2° t

© Marco Hernán Flores Velazco, autor, 2020
© Ediciones San Marcos S. A. C., editor
© Ediciones Lexicom S. A. C., editor
Av. San Luis 2263, San Borja, Lima, Lima
Teléfono: 202- 7030
RUC: 20545774519
E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.pe
www.edicioneslexicom.pe
Directora editorial:
Mónica Paredes Pérez
Responsable de edición:
Yisela Rojas Tacuri
Asesoría académica:
Rosario Sánchez Sánchez, Jorge Chávez Ormeño
Corrección de textos:
Monica Terrones Pacheco, Eder Gamarra Tiburcio
Jhonatan Peceros Tinco
Diseño de carátula:
Ger Orozco, Miguel Mendoza Cruzado
Composición de interiores:
Miguel Lancho Santiago, Lourdes Zambrano lbarra
Gráﬁcos o ilustraciones:
lvan Mendoza Cruzado
Retoque fotográﬁco:
Katherina Bocanegra Quino
Primera edición: enero 2020
Tiraje: 20 000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
n.° 2020-09214
ISBN: 978-612-313-806-6
Registro de Proyecto Editorial n.° 31501301900721
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
sin previa autorización escrita del autor y el editor.
Impreso en Perú I Printed in Peru
Pedidos:
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Impresión:
Aníbal Paredes Editor S. A. C.
Jr. Dávalos Lissón n. º 135 int. 201, Lima, Lima, Lima
RUC: 20538732941
Enero 2020
Publicado en febrero de 2020
MARCO HERNÁN FLORES VELAZCO
INTELECTUM 2, EDUCACIÓN SECUNDARIA

Propuesto en cuatro unidades, cada una de ellas se sustenta en variadas actividades resueltas y propuestas, cuyo objetivo es
desarrollar las capacidades de los estudiantes y consolidar los aprendizajes.
- -
•
•
•
•
•
•
1
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"'4• Cómic matemático del área
Presenta divertidas historias cotidianas relacionadas
con un acontecimiento matemático. Al final se anexa
un problema que se desprende del cómic.
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"'4• Binaria motivadora de la unidad
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�-- ---····iTemas de
� la unidad
f==:)·,
Imagen y situación
significativa de contexto ;-
matemático que, además :
de ejercitar la compresión :
·-·
lectora, activa los saberes
previos con preguntas •-·
para el estudiante.
•
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<:·.·-1 Competencias y
desempeños
IEnfoque
transversal
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"'4• Páginas que desarrollan las capacidades
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·--- Notas e
indicaciones
que refuerzan
los contenidos
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Problemas resueltos
Inicia la sección un
problema contextualizado
que servirá de base
para el desarrollo y
entendimiento de los
demás problemas.
Trigonometría 0

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•
•
•
•
Aplicamos lo
aprendido
Tiene como finalidad
evaluar los conocimientos
a través de problemas
propuestos que
desarrollarán las
capacidades del
estudiante.
•
•
•
•
1
Practiquemos
la componen una variedad de
problemas propuestos distribuidos
en tres niveles: simple, intermedio
y avanzado. Están clasificados
según capacidades.
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"'4• Páginas que cierran la unidad
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Detectives
Juegos mentales, acertijos y enigmas que se deben
resolver usando el pensamiento lateral, el razonamiento
lógico y la creatividad. El propósito de esta sección es
que el alumno plantee diversas hipótesis para obtener las
soluciones respectivas.
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Matemática para la vida cotidiana
Son problemas que responden a los intereses de los estudiantes,
los cuales se proponen en contextos matemáticos diversos.
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G) Libro de actividades 2.º año

- -
•
Razonamos con valores
Texto de temática familiar, económica, social, entre otros,
que permite el reconocimiento de los valores por parte de los
alumnos en cada narración. Está relacionado con los enfoques
transversales de la educación básica, cuyo fin es generar una
sociedad más justa, inclusiva y equitativa.
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Pruebas tipo ECE
Ejercicios que permiten evaluar y reforzar los aprendizajes de
los estudiantes para mejorar su desempeño escolar. Se basan
en la modalidad de Evaluación Censal del estudiante que el
Estado propone.
En esta sección
se sintetizan
las ideas más
importantes de
cada tema.
Resumo mis
ideas
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(,i'I "'"""'"'c•o motem6lico
Proyecto matemático
Sección ubicada al final
del libro, plantea una
actividad de indagación
con respecto a algún tema
tratado en las unidades. El
estudiante interactúa con sus
compañeros para desarrollar
el proyecto.
Trigonometría 0

UNIDAD i!
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1 ...
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Indice
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L
•
•
1 •
•
Ángulo trigonométrico y sistemas de 12 Propiedades de las razones 42
medidas angulares trigonométricas
Definición/ Sistemas de medición angular Razones trigonométricas complementarias/
sexagesimal, centesimal y radial/ Suma de Razones trigonométricas recíprocas
ángulos trigonométricos/ Conversión entre
Problemas resueltos 42
sistemas •
• Problemas resueltos 12 • Aplicamos lo aprendido 44
• Aplicamos lo aprendido 14 • Practiquemos 46
• Practiquemos 16 Razones trigonométricas de ángulos
Sector circular 19 notables
49
Circunferencia/ Área de una circunferencia/ Triángulos rectángulos notables: de 30º y 60º; de
Círculo: sector circular y área de un sector circular 45"; de 37" y 53"; de 8" v 82"; de 37"/2 v 143"/2;
• Problemas resueltos 19 de 53"/2 y 127"/2; de 16" y 74
• Aplicamos lo aprendido 21 • Problemas resueltos 49
• Practiquemos 23 • Aplicamos lo aprendido 51
• Practiquemos 53
Razones trigonométricas de ángulos
26
agudos Resolución de triángulos rectángulos 56
Conceptos previos/ Razones trigonométricas/
Casos: cuando se conocen la hipotenusa y el
Teorema de Pitágoras
ángulo agudo, cuando se conocen el ángulo
• Problemas resueltos 26
agudo y el cateto opuesto, cuando se conocen el
Aplicamos lo aprendido 28
ángulo agudo y el cateto adyacente
• Problemas resueltos
• 56
• Practiquemos 30 Aplicamos lo aprendido 58
•
• Practiquemos 60
Detectives 33
Matemática para ta vida cotidiana 34
Razonamos con valores 36
Pruebas tipo ECE 37
Resumo mis ideas • 38
Detectives
Pruebas tipo ECE
Resumo mis ideas
63
66
67
G) Libro de actividades 2.º año

UNICAC 3 UNICAC 4
_,_,.,. ,..,, ........ ,,._ .... _
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• 1
•
•
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..... ,,,.,,.. .,._, __
Sistema de coordenadas rectangulares 72
Plano cartesiano/ Ubicación de puntos en el plano
cartesiano/ División de un segmento en una razón
dada/ Distancia entre dos puntos/ Radio vector/
Coordenadas del baricentro de un triángulo/
Área de una región triangular
• Aplicamos lo aprendido 74
• Practiquemos 76
102
103
105
102
108
Reducción al primer cuadrante
Definición/ Casos: ángulos menores que una
vuelta, ángulos mayores que una vuelta, ángulos
negativos
• Aplicamos lo aprendido
• Practiquemos
Sistema métrico decimal 115
Definición/ Unidades de longitud/ Unidades
de masa/ Unidades de superficie/ Unidades de
volumen/ Unidades de capacidad
• Practiquemos 119
Identidades trigonométricas
Definición/ Clasificación de identidades
trigonométricas: identidades recíprocas, por
cociente, pitagóricas/ Identidades auxiliares
• Practiquemos 112
86
88
90
79
81
83
79
86
Razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal
Ángulo en posición normal/ Ángulos
coterminales / Razones trigonométricas de
ángulos cuadrantales/ Razones trigonométricas
de ángulos en posición normal
• Practiquemos
Ángulos verticales
Conceptos preliminares/ Ángulos verticales: de
elevación y de depresión
• Practiquemos
Detectives
Pruebas tipo ECE
Resumo mis ideas
93
l 94
96
Detectives 122
Matemática para la vida cotidiana 123
Pruebas tipo ECE 124
Resumo mis ideas 125
Proyecto matemático 127
Trigonometría 0

Al terminar de construir la casa del árbol, Dina quiere conocer la altura de esta. Ella se encuentra a 6 metros de
distancia del árbol y se pone a observar la casa. Su linea visual forma un ángulo de 8º. Dina recuerda que midió
la distancia de la base del árbol y la base de la casa con una cinta métrica, y obtuvo 6 m. Calcula la altura de la
casa del árbol si se sabe que Dina mide 1,5 m de altura.
Resolución:
Reemplazamos en (1).
h = 6tan(8" + 37") - 4,5
h = 6tan45º - 4,5
h = 6 - 4,5 = 1,5 m
Hallamos el ángulo de elevación UH en el triángulo
rectángulo que se forma.
tanp =
4
•
5
m = 1. � p = 37"
6m 4
En el dibujo vemos que la distancia {d) se calcula así:
d = 6 m -1,5 m
d =4,5 m
:. La altura de la casa del árbol es de 1,5 metros.
T
h
1
6m
1
d
••
6m
T
l,S m
L .ll,_ (é$1_
Vemos que, para hallar la altura de la casa (h), Dina tiene
que aplicar la teoría de ángulos verticales y razones
trigonométricas de ángulos agudos (se forman triángulos
rectángulos). De la gráfica, se obtiene lo siguiente:
tan(B"+PI= h:d =h=6tan(8"+Pl-d ... (1)
Graficamos.

Es el ángulo que forma el tubo de dirección (tubo delantero) con respecto a la horizontal del suelo. Se considera un
parámetro muy importante, pues de acuerdo a los valores que tome, la bicicleta será más estable, girará más rápido y
permitirá una mejor reacción. Esto sumado a más seguridad a la hora de bajar y una absorción de impactos más efectiva.
El ángulo de dirección de una bicicleta se puede dividir en tres tipos diferentes, según el modelo en cuestión. Los ángulos
de dirección más abiertos, de entre 70º y 72º, son utilizados por las bicicletas orientadas a la competición de maratón
(cross country). En el otro extremo, tenemos los ángulos de dirección cerrados en torno a los 63°, presentes en las
bicicletas de competición de descenso {downhill). Entre ambos extremos angulares, 66º y 68°, encontramos las bicicletas
montañeras (enduro y trail running).
�� ¿Qué es el ángulo de dirección? ¿Cuál es su importancia?
�� ¿En qué sistema de medición angular está el ángulo de dirección?
�� Según el ángulo de dirección, ¿cuáles son los tipos de bicicleta?
�� Investiga cuáles son las cuatro modalidades de ciclismo permitidos en las olimpiadas.

Ángulo de dirección (O)
• Bicicleta de maratón:
1o·ses1r
• Bicicleta montañera:
66º :5 8 :5 68º
• Btcicleta de descenso:
62" :5 8 :5 64ª
Temas de la unidad
• Ángulo trigonométrico y sistemas de
medidas angulares
• Sector circular
• Razones trigonométricas de ángulos
agudos
Competencia
• Forma, movimiento y localización
Desempeños---......
• Diferencia los ángulos negativos de los
positivos.
• Representa gráficamente un ángulo
trigonométrico.
• Aplica la relación dada para realizar
las conversiones.
• Evalúa los sistemas angulares y su
proceso de conversión (sexagesimal,
centesimal y radial).
• Utiliza las notaciones al realizarlas
conversiones.
• Analiza las distintas relaciones dadas
para el cálculo del área del sector
circular.
• Calcula el valor de la longitud de arco
y el área del sector circular.
• Identifica, gráficamente, un arco
dentro de una circunferencia.
• Identifica los elementos de un
triángulo rectángulo (cateto opuesto,
cateto adyacente e hipotenusa).
• Describe cada razón trigonométrica
(seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante).
• Aplica propiedades al calcular las
razones trigonométricas de ángulos
agudos.

•• Tema1
�� Ángulo trigonométrico y sistemas de
medidas angulares
Un piloto astronauta de un cohete espacial le pide a su asistente que calcule
el ángulo exacto para mtroductr!o al sistema del cohete y poder despegar con
segundad. El asistente le da al piloto el ángulo 88,872° y este último responde
que lo necesita en grados, minutos y segundos sexaqesrmales. Ayudemos al
asistente a convertir el ángulo según el requerimiento del piloto.
• Tenemos
o= 88,872° = 88º + 0,872°, por conversión 0,872° x (��·) = 52,32'
( 60"
O= 88º + 52' + 0,32', por conversión 0,32' x T) = 19,2"
• Finalmente, el ángulo solicitado es e= 88º 52' 19,2".
d
l'
1
"
<
a
j
1•
aº b' e" =aº+ b' + e"
Donde: b < 60
e e 60
...................................
Los minutos y segundos
sexagesimales sirven
para representar valores
menores a lºyl',
respectivamente.
Notación del ángulo
en grados, minutos y
segundos
.·························A�Stti
= R = 66 . n = Un
9. 20 30
66 20R
=
9
3a
En el problema: x + 608 = 180º ... (1)
Convertimos 608 al sistema sexagesimaL
Sabemos· .i = J;__ = .i = 60 = S = 54 = 608 = 54º
. 9 10 9 10
En (1): x + 54º = 180º = x = 126º
Aplicamos la propiedad: y+ 120º = 180º = y= 60º
Entonces: x - y= 126º - 60º = 66º
Ahora, 66º a radianes:
Sabemos: .i = 20R =
9 n
(x - y) rad = 1; rad
2a + n/9
Ahora, pasamos los ángulos a sentido
antihorario y sumamos.
u-(lü°-u)+3a- (-30º)+2a+20"=180"
a-10º +a+ 3a + 30º + 2u + 20º = 180º
7a. = 140ª = a = 20º
Resolución:
Convertimos los ángulos a sentido
antihorario.
3x+ 60º -(40º- x) = 90º
3X + 60º - 40º +X= 90º
4x + 20" = 90"
4x=70ª = x=17,5ª
40º - X
Se cumple que
u+9=180º
x en el gráfico.
Ejemplo 2
Halla el valor de a. (a está en el
sistema sexagesimal).
Ejemplo 3
la figura ABCD es un trapecio.
Halla (x - y) rad.
B C
Resolución:
Por propiedad, si l1 /I L2.
Resolución:
Convertimos todo al sistema sexagesimal.
-1L X [ 180º l = 10º
18 rt
- � X
[ 1�0º
l = -30º
; X
[ 1�0º
l= 20º
t� Suma de ángulos trigonométricos
Ejemplo 1
Determina el valor de
@ Libro de actividades 2.0
año

