El documento resume las contribuciones clave de varios matemáticos a lo largo de la historia que llevaron al desarrollo del cálculo. Explica que figuras como Eudoxo, Arquímedes y Kepler realizaron cálculos y aproximaciones que involucraban conceptos como el infinito y las sumas infinitas, allanando el camino para posteriores avances. Luego, matemáticos del siglo XVII como Cavalieri, Fermat, Roberval, Wallis y Barrow desarrollaron métodos para trabajar con infinitesimal
Este documento describe la historia del Teorema de Pitágoras a lo largo de 4000 años. Resume que las civilizaciones antiguas como Babilonia y Egipto conocían aspectos del teorema antes de Pitágoras, aunque no proporcionaban demostraciones. Pitágoras fue el primero en ofrecer una demostración lógica del teorema, estableciéndolo como un principio fundamental de la geometría. El teorema ha tenido un gran impacto en las matemáticas y ha sido objeto de estudio por parte de matemá
1. El documento describe el desarrollo histórico de la geometría desde las civilizaciones antiguas como Egipto y Grecia hasta la época moderna. Destaca las contribuciones de Euclides y su obra "Los Elementos" como la base de la geometría. 2. Explica que la geometría griega se volvió más abstracta con conceptos como los números irracionales y el desarrollo de métodos deductivos. 3. Señala que la trigonometría y otras ramas de la geometría prosperaron durante la era islámica y
1) La geometría ha evolucionado desde las civilizaciones antiguas como los egipcios, babilonios y chinos, hasta los desarrollos clave de René Descartes, N.I. Lobachevski, Bernhard Riemann y Felix Klein.
2) En el siglo XIX, Lobachevski y Riemann establecieron geometrías no euclidianas donde el quinto postulado de Euclides no se cumple, cambiando fundamentalmente la comprensión de la geometría.
3) Felix Klein demostró en 1871 que la geometría eucl
La revolución científica del siglo XVII trajo grandes avances en las matemáticas y la ciencia, incluyendo la geometría analítica, el cálculo infinitesimal y nuevos métodos matemáticos y científicos. La geometría clásica tenía limitaciones que no permitían integrar conceptos como el continuo y el movimiento, pero la nueva geometría analítica de Descartes y Fermat vinculó álgebra y geometría. Newton y Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal, resolviendo problemas
El documento describe el nacimiento y desarrollo del cálculo. Explica que Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo moderno, pero que se basaron en los trabajos de muchos matemáticos a lo largo de los siglos. También detalla algunos de los primeros problemas científicos y matemáticos que el cálculo ayudó a resolver, como encontrar tangentes y extremos de funciones.
Este documento presenta una línea de tiempo sobre la crisis de los fundamentos matemáticos desde la antigua Grecia hasta el siglo XX. Destaca hitos como las dudas sobre el infinito planteadas por Zenón en el siglo V a.C., el desarrollo del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en los siglos XVII-XVIII, y los esfuerzos de Cauchy, Weierstrass y Dedekind por establecer conceptos como límite y número real con rigor en el siglo XIX. Finalmente, examina las diferentes posiciones sobre
Este documento describe el desarrollo de las matemáticas desde la antigüedad hasta el siglo XVII, cuando ocurrió la revolución científica. La geometría clásica tenía limitaciones que impidieron el desarrollo de métodos infinitesimales. En el siglo XVII, matemáticos como Descartes, Fermat y Newton crearon la geometría analítica y el cálculo infinitesimal, resolviendo problemas en física y astronomía y marcando el inicio de la era moderna de las matemáticas.
1) La geometría ha evolucionado desde las civilizaciones antiguas como los egipcios, babilonios y chinos, hasta los desarrollos clave de René Descartes, N.I. Lobachevski, Bernhard Riemann y Felix Klein.
2) En el siglo XIX, Lobachevski y Riemann establecieron geometrías no euclidianas donde el quinto postulado de Euclides no se cumple, cambiando fundamentalmente la comprensión de la geometría.
3) Felix Klein demostró en 1871 que la geometría eucl
Este documento describe la historia del Teorema de Pitágoras a lo largo de 4000 años. Resume que las civilizaciones antiguas como Babilonia y Egipto conocían aspectos del teorema antes de Pitágoras, aunque no proporcionaban demostraciones. Pitágoras fue el primero en ofrecer una demostración lógica del teorema, estableciéndolo como un principio fundamental de la geometría. El teorema ha tenido un gran impacto en las matemáticas y ha sido objeto de estudio por parte de matemá
1. El documento describe el desarrollo histórico de la geometría desde las civilizaciones antiguas como Egipto y Grecia hasta la época moderna. Destaca las contribuciones de Euclides y su obra "Los Elementos" como la base de la geometría. 2. Explica que la geometría griega se volvió más abstracta con conceptos como los números irracionales y el desarrollo de métodos deductivos. 3. Señala que la trigonometría y otras ramas de la geometría prosperaron durante la era islámica y
1) La geometría ha evolucionado desde las civilizaciones antiguas como los egipcios, babilonios y chinos, hasta los desarrollos clave de René Descartes, N.I. Lobachevski, Bernhard Riemann y Felix Klein.
2) En el siglo XIX, Lobachevski y Riemann establecieron geometrías no euclidianas donde el quinto postulado de Euclides no se cumple, cambiando fundamentalmente la comprensión de la geometría.
3) Felix Klein demostró en 1871 que la geometría eucl
La revolución científica del siglo XVII trajo grandes avances en las matemáticas y la ciencia, incluyendo la geometría analítica, el cálculo infinitesimal y nuevos métodos matemáticos y científicos. La geometría clásica tenía limitaciones que no permitían integrar conceptos como el continuo y el movimiento, pero la nueva geometría analítica de Descartes y Fermat vinculó álgebra y geometría. Newton y Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal, resolviendo problemas
El documento describe el nacimiento y desarrollo del cálculo. Explica que Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo moderno, pero que se basaron en los trabajos de muchos matemáticos a lo largo de los siglos. También detalla algunos de los primeros problemas científicos y matemáticos que el cálculo ayudó a resolver, como encontrar tangentes y extremos de funciones.
Este documento presenta una línea de tiempo sobre la crisis de los fundamentos matemáticos desde la antigua Grecia hasta el siglo XX. Destaca hitos como las dudas sobre el infinito planteadas por Zenón en el siglo V a.C., el desarrollo del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en los siglos XVII-XVIII, y los esfuerzos de Cauchy, Weierstrass y Dedekind por establecer conceptos como límite y número real con rigor en el siglo XIX. Finalmente, examina las diferentes posiciones sobre
Este documento describe el desarrollo de las matemáticas desde la antigüedad hasta el siglo XVII, cuando ocurrió la revolución científica. La geometría clásica tenía limitaciones que impidieron el desarrollo de métodos infinitesimales. En el siglo XVII, matemáticos como Descartes, Fermat y Newton crearon la geometría analítica y el cálculo infinitesimal, resolviendo problemas en física y astronomía y marcando el inicio de la era moderna de las matemáticas.
1) La geometría ha evolucionado desde las civilizaciones antiguas como los egipcios, babilonios y chinos, hasta los desarrollos clave de René Descartes, N.I. Lobachevski, Bernhard Riemann y Felix Klein.
2) En el siglo XIX, Lobachevski y Riemann establecieron geometrías no euclidianas donde el quinto postulado de Euclides no se cumple, cambiando fundamentalmente la comprensión de la geometría.
