Este documento describe varios modelos de sistemas complejos en econofísica, incluyendo la obtención de la distribución exponencial de la riqueza a través de simulaciones de intercambios aleatorios entre agentes. También analiza otras leyes como la del ahorro y las de intercambio restringido, y estudia cómo convergen estas simulaciones a distribuciones exponenciales u otras funciones.

1. Sistemas complejos: Estudio y simulaci´on de modelos en
Econof´ısica
Carlos Visitaci´on Crespo
Septiembre 2015
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2. 1 Introducci´on
2 Obtenci´on de la distribuci´on exponencial
3 Otras leyes de reparto de la riqueza
Ley del ahorro
Leyes de intercambio restringido
4 Estudio en los tiempos de convergencia
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3. Definici´on
¿Qu´e es la econof´ısica?
¿Cu´al es su finalidad?
¿Cu´al es su utilidad?
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4. Pasos previos
Division de la poblaci´on segun su riqueza:
Un 5% de la poblaci´on muy rica, que se distribuye de forma potencial.
Un 95% de la poblaci´on con un salario cercano al salario medio.
Nos centraremos en esta mayor parte de la poblaci´on, la cual se ha
demostrado que se distribuye siguiendo la distribuci´on exponencial.
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5. Factor Bolzmann, argumentos geometricos
Se toma un sistema multiagente, con la hip´otesis de equiprobabilidad.
La riqueza total del sistema se denominar´a: E.
Llamando xi a los agentes, se tendr´a la siguiente ecuaci´on:
x1 + x2 + ... + xN = E
Tambi´en ser´a interesante tener en cuenta la superficie del hiperplano
generado por la anterior ecuaci´on:
SN(E) =
√
N
(N − 1)!
EN−1
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6. Al asumir la hipotesis de equiprobavilidad, se tiene que la probabilidad
de encontrar un agente i con dinero xi es proporcional al ´area de la
superficie formada por todos los puntos del N-hiperplano que tienen la
coordenada i-´esima igual a xi .
Dicha probabilidad se denotara como:
f (xi )dxi
Se tendra en cuenta tambi´en la siguiente relaci´on:
sin θN =
N − 1
N
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7. Se toma al agente i-´esimo. Dando lugar a la siguiente ecuaci´on:
x1 + x2 + ... + xi−1 + xi+1 + ... + xN = E − xi
De manera an´aloga tenemos el N-1-hiperplano, cuya superficie ser´a:
SN−1(E − xi ) =
√
N − 1
(N − 2)!
(E − xi )N−2
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8. Se tiene que el area del N-hiperplano es proporcional a
SN(E) =
E
0
SN−1(E − xi )
dxi
sin θN
Teniendo en cuenta la condici´on de normalidad sobre f (xi ) se llega a:
f (xi ) =
1
SN(E)
SN−1(E − xi )
sin θN
Y de manera m´as simplificada:
f (xi ) = (N − 1)E−1
1 −
xi
E
N−2
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9. Llamando σ a la riqueza media por agente del sistema tenemos que
E = N · σ.
Haciendo tender N a infinito se obtiene el deseado factor:
e−xi /σ
Y su distribuci´on:
f (x) =
1
σ
e−x/σ
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10. Otra forma de obtenci´on de la distribuci´on exponencial
Dada la ley de reparto determinado por las siguientes ecuaciones:
mi = (mi + mj ) (1)
mj = (1 − )(mi + mj ) (2)
Considerando tres distintas distribuciones iniciales.
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11. Caso 1
Distribuci´on uniforme de con valor de riqueza 1:
A cada agente se le da una unidad de riqueza
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
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12. 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
p(m)
m
valores simulación
exponencial (media 1)
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13. Caso 2
Distribuci´on aleatoria de riqueza:
A cada agente se le da una cantidad de riqueza aleatoria.
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
La media obtenida en la simulaci´on es de: 0.50 unidades de riqueza.
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14. 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
m
p(m)
distribución paso it=10000 (n)
distribución exponencial (media 0.5)
valores simulación
distribución inicial it=0 (0*n)
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15. Caso 3
Distribuci´on 2-0 de riqueza.
A la mitad de los agentes se les da dos unidades de riqueza.
A la otra mitad de los agentes se les da cero unidades de riqueza.
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
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16. 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
m
p(m)
valores simulación
exponencial (media 1)
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17. Modelo de iteraci´on funcional
Pasando al caso continuo, se obtendr´a la convergencia a la funci´on de
densidad exponencial a partir de la iteracci´on del operador τ.
lim
n→∞
τn
(p0(m)) → pf (m)
Donde se tiene que p0(m) es la distribuci´on de riqueza inicial y pf (m) la
distribuci´on final en caso de existencia.
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18. Para responder a la anterior pregunta se llama pn a la distribuci´on de la
riqueza en el instante de tiempo n.