Ejemplo 2
Calcula el valor de e = 135°, - ---1!_.
2oom
{� Subunidades
Ejemplo 1
Se tiene 3,45º = aº be';
calcula a+ b + c.
Resolución:
3,45º = 3º + 0,45º
045º X [6º'
l= 27'
' 1"
Luego: 3,45º = 3º 27'
t ti
a be
a + b +e= 3 + 2 + 7 = 12
i!� Conversión entre sistemas
Resolución:
3º =3º X[;�']= 180'
2• = 2• X
[ l��m
l= 200m
Reemplazamos en c.
cr = 180' _ 2oom = 12 _ l
15' zoo» cr= 11 Se cumple para las
subunidades de los
sistemas sexagesimal y
centesimal:
Ejemplo 1
Calcula E= B + C - A en grados sexagesimales si
A= 270º - ; rad, B = 400' - 90º, e= 53" rad + 110•
Resolución:
A= 270º - (1!. rad) x 180º
2 rt rad
A= 270º - 90º = 180º
8=400' X [ 18ºº ]-90º
200•
B = 360º - 90º = 270º
e =
5
" rad x [ 18
ºº ] + 110• x [--2:...]
3 n rad lOg
e = 300· + 99· = 399·
E = 270º + 399º - 180º
:.E=489º
-� s e
'-·bun�
Minutos 60' ioo=
Segundos 3600" 10 0005
.·························4�1&1
f De las equivalencias, para
el sistema sexagesimal y
centesimal:
Ejemplo 2
Señala la medida sexagesimal de un ángulo que verifica 35
c + 33 = 125; 3C,
si S y C son lo conocido.
Ejemplo 3
Calcula la medida en el sistema circular de un ángulo si la diferencia del número de
grados centesimales y sexagesimales es a su suma como tres veces el número de
radianes es a lOn.
330=60S-21X 1¡s
99 = 115 .'. S = 9
conversión
factores de
Para transformar un
ángulo a. de un sistema
A (inicial) a un sistema
B (final), el factor de
conversión es de la forma
b = sistema final
a = sistema inicial
Se considera que a y b son
medidas de un mismo
ángulo en los sistemas A y
B, respectivamente.
180º = 200g
9ºX20=1D'X20
___/ Atención
Luego:
•1=�}
. lOg
: lOg
: •1=-
..... 9•
� R = lOn rad
57
3R
lOn
1
19
La medida en grados sexagesimales
es 9º.
Del corolario, igualamos a una constante.
� = J;_ = k � S = 9k A C = lOk
9 10
10k-9k 3R
lOk + 9k lOn
Resolución:
3( + 33 = 125 - 3(
5 2
3( + 165 = "1=2�5
_-�3=(
5 2
6( + 330 = 605 - 15(
330 = 605 - 21(
Resolución:
Sean
S: n.º de grados sexagesimales,
C: n.º de grados centesimales,
R: n." de radianes.
Entonces, de la condición:
C-S 3R
=
C + S lOn
J•
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1
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j
u
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"
j
Trigonometría - UNIDAD 1 @

ITf:MA 1.Ángulo trigonométrico y sistemas de medidas angulares
Modela objetos: 9 Comunico su comprensión: 1-2 Usa estrategias y procedimientos: 3-7; 10 Argumenta afirmaciones: 8
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
A)a-P=90º
8)a +P +e +30º= 180º
C) 30º +O= 90º
D)a +p-e = 150º
C)FVF
8)VFV
E)FVV
2. Escnbe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
l. 360º > 2n: rad
11.1º=60'
111.9º < 10•
A)WV
O) FFF
3. Si OT es bisectriz del ángulo BOC, calcula x.
e
V'
A ' • 8
o
A)a-, 8)a + rr C)2a-,
O)'¡-• E) 2 +rr
4. Halla el valor de a en radianes.
d
5. Si S y C son lo conocido para un ángulo no nulo,
reduce E.
A) ; rad
O) 1; rad
A) 171/32
C) 271/130
E) 31/30
8) � rad
E) 2•0 rad
s2
+c2
+sc
E= se
8) 271/90
O) 271/180
C) 1; rad
l'
1
"
<
a
j
1•
año

6. Si S y C son el número de grados sexagesimales y
centesimales para la mitad de un ángulo recto, halla
elvalorde ��·
A) .l
2
O) 5
B) 2
E) 6
C) .1.
3
7. Si n es el número de minutos sexagesimales del
ángulo 509, calcula M.
M = 3/ian + 30
4
A) 25
O) 40
8) 13
E) 15
C) 10
8. Si9º<>109,
¿a cuántos minutos centesimales equivale un minuto
sexagesimal?
9. Se tiene una recta AB con centro en O; desde O
salen tres rayos OP, OQ, OR consecutivos, tal que
mLBOP= 7,25º, mLP00=9,B'y mLQOR= 8 rad.
Halla la suma de estos ángulos en el sistema
sexagesimal.
�
o
z
'o
A) 15º 15' 3"
C) 42º 12' 12"
E) 39º 05' 40"
B) 38º 34' 12"
O) 45º 39' 15"
C) Jrr rad
50
E) k rad
3
B) � rad
41
A) k rad
20
O) k rad
10
¡
.¡g 1 O. Indica el error que se comete al escribir 1089 en lugar
j de 108º. Da la respuesta en radianes.
u
<
"
j
J•
50101)�

Practiquemos
CAPACIDADE&,---------...
Modelo objetos: 30
Comunico su comprensión: 1·2; 11-12; 21-22
Usa estrategias y procedimientos: 3·8; 13-17; 23-25
Argumenta afirmaciones: 9-10; 18-20; 26-29
1. Determina el ángulo expresado correctamente en grados,
minutos y segundos.
1:@••--------
A) 30º 99' 7"
C) 25º 59' 59"
E) 1 O' 59' 30'
B) 19º 69' 69"
D) 101' 101m 101'
6. Del gráfico, halla x.
a
X
A) 90º - a
B) 90º +a
C)-90º - u
D) a - 90º
E) 180º -a
2. Relaciona segün corresponda. 7. A partir del gráfico, calcula n; 5 si el rayo 08 es bisectriz
del ángulo AOC.
A)1º.
9
B) 1;0
C) n.' de segundos
del ángulo C9.
O) n.' de minutos
del ángulo Sº.
3. Del gráfico, halla O.
( D) 60'
( A ) Factor de conversión de
sexagesimal a centesimal
( B ) Factor de conversión de
sexagesimal a radial
I e J 10000'
A)8
D) 15
e
B) 12
E)5
C) 10
4. Del gráfico, determina el valor de x.
B) 81º
E) 85º
d
C) �. rad
16
E) � rad
B) 3n rad
l'
1
En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide rt/1 O rad. �
¿Cual es la medida centesimal del otro ángulo agudo? �
,,,
D) ; rad
A) 2n rad
8. Observa la siguiente figura y halla la suma de sus ángulos.
9.
•
•
C) 75º
�
45º
�
55º
30'
•
•
A) 60º
D) 30º
5. Reduce M = jC+S + /C+S +17 siSyCson
C-S V C-S
los números convencionales para un mismo ángulo.
C) 60'
C) ; rad
B) 50'
E) 80'
B) ; rad
E) � rad
A) ; rad
D) 2'. rad
5
A) 409
D) 709
1
10. Si un ángulo mide (7x + 1)º y también (9x- 5)9, ¿cual es su g
medida en radianes?
C) 39º
C) 3
B) 30º
E) -39º
B) 2
E) 5
A) 45º
D) -25º
A) 1
D) 4
año

16. Escribe adecuadamente los siguientes sistemas de medida
angular: 45º 125' 450" y 121' 21om 340'
11. Analiza e indica valores de verdad o falsedad.
12. Determina s1 las expresiones son correctas o incorrectas.
l. Sü"> 51' 111. n rad < 27" + 27'
{x+21Jº
C) 52º
O) 60º _;¡_ rad l612
r
' 3 ' 9
B) 62º
E) 56º
C) 59º _;¡_ rad l6
1
ºr
' 3 ' 9
E) 60º 2é rad l6
1
ºr
' 3 ' 9
A) 72º
D) 36º
A) 47º 12' 30" y 123' 13m 40'
B) 47" 13' 35" y 123' 13m 40'
C) 60º 20' 30" y 1239 13m 40'
O) 47" 12' 30" y 123' 13m SO'
E) 30º 12' 47" y 124914m SS'
17. En un triánguloescaleno, la medida de susángulosson números
enteros consecutivos en el sistema sexagesimal. Halla
el menor ángulo en el sistema sexagesimal,
• el ángulo intermedio en el sistema radial,
• el mayor ángulo en el sistema centesimal.
A) 60º,
2 rad, 91' B) 59º,
3 rad, [ 6�1
j
18. En un triángulo, dos de sus angulas miden 70g y 509. ¿Cual es
la medida sexagesima! del tercer angulo?
C)FW
IV. 99º <
2 rad + 99
B)VFV
E)FFV
A)VFF
D)WF
l. xº <309
11. xº < > 109
111.xg<> 21t
0 rad
11.54º+ � =95'
B
C) 21 •
w rad
X
B) 20º
E) 36º
A) 18º
D) 32º
20. la suma de las medidas de dos ángulos sexagesimales es 409
y su diferencia es ; rad. ¿Cuanto mide el angulo mayor?
19. En un triangulo rectángulo, dos angulas agudos miden
( 16�n )9 y (14n)º. ¿Cuál es el valor den?
A) 1 8)2 C)3
D) 4 E) 5
1�w,.... _
21. Del triangulo isósceles:
C) 252º
C) 270º -P
ªºº
X
°'o-/:---•A
B) 240º
E) 282º
B) 360º + p
E)180º-P
30º
e
A) 360º -P
O) 270º + p
A) 232º
O) 260º
�
o
z
'0
14. De la figura, determina el ángulo 0.
1
f¡
j
u
<
"
j
Si S {eC =
3�2
, el número de radranes R será
n
y
analiza las siguientes expresiones:
l. a e-b 11. 10a=9b
J
0
15.
•
A) 10n
3
o¡in.
3
B)�
3
E) .fil
3
C) 7n
3
A) FVF
D)FW
aº
B)FFV
E)FFF
111. 180w < na
C)VW

22. Completa el recuadro e indica el valor de A.
A= (3a-nb+c)d
Sexagesimal Centesimal Radial
aº 409 d rad
171º
bº e' lrr. rad
5
A) 30
O) 13
B) 15
E)24
C) 17
26. Corrige las siguientes expresiones:
l. 48,59 47,8m 220'
A) 30' B) 490 C)60' O) 40' E) 109
11. 43,2º 105,3' 162"
A) 45º B) 40º C)43º O) 41º E) 48º
27. Si el número de grados centesimales de un ángulo sumado al
cuadrado de su número de grados sexaqesrmales es igual a
91, ¿cuál es la medida circular del ángulo?
23. Halla x.
A) n rad
D) 1; rad
B) � rad
E) {o rad
C) � rad
xº (x + 17)9
28. ¿Qué relación cumplen a, (3 y 0?
A) 25
0)64
24. Determina x
8)30
E)63
C) 35
A)P+O+a=300'
B)P-0 -a =200'
C)P-O+a=180'
D)P+O-a=120'
E)P-O+a=120' as·+ o
68º + 20
t -cc tÁS ·9z 3 'zz o '6� v "Sl a·u o .• o .•
8 -ee a -se V ·�z V ·9� 3 "tl 2 131JN 3 ., 3 -e
.,
3 -ee o "tZ li: 131IN ::)'H a·n a ·o� 8 ., o.,
3 -ce 3 -ce o -ee V ·9� ••• 3 ., 3 -s l 131IN
501101).
25. Del gráfico, indica el valor de x.
29. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide 1; rad.
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos congruentes?
d
l'
1
"
<
a
j
1•
.·,,t,-
'K) 2
·9 �
.fi ,1.
.7 G ,)_
C) -45º
C) 74º
------�,.
B) 84º
E) 78º
B) +60º
E) -30º
Rosario observa que el reloj de
su sala marca las 3:00 p. rn. ¿Qué
ángulo habrá girado la manecilla
del horario cuando sean las
5:00 p.m.?
A)-60º
D) +30º
A) 82º
D) 76º
30.
C) 30º
C) 1800
1819
B) 1900
1919
E) 1800
1891
B) 27º
E) 45º
O) 130
A) 18º
O) 35º
A) 100
año

Un arquitecto quiere representar un arco romano en una maqueta. Su
objetivo es saber cuánto mide el arco de la media circunferencia del
arco romano y, con ese dato, llevarlo a escala más pequeña.
Según la foto, halla la longitud del arco romano.
• Tenernos
long. de arco = 0 x R
long. de arco= n x 3 rn
• Finalmente, la longitud de la media circunferencia de radio 3 mes 3n rn.
Ejemplo 1
Calcula la longitud de un arco
correspondiente a un ángulo central de
30" en una circunferencia de 10 m de
radio.
Resolución:
Se sabe lo siguiente:
10 m �
L=RX0 __..--::
Y �30'
en radianes
Ejemplo 2
En un sector circular, el ángulo central
mide 508 y el radio 2 m. ¿Cuánto mide
el arco?
Resolución:
De la fórmula:
L= R xe
y
en radianes
_/ Observación
---
El uso de las expresiones
dependerá de los datos
que el problema contenga
para facilitar el cálculo de
los mismos.
Usamos el factor de conversión.
L = 10 X 30' X 1;0, => L = s3n m
Usamos el factor de conversión.
L = 2 X 508 X _n
_ � L = 2L m
200• 2
Veamos otras
expresiones para
calcular el área de un
trapecio circular.
IS= aR1;
bR2
l
S = Q_(R[ - Rj)
2
De la fórmula: L = R X O
y
en radianes
8=R2X2 -4 R2=4m
6=R1X2 -4 R1=3m
De la fórmula para el área:
s, = ( 8; 6) (4 - 3) = 7 m2
Bm
______,J
�
�
0
2 rad
o
Ejemplo 3
Calcula el área de la región sombreada del siguiente gráfico:
�
.z
.§' Resolución:
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
Ejemplo 4
En un sector circular, el arco resulta
ser el doble del radio. ¿Cuánto mide el
ángulo central?
Resolución:
R
0 2R
Dato: L = 2R
Se sabe que L= R x0.
Igualamos.
2R = R X 0 => 0 = 2 rad

Ejemplo 5
L + L
Del gráfico, calcula T = 2 3
l1 + L4
o
4
e
L,
E
B
L.,
Resolución:
Del gráfico:
L1;8x5;58
L2;38X5;158
L3;8Xl;8
L4;38Xl;38
Reemplazamos.
T; 158 + 8 ; 168 ; 2
58+38 88
.'. T; 2
./ Recuerda
A
o
�
Donde:
S<1Aoe= área del sector
circular AOB.
LAB: longitud de arco
AB.
F
• El incremento de
un mismo radio (R)
produce un incremento
.:·························�=,
[ Se tiene un sector circular
j de radio R y área S.
4m
D
e
B
O Orad 2m
A
3m
3m
Ejemplo 7
En la figura, calcula el área del sector
circular AOB.
2---' e
,,,..--:
x--2 D
3/.:...-- s,
� 30' G
O 45º A B
s,
Ejemplo 6
Del gráfico, calcula el perímetro de la
región sombreada.
E
Resolución:
• Hallamos el perímetro de 51.
L- - 30' X n x 7 - 7n
CB - 180' - 6
L¡¡¡; ; 30' X l�' X 5 ; 56n
D(; 2 AAB; 2
;;.) Perímetro de 51
7n + Sn + 4 = 2n + 4
6 6
• Hallamos el perímetro de 52.
L-;45•x-n-x5; 5n
AE 180' 4
L¡¡¡ ; 45' X l;O' X 3; 3:
AG; FE; 2
;;.) Perímetro de 52
Srt + 3n + 4 = 2n + 4
4 4
perímetro total= perímetro (51 + 52)
:. perímetro total= 4n + 8
Resolución:
Por propiedad:
8;Lcii_L;;¡;
()
AC ... 1
Datos:
LC[) = 4 m, LAS = 2 m y AC = 3 m
En(l):O; 4;2
; ; � 0; ; rad
Luego, calculamos el área del sector
circular AOB.
L'
S<JAOB:;;;; 29
Dato: L = 2 m
Reemplazamos.
S
_(2f-.!3;3m2
<lAOB - 2(;) - 4
:. s<lAOB = 3 m2
de área proporcional a
los números impares
de S.
• Se invita al estudiante
a comprobar esta
relación.
./ Observación
---
R
o
La medida del ángulo de
una vuelta (m L lvuelta)
en el sistema radial es
2n rad.
Entonces, la longitud de la
circunferencia {Lcl será
L,; 8R; (2rr)R
:a;,
[
le= 2nR)
año

ITCMA 2 .Sector circular
Modela objetos: 10 Comunico su comprensión: 1 Usa estrateg,as y prcceoumentcs- 2-6 Argumento afirmaciones: 7-9
1. Del gráfico mostrado, escribe verdadero {V} o falso (F)
según corresponda si a, p y e están en radianes.
E
1-2 m--l
o�'-,-;;-)'�--f-'
--,.J
A)L¡¡=3am
B)L¡j=7(p+e)m(
C) Lio=5P m
LJ:.
A 2cm e
Del gráfico, calcula el área de la región sombreada;
OBC es sector circular. A} (2 + .11.) cm2
2
B) (3 + �) cm2
C) (2 + n) cm2
D) (3-1!.) cm2
2
E)(2 - ")cm2
2
2. Del gráfico, calcula x.
A) 20n
3
20
A
B) 10n
D 3
o 48º x 12:t C) 20n
7
e D) 10n
20 B 7
E) 10n
9
3. Halla el área de la región sombreada.
4m
A) 4(n-1) m2
B e
B) 2(2n - 2) m2
4m
C)5(n-1)m2
D)8(n-2)m2
A D
E) 4(n-12) m2
4. Del qráñco, calcula el perímetro de la región
sombreada.
A) n + 12
B)n+212
2
C) rt -12
D)n-212
2 B
E)n+312
J•
�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j 5.

6. Del gráfico, calcula x + y.
a
A)a
O) 2a
o
B) 3a
E) 4a
a y
C)Sa
7. Según la gráfica, se tiene un sector circular de radio R
y área S.
R'
R'
Rx 75
Rx 3S SS
''�aL:=---i__L__,__
Demuestra que el incremento de un mismo radio R
produce un incremento de área proporcional a los nú-
meros impares de S.
8. En un sector circular el ángulo central mide 60º y el
radio 4 cm. ¿Cuál es el área del sector?
A) � cm2 B) Bn cm2 C) 3n cm2
3 3
O) 6n cm2 E) 4n cm2
9. En un sector circular, el arco mide 4n cm y el radio
9 cm. ¿Cuál es la medida del ángulo central?
A) 120º B) 30º C) 40º
O) 60º E) 80º
10. El área de un circulo es igual a 25n cm2. Calcula
la longitud de arco de un sector circular si tiene un
ángulo central igual a � rad.
A) 3n cm B) 2,Sn cm C) 4n cm
O) rt cm E) O,Sn cm
año
v »
. '
501101).
d
l'
1
"
<
a
j
1•

CAPACIDAD�E;.::&:,--------------------..,
Modelo objetos: 24 Comunica su comprensión: 1-2; 11; 15; 21; 25
Usa estrategias y procedimientos: 3-5; 13-14; 16; 19; 23 Argumenta afirmaciones: 6-10; 12; 17; 18; 20; 22; 26-28
6. ¿Cuál será la suma de las áreas de las regiones sombreadas?
5. Halla L1 + L2 si Mes punto medio de OB.
o.=� rady0A=4R
A
C) 48rr cm2
C) 40'
C) 3rr cm2
C) 15 cm
B) 10 cm
E) 20 cm
B) 32n cm2
E) 24rr cm2
B) 509
E) 309
B) 2n cm2
E) 5rr cm2
s, '
A) ];l.,L2
' 40
'
' B) .1!l.,L2
' '
'
' ' 20
''
C) 1Q.,L'
''
' 49
'
' O) .1!J.,L2
40
E) li,L2
40
A) 30 cm
O) 25 cm
En un sector circular, el arco mide 2rc cm y el radio 8 cm. ¿Cuál
es la medida centesimal del ángulo central?
A) 16n cm2
O) Brr cm2
En un sector circular, el arco mide 2n cm y el radio 16 cm.
¿Cuál es su área?
En un sector circular, el ángulo central mide 30º y el radio
213cm. ¿Cuál es su área?
A) 459
O) 20'
A) it cm2
O) 4rr cm2
L,
o a
M
a B
L,
e
A)nR B) 2nR
C)3nR 0)4nR
E) 5nR
En un sector circular, el arco mide 3n cm y el ángulo central
mide 609. ¿Cuánto mide el radio?
C)VW
a
B)WF
E) FVF
o
R
De la figura, analiza las proporciones.
e�,
35
'
L,
s .1
a es igual a � rad.
11. L2 es 3 veces L1.
2
111. Si R = L2, S =
ª;
1
A)VFV
D)FFV
2. De la figura:
1.
•:@••--------
indica la proposición verdadera.
A) la suma de S1 y S2 es igual a S3.
B) S1 es el doble de S2. 7.
C) la diferencia de S3 y 51 es igual a S2.
�
O) S3 es el doble de S2.
o
E) El doble de S1 más S2 es igual a S3.
z
'o
3. Halla el área de la región sombreada. 8.
1, e A) 2L m2
�
? B
2
¡ B) 2L m2
1 o 20• 3
,,
' A ,D C) 2rr m2
3 m: -.
e,
' ' '
D)rrm2
, 7 m '
u
' 9.
< '
' '
E) 3rr m'
" -...., ,
1 2
o
• 4. Del gráfico, calcula R.
'o
A
'
" A) 50 m
ur
R
• B) 51 m 10.
24n m
o C) 52 m
R O) 53 m
B
E) 54 m

11. De la figura:
10L
indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
l. El área del sector circular AOB es 12,5 L2.
11. La medida del ánguloAOB es 1t rad.
111. la medida del lado OAes 2l.
A) e,R, + e,R, + e,R, + e,R,
B) o,R, + o,R, + 20,R,
C) 201R1 + 203R3
O) 401R1
E) e,R, + o,R, + e,R, + e,R,
15. Relaciona según corresponda.
R_/o
�;.,
A)FW
D)VFF
12. De la figura:
B)VFV
E)WF
B
C)WV
l. Si R1 = 2R2, entonces
11. Si R1 = 3R2, entonces
e
s
ª_1_=4
. s,
b. ;2
= 3
1
A
111. Si R1 = 4R2, entonces
s
c. s� =5
¿cuánto aumentó el área del sector circular?
16. Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo
central de 60º en una circunferencia de 48 m de diámetro.
17. En un sector circular, el ángulo central mide 409 y el radio
2./s cm. ¿Cuál es su área?
C)8• m
C) 3• cm2
C) 3S
B)2S
E) .§_
2
B) 2, cm2
E) 4• cm2
8)7• m
E) 10, m
A)6• m
D) 5, m
A) S
D)4S
A)• cm2
D) E. cm2
2
�
18. ¿Cuál es el área de un sector circular cuyo ángulo central mide
;
,.
45ª, y su arco correspondiente, rt cm? d
A) rt cm2 B) 2, cm2 C) 4, cm2 �
,
D) .E. cm2 E) .B.. cm2
l
4 2
'
�
19. Calcula el área de un sector circular, cuyo arco mide 21t cm y 1
e
el ángulo central 60º.
"
<
A) rr cm2 B) 2, cm2 C) 3s cm2
a
i
D) 4• cm2 E) 6, cm2 •
"
"
'
En un sector circular, el área es S. Si duplicamos el radio,
�
20. "
w
•
E
si se cumple que S2 = S3,
¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
A) S1 es el triple de S3.
B) S3 es igual a S1•
C) a es el tnple de O.
O) S1 es la mitad de S3.
E) a es el doble de O.
13. Del gráfico, calcula el área de la región sombreada.
A A) 14 m2
7m
B) 12,5 m2
5m
D
o s t2m
C) 10 m2
5m O) 8,5 m2
e
E) 9 m2
7m
B
14. Halla el perímetro de la región sombreada.
año

21. Relaciona las figuras con la medida de su área sombreada.
l. ª·92m'
4/nm
25. De la figura, determina cuál es la relación entre
Demuéstrala.
Al 60,5 m2
BI 25 m2
C) 70 m2
O) 50 m2
El 78,5 m2
Al
(2,8_01[(�:)+1]
8) !,(Rl-RO
C) (2,8_0¡(Rl+R¡j
DI O(Rl- R¡j
El
(2rr9-01[(�;)'-1]
:'si
- - .
R,
24. Ornar tiene una parcela en forma de trapecio circular donde
siembra alverjas, como se aprecia en el gráfico. Halla el área
de dicha parcela. Considera que rr = 3, 14.
C) Id, lla, lile
BI Id, lla, lile
El Id, lla, lllb
e
ru6
b. 40 m'
n
e. l. m2
1rad 3m 2
d. 3� m2
40º 4m e. 24 m2
rr
111.
Al Id, lle, lllb
DI Id, llb, lile
11
22. De la figura:
otº�s,�"�8t::::�ºjE��s,�J,c
En un sector circular cuyo angulo central mide 60º y su radio
mide 12, ¿cual es su perímetro?
A
R F 26.
Al 2(6 + rr)
DI 4(6 + rr)
813(6 + rr)
E16(4+n)
C) 3(4 + rrl
28. En un sector circular de área 12n cm2, el arco se duplica y el
radio se triplica; así se obtiene un nuevo sector circular. ¿Cuál
es su área en centímetros cuadrados?
27. Se tiene un sector circular cuyo angulo central mide 36º.
¿Cuanto hay que aumentar al angulo central de dicho sector
para que su área no varíe si su radio disminuye en un cuarto
del anterior?
C) 32º
Cl48rr
y .•
8 ·,
o -s
v-s
BI 36rr
El 72n
8136º
El 25º
3 .,
o .,
3 'z
8 .,
'f 13/IIN
5010l)s
y.,
a·u
8 ·o�
2 "13/IIN
Al 24rr
DI 60rr
Al 28º
DI 30º
4 A18
x BI 6
12 15 C) 12
x DI 14
4 El 16
a -se 3 'zz 3 '6�
3 -se 3 ·�z 8 ·g�
3 'az 3 ·tz E "131IN 8 'H
v -ce 3 'tZ o ·oz o ·9�
Halla x.
¿qué se debe cumplir para que S1 y S2 sean iguales?
A) a y O son iguales.
BI 0 es el doble de a.
C) a y e están en razón de 1 a 2.
O) a es la tercera parte de 0.
E)a esa O como 1 es a 5.
�
o
z
'o
1,
�
? 23.
¡
1e,
u
<
"
1o
•
'o
'
"
ur
•

•• Tema3
�� Razones trigonométricas de ángulos agudos
Un topógrafo quiere saber la tangente del ángulo de inclmacrón de un
cerro. Ya cuenta con la longitud inclinada del cerro y la altura. Halla la
tangente s1 fueras el topógrafo.
• Por el teorema de Pitágoras:
5002= 3002 + x2
• Entonces: x = 400
• Finalmente:
tan8 = 300/400
tano = 3/4
Ejemplo 1
Del gráfico mostrado, calcula tan9.
B
�
A 15 C
Resolución:
Del gráfico, por el teorema de Pitágoras:
152 = 122 + AB2
AB2 = 92 = AB = 9
Piden tan0.
8 -�c
a�t�e�t
o�o�
p
�u�es�t�º-
tan =
cateto adyacente
tanO = 11. = �
9 3
_/ Atención
---
Para un ángulo,
conocida una razón
trigonométrica, se
pueden hallar las demás.
Ejemplo 2
En la figura, si tana = !,calcula tan2a.
e
Ejemplo 3
Si sec8 = 1; , calcula A= 1
s2 cote + 4.
e
Las razones
trigonométricas
dependen únicamente
de la medida del ángulo,
es decir, no de las
longitudes de los lados
del triángulo.
l'
1
De los �OBA, �ODC y �
�OEF, la definición del ui
j
senS=AB=CD=EF.,
........Aº... C�··· .F°. . 1•
seno será
'
.··················-····4�Md
Por el teorema de
Pitágoras:
12k (13k)2 = CB2 + (Sk)2
es'= 144k2
CB = 12k
13k
Sk 5
Entonces, cotO =
12k = U.
A = 11.cotS + 4
5
A= _g_ X Í.. + 4 :. A= 5
5 12
a
A B
Resolución:
sed} = .!1 = hipotenusa = 13k
5 cateto adyacente Sk
e
o
L.L_S_k�B
6
6
6
11
2
� 9x = 24 - -ª-
2
»:
A-"""-'-"-e-��L..-'c.::.��B
X 2x+l/2
tana =l.= 6
4 3x + .1
2
9x + � = 24
9x = 45
2
a
A-""":....J."-�,
��-L�2�
,
-+�1�/�2
.UB
Resolución:
Luego:
- 6
tan2a -
5 1
=
2
(-2)+2
· tan2a = 11..
. . 11
año

�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
Ejemplo 4
Halla el perímetro del triángulo.
B
�
A 13 C
Resolución:
e
2k=20m
e
Ak=l0m8
tanü = 2 = cateto opuesto = 2k
cateto adyacente k
Resolución:
B
Sk 3k
A
0
e
4k
Primero, determinamos el sene.
seno = .1 = lli
5 Sk
Por el teorema de Pitágoras:
(Sk)2 = (3k)2 + Ae2
16k2 = Ae2
4k=Ae
Resolución:
El perímetro es AS+ AC + BC
2p = 5 + 13 + Be
Hallamos BC por el teorema de
Pitágoras.
132 = s2 + se'
169 - 2s = se'
144 = se'
se= 12
El perímetro del L1ABC = 5 + 13 + 12
:. 2p = 30
Pero k = 10 m -> 2k = 20 m
Por el teorema de Pitágoras, calculamos AC.
Ae2 = 102 + 202
AC2 = 500
Ae2 = 5 X 102 � Ae = 10/s m
2p=10m+20m+10/s m
:. 2p=l0(3+ fs)m
Luego, por dato
área= semi perímetro
(4k)(3k) _ 12k
2 2
12k2 = 12k
k2=k�k=l
Entonces, los lados del triángulo son
/ Importante
---
Como puedes observar,
para demostrar las
longitudes de los lados
correspondientes a
los ángulos A, By C,
usaremos las minúsculas
correspondientes para
asociar dichas longitudes
con sus ángulos.
-.
b
Ejemplo 5
Se tiene un triángulo rectángulo ABC donde la tangente de uno de sus ángulos
agudos es 2; además, el cateto de menor longitud mide 10 m. Halla el perímetro
del triángulo.
Ejemplo 6
Halla la medida de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo si se sabe
que su área y su semiperímetro tienen el mismo valor numérico; además, la medida
de todos sus lados son números enteros. El seno de uno de sus ángulos agudos es �.

ITf:MA 3_ Razones trigonométricas de ángulos agudos
Comunica su comprensión: 1 Usa estrategias y procedimientos: 2-6; 8-9 Argumenta aflrmaclones: 7
1. A partir del siguiente MBC, ¿qué proposiciones son
verdaderas?
l. sena = 1
e
11. cosa= �
m
B 111. lana= 1
IV. esca= 2
B) 1, 11 y IV C) 1 y 111
E) Solo IV
A L.1"ª'---�--.Ll
m/3
A) 1, 11 y 111
O) 1, lllylV
2. Del gráfico mostrado, halla esca.
B
A) 5,Í2
7
B) 5,Í2
6
7
C) ,Í2
2
"
o¡l
7
A e
E) 7
3. Del gráfico, calcula A= tan8tana.
e
d
u
e
A Ll"- 0
--''--:---U
Jm 2m B
4. Del gráfico, determina E= tan0tana..
l'
1
"
<
a
j
1•
C) ,Í2
A) 2
B) 5
c¡l
5
O) �
E) .i
5
B) ,Í2 -1
E) 1
A) /2 + 1
0)212-1
año

5. Si el gráfico es un cuadrado y cota = � , calcula co1t3.
A) 3
B) 2,5
C) 4,5
D) 2
E) 3,5
6. Si tan� = 0,25,
calcula E = senj3 + cosj3 .
cscp + secñ
A)4 B) 17
5
E)Tf
7. Demuestra que
/"1e sen2a + cos2a = 1
ALJB
8. En un triángulo ABC (recto en C), se cumple que
cosB - cosA = 2senB. Calcula cotA.
�
o
z
'o
1,
�
?
9.
¡
1e,
u
<
"
1o
•
'o
'
"
ur
•
A) 3
D) .í.
3
A) 1
O) 2
8 -e
B) 2
E) .1
2
B) 3
E) 4
o .•
.,
C) 6
C) 5
8 .,
3 .,
V -e
o.,
50101)�
En un triángulo rectánguloABC, recto en B, se cumple
que senA = 0,6. Calcula M = secC + cotA.

CAPACIDA�D:,.,=Eé1::&!,--------------------...
Modelo objetos: 10; 25-26
Usa estrategias y procedimientos: 2-5; 7-9; 12-16; 18-20; 24; 27
Comunico su comprensión: i: 6; 11; 17; 21; 28
Argumenta afirmaclones: 29-30
•:@••--------
1. Del UBC, ¿qué proposiciones son verdaderas?
B
AL::C
l. a+0=90'
11. AB2 + BC2 =AC2
111. �BC tiene 3 ángulos agudos.
A) 1, 11 y 111
O) 11 y 111
B) Solo I
E) 1 y II
C) Solo 11
6. Completa los enunciados según corresponda
a. El (La) de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo es igual a su cateto opuesto entre la hipotenusa.
b. Et (La) de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo es igual al cociente de la hipotenusa entre su
cateto adyacente.
c. El (la) es aquel lado de mayor longitud en
un triángulo rectángulo.
A) ooseno; seno; hipotenusa
B) seno; secante; cateto
C) seno; secante; hipotenusa
D) tangente; secante; cateto
E) ootangente; cosecante: hipotenusa
2. Del WBC, halla seoe
e
7. En un triángulo, la medida de sus catetos son 2 y /5. Si la
hipotenusa mide x + 1, determina x.
En un triángulo rectángulo, la secante de uno de sus ángulos
es 2,4. Si la hipotenusa es igual a 12, calcula el cateto
adyacente a dicho ángulo.
2 13
o 8.
A B
A)-2- B) 1 C) 2
13
O) /3 E) /3
2
A) 1
O) 2
A)5
0)24
B) 15
E)3
B) 10
E)26
C) 15-1
C) 13
O) 2
A) ac
d
C) -Í2
2
E) 1629 +9
2
B) 2.ÍZ
3
E) 2/3
3
O) /3
O) 4
A) -Í2
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la longitud de la
hipotenusa es el triple de la longitud de uno de los catetos.
Calcula el coseno del menor de los ángulos agudos.
9.
l'
1 O. Aun faro se le va a calibrar para que -ti
gire de forma que el haz de luz y el J
mar formen un ángulo dea. Si antes u
el faro giraba de manera que el haz j
de luz y el mar formaban un ángulo �
de 2a, además, la medida del faro �
es 16 m y la distancia desde la base �
del faro hasta el punto en el mar donde el faro alumbraba era .'2
"
de 200 m, halla cota para poder cahbrar el faro. �
A) -Í2 + 9 B) .1 C) 1629 + 25
2 2 2
A
a
Df-9-18
A)i s¡i c¡l
4 3 4
o¡i E)i
5 4
3. En un triángulo rectángulo ABC (mLB = 90º), simplifica L
L = (sec2A- cot2C)(csc2C - tan2A)
A) 1 B) 2 C) b2 O) b E) 2b2
4. En un triángulo rectángulo ABC (mLB = 90º), simplifica l.
L = secAsecCsenCsenA
B) a2b2 C) 1
E) 2ac
b'
5. Del gráfico, halla tan(a + 0).
año

12. Si sene= 1 y e es agudo, halla tan2e.
11. En el triángulo rectangulo ABC, la razón de 'x' e "y" es de 1 a
9, respectivamente. ¿Qué proposición es correcta?
B
�
A X D y C
A) sena= i
D)cosa = b
,10
8) lana = 3 C) esca = /io
E) coto.= 'i°
17. En las siguientes proposiciones, indica el valor de verdad y
argumenta.
1. En el triángulo rectángulo, si se conoce un ángulo
agudo, se pueden calcular todos los lados de este
lliángulo. ( 1
11. En el triángulo rectánqulo con ángulos agudos a ye,
si estos varían pero siguen sumando 90º, entonces
ya no cumple con el teorema de Pitágoras. ( )
111. No en todos los triángulos rectángulos se cumple el
( )
teorema de Pitágoras.
18. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 1 y 17.
Calcula la cosecante del menor ángulo agudo.
A)8 8)4 C) 2-Í2
D) -Í2 E) 2
A)-1-
.f'i
O) 2
3
8) .1
3
E) .1
8
C) 3 19. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3 y Is.
Calcula el seno del menor ángulo agudo.
A) ,Í5 8) .f. C) 1.
3 3 2
13. Si sene= � y e es agudo, calcula cot'e.
5, 2
20. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 25 u; si la
tangente de uno de sus ángulos agudos es 4/3, calcula la
suma de los catetos de dicho triángulo.
A)30u 8)35u C)50u
A)-1§_
25
O) 49
8)50
E)36
C) 1
D) /6
3
E) .1
3
e
C) 4
y
8)5
E) .1
4
8)x+y<z
E)z+y=x
E) 45 u
a
z
'
D) 20 u
A)-l' + '(=x'
D)x-y>z
A) 1
D) 3
¿cuál de las relaciones entre los lados es correcta?
21. Si a y f3 son ángulos complementarios
22. Del gráfico, halla L = lanaccte.
l�RWE•--------
E) 10
C) 13
2
c¡í
3
D) 11
C) 13
s
8) 1.
3
8) 13
E) 121
3
E)213
8) 3
A) 1.
2
Del gráfico, halla lana.
Si lana = � y a agudo, calcula l = 4csc2a - 3.
A) 1
D) 121
2
14. Si sen20 = � y El es agudo, determina tane.
�
o
z
' 15.
o
1,
�
?
¡
16.
1e,
u
<
"
1o
•
'o
'
"
ur
•

23.
. cota - cotp
Del grafico, calcula L = te tp .
co -co
27. Según el gráfico, halla cos2a, donde O es el centro de la
circunferencia.
A) 1
8)2
C)3
D) .1_
2
E) .1_
3
7
A)16
• s¡.1!
..' 5
10,' 7
. C)25
'
' a
D) 11_
o 25
E) N.A
24. En un tnángulo rectángulo, la hipotenusa es el triple de un
cateto. Si a es el menor ángulo agudo, calcula L = sena.lana.
28. En la figura, si ABCD es un cuadrado
Q
A) 15
2
C) 12
6
D) 12
12
E) 12
24 B e
25. En el dibujo se muestran las dimensiones de la casa de lván,
determina la lana.
e
P Lt-.l.n_-a-'A�-�o;:::_:::_:::_-::._-,-n---=-----_--'--,,
.
R
A) ¡
B) 2
C) .1_
2
D) .1_
3
E) 3
relaciona según corresponda.
1. El sene es igual a
11. �� es igual a
111. la secO es igual a
1
a. 7
b 15
d 215
. 5
26. Se quiere construir una casa al costado de dos edificios, que
mantenga la pendiente observada. Halla tane. 29. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro.
¿Cuál es el valor de la cosecante del mayor ángulo agudo?
o -cc :J ·9z 8 'zz 8 ·s� 3 "Sl s·u V ·9 o .•
8 -ee s -se :J ·�z :J ·9� 8 "tl 2 131JN o., V -e
li: 131IN
o.,
-ee O "tZ ·a a·n ::> ·o� os 3 .,
:J -ce 8 "tZ s -ee a ·9� 3 ·zl 8 ., 8 -s l 131IN
501101).
d
C) .1_
2
C)20m
E)5
B) 25 m
E) 10 m
B) 15
2
senA=2x+1 ycosC=3x-1
6x+1 7x-1
A) 15
D) 2
A)30m
D) 15 m
l'
1
Si el cateto mayor mide 6 m, ¿cuál es el perímetro del triángulo? 1
30. En un triánguloABC (mLB = 90º), se cumple que
5
C) 11
B) /3
2
E)J2
11
A);
D) .1.Q_
11
año

La mujer maravilla
Una mujer estaba limpiando la ventana de su departamento en el piso 42 de un rascacielos. Una vez que terminó de
asea ria por dentro, abrió la ventana y saltó por ella. Sobrevivió sin un solo rasguño.
�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
Pon a prueba
tus habilic:lades
con estos
acertijos.
..... ¿Por qué saltó por la ventana? ¿Cómo hizo para no sufrir ningún
rasguño?
..... ¿Crees que exista más de una solución? ¿Cuáles son tus hipótesis?
Pensdmlento ldte>rdl
Cinco hombres caminaban por el campo y comenzó a llover.
Cuatro de ellos apuran el paso, pero el quinto no hace ningún
esfuerzo por darse prisa. A pesar de ello, se mantiene seco,
mientras que los otros cuatro se mojan. Los cinco arriban al
destino juntos. ¿Cómo puedes explicar lo ocurrido? Nota: Para
trasladarse solo contaban con los pies.
Compara tus
hipótesis con las ele
tus compañeros(as) !:j
debatan al respecto.

para la vida c:otidiana
¡Feliz cumpleaños, Valeria!
En el cumpleaños 23 de Valeria, sus familiares y amigos
llegan a su casa con algunos obsequios y tres tortas,
las cuales serán repartidas entre todos los presentes.
En el gráfico inferior se representan las tres tortas.
Torta 1 Torta 2 Torta 3
1. ¿Qué conocimientos vas a aplicar en este problema?
2. Al repartir la torta 1 en porciones iguales, alcanza para 6 invitados. ¿Cuál es el valor de a en radianes?
d
l'
3.. Cuando se reparte la Torta 2 en porciones iguales, alcanza para 10 invitados. ¿cuál es el valor de fl en grados I
centesimales? �
"
<
a
j
1•
año

�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
4. Si han asistido 31 personas al cumpleaños, ¿cuál debe ser el valor de 0 (en grados sexagesimales) para que todos los
presentes reciban una porción de torta?
S. Halla el valor de a + 0 + f} en grados sexagesimales.
6. Al repartir las tortas, se observa que la torta 1 es para 12 personas¡ la torta 21 para 15 personas, y la torta 31
para 8 personas. Halla el valor de 0 +a.+ f} en grado sexagesimales y grados centesimales.

con valores
Analiza la
situacióri real¡
reconoce la aplicación
de valores !f el
-:a:::....,c-comporlamiento
social ético. La mamá pierde la paciencia, más aún porque el niño no había hecho
la tarea, así que decide bajar la palanca de la energía eléctrica de
la casa. El adolescente reacciona airadamente y sale de su cuarto
a confrontar a su progenitora. En el transcurso de la semana, la
madre preocupada conversa con la psicóloga de la institución
educativa. La especialista le explica que, según los síntomas que
le menciona, es posible que Pedro sufra de un padecimiento
denominado "trastorno por los videojuegos".
Adicción a los juegos de PC
Pedro está en su cuarto jugando en su PC. Su mamá lo llama:
"Pedrito, la cena está servida". Entonces, su hijo contesta: "Ya voy,
5 minutos más". Pasan más de 5 minutos y el niño sigue frente a
la computadora. la mamá vuelve a llamarlo: "Apaga la máquina
de una vez, ya vas jugando más de 2 horas". "Ya casi termino,
esta es la última pelea, mi equipo me necesita", replica Pedro.
� ¿Juegas algún videojuego o juego de PC? ¿Cuántas horas a la semana?
� Cuando tus padres te indican que ya es hora de finalizar un videojuego o de apagar
la PC, tableta o celular, zles obedeces? ¿Por qué?
� ¿cuáles son las actitudes negativas de Pedro?
� Si estuvieras en el lugar de la madre, ¿qué habrías hecho para que Pedro te
obedezca?
� ¿Qué es el "trastorno por los videojuegos"?
� ¿Cuáles son los síntomas?
� ¿Jugar videojuegos es malo?
año
Busca otros
puntos de vista según
los diferentes rofes
que intervienen en el
suceso narrado.
d
l'
1
"
<
a
j
1•

Pruebas tipo
Mantenimiento de una piscina
Una empresa de objetos recreacionales va a hacer mantenimiento
a una de sus piscinas, que tiene una forma particular, tal como se
observa en la figura. Considera que 11: = 3,14.
E) 33,66 m2
D) 32,66 m2
l. A partir del enunciado anterior, la empresa contrata a un pintor para que trabaje el piso del interior de
la piscina. ¿Cuántos metros cuadrados va a pintar?
A) 32,77 m2 8) 32,56 m2 C) 44 m2
14fi-JM9N,P
E) 22,51 m
D) 22,81 m
1;Jf·Nl'tit·UF
o
¡
j
u
<
"
j
�
o
z
, 2. Ahora la empresa va a enchapar todo el borde de la piscina y, para eso, contrata a un especialista.
¿Cuántos metros lineales enchapará el trabajador?
A) 20,61 m 8) 22,61 m C) 22,71 m
J•

e
,:-
''''
Antlhorario
,;,
'
'
'
Si la rotación
del ángulo es en
sentido
Temal
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
y
�----ii...;P::,::.;á ngu Io negativo
,:-
''''
Horario
,;,
'
'
'
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Sistema: sexagesimal o inglés
Unidad: 1º (un grado sexagesimal)
L. 1 vuelta : 360'
Subunidades y notación
1': un minuto sexagesimal
1": un segundo sexagesimal
( 1º<>60'yl'<>60")
Sistema: centesimal o francés
Unidad: 18 (un grado centesimal)
L. 1 vuelta : 4008
Subunidades y notación
1m: un minuto centesimal
15:
un segundo centesimal
(
18 < > 1oom y ¡m < > 1005
)
Sistema: radial o circular
Unidad: 1 rad (un radián)
L 1 vuelta : 2n rad
año
Conversión
entre sistemas
m L 1 vuelta = 360º = 4008 = 211 rad
� ( 180º = 2008 = n rad) equivalencias
---------------,
d
l'
1
"
<
a
j
1•
[
_1
8s0 =_2
c00 =.!l.n
]
- Fórmula general
. . de conversión
[�-�-=_i�_=_2�-R-�
'
-�-=_i_�_]- Corolario

Tema 2
SECTOR CIRCULAR
'
·--------------------------r----i-------------------------------,
' V
Circunferencia Arco de circunferencia Círculo
Longitud de arco
V
·--> Sector circular
Se cumple que e= �, G= 0R
]
6R2
S=-
2
'
v
S = 1_ 6R2
2
s = .!l1.
2
-) Área de un sector circular
o
circunferencia.
Les la longitud del arco AB.
(:) es el número de radianes del
ángulo central AOB.
L Res el radio de la
A
B
R
erad
R
o
--> Trapecio circular · �
v
�
donde�
[2•;b) h]
1
a
R�
v-::::;::::: ' s
�cad b
R, <t:
h---,
Tema3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
.------ -- -- -- -- - -- --- - -- -- --·-- -- - -- ---- -- ------- -- -- -- -.
�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
Triángulo rectángulo
'
B
:�A
b
• a es el cateto opuesto a a (CO).
• bes el cateto adyacente a a (CA).
• e es la hipotenusa (H).
Razones trigonométricas para el ángulo a
Nombre Definición En el I>.. ABC
seno de a(sena.)
co sena=-ª-
H e
coseno de a (cosa)
CA cosa= .Q_
H e
tangente de a (tana)
co tana = �
CA
cotangente de a (cota)
CA cota= .Q_
co a
secante de a (seca)
H
seca= �
CA
cosecante de a (esca)
H esca= .f.
co a

La empresa alemana Skysails se encuentra investigando la forma de aprovechar la fuerza de viento, para que esta pueda
usarse con el fin de impulsar todo tipo de embarcaciones. Con la ayuda de velas-cometa, los investigadores de esta empresa
afirman que se reduce el consumo de combustible en los barcos del 25 al SO%, según las condiciones del viento, lo cual
favorece al medioambiente.
El sistema SkySails incluye tres componentes principales: una cometa de tracción con cable, un sistema de despegue y
aterrizaje, además de un sistema de manejo completamente automático. En vez de velas tradicionales con mástil, utiliza
grandes cometas (skysails) para crear la propulsión. Su forma es comparable con la de un parapente.
Cuando estas grandes cometas vuelan atadas a los barcos pueden operar en alturas de entre 100 y 300 metros, donde reinan
vientos más fuertes y constantes. Generan entre el doble y el triple de la energía si se las compara con las velas convencionales.
�� ¿Qué porcentaje de combustible se podría ahorrar usando las velas-cometa?
�� Si la rapidez del viento es 60 km/s, determina la velocidad de la cometa.
�� Investiga cuántas toneladas de combustible por día se pueden ahorrar gracias a esta tecnología de velas-cometa.

Donde
V8: rapidez del barco
Vp: rapidez de propulsión
Ve: rapidez de la cometa
0: ángulo de la horizontal con la cuerda
Temas de la unidad
• Propiedades de tas razones
trigonométricas
• Razones trigonométricas de ángulos
notables
• Resolución de triángulos rectángulos
Competencia
Desempeños-----....
• Identifica los casos en que deben
usarse las razones trigonométricas
de ángulos complementarios y las
razones recíprocas.
• Utiliza las ce-razones para determinar
las razones trigonométricas de
ángulos complementarios.
• Determina el valor de las razones
trigonométricas de ángulos
complementarios.
• Identifica los distintos triángulos
rectángulos notables.
• Evalúa el seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante de
cada ángulo notable.
• Calcula la razón de cada ángulo
notable.
• Identifica los elementos del triángulo
rectángulo y luego elige el caso a
utilizar para su resolución.
• Comprende los casos estudiados
respecto a la resolución de triángulos
rectángulos.
• Analiza cada caso propuesto para
resolver triángulos rectángulos.
Enfoque transversal -.......
• Inclusivo o de atención a la diversidad
V,=Vp+V(
V = Vv1en1o'cos8
' 2

•• Tema1
�� Propiedades de las razones trigonométricas
Aníbal y Beto están a los lados opuestos de una montaña, pues desean saber si la medida del ángulo J3 del
pico de la montaña es recto. Según la figura, Aníbal sabe que AD mide 320 m, y AC, 400 m; mientras que
Beta sabe que CD mide 240 m, y CB, 300 m. ccómo pueden ellos determinar si J3 es recto?
• Primero calculamos las razones trigonométricas.
Aníbal dice: Beta afirma:
AD 320 CD 240
cose=-=-- sena=-=-
AC 400 CB 300
4 4
coso = - seno: = -
5 5
• Juntos llegan a la siguiente conclusión:
sena= cose, entonces a+ e= 90º, por lo que J3 = 90°.
A (l
e
Ejemplo 2
sen2(0+y).cos(w)
Si 0 + w +y= 100•, calcula T =
(e )
- cos4(w).
ese + y
�� Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo 1
Si
tan(
fx + ; ) cot(;
+ 18º + !x) = 1, calcula el valor de x.
Resolución:
Como el producto es la unidad, entonces son razones trigonométricas (RT) recíprocas.
Luego:
f{ + ; = ; + 18º + f{
d
l'
1
"
<
a
j
1•
/ Recuerda
Las letras griegas más
usadas para representar
ángulos son
o alfa a
o beta �
o gamma y
o delta 6
o épsilon E
o omega w
o theta e
o lambda
'
:. M=l
2x = 90º
x=45º
� cot45º = 1 A tan45º = 1
M =
(((1)1)')1
sen2(0 +y).sen{e +y) 4
T= l -sen (0+y)
sen(e+y)
T = sen4(0 + y) - sen4(0 + y)
.'. T= O
sen(x - y)= cos(x + y)
( r:
(( T"K )tan x
M = cotx
calcula
Resolución:
Convertimos ioos a sexagesimales.
[180º]
100' X -- = 90º
200•
Entonces: 0 + co +y= 90º
En la expresión T:
sen(O+y)
-----
sen2(0+y).cos(w)
'( )
T= -cos w
csc(O +y)
� sen4(0+y)
1
sen(O +y)
�� Razones trigonométricas complementarias
Ejemplo 1 Resolución:
Si Se cumple que
(x-y)+(x+y)=90º
� - � = 18º � 3x - x = 18º � 2x = 162º
3 9 9
X= 81°
año

Del enunciado:
sec(36º - x)cos(2x - 3º) = tan3y.cot3y
'------.----'
Son R.T recíprocas= 1
sec(36º - x).cos(2x - 3") = 1
El producto es igual a 1, se trata de
razones trigonométricas recíprocas.
Luego:
36º - X= 2x-3º
39" = 3x
:. x=13"
__
_/ Recuerda
Si
seca cscB = 1
cosa secü = 1
tan c cot B =1
entonces
o. =P
Ejemplo 2
Halla x de sec(36º - x).cos(2x - 3º) = tan3y.cot3y.
Resolución:
�� Razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios
�
.z
C) csc43". cos47" = 1
Resolución:
A) sen17". sec73º = 1
'-----,--'
csc17"
:::i sen17°.csc17"=1
B) cot26" - tan64" = O
'-----,--'
cot26"
:::i cot26º - cot26º = O
C) csc43". cos47° = 1
'-----,--'
sen43º
:::i csc43º . sen43" = 1
Ejemplo 2
...(V)
...(V)
...(V)
B) cot26º - tan64º = O
D) sen�� . sec 37n = 1
D) sen �; . sec 37" = 1
'------y--'
csc(;-n)=csc(1�)
3n rt
� sen
14
. csc14
= 1 ...(F)
'-v-'
Los ángulos deberían ser iguales.
_/ Importante
---
Cuando se cumpla:
senx = cosy
tanx = coty
secx = cscy
Se concluye que
x+y=90�
Ejemplo 1
Indica verdadero o falso en cada caso.
A) sen17°. sec73º = 1
! Calcula y - x sabiendo que sen(2x + 5º) csc(y - 20º) = 1
o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
Resolución:
De la primera condición:
sen(2x + 5") csc(y + 20º) = 1;
por RT recíprocas:
2x+5"=y+20º
2x=y+15º ... (1)
De la segunda condición:
tan(y + 5º) = cot(2x +20º);
por ángulos complementarios:
y+ 5• = 90º -(2x + 20º)
y+ 5• = 90º -2x-20º
y= 65º -2x ...(2)
De (1) y (2):
l-lly+15"=2x
v= 65º -2x
15" = 4x- 65"
so·= 4x
20º=x
Reemplazamos en (1).
2(20º) =v + 15º
25º=y
---> y-x=25º-20º
.-. y-x=5º
...(1)
...(2)
tan(y + 5") = cot(2x + 20º)

ITf:MA 1.Propiedades de las razones trigonométricas
Modelo objetos: 8-9 Comunico su comprensión: 1-2 Usa estrategias y procedimientos: 3-6 Argumenta afirmaciones: 7
1. Identifica las proposiciones correctas.
l. cos30º = sen30º
11. tan11º = cot79º
111. sec25º = co,1250
A) 1, 11 y 111
O) Solo II
B) 11 y 111
E) Solo 111
C) 1 y 111
2. Reconoce las proposiciones incorrectas.
l. sen35ºcsc35º = 1
11. sec15ºcos75º = 1
111. tan10ºcot80º = 1
A) Solo I
O) 11 y 111
B) 1 y 111
E) 1 y II
C) Solo II
3. Resuelve.
sen(220 - 6x)º = cos(30 -10x)°
A)10 8)8 C)20
0)15 E)14
�
4. Efectúa M. ;
M = (3sen50º + 2cos40º)csc50º
,.
d
A)3 B) 6 C)5 �
O) 8 E) 4
,
l
'
�
1
e
"
<
a
5. Calcula a+ 2b si i•
"
sec(a + b) = csc25º "
'
lan(a - b)cot15º = 1 �
"
w
•
A) 85º B) 55º C)95º
O) 75º E) 90º
año

6. Calcula cosa si
5cot55' = 13sen(90' -a)tan35',
A) _Ll_
12
o)R
5
7. Demuestra que
A+B+C+ ... +J=55',
si A, B. C; ..., J son ángulos agudos; además,
sen89ºsen88ºsen87°... sen80º = cosxcosacosc . cosJ
8. Dentro de un cuadrado ABCD hay un rectángulo
MNOP, donde M, N. O y P estén en AB, BC. CD y
DA, respectivamente. Se traza la diagonal NP del
rectángulo. Halla lo siguiente:
sen( mLDPO; mLNPM) _ cos( mLCNO; mLOPN)
�
o
z
' 9.
o
1,
�
?
¡
1e,
u
<
"
1o
•
'•
'
"
ur
•
A) 1
O) .1
3
A)O
O) 1
B) .1
2
E) /2
2
B) /3
2
E) .1
2
C)O
C) .!
3
o 'e
.,
ee
8 .,
50101)�
Una bicicleta tiene una rueda trasera c.on radio R,
centro en 01 y es tangente con el piso en el punto A.
La rueda delantera tiene un radio r, con centro en 02 y
es tangente con el piso en B. Halla lo siguiente:
tan( mLA20102 )- cot( mL820201)

CAPACIDADE&:---------..
Modelo objetos: 10; 20; 28; 30
Comunico su comprensión: 1-2; 11-12; 19; 21-22
Uso estrategias y procedimientos: 3-8; 13-18; 23-27
Argumenta afirmaciones: 9; 29
5. Calcula a+b si tan(,-a) = 1
5 cot(j-b)
1:@••--------
1. Completa las proposiciones adecuadamente.
l. El seno y de un ángulo son razones
reciprocas, ya que su producto es la unidad.
11. la de un ángulo es igual a la
secante de su complemento.
A) • rad
3
D) 1� rad
B) 3• rad
19
E) fu¡_ rad
18
C) � rad
111. El producto de la tangente y de un
ángulo es 1.
6. El producto de la tangente de p y la tangente de 19º es igual a
la unidad. Calcula el doble del valor de p. (13 es agudo).
A) ese, cos, tan
O) sen, cos, cos
B) cos, ese, col C) ese, ese, col
E) ese, tan, col
A) 71º
D) 100º
B) 130º
E) 90º
C) 142º
7. ¿Cuánto se le debe agregar al producto del seno de un ángulo
agudo por su cosecante para que sea igual a 4 veces la unidad?
2. Identifica la(s) proposición(es) falsa(s).
l. Es falso que para un ángulo el producto de su seno y
secante sea la unidad.
A) 1 8)2 C) 5 D)-1 E) 3
8. Al dividir la tangente de 46" entre la cotangente de 4a, se
obtiene la unidad. Calcula el valor de 6a. (4a es agudo).
E) 66'
C) la, llb y llld
D) 36'
C) 46'
B) le, lla y lllb
E) le, llb y llld
8) 23'
+ tan(mLHDG) es igual a
sen(mLACB) csc(mLDFE)
1
es igual a
cos(mLBAC) - sen(mLEFD)
sec(mLEFD) + csc(mLCAB)
. 1 1
es 1gua a
A) 69'
A) le, tia y llld
D) le, llb y lile
�
Se tienen tres triángulos rectángulos ABC, DEF, GHD rectos en Z:
8, E y H, respectivamente. La medida de los catetos AB y BC son �
d
16 y 12, la rredda de los catetos DE y EF son 64 y 48; además,
�
la medida de los catetos GH y HD son 14 y 2, respectivamente.
•,
'
Del enunciado anterior, relaciooa según corresponda y argumenta. á.
'
8i
rn �i
Lii
�
•
11. No es verdad que el producto de tangentes de dos ángulos
complementarios sea igual a la unidad.
111. La razón de la tangente de un ángulo y la cotangente de su
complemento es la unidad.
A) 1 y II B) solo 111 C) 1 y 111
9.
D) solo ti E) ninguna
3. Calcula x si
sen(3x - 5º) = cos(41º)
A) 30º B) 15º C) 12º
D) 18º E) 8º
4. Simplifica A.
A=
(sent?" + cos 73") x ese 17º
tan 1 r -1 + cot79º + tan245"
A) 1 B) .1 C) lan11º
2
D) O E) cot11'
año

E) 1
C) 100º
D) 13
8
C) 13
2
B) 25º
E) 50º
B) /6
4
A) 75º
D) 125º
17. Si la suma de dos ángulos agudos 3a y 2P es igual a 125º,
además, se cumple que el producto de cosg y seca es la
unidad, calcula la suma de a y p.
16. Si0=15°,catculaM.
M = secso x sene x sen20 x sen30 x sen40
Considera que sen30º = 1- sen45º = 12 sen60º = 13
2' 2 ' 2 .
C) 45º
B) 60º
E) 30º
A) 53º
D)37°
10. Un dron toma una fotografía
áerea al levantamiento
topográfico que han hecho.
En la fotografía se observan
4 puntos marcados por
los topógrafos, (A, B, C
y O} donde A, B y C forman un triángulo rectángulo recto en
B, D E AB; además, se sabe que mLACD = 60º - mLCAD
y sen(mLBCD) - cos(m LBAC + 30º) = O. Halla
mLBAC.
18. Si el producto del seno de (3x-11}° ysec38ºes iguala la unidad,
calcula la tercera parte del cociente del seno de (2x + 10)º
entre el coseno de (x + 17)º. (Se sabe que 3x < 90º}.
11. Escribe lo correcto con respecto a a y p complementarios,
además, e y y suplementarios con a ;é p / 0 ;é y.
A) sena y cosp son reciprocas.
B) tan(� ) y cota son RT de ángulos complementarios.
B) .1
3
C) 3 D) O E) 1
19. Relaciona las razones trigonométricas de ángulos
complementarios si a + p es un ángulo agudo.
C) 53º
C) lb, tia y lile
9 cos(Jl - c,)
<? cos(a+PI
]
?csc(f-a-P))
8)37°
E) 40º
B) la, llb y lile
E) la, lle y lllb
A) 45º
D) 30º
A) lb, lla y lile
D) lb, lle y lila
[ sen(f-a-P)9
[
sec(a+p) �
I sen(C1-P+f)9
20. Una empresa que brinda
servicios de mantenimiento
de alumbrado público
ha adquirido una grúa
telescópica (esta tiene un
brazo recto en cuya parte
superior hay una plataforma donde un trabajador puede llegar a
lugares más altos). Esta grúa telescópica tiene una restricción:
el ángulo que forma el brazo cuando está inclinado y el piso no
debe ser menor a O. Se cuenta con la siguiente información:
sene - cosx = O; O y x son agudos, cosx . sec53º = 1. Halla O.
D)
ese(�)= secU)
C) esca y secj3 son reciprocas.
12. ¿Cuál de las expresiones es la incorrecta (a, p, ro,$#- 45º}?
A) sena = 1 8) senacsca = 1 C) secjlcosjl = 1
cos(90º -a)
O) tanwcotw = 1 E) tan$cot(� -$) = 1
�
o
z
13. Halla x si tan5xcot(x + 20º) = 1.
'o
1 A)5º B) 10º C) 15º D) 20º E) 25º
o
�
? 14. La suma de los ángulos agudos (a + e) y (b - e) es igual
¡
1 a rr./2 rad. Calcula el doble de la razón entre la tangente del
ángulo a y la cotangente del ángulo b.
e,
u
<
" A)2 B) .1 C) 113 o¡l E) 1
1 2 2
o
•
' 15. Reduce R.
o
'
"
ur
• R= sen50ºxsec75ºxcos35º
ese 15º x sen55º x cos 40º
A) .1 B) O C) 2 D) 3 E) 1
2

21. Indica qué proposiciones son falsas.
l. sen29º y sec61º son recíprocas.
11. La razón de tan( 1¡6
)° y tan( 1�4
)° es la unidad.
111. El inverso multiplicativo de ese 57° es el cos33º.
27. Si la suma de dos números (a y b) es igual a n y su producto
es igual a 2, calcula la razón entre la cosecante de {1/a) rad y
la secante de (1/b) rad.
26. Se tienen los ángulos agudos a; p y 4>, ¿cuál es el valor de la
col(!> para que los ángulos a y p sean complementarios? Se
cumple que el producto de tangentes de los tres ángulos es
igual a 3/7
E) 1
4
E) 1.
rt
O) .n.
2
C) 1
C) t.
2
B) 1.
3
B) .1Jl.
7
A) 312
A) .1
2
C) 1 y 11
B) 11 y 111
E) todas
A) solo I
O) solo 11
22. Marca la expresión verdadera (a; p; w; 2x son ángulos agudos).
A)sena-cos0=0 = a.=9
B) lana-col� =O= a+�=90,
cotro
28. Max se dispone a superar un obstáculo con su patineta, como
se muestra en el dibujo. Determina la altura de dicho obstáculo
si
h=3sena-cos9+1
C) sec(2x - 18º)sen30º = 1 = x = 39º
O) lan(3x + 15º)1an72º = 1 = x = 5º
E) B yC
23. Determina a..
A) 1 m B)1,5m C)2m O) 2,5 m E) 3 m
cot(20º + a)cos6a = tan(70º - a)sen3a
A) 15º
O) 20º
B) 12º
E) 30º
C) 10º
29. ¿Para qué RT y qué ángulo a e [Oº; 90º] son tal que cumple
RT(a) 3 A RTreciproca(a) ]?
Argumenta.
s -ee o -se 3 'zz a·u 3 -s¡ a·u 3 .• 3 .•
-ee v -se o ·�z s ·e� V"H 2 "13/IIN 3 ., ee
li: 131IN
ee
o -ee 3 'tZ 3'H v·n 3 ·u os o.,
o -ce o ·cz s ·oz V ·9� 3 ·z� 8 ., o., l 131IN
501101)�
24. Si x + y+z = 90º, reduce Q.
L = sec 1 º X sec 2º X sec 3º... sec 89º + (tan89º)1an1· -oo89"
csc89º x csc88º x csc87°... ese 1 º
coty
- cot(x + z) + 3cot(x + y).tanz
d
l'
1
"
<
a
j
1•
C)2ºy88
B)1ºy89
E)NA
N términos
Halla a y N.
A)1ºy90
0)2ºy89
Le dicen que se debe cumplir lo siguiente:
lana +lana.+ tana ... tana = 89cotN°; N < 90
30. Un topógrafo hizo un levantamiento topográfico de un área en
forma de un triángulo rectángulo ABC, recto en B.
El topógrafo está en el punto A y desde allí va a obtener los
puntos P1, P2, P3...Pn, tal que dichos puntos pertenezcan a
BC; además: �
;
mLBAP1 =a, mLP1AP2 =a, mLP�P3 =a···mLPnAC =a �
C) 2
C) 1
B) 4
E) 3
B) 3
E) O
A)2
O) 4
O= cos(x+y)
senz
A) 1
O) O
25. Reduce L.
año

•• Temai!
�11!> Razones trigonométricas de ángulos notables
A un alumno de secundana le han pedido hallar el perímetro de un terreno extenso de forma rectangular
ABCD, como se observa en la figura. Si el alumno sabe que u = 8° y el ancho mide 400 m, lcómo lo harías tú
sin tener que caminar un solo metro?
• El perímetro del rectángulo ABCD = AB + BC + CD + AD.
• Notamos que ADC es un triángulo notable de 8° y 82º, entonces,
de la figura· tan 8° = CD = -71 =
4oo = AD= 2800 m
AD AD
• Como ABCD es un rectángulo: AD = BC y AB = CD.
• Finalmente, el perímetro de ABCD = 400 x 2 + 2800 x 2 = 6400 m
.c,
o
o
3
En el t:>.ADE notable de 16º y 74º: AD= 24k A ED = 7k
Como ABCD es cuadrado: AD = DC
24k = 7k + EC => EC = 17k
····································
�·
b
82'
Las medidas a, b, e forman
una terna pitagórica.
Terna pitagórica
La forman tres números
naturales (a, b, e) que
cumplen con el teorema
de Pitágoras; por lo tanto,
son las medidas de los
lados de un triángulo
rectángulo.
a2+b2=c2
k
.·························•�ttttt
{ Triángulo rectángulo
notable de 8º y 82º
/ 1moonante
---
sen0= 2m
13
.'. tana = ;�
Ejemplo 2
Calcula l = cot2 45º + csc2 30º
8 - 3 cot30º X tan 30º
o
e
37"
B u....-�0�--''--"-A
B C
a
Resolución:
Reemplazamos según RT notables.
(1)2 + (2)2 s
L = -=---'--9�7
8-3(13)(13) 8-3
M=l L=l
Luego: sene = A
;13 k
Tenemos el triángulo rectángulo notable de 37° y 53...
Hallamos CD con el teorema de Pitágoras.
(3k)2 + (2k)2 = (CD)2 => 13k2 = CD2 => ffik = CD
17k
luego: tanc =
24k
37º
B D A
f------- 2 k ----t----- 2k �
f---4k-----<
e
17k
Resolución:
24k
B r<nc:---nC
a
Resolución:
Sabemos lo siguiente:
cos60º = 1. A cot53º = .1
2 4
Resolución:
Reemplazamos en M.
(1)' 3 1 3
M= 2 +,¡-=,¡-+,¡-
Ejemplo 3
Si ABCD es un cuadrado, halla tana.
Ejemplo 4
Del gráfico mostrado, calcula sen0.
o
3k
Ju¡
Ejemplo 1
Calcula M = cos260º + cot53º.
J•
1
f¡
j
u
<
"
j
�
.z
'o

También vemos que
mLCAD + m LADC = 9D'
a + So. = 90º � a = 15º
t:::..BCD es triángulo rectángulo de 30º
y 60'. Finalmente, BC = k 13.
Ejemplo 5
En la figura adjunta, se sabe que
AB = 2k, mLCAD =a, mLCBD = 2a ymLCDB=4a
Halla BC.
Resolución:
Vemos que mLBAD + mLADB = 2a.
a+ mLADB = 2a
mLADB=a
Luego, ABO es un triángulo isósceles.
Entonces: BD = 2k
�D
A�C
2k B
__/ Importante
El siguiente triángulo
rectángulo de 15º y 75º
es notable.
4�(,/6-,/2)k
�
(v'G+JI)k
B
15
k
El siguiente triángulo
rectángulo de
450
y
1350
2 2
es notable.
J4 + 2Jik
/ Importante
--�
Del problema:
Sk = 15 = k = 3
Finalmente:
cota= AD= 19-9
BD 12
cota= �
4k�5k
�
3k
Como el triángulo rectángulo notable
de 37° y 53º está en el triángulo t:::..BDC,
escribimos los datos.
a 53º
AL.l::_ __:"'1-"c
19
B
Ejemplo 6
Del gráfico, calcula cota..
f-- 10 --+- 9 -----l
Resolución:
Trazamos la altura BD.
45º/2
(ñ+l)k
Luego: sena= Íw =
4 10
d
l'
1
"
<
a
j
1•
:.AC=4ill
lw
10
Hallamos AC por el teorema de Pitágoras.
42 + 122 = AC2
42(1 + 32) = AC2
Recordamos.
k
�
= Del problema k = 4
45'
k
.'. sena= ?
B
�
A ª e
D�
[;¡.
, .
,' ··.J<.=4 12
k=4,' • .• B�
45' ·
135' 8
Ejemplo 7
Del gráfico mostrado, halla sena.
Resolución:
Trazamos AD, altura externa del
triángulo ABC.
año

ITf:MA 2 .Razones trigonométricas de ángulos notables
Modela objetos: 9 Comunico su comprensión: 1 Uso estrategias y procedimientos: 2-7 Argumento oflrmoclones: 8
1. Del triángulo ABC:
e
D 2a
4
AL..l'°ª
-----'-'B
determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l. El va!or de a es 30º
11. 80=413
111. CD=2
A)VFV
D)VFF
8)VVF
E) FFV
C)WV
2. Se tiene un tnángulo rectánguloABC, recto en B. Halla M.
M = -º-senA + cb cscC + -ª-cotA
a e
A)a2+b2+c 8)a+b+c C)3a
D) a2 + b2 + c2 E) 3
3. Del gráfico mostrado, calcula A= cotro. cola.
B
C) 50
C)2
M
8)22
E) 8
8) 1
E) 3
A)1
2
D) 4
A) 49
D) 48
Halla x + 1.
J•
�
o
z
'o
1
f¡
i 4.
e,
u
<
"
j

5. Calcula P.
P = 32[ccs30ºsen45º]2
A) 12
O) 60
B) 9
E) 64
C) 18
A) 1
O) 6
5�
-X
A�C
B) 2
E) 3
C)4
7. Calcula et s1 se cumple que �: = 3 (ABCD cuadrado).
:ne
A�D
A) 16º
O) 8º
B) 37'
E)74º
C) 53º
8. Demuestra las siguientes afirmaciones:
l. El seno de un angulo agudo puede tener el valor
de .f'i.
2
11. El seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1.
111. Si los lados de un triángulo rectángulo se duplican,
todas las razones trigonométricas de sus ángulos
agudos también se duplican.
d
A) 49 000 m2
C) 14 000 m2
E) 50 000 /i m1
8 -s
B) 70 000 m2
O) 90 000 m2
-e
8 .,
o :s
V.,
3 'z
V.,
501101).
l'
1
"
<
a
j
1•
9. Ángela tiene un terreno muy extenso de forma
rectangular ASCO. Él quiere saber el área que tiene
su terreno, pero haciendo el mínimo esfuerzo; para
ello, mide el ancho de su terreno, el cual tiene un valor
de 100 m; luego el ángulo DAC, que mide 8º (AC es
diagonal y AD es el largo del terreno). Ayuda a Ángela
a hallar el área.
año

Modelo objetos: 8-10; 18-20; 27-29
Comunico su comprensión: 1; 7; 11-12; 21-22
Usa estrategias y procedimientos: 2-6; 13-16; 23-25
Argumenta afirmaciones: 17; 26
2. En un triángulo ABC, recto en C, reduce L.
L = csc2A + 1 - tan2B
1:@••--------
1. Determina la expres!ón incorrecta.
l.cot5
f =2
11. csc8º = 5/2
111. cos 14lº = Í10
A)I
O) 11 y 111
8) 1 y II
E) Solo 111
C) Solo 111
7. Del tnángulo rectángulo ACB, recto en C:
�:
A�C
b
relaciona correctamente la proporción entre los lados del
triángulo.
rn ¿a)/io
ffi �
o
¡111. � 9 ED
A) O 8) 3
3. Halla x de la ecuación.
C) 2 O) 1 E) NA 8. Sea el cuadrado ASCO, se traza el segmento OP, donde Pes
punto medio de AB. Calcula la mLPDA.
O) 53º/2 E) 74º
-9cot45ºsec60º + 7xcsc30º = csc'45º + 4xcos230º
A) 30º 8) 37°/2 C) 60º
M=l213sen60º+6
En el lriánguloABC, recto en C, AB es igual a 18. Calcula AC si
la medida del ángulo Bes la tercera parte de un angulo recto.
�
• 4.
z
'o
A) 1
Calcula M.
8) 3 C) _1!l_
11
o¡lll_
11
E)�
11
9.
A) 10
O) 5
8)9
E) 4
C) 6
C) 10013 m
8) 150/3 m
E) 75/3 m
O) 175/3 m
A) 120/3 m
1 O. Pedro está frente a una
montana y quiere calcular
la distancia horizontal
desde donde él está hasta
el centro de la montaña.
La posición de Pedro,
la falda de la montaña
y la parte más alta son ABC, dondeABCesun triángulo donde
mLA8C = 150º, A8 = 50/3 m, 8C = 100 m. Halla dicha
distancia.
1 A) 1 8) 2 C) 3 O) 4 E) 5
o
�
? s. Efectúa Y.
¡
1 Y= /20cos230º + 1
e,
A)S 8) 6 C) 7 O) 4 E) 2
u
<
"
1 6. Calcula (x - y).
o
B
•
'
�
o
'
"
ur
•
A __1_6_ º
-------C
50
A)2 8) 7 C) 27 O) 34 E) 48

15. Si ABCD es un cuadrado, calcula cota.
N
B
11. Del triángulo ACB:
�: a
A a C 37"
A
indica el valor de verdad de las proposiciones.
O) /3
A) 1 0¡ .1§. 4 E) J1.
l. u es igual a 16". 13 C) 13 3 13
11. BC es la séptima parte de AC.
111. �CB notable 8º y 82º. 16. Del triángulo rectanguloABC, halla tanx.tany.
a
P�R
17. Se tienen dos circunferencias tangentes extenormente,
cuyos radios son R y r, tal que R > r. Demuestra que el
seno del ángulo que forma la recta y pasa por los centros
de ambas circunferencias con una recta tangente a ambas
circunferencias es RR
- r .
+r
E) 1
O) .1.
2
c¡.1.
4
A)2
C) FFV
A) FVF 8)FFF
D)WF E)FW
12. Indica lo incorrecto.
o
LJ4
o
E 3 F
l. ABC es un triángulo rectángulo exacto.
11. EFD es un triángulo pitagórico.
111. PRO es un triángulo rectángulo aproximado.
18. Calcula el perimetro de un triángulo rectángulo de hipotenusa
2,5 u y uno de sus ángulos interiores es igual a 37°.
14. Si AOB es un sector circular, calcula cote.
13. Evalúa A.
A= 10sen37º + 6tan53º + 12sec45º
<
C)1212u
C) 10 u
E) Su
8) 12 u
8) 8u
E) 6 u
O) 10 u
A) 7 u
O) 12 u
forma de triángulo rectángulo,
tal que la cima de la montaña
tiene ángulo recto. Roberto ya
recorrió 700 m y aún le faltan
200 m para llegar a la cima. La I
proyección de la posición de �
Roberto en la horizontal es la mitad de la longitud de la base �
de la montaña vista de perfil. Halla cos2a (a es la pendiente
de la montaña por la que Roberto está subiendo).
A) 16 u
20. Roberto sube una montaña con
�
19. Sea el triángulo rectángulo isóscelesABC, recto en B. Se traza Z:
la ceviana interior AP, tal que mLPAC = 8º. Calcula AB si BP �
es igual a 12 u. d
l'
�� 1
"
E) 13
C) solo II
O) 14
A
C) 16
8) 11 y 111
E) ninguna
B) 12
A) 18
A) 1 y II
O) solo I
A) .1.
3
B) .1.
2
C) 3 O) .1
4
E)�
2
A) 3Í14
14
9
8)14 c¡1
7
O) .1
7
E) 1
año

E) /'S
2
O).!
3
C) .1
2
A) 1.
2
B
�
15 12
A O C
24. Calcula tan0.
A O
B
37°�
53°12 e
NN:K!t4�•....��-
21. Del gráfico:
marca lo incorrecto.
A)AC=14
C) BA= 2/io
B)DC=12
O) BC = 12Í5
25. Halla S.
S = sec245º + 5cos282º + sen2 37° - sen2 53º
2 2
A)O 8) 1 C) 1/5 O) 2 E) 2/5
22. Determina el valor de verdad de las proposiciones según el
siguiente qráfco: 26. Del siguiente triángulo ABC, demuestra que es un triangulo
equilátero.
9{2
B
75º
E) 83º
O) 74º
C) 37°
/N
U2
-<""----J...l_----""-"'C
8) 60º
Sea el trianguloABC y BH la altura relativa al lado AC. Calcula
mLA + mLC si los lados AB, BH y BC están en relación de 5;
4 y 8, respectivamente.
A) 30º
27.
C) FVF
B)VFV
E)WF
l. tanA es igual a !'S
11. AB es igual a 6 !'S.
111. la altura relativa a AC es igual a 8.
A)FFV
D)FW
23. En la figura mostrada, AOB es un sector circular, OP = 2 MP.
Calcula lana.
28. El seno de un ángulo agudo es igual al producto de la tangente
de 30º y la secante de 45º. Calcula la cotangente de dicho
ángulo.
O) /'i E) 1
2
C) 1/5
8) 1/3
A)2m 8)2,5m C)1,Bm D)1,4m E)3m
Rosa y Katherine juegan en un
subibaja. Cuando Katherine se
encuentra en la posición mas
baja, el suelo y el subibaja forman
un ángulo de 16º. Determina en
ese instante la altura a la que se
encuentra Rosa respecto al suelo
la longitud del subibaja es de 5 m.
A),Í3
a ·1,� 3 -u o., o.,
o» 2 "13/IIN
., u-e
o.,
o -n. o 'Ol cs o.,
3 -n. ae os l 131IN
50/101)-
29.
V ·s�
3 ·e�
.,.
a ·g�
M
o B
A) Í5 +2 B) .1 e¡ rs
2 2 2
O) Í5 -2 E) Í5 -2
2
-se 3 -ee
a 'ez a·1,i: a ·�i:
a 'az a.,..¡: � "131IN
3 'zz 3 -ee a -ce
J•
�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j

••
Tema3
�� Resolución de triángulos rectángulos
Se desea poner unas cadenetas entre los puntos A y D, de modo
que debemos hallar la distancia AD. 51 se sabe que AB = L y
BC = CD, halla la distancia AD en términos de L y 67°.
• Trazamos AE perpendicular a OC.
• En el �ADE, tenemos
AE = ADsen67º y DE = ADcos67º
• Del dato, BC = CD.
ADsen67º = L + ADcos67º
• Finalmente, AD= L/(sen67º - cos67º).
•
Ejemplo 1
En un trapecio ABCD, los lados BCy AD son las bases menor y mayor, respectivamente.
Si los lados AB y CD miden N y M, la base menor mide 2L, además, mLBAD = 0 y
mLCDA = a, halla el perímetro del trapecio.
Resolución:
Perímetro= AB + BC + CD + AD
,------'-------
Perímetro= N + 2L + M + AP + 2L + QD
Graficamos.
A
A p
2l
2l
e
u
Q D
Perímetro = N + 4L + M + AP + QD
Hallamos AP = Ncose
QD= Mcosa
Calculamos el perímetro.
N + 4L + M + Ncos0 + Mcosa
El perímetro es
M(l +cosa)+ N(l + cosü) + 4L
./ Recuerda
---
Caso 1: cuando se conoce
un ángulo agudo y la
hipotenusa.
y
d
l'
1
"
<
a
j
1•
x = asen0
y= acose
Resolución:
Se deduce que 08 = R.
En el bOHA, se conocen un ángulo
agudo y la hipotenusa.
OH= Rcos0
Entonces: HB = 08 - OH
HB = R-Rcos0
HB = R(l - cose)
Vemos que x es base media del bAHB.
X=
�
(1 - cose)
o
B
Ejemplo 3
Del gráfico, halla x en función de R y O
(O es centro de la circunferencia).
A
X
D
D
mcosa mcosa a
Resolución:
Del gráfico, en el bABC:
BC = mcosa ::::} CD = mcosa
Ejemplo 2
Del gráfico, halla x.
B
En el l;,,.CHD:
B
x = mcosa.cosa
:. x=mcos2a
año

5: área del triángulo
[
s = tabsena
]
un ángulo agudo y su
cateto opuesto.
n·
__/ Recuerda
__/ Importante
B
6
A b C
Del gráfico, calcula cotx si OC = 4AD.
90º-x
Resolución:
Ejemplo 5
En elbADB:
mLABD = 90º - x
=) mLBAD =x
BD = atanx ...(1)
En el bBDC: BD = 4acotx ...(2)
Igualamos (1) y (2).
ata nx = 4acotx
-1
- = 4cotx =) .!.. = cot2x .'. cotx = 2
1
cotx 4
Resolución:
Ejemplo 4
Determina x si tana = sena .
cosa
o B
Ltana
L
X
a
90º - a a
e A
En elbABC:
mLBCA = 90º - a.= mLBCD = a.
CB = Llana.
En elbBDC:
CD= Ltana.cosa
=) x = L . sena .cosa
cosa
.·. x = Lsena
'
�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
Ejemplo 6
Del gráfico, halla x.
a
A.L--""m�-----,p?------,x�Uc
Resolución:
En el bPCB(37" y 53º):
tan37º = .1 = PC = �
4 BC BC
1.=2-=)BC= 4x
4 BC 3
En el bACB: BC = �x = (m + x) tanu
�x - xtana = mtana
x(; -tana)=
mtana
=)x = mtana
i_ _ tan a
3
x= 3mtana
4-3tana
Ejemplo 7
Determina H de la figura si tana +cota= � .
A�C
p 25-----,
Resolución:
En el bBPC: PC = Htanu ...(1)
En elbAPB:
mLABP = 90º- a =) mLPAB = a
AP = Hecto (2)
En el bABC: 25 = AP + PC (3)
Reemplazamos (1) y (2) en (3).
25 = Hcota + Htana
25 = H(tanet + cota)
Del dato, nos dicen que tana +cota= � .
Reemplazamos.
25 = H(;) .·. H = 10
X= acot0
y= acscG
un ángulo agudo y su
cateto adyacente.
n,
a
x = atan0
y= asec0

ITf:MA 3.Resolución de triángulos rectángulos
Modela objetos: 8-9 Comunica su comprensión: 1 Usa estrategias y procedimientos: 2-6 Argumenta afirmaciones: 7
1. De los siguientes gráficos
l.
3tan4oA8
·
t:z:·c
II.
�nss·
3 D 4csc55º F
111. J
s ¡j5cos17°
H¿:;1
5tan17°
¿cuáles son incorrectos?
A) 1 y II
O) 11 y 111
B) Solo I
E) 1 y 111
C) Solo II
2. Obtén x.
B
X
a
A�-m��oc"---�c
A) mcotaseca.
C) mtanacsca.
E) mtanasena
B) mtana.seca
O) mcotacsca.
3. Del gráfico, halla x si AD= L
4. Del gráfico, determina x en términos de 0, m y a.
B
A """-l!L--""-_¿LJC
A) Lcos0tan29 - R B) Lcos0tan29
C) tcoss - R O) Lcos0tan20 - 2R
E)NA
d
l'
1
"
<
a
j
1•
'
m
A) msen0cota
C) msen0csca.
E) mseneseca
B) msenetana
O) msene
año

5. Halla x en términos de 'r" y "O".
e�
A O B C
e-r r X-----<
A) r(coso - 1) B) r(cscO - 1)
C) r(secO - 1) O) r(senO - 1)
E) r(cote - 1)
e
B
n
A a B
1--- X -------j O
A) rucoso - sene) B) n(cota - sen0)
C) n(cota - tan9) O) n(tana - tanO)
E) n(cota - cote)
donde S es el área del
triángulo ABC.
5
_ absenO
- 2
b
e
s
a
BL-----'"A
7. Demuestra la siguiente fórmula:
e
8. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos
mide 9, y el cateto opuesto a dicho angulo, L. Halla la
hipotenusa.
En un tnángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos
mide ¡3, y el cateto adyacente a él, L. Expresa el área
de la región triangular en términos de B y L.
A) L2tanp B) L2senp C) L2cotjl
�
o
z
'o
1,
� 9.
?
¡
1e,
u
<
"
1o
•
'o
'
"
ur
•
A) LtanO
O) Lcsc9
O) � tanp
B) Lcote
E) Lcos9
E)
�
cot¡l
C) LsecO
o.,
V.,
cs
cs
.,
0 9
8 -s
8 -e
o.,
50101)�

CAPACIDA�D:,.,=Eé1::&!,--------------------...
Modelo objetos: 19; 29 Comunico su comprensión: 1-2; 10-11; 20
Usa estrategias y procedimientos: 3-6; 8; 9; 12-15; 17; 18; 21-24; 26-28 Argumenta afirmaciones: 7; 16; 25
•:@••--------
1. Crucigrama
Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un
matemático.
1. Cateto que se encuentra al lado del ángulo.
2. Tipo de ángulo mayor a 90º y menor a 180".
3. Cateto que se opone al ángulo.
4. Figura geométrica formada por dos rayos que parten de un
mismo punto.
'1 1
'
J
1
•
Matemáñco noruego que demostró la imposibilidad de
resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado. La vida
de estuvo dominada por la pobreza.
Finalmente, fallece de tuberculosis a los 27 años.
A) acose
C) 3cos0 - 4sen0
E) � (3cose - 4sen0)
6. A partir del gráfico, halla x.
X
B) � (3cos0 - 5sen0)
D) � (3cos0 + 4sen0)
37•
20
5. Calcula x en función de 9 de la siguiente figura:
B
�
Al--- X ------t D C
2. Dibuja un triángulo rectángulo, POR recto en Q, cuyo cateto
conocido QR mide 5 rn, y el angulo adyacente a este mide 20º. A) 15
D) 12
B) 16
E) 14
C) 18
7. De la figura, demuestra que AB = 9.
o
A) 1 B)asene
acsco
C)4 D) a E) sene
8.
l'
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en 8, donde I
mLCAB = 53º y el cateto BC = 24 m. Delerrrnna el valor deAC. u
4. Del paralelogramo mostrado, halla x.
''¿�
D m e
9.
A)20m
D) 30 m
B) 25 m
E) 24 m
C) 35 m
1
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde g
mLACB = 37° y la hipotenusa AC = 60 m. Halla el valor de
cs.
A)n-m
O) n - mcosa.
B) n - msena
E) n - mtana
C) ncosa - m A)45m
D) 36 m
B) 39 m
E) 48 m
C) 96 m
año

10. Se tiene
A
33
15. Del gráflco, determima el valor de x.
e
�sen17º
A 17° B
7
16. Del qráñco, a puede tomar valores entre 37º o 45º. ¿Para qué
valor de a AC es mínimo si MNOP es un cuadrado?
,�-�e
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
BC = 7sen33º
AC = 7sec33º
BC = 7cot57°
A) _1_
2
D) cos17°
B) 1
E) tan17°
C) 1_
2
B
11. Realiza la gráfica y luego completa los recuadros.
B
D 3m
N a
A) 37º
D) 45º
B) 53º
E) 60º
C) 8º
(a- b)
17. Se tiene un triangulo rectángulo ABC, recto en B, donde
mLBAC = 60º y et cateto BC = 3 /3 m. Determina el valor
deAB.
a
A) alana - b
O) (a - b)cota
X
B) � cota. C) (a+ b)tana
E) (a - b)sena
A)4m
D) 3/3 m
B) /3 m
E)5m
C)3m
C) lana
2
B) lana
E) 2tana
A) cota
2
D) esca
2
18. Se tiene un triangulo rectángulo ABC, recto en B, donde
mLCAB = 3
f yel catetoCB =2 m. Determina elvalordeAB.
A)2m B) 1-m C)6m
4
D) 13 m E) 13 m
2
19. Alberto mira la parte superior
de un edificio con un angulo a,
y él se encuentra a m metros
del edificio; luego se aleja m
metros más y ahora mira la
parte superior del edificio con
un ángulo El. Halla tan0 en
función a.
E
A) lana -1 B) cota -1 C) cota + 1
O) lana+ 1 E) cota
14. Halla x.
p
l
X
a
A) LsenBsena B) Lsena.cosB C) LsenBlana
O) LsenBcoso. E)NA
J•
� 13. Del gráfico, halla tanx en función de a si ABCD es un
• cuadrado.
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j

k
E L.>9"-1--t----'.ID
24. Del siguiente gráfico, halla EC en función de a, 9 y m.
e
2k
8) � cscacotO C) � escatane
m
1Bu___a_,_,_A
A) � cscocsca
e �----:84:c,;:iº
l�ME•--------
20. Se tiene la siguiente figura:
25. De la figura mostrada, demuestra que m = 2abco�a
a+
B
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
A8=48m
AD= 48(1 + cot84º) m
CD = 24csc84º m
AC=24/2 m
D) ; cscacotO E) ; csco.senO
21. Del gráfico, halla x si tanO = sen08 ·.
cos
a
m
b
A ¿___J_ _,._C
D
26. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la hipotenusa es
m y mLA =e.Halla el perímetro del triángulo.
B A) msenO + ncosO
n B) mease + nsenO
m e C) (m + n)senOcose
a
D) mtanO + nseca
A x D E) msecs + ntanO
A) m(1 + tane + cose)
C) m(1 + seoe + cose)
E) m(1 + eses + cotO)
8) m(1 + sene + cose)
D) m(1 + secs + tan8)
23. Del gráfico, determina sena.
27. Se tiene un triángulo rectangulo ABC, recto en B, donde
rnLACB = 45º y la hipotenusa es AC = 412 m. Halla la
suma de catetos.
A)6m 8)10m C)11m D)8m E)12m
E) 3 m
D) 5 m
C) 7 m
8)6 m
A)4m
Se tiene un triángulo rectangulo ABC, recto en B, donde
mLAC8 = 30º, y el cateto, C8 = 2 ,Í3 m . Calcula A8 + AC.
�
;
28.
C) acot80º
8)acos10º
E) asec80º
A) asen10º
D) atan80º
A)9 m
8)8 m
C) 7 m
D) 10 m
E)6 m
o .• o .•
., or
.,
V ·9 .,
3 -s l 131IN
501101)�
-u
•••
2 "131IN
3 .,
37°
Una corneta se queda atascada en la rama más alta de un e
árbol. Si la cuerda de la cometa mide 15 m y forma un ángulo !,
'
de 37° con el suelo, estima la altura del árbol. á.
'
1
"
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e ·s�
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C) 3/io
a ·zz
8 ·�z
·oz
8) /io
10
E) 3/io
10
A) 5/io
3
D) /io
5
año

Choque inminente
Dos trenes se movilizaban en sentido contrario. Los dos avanzaban por las mismas vías y eran las 7 en punto del
mismo día; sin embargo, los trenes no chocaron.
Pon a prueba
tus habilidades
con estos
acertijos.
Compara tus
hipótesis con las de
tus compañeros(as) �
debatan al respecto.
¿Qué ves en cada dibujo?
.... ¿crees que exista más de una solución? ¿Cuáles son tus hipótesis?
.... ¿Por qué no chocaron los trenes?
J•
�
o
z
'o
1
f¡
�amir
<

para la vida c:otidiana
_______;C;.;h'--"-a=m�Rions Leag,_u=c.c;e _
El Barcelona y el Atlético de Madrid se enfrentan
por los cuartos de final de la Champions League,
edición 2019. En los minutos finales del partido el
Barcelona, con el marcador a su favor, empezó a
triangular el balón entre Messi, Dembélé y Suárez,
como se muestra en el gráfico inferior.
•
mea atera 1
Triángulo de pases
Linea latera 2
•
M: Messi
D: Dembélé
S: Suárez
• MS es paralela a la
línea lateral
• MD=lSm
1. Respecto al gráfico, responde lo siguiente:
a) ¿Qué distancia están separados Oembélé y Suárez?
b) ¿Qué distancia están separados Messi y Suárez?
año
d
l'
1
"
<
a
j
1•

�
o
z
'o
1
f¡
j
u
<
"
j
J•
2.. Con respecto al gráfico inicial, cuando Oembélé recibe el pase de Messi, el francés avanza con el balón 7 m en
dirección al arco rival paralelo a la línea lateral. Luego de ello, Dembélé le da un pase a Suárez y el uruguayo
le entrega el balón a Messi, para iniciar así una nueva triangulación. ¿Qué distancia están separados Dembélé
y Suárez?
3.. Considerando el gráfico inicial, cuando Dembélé recibe el pase de Messi, el francés avanza con el balón
una distancia de 16 fi m en dirección a la línea lateral 2, formando 45" con la horizontal. Luego de ello,
Dembélé le da un pase a Suárez y después el uruguayo le entrega el balón a Messi, para iniciar así una nueva
triangulación. ¿Qué distancia están separados Oembélé y Suárez?

con valores
Inmigrantes en Perú
Una pareja de inmigrantes sube a un microbús para vender
golosinas. Mientras uno de ellos explica los motivos que lo
llevaron a salir de su país, su compañera se dispone a ofrecerles
los productos a los pasajeros. En ese momento, un universitario
le increpa al joven extranjero: "Los únicos que pueden liberar
a su pais de la crisis son ustedes mismos. Deberían estar allá,
luchando, en vez de escapar como cobardes".
Analiza la
situación real;
reconoce la aplicación
de valores !:f el
-..:a:::'.:,,-comportamiento
social étlco.
� ¿Conoces algún ciudadano de otro país que haya migrado al Perú? ¿Qué actividad
realiza?
� ¿Cómo te llevas con los extranjeros que han venido al país?
Otro pasajero, un adulto mayor, interrumpe al universitario:
"Cuando Perú atravesó un momento similar en la década de los 90,
muchos peruanos migraron a todas partes del mundo, no porque
no sean valientes, sino porque veían a sus familias morir por
hambre, enfermedades, delincuencia, etc. ¿Qué haría usted, joven,
si ve a su familia sufrir? Por un momento, póngase en los zapatos de
los migrantes. Es fácil hablar cuando se tiene un techo bajo el cual
dormir y un plato de comida todos los días". El joven universitario
vuelve a intervenir, así que se inicia un debate.
� ¿Cuál es tu opinión sobre la inmigración en el Perú?
� ¿Qué opinas del punto de vista del joven universitario?
� ¿Qué opinas del argumento del anciano?
� ¿con quién estás de acuerdo? ¿Por qué?
� ¿Qué ocurrió en la década de los 90 en Perú?
� Pregunta a tus padres: ¿por qué tenían que hacer largas colas a inicios de los 90?
año
Busca otros
puntos de vista según
los diferentes rofes
que intervienen en el
suceso narrado.
d
l'
1
"
<
a
j
1•

Pruebas tipo
Los puntos cardinales
Juan salió temprano al colegio, que se encuentra al este
de su casa. Cuando llega la hora de salida, Juan recuerda
que su mamá le dijo: "Cuando salgas del colegio, ve al
mercado a comprar algunos productos y después regresa
a casa". Entonces, del colegio, Juan camina en dirección
N37°0 hacia el mercado y después de comprar los
productos que le encargó su mamá, avanza con dirección
537°0 hacia su casa. Se sabe que desde el mercado a la
casa de Juan hay 200 m.
Jdiñrn1 �! N
!- O+E
'
- s
�
�
�- �
casa de Juan colegio de Juan
1. Con la información anterior, ¿cuánto recorrió Juan desde que salió de su casa al colegio hasta que
regresa a su hogar?
A) 650 m
1#41-HJMM,P
B) 798 m C) 600 m D) 820 m E) 640 m
�
o
z
'o
2.
1,
�
?
¡
1e,
u
<
"
1o
•
'o
'
"
ur
•
A) 480 m
l#i+ii'HM,P
B) 540 m C) 400 m D) 500 m E) 486 m
Si Juan olvida comprar lo que su mamá le encargó, ¿cuánto caminó desde que salió de casa hasta que
regresa?

rema í
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
recíprocas
Razones trigonométricas
'
•----------·--------------------·T•••••••••••••••••••••••••••••••••
V : V
'
'
'
'
'
'
Razones trigonométricas de
ángulos complementarios
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
rema z
Por las definiciones de razones
trigonométricas en el ti::::..ACB:
esca= .f.
a
seca= �
cota=.!!.
a
. senacsca =
1}
• cosaseca = 1 50�
t t 1
reciprocas
• anaco a=
sena=-ª-
e
cosa=!!.
e
tana = �
B
e
e
a
a
cLL��-b�---""--"A
Por las definiciones de razones
trigonométricas en el li:::,..ACB:
sena=-ª-= cose= cos(90º - a)
e
cosa=.!!.= sene= sen(90º - a)
e
tana = � =cote= cot(90º - a)
cota= -º- = tana = tan(90º - a)
a
seca= � = csc0 = csc(90º - a)
esca= .f.= secü e sec(90º - a)
a
Entonces:
I RT(a) = Co- RT(90º - a) J
las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de triángulos notables, donde las medidas de sus
lados están relacionadas en una determinada proporción.
'
"'
�
30º 60º 45• 37• 53• s· 82º
37" 143º 53" 127"
16º 74•
L 2 2 2 2
1 13 1 3 4 1 7 1 3 1 2 7 24
sen
12
- 5.fi 5.fi no no Is Is
2 2 5 5 25 25
13 1 1 4 3 7 1 3 1 2 1 24 7
cos
2 2 12 5 5 5.fi 5.fi no no Is Is 25 25
1
13 3 4 1 7
1 3
1 2
7 24
tan
13 1
4 3 7 3 2 24 7
13
1 4 3 1
3
1
2
1 24 7
cot
13 1
3 4
7
7 3 2 7 24
2
2 12 5 5 5.fi
5.fi no no Is Is 25 25
sec
13 -- -
4 3 7 3 2 24 7
2
12 5 5
5.fi
5/2
no no Is Is Q 25
ese 2
13 3 4 7 3 2 7 24
d
l'
1
"
<
a
j
1•
año

rema a
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
'
'
Si en un triángulo rectángulo se conoce uno de sus lados y uno de sus ángulos agudos,
es posible determinar sus otros dos lados, así como su otro ángulo agudo.
'
...,
Se presentan 3 casos
''
,----------------------------------T----------------------------------,
' ' '
' v V
Caso I
Cuando se conoce un ángulo
agudo (9) y su hipotenusa (a).
e
Caso II
Se conoce un ángulo agudo (0) y
su cateto opuesto (a).
e
Caso 111
Cuando se conoce un ángulo
agudo (9) y su cateto adyacente (a).
e
(a) V (a)
X
o e
A B A X B
V
Del gráfico: Del gráfico:
�=sene => X= asen0 �=cote => X= acot0
a a
Y.= cose """ y= acose 'L = csc0 => y= acsce
a a
y
Del gráfico:
� = tanO � x = atanO
a
J.. = sed> � y= asec0
b
X
�
o
z
'o r-��,
ejemplo ejemplo
ejemplo
1
f¡
j
u
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"
j
5
31º
Scos31º
Ssen31º 4csc44º
4
44•
4cot44º
A::13tan17°
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3
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20° 0°
60° 40°
60° 40°
160° 140° 120° 1 00° 80°
160° 140° 120° 100° so-
, PLANISFERIO: PROYECCIÓN DE LA TIERRA EN UN PLANO
¿Cómo se convierte un mapa esférico en un plano? Pues usando las proyecciones cartográficas. La proyección cartográfica
es el método que representa la superficle de la Tierra sobre un plano; además, es esencial para fa confección de mapas.
Supone un sistema estructurado que traslada la red de meridianos y paralelos desde una superficie curva como la de la
esfera a una superficie plana {Figura 1).
Un tipo de proyección cartográfica, la de Mercator, permite obtener un mapa de la Tierra denominado planisferio terrestre,
el cual es un instrumento útil para la docencia y la ciencia. Por ejemplo, cuando los maestros nos piden que llevemos un
planisferio para la clase de geografía.
El planisferio muestra todos los elementos contemplados en el mapa esférico de la Tierra, pero dispuestos en un plano
cartesiano bidimensional (x; y), donde el eje de las abscisas representa los meridianos, y el eje de las ordenadas, los
paralelos.
�� ¿Qué es la proyección cartográfica?
�� ¿Qué son los meridianos y los paralelos?
�� Investiga: ¿Qué tipos de proyecciones cartográficas existen?

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• V"
� ?
ANTÁ
• Figura l. La figura envuelve el planeta Tierra y, tras
desenvolverla, el resultado será un plano donde una
parte de la Tierra se representa mediante un sistema de
coordenadas cartesianas (x; y).
Desempeños----..
• Orientación al bien común
Enfoque transversal --..
Competencia
• Sistema de coordenadas rectangulares
• Razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal
• Ángulos verticales
• Calcula el valor de cada razón
trigonométrica del ángulo en posición
normal considerando su ubicación en
el plano.
• Analiza el signo de cada ángulo de
cualquier magnitud evaluando el
cuadrante en donde se encuentra su
lado final.
• Discrimina entre ángulo de elevación
y depresión.
• Representa gráficamente ángulos
verticales y emplea las razones
trigonométricas para la resolución de
problemas.
• Identifica puntos coordenados y los
utiliza para ubicar rectas o figuras
planas en el plano cartesiano.
• Calcula el punto medio de un
segmento, la distancia entre dos
puntos y el área de una región plana
utilizando las coordenadas de puntos
en el plano cartesiano.
• Define las razones trigonométricas
para ángulos en posición normal,
ángulos coterminales y ángulos
negativos.
Temas de la unidad
º'
l#·N493ti�
80° 1 00° 1 20° 1 40° 160° 1 80°
80° 100° 120° 140° 1600 180°
60°
60°
40°
40°

2° t

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