3) Felix Klein demostró en 1871 que la geometría eucl
El cálculo fue desarrollado en el siglo XVII por Newton y Leibniz, pero se basó en contribuciones previas de figuras como Fermat, Cavalieri, Kepler y Arquímedes. Newton introdujo los conceptos de límite e interpretó el cálculo en términos de infinitesimales, fluxiones y límites. Leibniz introdujo la notación diferencial y integral y desarrolló un método generalizado para tratar sumas y diferencias.
El documento resume brevemente la historia de las matemáticas desde sus orígenes hasta la época griega. Las primeras matemáticas avanzadas surgieron en Babilonia y Egipto hacia el 3000 a.C., centrándose en la aritmética y cálculos geométricos básicos. Los griegos, influenciados por los babilonios y egipcios, crearon las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones rigurosas, con figuras como Pitágoras, Euclides y Arquímedes realizando
Este documento resume la evolución histórica del concepto de números reales desde los griegos hasta el siglo XIX. Explica que los griegos inicialmente interpretaban la continuidad geométricamente y que filósofos y matemáticos reconocieron la existencia de los números reales más allá de la geometría. Posteriormente, Cantor y Dedekind desarrollaron construcciones rigurosas de los números reales que los definían aritméticamente y no geométricamente. Finalmente, Dedekind estableció la continuidad como una propiedad aritmética
Este documento resume brevemente la historia de las matemáticas desde sus orígenes hasta la antigua Grecia. Explica que las primeras matemáticas avanzadas se desarrollaron en Babilonia y Egipto hacia el 3000 a.C., centrándose en la aritmética y geometría. Luego, los griegos introdujeron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Finalmente, destaca las contribuciones de figuras como Euclides y Arquímedes en los siglos IV y III a.C
La historia de las Matemáticas describe la Revolución Científica del siglo XVII que condujo al desarrollo del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, vinculando conceptos algebraicos y geométricos. Figuras clave como Descartes, Fermat y Newton hicieron contribuciones fundamentales que revolucionaron el pensamiento matemático y científico, permitiendo nuevos avances en física, astronomía y otras áreas.
1) Los griegos sistematizaron las matemáticas desarrolladas previamente por los egipcios y babilonios, introduciendo conceptos como la demostración lógica y axiomática.
2) Euclides organizó los conocimientos geométricos en su obra "Los Elementos", estableciendo postulados, definiciones y teoremas.
3) Pitágoras y su escuela descubrieron propiedades geométricas y relaciones numéricas, incluyendo el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos
La geometría es una de las ciencias más antiguas, desarrollada en el Antiguo Egipto. En el siglo III a.C., Euclides configuró la geometría de forma axiomática en su obra "Los Elementos", estableciendo las bases de la geometría euclidiana por siglos. Arquímedes, Apolonio de Pérgamo, Menecmo, Omar Khayyam, Pierre de Fermat y René Descartes hicieron contribuciones importantes a la geometría en áreas, volúmenes, secciones cónicas y cálculo.
La geometría euclidiana fue sometida a una revisión crítica en el siglo XIX que reveló debilidades en su sistema. Gauss, Lobatschefski y Bolyai desarrollaron geometrías no euclidianas al negar el quinto postulado de Euclides. Riemann introdujo las ideas de multiplicidad y curvatura de los espacios, generalizando la geometría. En la segunda mitad del siglo XIX, Klein inició una renovación de los fundamentos de la geometría para darle una base lógica rigurosa.
El documento describe las relaciones entre la forma y la medida en la naturaleza y en la geometría. Se observan patrones regulares, estructuras que se repiten, partes que se relacionan de forma fractal a diferentes escalas. La sección áurea y los fractales ilustran cómo las pequeñas partes componen un todo siguiendo principios de autosimilitud y recursividad.
Se presenta una linea de tiempo de los problemas más relevantes de la historia de las matemáticas que guardan relación directa con el proceso de rigorización de las matematicas.
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
Pitágoras fue un matemático griego que fundó la escuela pitagórica y realizó descubrimientos importantes en matemáticas y cosmología. Euclides fue un geómetra griego conocido por su obra Los Elementos, que estableció los fundamentos de la geometría deductiva. Arquímedes fue un ingeniero y matemático griego considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad, que hizo contribuciones fundamentales a la estática, la hidrostática y el cálculo.
Este documento resume brevemente la historia de las matemáticas desde sus orígenes hasta la antigüedad griega. Explica que las primeras matemáticas avanzadas surgieron en Babilonia y Egipto alrededor del 3000 a.C., centrándose en la aritmética y geometría. Los griegos luego desarrollaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones, iniciado por Tales de Mileto y Pitágoras en el siglo VI a.C. Figuras clave como Euclides, Ar
El documento proporciona una historia general de las matemáticas desde la antigüedad hasta la época griega. Resume que las primeras matemáticas avanzadas se desarrollaron en Babilonia y Egipto en el tercer milenio a.C., centrándose en la aritmética y medidas geométricas. Los griegos luego introdujeron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones, iniciando con Tales de Mileto y Pitágoras en el siglo VI a.C. Figuras clave como Eucl
El documento proporciona una historia general de las matemáticas desde la antigüedad hasta la época griega. Resume que las primeras matemáticas avanzadas se desarrollaron en Babilonia y Egipto en el tercer milenio a.C., centrándose en la aritmética y medidas geométricas. Los griegos luego introdujeron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones, iniciando con Tales de Mileto y Pitágoras en el siglo VI a.C. Figuras clave como Eucl
La matemática ha tenido diferentes definiciones a lo largo de la historia. Originalmente se consideraba como la ciencia de la cantidad o el orden, pero con el tiempo se ha convertido en una disciplina abstracta y deductiva. Ha pasado por tres crisis mayores - la geometría no euclidiana cuestionó los axiomas de Euclides, los cuaterniones violaron la conmutatividad de la multiplicación, y los teoremas de incompletitud de Gödel mostraron los límites de la deducción axiomática. A pesar de estos cambios, la matemática sigue si
El documento presenta una línea de tiempo que resume los principales hitos en la historia de los fundamentos de las matemáticas, desde las primeras civilizaciones hasta el siglo XX. Incluye importantes contribuciones de matemáticos griegos como Pitágoras, Euclides y Arquímedes, así como el desarrollo del álgebra, el cálculo y la geometría analítica en los siglos posteriores. Finalmente, explica brevemente la "crisis de los fundamentos" que llevó a una investigación sistemática de los fundamentos matemá
La geometría y la arquitectura están estrechamente relacionadas, ya que la geometría estudia el espacio y la arquitectura no puede existir sin el uso de la geometría. Desde las primeras construcciones humanas, los elementos geométricos como las pirámides egipcias, los trapecios y las medias esferas han jugado un papel fundamental en la arquitectura. El concepto de "círculo de presencia" también es importante, ya que define el espacio alrededor de un objeto o construcción.
1) Las ciencias formales se originaron en la antigua Grecia con los intentos de Aristóteles y Euclides de elaborar sistemas axiomáticos y deductivos para la lógica y las matemáticas.
2) Estos sistemas se basaban en la idea de que los axiomas eran verdades evidentes e inmutables, y que a través de la deducción se podía derivar conocimiento necesario e indudable.
3) Sin embargo, en la era posmoderna se cuestiona la naturaleza y características de los axi
Measuring Social Change and Media: Beyond BSBeth Kanter
This workshop provided an overview of becoming a data-informed organization through measuring social change and media efforts. The presenters discussed the five stages of measurement acceptance from denial to becoming data-informed. They provided case studies of organizations at different levels of maturity including the Humane Society of the United States and an arts nonprofit. Key lessons included establishing clear goals and KPIs, overcoming silos between departments, learning from both successes and failures, and using data to continuously improve strategies.
This document outlines a business plan for MaxLife Living Apparel, which aims to create custom athletic clothing for millennial men. It defines the target market as male crossfit athletes, bodybuilders, and serious fitness participants. The value propositions are quality clothing with a revolutionary fit tailored specifically for this athletic body type, involvement in the fitness community, and stylish yet timeless designs. Revenue is projected to come primarily from t-shirt and jean sales, with the goal of generating $292,000 in sales within 12-18 months.
El cálculo fue desarrollado en el siglo XVII por Newton y Leibniz, pero se basó en contribuciones previas de figuras como Fermat, Cavalieri, Kepler y Arquímedes. Newton introdujo los conceptos de límite e interpretó el cálculo en términos de infinitesimales, fluxiones y límites. Leibniz introdujo la notación diferencial y integral y desarrolló un método generalizado para tratar sumas y diferencias.
El documento resume brevemente la historia de las matemáticas desde sus orígenes hasta la época griega. Las primeras matemáticas avanzadas surgieron en Babilonia y Egipto hacia el 3000 a.C., centrándose en la aritmética y cálculos geométricos básicos. Los griegos, influenciados por los babilonios y egipcios, crearon las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones rigurosas, con figuras como Pitágoras, Euclides y Arquímedes realizando
Este documento resume la evolución histórica del concepto de números reales desde los griegos hasta el siglo XIX. Explica que los griegos inicialmente interpretaban la continuidad geométricamente y que filósofos y matemáticos reconocieron la existencia de los números reales más allá de la geometría. Posteriormente, Cantor y Dedekind desarrollaron construcciones rigurosas de los números reales que los definían aritméticamente y no geométricamente. Finalmente, Dedekind estableció la continuidad como una propiedad aritmética
Este documento resume brevemente la historia de las matemáticas desde sus orígenes hasta la antigua Grecia. Explica que las primeras matemáticas avanzadas se desarrollaron en Babilonia y Egipto hacia el 3000 a.C., centrándose en la aritmética y geometría. Luego, los griegos introdujeron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Finalmente, destaca las contribuciones de figuras como Euclides y Arquímedes en los siglos IV y III a.C
La historia de las Matemáticas describe la Revolución Científica del siglo XVII que condujo al desarrollo del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, vinculando conceptos algebraicos y geométricos. Figuras clave como Descartes, Fermat y Newton hicieron contribuciones fundamentales que revolucionaron el pensamiento matemático y científico, permitiendo nuevos avances en física, astronomía y otras áreas.
1) Los griegos sistematizaron las matemáticas desarrolladas previamente por los egipcios y babilonios, introduciendo conceptos como la demostración lógica y axiomática.
2) Euclides organizó los conocimientos geométricos en su obra "Los Elementos", estableciendo postulados, definiciones y teoremas.
3) Pitágoras y su escuela descubrieron propiedades geométricas y relaciones numéricas, incluyendo el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos
La geometría es una de las ciencias más antiguas, desarrollada en el Antiguo Egipto. En el siglo III a.C., Euclides configuró la geometría de forma axiomática en su obra "Los Elementos", estableciendo las bases de la geometría euclidiana por siglos. Arquímedes, Apolonio de Pérgamo, Menecmo, Omar Khayyam, Pierre de Fermat y René Descartes hicieron contribuciones importantes a la geometría en áreas, volúmenes, secciones cónicas y cálculo.
La geometría euclidiana fue sometida a una revisión crítica en el siglo XIX que reveló debilidades en su sistema. Gauss, Lobatschefski y Bolyai desarrollaron geometrías no euclidianas al negar el quinto postulado de Euclides. Riemann introdujo las ideas de multiplicidad y curvatura de los espacios, generalizando la geometría. En la segunda mitad del siglo XIX, Klein inició una renovación de los fundamentos de la geometría para darle una base lógica rigurosa.
El documento describe las relaciones entre la forma y la medida en la naturaleza y en la geometría. Se observan patrones regulares, estructuras que se repiten, partes que se relacionan de forma fractal a diferentes escalas. La sección áurea y los fractales ilustran cómo las pequeñas partes componen un todo siguiendo principios de autosimilitud y recursividad.
Se presenta una linea de tiempo de los problemas más relevantes de la historia de las matemáticas que guardan relación directa con el proceso de rigorización de las matematicas.
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
Pitágoras fue un matemático griego que fundó la escuela pitagórica y realizó descubrimientos importantes en matemáticas y cosmología. Euclides fue un geómetra griego conocido por su obra Los Elementos, que estableció los fundamentos de la geometría deductiva. Arquímedes fue un ingeniero y matemático griego considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad, que hizo contribuciones fundamentales a la estática, la hidrostática y el cálculo.
Este documento resume brevemente la historia de las matemáticas desde sus orígenes hasta la antigüedad griega. Explica que las primeras matemáticas avanzadas surgieron en Babilonia y Egipto alrededor del 3000 a.C., centrándose en la aritmética y geometría. Los griegos luego desarrollaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones, iniciado por Tales de Mileto y Pitágoras en el siglo VI a.C. Figuras clave como Euclides, Ar
El documento proporciona una historia general de las matemáticas desde la antigüedad hasta la época griega. Resume que las primeras matemáticas avanzadas se desarrollaron en Babilonia y Egipto en el tercer milenio a.C., centrándose en la aritmética y medidas geométricas. Los griegos luego introdujeron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones, iniciando con Tales de Mileto y Pitágoras en el siglo VI a.C. Figuras clave como Eucl
El documento proporciona una historia general de las matemáticas desde la antigüedad hasta la época griega. Resume que las primeras matemáticas avanzadas se desarrollaron en Babilonia y Egipto en el tercer milenio a.C., centrándose en la aritmética y medidas geométricas. Los griegos luego introdujeron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones, iniciando con Tales de Mileto y Pitágoras en el siglo VI a.C. Figuras clave como Eucl
La matemática ha tenido diferentes definiciones a lo largo de la historia. Originalmente se consideraba como la ciencia de la cantidad o el orden, pero con el tiempo se ha convertido en una disciplina abstracta y deductiva. Ha pasado por tres crisis mayores - la geometría no euclidiana cuestionó los axiomas de Euclides, los cuaterniones violaron la conmutatividad de la multiplicación, y los teoremas de incompletitud de Gödel mostraron los límites de la deducción axiomática. A pesar de estos cambios, la matemática sigue si
El documento presenta una línea de tiempo que resume los principales hitos en la historia de los fundamentos de las matemáticas, desde las primeras civilizaciones hasta el siglo XX. Incluye importantes contribuciones de matemáticos griegos como Pitágoras, Euclides y Arquímedes, así como el desarrollo del álgebra, el cálculo y la geometría analítica en los siglos posteriores. Finalmente, explica brevemente la "crisis de los fundamentos" que llevó a una investigación sistemática de los fundamentos matemá
La geometría y la arquitectura están estrechamente relacionadas, ya que la geometría estudia el espacio y la arquitectura no puede existir sin el uso de la geometría. Desde las primeras construcciones humanas, los elementos geométricos como las pirámides egipcias, los trapecios y las medias esferas han jugado un papel fundamental en la arquitectura. El concepto de "círculo de presencia" también es importante, ya que define el espacio alrededor de un objeto o construcción.
1) Las ciencias formales se originaron en la antigua Grecia con los intentos de Aristóteles y Euclides de elaborar sistemas axiomáticos y deductivos para la lógica y las matemáticas.
2) Estos sistemas se basaban en la idea de que los axiomas eran verdades evidentes e inmutables, y que a través de la deducción se podía derivar conocimiento necesario e indudable.
3) Sin embargo, en la era posmoderna se cuestiona la naturaleza y características de los axi
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A web-based survey and theoretical research focuses mainly on the hazards that children are exposed to while surfing the digital world. It addresses the problem from parents/caregivers perspective and tries to shed light over the best ways of understanding and precautionary means. It is important for families to take all preventive measures to protect their kids from such hazards.
- Green Lab aims to promote a green lifestyle through rooftop farming, cooking workshops, and a farm-to-table restaurant.
- It will provide rooftop planting boxes for farming, workshops to teach people how to prepare meals from the harvested foods, and a restaurant serving dishes made from the locally grown ingredients.
- The business aims to reconnect people with nature through sustainable food production and consumption while providing education and entertainment.
Este documento presenta una encuesta sobre las opiniones de las personas sobre los programas de educación superior virtual en Panamá. La encuesta contiene preguntas sobre si los programas virtuales satisfacen las necesidades profesionales, si la oferta y demanda de programas es adecuada, y si los costos son accesibles.
El documento describe el dibujo técnico como una forma gráfica de representación de objetos que proporciona información precisa sobre sus dimensiones, formas y características para facilitar su análisis, diseño, construcción y mantenimiento. Explica que el dibujo técnico utiliza normas estandarizadas para crear vistas como plantas, alzados y secciones que muestren medidas exactas usando instrumentos de precisión o software CAD. También cubre aplicaciones del dibujo técnico como arquitectura, productos, mecánica y presentaciones
Express In Music (EIM) is a one-stop audio branding company that was established in 2009. It provides three main services: music content licensing, a patented streaming box for retail audio branding, and audio branding consultancy. EIM uses proprietary technologies to meet clients' needs. The company has won several awards including the 2013 SiTF Award for Cloud Solution and the 2013 AICTA Award for Digital Content. EIM helps clients develop signature sounds through innovative audio branding concepts tailored to their brands. Studies show that properly selected background music can significantly influence customers' perceptions and purchasing behaviors in retail and food and beverage establishments.
La siguiente presentación nos da a conocer la importancia de aprender y enseñar en colaboración en línea, el trabajo en equipo da buenos resultados siempre y cuando el Docente use buenas estrategias para que todos los miembros se desempeñen de la misma manera y sea equitativo el trabajo... obteniendo un excelente producto.
Tugas elektronika dan rl hasyimtri transistor revisiHasyim Tri
Transistor adalah ”alat semi konduktor” yang dipakai sebagai penguat, sebagai sirkuit pemutus dan penyambung (switching), stabilisasi tegangan, modulasi sinyal atau sebagai fungsi lainnya. Transistor dapat berfungsi semacam kran listrik, dimana berdasarkan arus inputnya atau tegangan inputnya , memungkinkan pengaliran listrik yang sangat akurat dari sirkuit sumber listriknya.
Este documento describe varias herramientas web 2.0 que pueden ser utilizadas en la educación, incluyendo herramientas para documentos, imágenes, presentaciones, videos y blogs. Explica brevemente el funcionamiento y propósito de herramientas como Scribd, Picassa, SlideShare y YouTube, destacando su capacidad para compartir, comentar y colaborar en contenidos educativos. También incluye definiciones breves de conceptos como blogs y redes sociales.
The document provides commentary and reflections on the Sunday readings for Passion Sunday B, including Isaiah 50:4-7, Psalm 22:8-9, 17-18, 19-20, 23-24, Philippians 2:6-11, and Mark 14:1-15:47. It summarizes key parts of each reading and offers insights. The gospel reading recounts the plotting of Jesus' arrest and the anointing of Jesus in Bethany, eliciting an adverse reaction. The document aims to aid homilies and sharing focused on how the readings present themes of giftedness, non-resistance to violence, obedience, humility, and finding meaning in suffering.
Este documento presenta un prólogo al libro "La escuela en crisis" y discute cómo la escuela moderna se ha descolgado del contexto social actual debido a los profundos cambios que ha experimentado la sociedad. Los autores argumentan que la crisis afecta a un modelo específico de escuela y que es necesario replantear los fundamentos de la educación para adaptarse a las nuevas coordenadas sociales. También señalan algunos de los falsos debates que surgen como síntomas de este agotamiento del modelo y la necesidad de recontextualizar la escuela en la soc
The document provides commentary and reflections on the Sunday readings for the 5th Sunday of Lent. It summarizes the key points of each reading:
1) The first reading from Jeremiah announces God's new covenant where the law will be written on people's hearts and God will forgive their sins.
2) The responsorial Psalm calls for God to create a clean heart and renew a steadfast spirit.
3) The second reading from Hebrews says that Jesus learned obedience through suffering and became the source of salvation for all who obey him.
4) The Gospel reading from John says that Jesus will be glorified through his death, and that a grain of wheat must fall to the ground and
La metodología de Costeo Basado en Actividades (Activity Based Costing) se basa en el hecho de que una empresa para producir productos o servicios necesita llevar a cabo actividades....
Fashion central international magazine december issue 2015fashioncentra pk
It Covering All major Fashion activities in the world.All International fashion Shows and Cat walks.Fashion mag also covering Celebrity Gossips,beauty tips,Lifestyle,Travel and Men's corner.
Projeto de integração Escola-Museu da Língua PortuguesaNagila Polido
Este documento descreve um projeto de integração entre uma escola e o Museu da Língua Portuguesa sobre a linguagem das histórias em quadrinhos. Alunos do 7o ano visitaram o museu e participaram de atividades como discussões sobre HQs preferidas, exemplos de características do gênero, e criação de tirinhas em grupos considerando a acessibilidade.
El documento describe la evolución de la geometría desde sus orígenes en las primeras civilizaciones hasta la geometría analítica de Descartes. Señala que la geometría surgió de forma intuitiva en Egipto y Mesopotamia con fines prácticos como la medición de tierras, y que los griegos como Tales, Pitágoras y Euclides la desarrollaron de forma más abstracta y deductiva. Finalmente, Descartes introdujo la geometría analítica que relaciona la geometría con las ecuaciones algebraicas.
El documento resume la historia de la geometría desde sus orígenes hasta la Edad Moderna. Explica que las primeras civilizaciones como los egipcios y mesopotámicos desarrollaron conocimientos geométricos prácticos, los cuales pasaron a los griegos. La geometría griega, iniciada por Tales y los pitagóricos, fue la primera en ser formalizada y en utilizar demostraciones. Euclides sintetizó los conocimientos geométricos en su obra "Los Elementos". Aunque la geometría griega no pudo
Este documento presenta una línea de tiempo de los principales contribuyentes al desarrollo del cálculo infinitesimal, incluyendo a Arquímedes, Aristóteles, Pitágoras, Zenón de Elea, Tales de Mileto y Eudoxo de Cnido en la antigüedad. Luego menciona a Newton, Leibniz, Descartes y Fermat como los inventores del cálculo en el siglo XVII, así como las contribuciones de Stevin, Kepler y otros en los siglos XVI y XVII. Finalmente, resume los cuatro problemas iniciales que motiv
El documento describe la historia de las matemáticas dividiéndola en cuatro períodos cronológicos y analizando las contribuciones de cuatro civilizaciones antiguas: Egipto, Mesopotamia, China e India. También describe las principales ramas de las matemáticas y cómo los griegos introdujeron un enfoque más sistemático y deductivo.
Paso 4 realizar transferencia del conocimiento..GermnDanielRendn
Este documento resume los principales problemas de fundamentación matemática a lo largo de la historia, comenzando con las contribuciones de los griegos como Euclides y continuando con los desarrollos en los siglos XVII-XIX que llevaron a una mayor rigurosidad en conceptos como los números reales y el cálculo infinitesimal. También examina las diferentes escuelas que surgieron para abordar paradojas como el logicismo, el intuicionismo y el formalismo.
Este documento discute los problemas de fundamentación matemática a través de la historia. Explica que los matemáticos griegos transformaron las matemáticas empíricas en un sistema deductivo basado en axiomas y definiciones. Sin embargo, descubrimientos como los números irracionales plantearon desafíos a estas teorías. A lo largo de los siglos XVIII y XIX, matemáticos trabajaron para formalizar conceptos como el cálculo y desarrollaron geometrías no euclidianas, pero también surgieron paradojas. En el
Este documento describe brevemente la historia de los problemas de fundamentación matemática. Explica que los griegos crearon las bases de las matemáticas modernas al transformarlas en una disciplina teórica y deductiva basada en axiomas y definiciones. Sin embargo, con el tiempo surgieron paradojas que cuestionaron la validez de los fundamentos matemáticos. A lo largo de los siglos XIX y XX, matemáticos como Cantor, Frege y Hilbert trabajaron para resolver estas paradojas y establecer una fundamentación sólida a través de en
El documento describe el origen y desarrollo de las matemáticas en la antigua Grecia. Los griegos adoptaron el alfabeto fenicio y construyeron un imperio intelectual de las matemáticas desde Tales de Mileto hasta Euclides de Alejandría. Figuras como los pitagóricos, Sócrates, Platón, Aristóteles y Arquímedes contribuyeron al desarrollo de conceptos matemáticos abstractos y métodos lógicos de demostración. Las matemáticas griegas sentaron las bases de la geometr
El cálculo fue desarrollado en el siglo XVII por Newton y Leibniz para estudiar problemas matemáticos y científicos relacionados con tangentes, máximos y mínimos, áreas y volúmenes. Aunque ambos lo descubrieron de forma independiente, hubo una larga disputa sobre la prioridad. El cálculo sentó las bases para los avances matemáticos y científicos posteriores, pero sus fundamentos no fueron completamente rigurosos hasta el siglo XIX.
El cálculo diferencial se originó en el siglo XVII para estudiar el movimiento y la velocidad de los cuerpos, pero tiene sus raíces en trabajos matemáticos de civilizaciones antiguas. Isaac Newton y Gottfried Leibniz son considerados los inventores del cálculo moderno, aunque se basaron en contribuciones previas de matemáticos como Fermat, Barrow y Kepler. El cálculo diferencial se ha convertido en una herramienta científica y técnica fundamental que se utiliza en una amplia gama de campos como la fís
Este documento describe los problemas de fundamentación matemática a lo largo de la historia, desde los griegos hasta el siglo XX. Explica conceptos como la fundamentación axiomática y teórica de las matemáticas, y destaca descubrimientos clave como la geometría no euclidiana y la teoría de conjuntos. El documento también analiza las crisis y paradojas que llevaron al desarrollo de la lógica matemática y la formalización de los fundamentos del cálculo para dar una fundamentación más sólida a las matemáticas.
El documento presenta una línea de tiempo sobre la evolución y rigorización de las matemáticas desde la antigua Grecia hasta el siglo XX. Se destacan los principales matemáticos y sus contribuciones en cada época, como la formalización del álgebra por Al-Khuwarizmi en la Edad Media, el desarrollo del cálculo y nuevos modelos matemáticos por Newton y Leibniz en el siglo XVII, y la creación de la teoría de conjuntos y el movimiento logicista por Cantor y Russell en los siglos
Este documento presenta una línea de tiempo sobre el origen y desarrollo del cálculo. Comienza con Tales de Mileto y los pitagóricos en la antigua Grecia, luego pasa a Zenón de Elea, Eudoxo, Arquímedes y Kepler. Más adelante menciona a Cavalieri, Fermat, Barrow y Newton, quienes hicieron contribuciones clave al cálculo integral y diferencial. Finalmente, concluye con Riemann y sus importantes aportes a la geometría y topología.
Este documento presenta una introducción al libro "¿Qué son las matemáticas? Una aproximación elemental a sus ideas y métodos". Discute brevemente la historia y evolución de las matemáticas desde sus orígenes en Babilonia y Grecia antigua hasta el desarrollo moderno. También analiza la naturaleza de las matemáticas, señalando que involucran tanto la intuición como la deducción lógica, y que es importante no enfocarse demasiado en explicaciones metafísicas sino en las relaciones observables entre conceptos
Como se explica que las matemáticas siendo un producto de la mente humanaTerezhiita Farelo
El documento describe la historia de las matemáticas y la geometría desde los griegos hasta el siglo XX. Explica cómo la geometría euclidiana fue considerada durante siglos como la única verdad sobre el espacio, hasta que en el siglo XIX se descubrió que existían otras geometrías posibles. Esto cuestionó la naturaleza de las matemáticas y su relación con la realidad física.
Este documento describe la historia de la crisis de los fundamentos matemáticos y la posterior rigorización de las matemáticas. Explica que desde los griegos hasta el siglo XIX hubo avances en geometría, aritmética y el sistema de numeración, pero también dudas sobre conceptos como el infinito que llevaron a una crisis en el siglo XIX. Luego, matemáticos como Cantor y Gödel ayudaron a resolver esta crisis y sentaron las bases de una fundamentación rigurosa de las matemáticas en el siglo XX.
El documento describe la historia de la rigurosidad en las matemáticas durante el siglo XIX, cuando se buscó eliminar las referencias geométricas e intuitivas y enfatizar el papel de la aritmética y la lógica. También presenta una línea de tiempo de importantes matemáticos desde Tales de Mileto hasta Émile Borel y sus contribuciones al desarrollo de las matemáticas y la lógica.
El documento resume la historia de las matemáticas desde los primeros números utilizados por las civilizaciones antiguas hasta el desarrollo del cálculo en el siglo XVII. Destaca figuras clave como Tales de Mileto, Pitágoras, Eudoxo, Arquímedes y los avances realizados por los árabes, renacentistas como Descartes y científicos como Galileo, Kepler y Newton durante la revolución científica.
1) Los griegos desarrollaron las matemáticas a partir de los conocimientos de los egipcios y babilonios, utilizando por primera vez la abstracción y requiriendo demostraciones lógicas en lugar de experimentación. 2) Los mayas utilizaron el concepto de cero y realizaron avanzados cálculos astronómicos. 3) Grandes matemáticos como Tales, Pitágoras, Euclides, Arquímedes, Fibonacci, Descartes, Newton, Leibniz y Euler hicieron importantes contribuciones en los campos de la
Este documento describe los beneficios del uso de Internet y las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la docencia. Explica que Internet permite una mayor interacción entre profesores y estudiantes, facilita el acceso a los materiales educativos de forma flexible, y apoya debates más ricos. También señala que tanto estudiantes como profesores necesitan aprovechar las posibilidades que ofrece Internet para la educación. El futuro de la educación estará cada vez más en línea, con más cursos y programas disponibles en línea.
El documento discute el papel de las computadoras en el proceso educativo. Señala que las computadoras pueden usarse como herramientas de trabajo, medios de enseñanza y objetos de estudio. Sin embargo, el docente sigue siendo fundamental para guiar el aprendizaje de los estudiantes. También identifica desafíos como la resistencia al cambio y la necesidad de que los docentes se preparen adecuadamente para integrar las tecnologías de manera efectiva.
El documento describe la importancia del rol del docente en el proceso de enseñanza-aprendizaje desde los inicios de la educación de cada individuo. Explica que el docente desempeña un papel fundamental en la construcción del conocimiento de los estudiantes y en guiar su desarrollo físico, intelectual y humano a través de experiencias educativas significativas. Además, destaca que una pedagogía y estrategias efectivas por parte del docente, así como el desarrollo de valores, pueden conducir al éxito acadé
La propuesta busca instalar dos aulas de informática en el Instituto Pedagógico Rural "Gervasio Rubio" para mejorar el acceso a la tecnología de los estudiantes y docentes. El proyecto implementaría una red Ethernet de área local con acceso inalámbrico entre salones, conexión a Internet, computadoras, impresoras y otros equipos. El objetivo es proporcionar una herramienta educativa que permita a estudiantes y profesores aprovechar mejor las tecnologías de la información.
El nuevo rol del docente en medios tecnológicosfranklin jaimes
El documento discute el nuevo rol del docente en medios tecnológicos. Explica que la sociedad actual se ha convertido en una sociedad del conocimiento que aprende continuamente. También describe cómo las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), especialmente las redes telemáticas, ofrecen nuevas posibilidades para la educación y la formación. Finalmente, destaca la importancia de la formación inicial y continua de los docentes en el uso de la tecnología para que puedan desempeñar efectivamente sus funciones en entornos digitales
Este documento proporciona instrucciones paso a paso para cambiar una llanta pinchada de un auto o una moto. Detalla los pasos para detener el vehículo de manera segura, colocar el triángulo de seguridad, usar el gato hidráulico para elevar el vehículo, quitar los tornillos de la llanta, reemplazarla con la de repuesto, volver a poner los tornillos y bajar el vehículo. Luego indica guardar las herramientas y continuar el viaje.
Este documento registra datos de 100 personas como nombre, apellido, color de cabello, color de ojos, edad, estado civil, si estudian o no, sexo, altura y si trabajan. Cuenta y muestra la cantidad de personas en cada categoría.
Diagrama de Flujo de como hacer una tasa de cafefranklin jaimes
Este documento describe los pasos de un sistema de café automático para detectar posibles errores en cada etapa del proceso, incluyendo verificar el funcionamiento de la bomba de agua, los niveles de café molido, leche y vasos disponibles, seleccionar el tipo de café y taza, e indicar cuando el café está listo para ser retirado.
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Este documento describe la planificación de una piscinada, incluyendo identificar el tema, fecha y hora, preparar comida y bebidas, elegir música, contar la cantidad de personas y qué harán (tomar, fumar, hablar, etc.), asegurar que los invitados traigan trajes de baño adecuados, poner música para disfrutar, y finalmente cambiar la música para marcar el fin de la reunión y despedir a los invitados.
1. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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EL NACIMIENTO DEL CÁLCULO
Martha Cristina Villalba y Gtz.
INTRODUCCIÓN
Ciertas prácticas didácticas –particularmente aquí en México- tienden a dejarnos la idea de
que los avances de la ciencia -y de la cultura en general- se deben a hechos gloriosos y
descubrimientos geniales llevados a cabo por personajes heroicos, privilegiados, en quienes
descansa el mérito absoluto del desarrollo científico, artístico y tecnológico que sustenta la
evolución de la cultura. Sin embargo, como resultado de un estudio más veraz, nos damos
cuenta de que detrás de cualquier invento o descubrimiento existe, infaliblemente, la
evolución de ideas que hacen su génesis posible. Un esfuerzo como el emprendido en este
Seminario de Historia de las Matemáticas nos ofrece un espacio de reflexión acerca del
enorme acervo de conocimiento que a través de los años se acumula, se desarrolla y
evoluciona para dar lugar, en algún momento en particular y a través de algún personaje en
especial, a la génesis de una idea “nueva” que por su circunstancia deviene en un
descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y es, por lo tanto, reconocida
como tal.
En particular, el nacimiento del cálculo -consignado en el siglo XVII- atribuido a Newton y
Leibniz, nos permite ilustrar claramente lo dicho: Estos dos hombres han sido considerados
como los inventores del cálculo en el sentido de que dieron a los procedimientos
infinitesimales de sus predecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la
precisión necesaria para ser considerados como un método novedoso y de generalidad
suficiente para su desarrollo posterior. A su vez, los procedimientos de Barrow y Fermat
estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo;
o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales
que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de
Oresme, Calculator, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo
inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Zenón
y Pitágoras. Sin la filiación de ideas como las de éstos y de muchos otros hombres más, el
cálculo de Newton y Leibniz sería impensable.
Por otro lado, debe entenderse que el progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de
una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en
el camino son descartados, reformulados o añadidos. Las concepciones filosóficas sobre la
realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que
debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento
científico, han determinado los enfoques asumidos en cada época, de tal manera que el
impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia
difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en
cuenta.
2. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
47
Con estas reflexiones en mente, la relación de algunas aportaciones que hicieron posible el
nacimiento del Cálculo y que a continuación trataremos de resumir, tiene la finalidad de
que cada uno de nosotros encuentre más interés en dar apoyo y mejores significaciones a
cada uno de los conceptos que hasta ahora conforman nuestro conocimiento de esta
disciplina. Este es, insisto, tan sólo un breve resumen de algunas aportaciones importantes –
que posiblemente deje muchas sin considerar-, por lo tanto, no más que una invitación a
una indagación más profunda sobre las ideas y los hechos presentados.
PERSONAJES Y CONTRIBUCIONES EN LA ANTIGÜEDAD
El trabajo prehelénico de los Egipcios y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de
generalidad y atención a las características esenciales sobre la naturaleza lógica del
pensamiento matemático y su necesidad de pruebas deductivas, logró un acervo tal de
cálculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda, una clara influencia en los trabajos
iniciales de los filósofos y matemáticos griegos:
Tales de Mileto. Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos
– no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad- a través de procesos
sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos.
Para ellos la perfecta consonancia de la realidad observada con la naturaleza de los
conocimientos matemáticos les llevaron a pensar que las matemáticas estaban en
la realidad última, en la esencia del universo y por lo tanto, “un entendimiento de los
principios matemáticos debía preceder cualquier interpretación válida de la
naturaleza”. “Todo es número”. “Dios es un Geómetra”.
Zenón de Elea (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número de
problemas (paradojas) basados en el infinito.
Para los antiguos griegos, los números como tales eran razones de números
enteros, por lo que no todas las longitudes eran números. (Existían magnitudes
geométricas que no podían ser medidas por números; números como entidades
discretas vs magnitudes geométricas continuas.)
Eudoxo (408 a. de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia Menor (Turquía).
– Método de Exhaución. El método se llama así porque se puede pensar en
expandir sucesivamente áreas conocidas de tal manera que éstas den
cuenta ("dejen exhausta") del área requerida. Cobra importancia como
recurso para hacer demostraciones rigurosas en geometría.
Arquímedes (225 a.de C.) de Siracusa. Hizo una de las más significativas
contribuciones griegas. Su primer avance importante fue mostrar que el área de
un segmento de parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y
vértice, y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Éste es el primer ejemplo
conocido de la adición de una serie infinita. Arquímedes utilizó el método de
exhaución para encontrar una aproximación al área del círculo. Por supuesto,
es un ejemplo temprano de integración, el cual condujo a aproximar valores de
. Entre otras “integrales” calculadas por Arquímedes, están el volumen y área
de una esfera, volumen y área de un cono, área de una elipse, volumen de
cualquier segmento de un paraboloide de revolución y de un segmento de un
hiperboloide de revolución.
Por un lado, las paradojas de Zenón provocaron el escepticismo griego que más tarde
plantea el cuestionamiento sobre la posibilidad de alcanzar el verdadero conocimiento, ya
3. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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sea por la razón o la experiencia. Por otro lado, la ciencia aristotélica mostró que mediante
la lógica y la observación es posible -al menos- conseguir una representación consistente
del fenómeno estudiado; las matemáticas, por lo tanto, vienen a ser con Euclides un patrón
idealizado de relaciones deductivas. Los postulados inducidos por la observación de la
realidad, generan por la deducción una consistente y funcional interpretación de la
naturaleza.
La dificultad lógica que enfrentaron los antiguos matemáticos griegos en sus intentos de
expresar sus ideas intuitivas sobre razones o proporciones de líneas -que vagamente
reconocían como continuas-, en términos de números -los que mantenían como discretos-,
los involucró con un concepto lógicamente insatisfactorio (pero intuitivamente atractivo): el
infinitesimal. La imposibilidad de enfrentarlo ampliamente originó que los problemas sobre
la variación no fueran atacados cuantitativamente por los matemáticos griegos. Estos
problemas fueron retomados hasta el siglo XIV por los filósofos escolásticos, y su
discusión, cualitativa en gran parte, pero apoyada en demostraciones gráficas, hizo posible
la introducción posterior de la geometría analítica y la representación sistemática de
cantidades variables.
PERSONAJES Y CONTRIBUCIONES EN LOS SIGLOS XVI-XVII
Una época de avances hacia la formulación posterior del Cálculo como estudio de la
variación, una época en la que se enfrentó la necesidad de herramientas matemáticas que no
tenían más fundamento que la geometría arquimediana para tratar con los
inconmensurables; método cuya visión de rigor había obstaculizado trabajar más libremente
con los infinitésimos, relacionados a la variación y al continuo.
Johannes Kepler (1571-1630). Nació en Leonberg, Sacro Imperio
Romano, hoy Alemania. En su trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo
que encontrar el área de sectores de una elipse; para ello su método consistió
en determinar las áreas como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo
Nueva Geometría Sólida de los Barriles de Vino calculó en forma exacta o
aproximada el volumen de más de 90 sólidos de revolución, considerando el
sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes
conocidos.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Publicó su “Geometria Indivisibilis
Continuorum Nova” en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su
método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o
áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras
o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir este
procedimiento en forma general como un método de “Suma de potencias de líneas”,
que aunque alejado del rigor, condujo a Cavalieri a un resultado correcto para
B
A
k
x con k=1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Pierre de Fermat (1601-1665). Trata de encontrar pruebas más o menos
rigurosas de la conjetura de Cavalieri. En su trabajo sobre curvas polinomiales
)(xfy , compara el valor de f(x) en un punto x, con el valor )( Exf , con E
4. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
49
como un intervalo cada vez más pequeño alrededor de x, de tal manera que
encuentra el valor de
E
xfExf )()(
antes de que E=0 .
PERSONAJES Y CONTRIBUCIONES EN EL SIGLO XVII
Gilles Persone de Roberval (1602- 1675). Cálculo de tangentes como vectores
de “velocidad instantánea”. Cicloide: su área es 3 veces la del círculo que la genera.
John Wallis (1616-1703). Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó
sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma y=x
k
donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación de
los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros
desarrollos del trabajo matemático de Newton.
Isaac Barrow (1630-1677). Maestro de Newton. Competente en árabe y griego,
mejoró traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas.
Sus “Lectiones Geométriae”, publicadas en 1670, incluyen los procedimientos
infinitesimales conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados tratan
tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de
analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que implícitamente se
toma a la recta tangente como la posición límite de la secante.
En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el sentido de
presentar el carácter inverso entre problemas de tangentes y áreas, en un sentido
estrictamente geométrico, no como un algoritmo de cómputo.
NACE EL CÁLCULO
Isaac Newton (1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes
pasajes, claras exposiciones del concepto de límite, idea básica del cálculo.
Ofrece tres modos de interpretación para el nuevo análisis:
aquél en términos de infinitesimales usado en su De analysi, su primer trabajo
(1669, publicado en1711);
aquél en términos de fluxiones, dado en su Methodus Fluxionum et Serierum
Infinitorum (1671, publicado en 1736), en la que parece apelar con mayor fuerza
a su imaginación;
aquél en términos de razones primeras y últimas o límites, dado
particularmente en la obra De Quadratura Curvarum que escribió al final y
publicó primero (1704), visión que él parece considerar más rigurosa.
Notación utilizada:
Si fluentes yx , entonces fluxiones
yx , . Si fluentes
yx , entonces fluxiones
yx , .
Si fluxiones yx , entonces fluentes
|
x ,
|
y . Si fluxiones
|
x ,
|
y entonces fluentes
||
x ,
||
y .
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Sus resultados en el cálculo
integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo
5. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
50
el nombre de ”Calculus Summatorius". Introduce los elementos diferenciales dy
ó dx para expresar la “diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable
continua y ó x. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene
la variable misma, lo cual denota por dx.
El “triángulo diferencial” que había sido estudiado en varias formas –particularmente
en los trabajos de Torricelli, Fermat y Barrow- es el antecedente más cercano al
enfoque que ofrece Leibniz en su tratamiento de sumas y diferencias -aunque él
mismo aseguró que la inspiración inicial la encontró al estudiar el tratado de Pascal
“Traité des sinus du quart de cercle”.
Sus obras dan cuenta de un método generalizado para abordar esas sumas y
diferencias, además del tratamiento inverso de ambas operaciones, mediante el uso
de un sistema de notación y terminología perfectamente acoplado a la materia que
trata en sus bases lógicas y operativas.
Leibniz siempre se dio cuenta que estaba trabajando con una nueva materia. Se especula
que Newton, hasta que supo de esta postura de Leibniz consideró él mismo su método de
fluxiones como una nueva materia también y un modo de expresión matemática organizado
más que simplemente una útil modificación de reglas anteriores.
El trabajo más importante de cálculo de Newton estuvo escrito de 1665 a 1676, pero
ninguna de sus obras fue publicada durante ese tiempo. Se ha sugerido que la demora en la
publicación de sus tres principales trabajos fue ocasionada por el hecho de que estaba
insatisfecho con los fundamentos lógicos de la materia. En su monografía “De Analysi per
aequationes numero terminorum infinitas" no hace explícito el uso de la notación fluxional
ni de la idea. En su lugar usa lo infinitamente pequeño, tanto geométrico como analítico de
manera similar a la que encontramos en Barrow y Fermat, y extiende su aplicabilidad por el
uso del Teorema del Binomio. En este documento, Newton emplea la idea de un pequeño
rectángulo indefinido o “momento” de área y encuentra la cuadratura de las curvas como
sigue:
“Sea la curva a ser dibujada por la abscisa x y la ordenada y, el área es
n
nm
ax
nm
n
z
Tomemos un “o”, momento o incremento infinitésimo en la abscisa, siguiendo la notación
de James Gregory. La nueva abscisa será entonces x + o y el área incrementada será
n
nm
xa
nm
n
yz
)(
Si en esta expresión aplicamos el teorema del binomio, dividimos por o y entonces
negamos los términos que aún contengan o, el resultado será n
m
axy .
Esto es, si el área esta dada por n
nm
ax
nm
n
z
, la curva será n
m
axy .
Inversamente, si la curva es n
m
axy , el área será n
nm
ax
nm
n
z
1
1
Citado en Boyer Carl B. “The History of the Calculus and its Conceptual Development”
6. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
51
Ésta es una expresión para el área a la cual se llega, no por la determinación de la suma de
áreas infinitesimales, ni a través de métodos equivalentes usados por los predecesores de
Newton desde Antifón a Pascal. En su lugar, como vemos, fue obtenida por la
consideración de incrementos momentáneos en el área en el punto en cuestión. En otras
palabras, mientras que las cuadraturas previas habían sido encontradas a través del
significado o equivalencia de la integral definida como límite de una suma, Newton
determina la primera razón de cambio del área y desde ésta, encuentra la propia área a
través de lo que ahora llamamos la Integral Indefinida de la función.
Por su parte, Leibniz se esforzó desde un principio en popularizar su “nuevo análisis”
publicando todas las reglas de operación, aún las más simples, presentándolas como si
fueran reglas de álgebra y señalando la relación recíproca entre sus “sumas” y
“diferencias” como análoga a la de potencias y raíces. Aunque la existencia de sus
elementos fundamentales la apoyó en principios filosóficos, no se preocupó mucho en
clarificar la naturaleza de lo infinitamente pequeño, no porque pretendiera hacer de ello un
misterio, sino porque sostuvo que su Cálculo era un “modus operandi” y por lo tanto apeló
sólo a la inteligencia para enfatizar la naturaleza algorítmica del método. Tal vez por ello se
le considera como uno de los fundadores de la corriente formalista en oposición a la
intuicionista en matemáticas: Estaba seguro de que si formulaba apropiadamente los
símbolos y las reglas de operación, y si éstas eran propiamente aplicadas, algún resultado
correcto y razonable se debería de lograr aún cuando fuera confusa la naturaleza de los
elementos involucrados.
El primer recuento de sus hallazgos, Leibniz lo tituló “Un Nuevo Método para Máximos y
Mínimos como para Tangentes también, el cual no se obstruye por Cantidades
Fraccionarias o Irracionales”, un tratado de seis páginas que aparece publicado en 1684 y
posteriormente se incluye en el “Acta Eruditorum”. En su contenido se explicitan, sin
pruebas, las reglas para las sumas, productos, cocientes, potencias y raíces, y unas pocas de
aplicaciones a problemas de tangentes y cálculos de máximos, mínimos y puntos de
inflexión. Las “cuadraturas” las trata igualmente en publicaciones independientes
posteriores, antes de ser incorporadas a su “Acta Eruditorum”.
Tanto Newton como Leibniz establecen en su método reglas operativas para sus principales
elementos –“fluxiones” y “diferencias” respectivamente- y ambos las combinan haciendo
notoria la propiedad inversa –“fluente” y “suma”, respectivamente. Sin embargo, para
ambos, la Diferenciación es la operación fundamental; la Integración se considera
simplemente como la inversa de ella. Este es un punto de vista que prevalece en el Cálculo
elemental actual. Lo que es importante señalar es que a ambos – Newton y Leibniz- se les
considera como los “Fundadores del Cálculo” precisamente por haber establecido las reglas
de operación y las relaciones descritas.
Cabe también considerar que las distintas formas de definir la integral que tuvieron Newton
y Leibniz han heredado al Cálculo actual la Integral Indefinida y la Integral Definida:
Mientras que Newton define el fluente como la cantidad generada por una fluxión dada –
como lo vimos antes, es decir, como la cantidad que tiene una magnitud dada como su
fluxión, o como la inversa de la fluxión-, Leibniz define la Integral como la suma de todos
los valores de una magnitud, o como la suma de un número infinito de rectángulos
7. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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estrechos, o –en la forma que lo expresamos actualmente- como el límite de cierta suma
característica.
CONCLUSIÓN
Si bien las reglas de operación y las principales relaciones entre ellas quedaron claramente
establecidas con Newton y Leibniz, y con ello salía a la luz una nueva materia: el Cálculo,
todavía quedaba mucho por hacer. Sus fundamentos eran imprecisos, no solamente para sus
autores, sino para los estudiosos de las matemáticas que les sucedieron en el siglo XVIII:
durante ese tiempo se buscó pasar de la justificación basada en el pragmatismo dado por la
consistencia de los resultados obtenidos, con la visión del mundo físico que ofrecía la
geometría Euclideana, hacia una explicación que fuera más allá de lo intuitivamente
plausible... Esto no fue posible hasta el siguiente siglo, en el que el éxito en el desarrollo
del formalismo algebraico dio lugar al impulso de sistemas matemáticos independientes de
los postulados afines a la experiencia sensorial. Fue hasta entonces que el Cálculo tuvo
manera de adoptar sus propias premisas y construir sus propias definiciones sujetas
solamente a los requerimientos de su consistencia interna.
Queremos insistir que en un bosquejo como éste se pretende resaltar la gran cantidad de
aportaciones que contribuyeron al nacimiento del Cálculo y hacer notar que el desarrollo de
sus conceptos principales, la derivada y la integral, tuvieron una larga evolución; primero
para llegar a establecerse como operaciones inversas entre sí con sus reglas bien definidas,
y luego para evolucionar en sus fundamentos desde argumentaciones asentadas en la
experiencia sensible, hasta su elaboración final como abstracciones matemáticas definidas
en términos de lógica formal mediante la idea de límite de una serie infinita. Así, la
derivada y la integral están en el análisis matemático moderno definidas sintéticamente en
función de consideraciones ordinales, y no en función de aquellas consideraciones de
variación física y cantidades geométricamente continuas que les dieron origen.
REFERENCIAS
[1] Boyer, Carl B. (1991) “A History of Mathematics”. John Wiley & Sons, Inc. USA.
[2] Collette, Jean Paul (1986) “Historia de las Matemáticas”. Editorial Siglo Veintiuno,
México.
[3] Edwards, C. H. (1979) "The Historical Development of the Calculus". Springer- Verlag
New York, Inc. USA.
[4] Newman, James R. (1980) “El Mundo de las Matemáticas”. Enciclopedia Sigma, Tomo
4. Ediciones Grijalbo, México.
8. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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[5] Struik, Dirk J. (1967) "A concise History of Mathematics". Dover Publications, Inc.
New York, USA.
[6] Thuiller, Pierre (1991). "De Arquímedes a Einstein. Las Caras Ocultas de la Invención
Científica". Consejo Nacional para la Cultura y las Artes / Editorial Alianza. México.
SITIOS EN LA RED
[7] http://smard.cqu.EDU.AU/Links/Websites/History_of_Mathematics/
[8] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/_1000_AD.html
[9] http://math.rice.edu/~lanius/Geom/his.html