La probabilidad de obtener la cantidad de riqueza x con dos agentes cuya
cantidad de dinero es (u,v) vendr´a dada por pn(u)pn(v)
u+v
Por lo tanto se tendr´a la siguiente relaci´on con el operador lineal:
pn+1(x) = τpn(x) =
u+v>x
pn(u)pn(v)
u + v
dudv
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19. Ley del ahorro
La ley vendr´a determinada por las siguientes ecuaciones:
mi = λmi + (1 − λ)(mi + mj ) (3)
mj = λmj + (1 − )(1 − λ)(mi + mj ) (4)
Donde λ es el par´ametro fijo que determina la cantidad proporcional de
riqueza que cada agente ahorra en la interacci´on.
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20. Ley del ahorro
A cada agente se le da una unidad de riqueza.
N´umero de agentes N = 10000.
El valor de λ = 0.5
El n´umero de iteraciones es N2.
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21. 0 1 2 3 4 5 6
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
m
p(m)
Gamma
valores simulacion ahorro 0.5
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22. Ley del ahorro
Simulaciones realizadas para distintos valores de λ:
0 1 2 3 4 5 6
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
m
p(m)
ahorro 0
ahorro 0.25
ahorro 0.4
ahorro 0.8
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23. Ley de intercambio con agente determinado por posici´on
Dicha ley vendr´a determinada por las ya conocidas ecuaciones:
mi = (mi + mi+1) (5)
mi+1 = (1 − )(mi + mi+1) (6)
La particularidad es que la elecci´on del segundo agente vendr´a determi-
nada por la posici´on que ocupa en el sistema. Dotaremos de posici´on
lineal a los agentes.
Compararemos los resultados obtenidos con la distribuci´on exponencial.
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24. Caso 1
El agente interactuar´a con el de su ”derecha”.
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
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25. 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
m
p(m)
exponencial (media 1)
valores simulación
exponencial (media 0.5)
valores simulación
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26. Caso 2
En la simulaci´on el agente interactuar´a con un determinado rango de
agentes a su ”derecha”.
A cada agente se le da una unidad de riqueza.
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
El rango ser´a de un 1%.
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27. 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
m
p(m)
exponencial (media 1)
valores simulación
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28. Ley de intercambio con agente determinado por su riqueza
En esta nueva simulaci´on seguimos con las mismas ecuaciones para
determinar el intercambio de riqueza entre los agentes.
La particularidad en la ley es que solo se producir´a tal intercambio si
el segundo agente elegido tiene una cantidad superior a la del primer
agente.
Se introduce un par´ametro de control que determina el n´umero m´aximo
de intentos de encontrar un agente que cumpla las expectativas.
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29. Caso 1
A cada agente se le da una unidad de riqueza.
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
Los valores de control ser´an de 1 y 500.
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30. Resultado simulaci´on:
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
m
p(m)
distribución exponencial (media 1)
valores simulación (control 1)
valores simulación (control 500)
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31. Caso 2
Se introduce un nuevo coeficiente que llamaremos p.
A cada agente se le da una cantidad de riqueza aleatoria.
La media obtenida en la simulaci´on es de: 0.50 unidades de riqueza.
N´umero de agentes N = 10000.
El n´umero de iteraciones es N2.
Los valores de p ser´an p = 2 y p = 10
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32. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
m
p(m)
distribución exponencial (media 0.5)
valores simulación control 500, p=2
valores simulación control 500, p=10
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33. Comparaci´on de distribuciones con valor de control = 500:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
distribución p=1
distribución p=3
distribución p=5
distribución p=7
distribución p=10
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34. Ley de intercambio de riqueza con l´ımite en la riqueza de
los agentes
Ning´un agente puede tener m´as de una riqueza limite.
Se introducen dos par´ametros: pc y pr = 10
riqlim = pc · σ
N´umero de agentes N = 1000.
A cada agente se le da una cantidad de riqueza aleatoria.
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35. Resultado simulaci´on:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
m
p(m)
distribución con pc=2
distribución con pc=1.5
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36. Estudio en los tiempos de convergencia
Se va a proceder a estudiar la velocidad de convergencia a la dis-
tribuci´on exponencial en el caso de la ley totalmente aleatoria.
El criterio usado consta de la suma punto a punto al cuadrado y que
no supere un umbral de 0.01
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37. Caso 1
Cada agente recibe una cantidad de riqueza aleatoria.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10
4
nº agentes
tiempo
no agentes 5000 10000 15000 20000 25000 30000
tiempo 12204 23809 35160 48464 59050 71306
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38. Caso 2
Cada agente recibe una unidad de riqueza.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10
4
nº agentes
tiempo
no agentes 5000 10000 15000 20000 25000 30000
tiempo 112717 25228 38917 52200 63724 77324
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39. Carlos Visitaci´on Crespo Sistemas complejos: Estudio y simulaci´on de modelos en Econof´ısicaSeptiembre 2015 39 / 40