrotdrF
C S D
∫ ∫∫ ∫∫ 





+
∂
∂
−
∂
∂
−=⋅=⋅

Donde ),(33: yxgyxzS =−−= orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer
octante. D es la proyección de S en el plano xy
 
RQ
P
kyjyxixFrot



2)3(3 +−+=

45. )92339(
2
1
)9
3
69
2
78
(
2
1
)96978(
2
1
)91896060(
2
1
)
2
)9189(
3030()
2
)33(
)33(10(
)
2
10()10(
)10(
32
32
1
0
1
0
222
1
0
2
2
1
0
2
1
0
21
0
33
0
xxxx
xx
dxxxdxxxxx
dx
xx
xxdx
x
xx
y
xydxdyyx
dAyxdrF
x
C D
−−=−−=
−−=−+−−=
+−
−−=
−
−−=
−=−=
−=⋅∴
∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫
−

2
7
)92339(
2
1
=−−=
87.- Determinar el valor de la integral , donde es la región limitada por el
cilindro y los planos , arriba del plano .
Solución:
88.- Evaluar, usando algún tipo de coordenadas, la integral:
Solución:

46. 89.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible
afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?
Solución:
90.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a
lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin
utilizar una función de potencial.
Solución:
91.- Si y , donde α es constante, mostrar que:
Solución:

47. 92.- Dada la elipse con centro en el origen. Encuentre los puntos más
alejados del origen, determinando así su eje mayor.
Solución:

48. 93.- Calcular:
Solución:
94.- Determinar el volumen del sólido limitado superiormente por , lateralmente
por , y debajo por el plano .
Solución:

49. 95.- Calcular la integral para y .
Solución:
Usando el teorema de la divergencia, se tiene:
96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie en el punto
.
Solución:
Sea . Entonces, el vector es normal a
la superficie . En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto
, es .
97.- Dada , hallar el valor de la expresión .
Solución:

50. 98.- Resolver la integral doble .
Solución:
99.- Determinar el valor de la integral , donde es la frontera de
la región encerrada por .
Solución:

51. 100.- Hallar el valor de la integral , donde
y es la superficie de la esfera de centro el origen y radio .
Solución: