El documento describe las características de las curvas cónicas, en particular de la elipse. La elipse se obtiene al cortar un cono oblicuamente. Tiene dos focos y dos directrices. El punto P de una elipse satisface que la suma de las distancias a los dos focos es constante. La elipse tiene dos ejes perpendiculares y cinco métodos de construcción se describen: por los focos, por puntos, por haces proyectivos y mediante las circunferencias principal y de diámetro 2b.
6.b. curvas cónicas; elipse, hipérbola y parábola.3Raquel
Este documento presenta un resumen de las curvas cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola). Explica cómo se generan estas curvas al seccionar un cono de revolución con un plano, y describe los elementos clave de cada curva como ejes, focos, directrices, etc. También incluye instrucciones para construir cada curva cónica conociendo diferentes parámetros.
Este documento describe las curvas cónicas, en particular la elipse y la hipérbola. Explica que las curvas cónicas son las secciones de una superficie cónica de revolución cortada por un plano, y clasifica las cónicas en circunferencias, elipses, hipérbolas, parábolas y cónicas degeneradas. Luego detalla las propiedades y métodos de construcción de la elipse y la hipérbola, incluidos sus ejes, focos, circunferencias principales y focales.
Este documento describe las propiedades geométricas fundamentales de las curvas cónicas elipse, hipérbola y parábola. Explica que la elipse es una curva cerrada simétrica respecto a sus ejes, la hipérbola es una curva abierta con dos ramas simétrica respecto a sus ejes, y la parábola es una curva abierta y de una rama con un vértice y foco. También define elementos como los focos, radios vectores, ejes, circunferencias principales y focales para cada curva
Este documento describe las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola), incluyendo sus definiciones, parámetros, estudios analíticos y métodos de trazado. También presenta ejemplos reales donde se observan estas curvas, como las órbitas planetarias, antenas parabólicas, lentes y superficies reflectoras. El documento concluye con una opinión personal sobre lo interesante que es aprender sobre las cónicas y sus aplicaciones en la vida cotidiana.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de curvas, incluyendo curvas cónicas (elipse, hipérbola y parábola), curvas técnicas y curvas cíclicas. Explica los elementos y características de cada curva, así como métodos para su construcción, como usar puntos, haces proyectivos, envolventes y propiedades geométricas. También cubre conceptos como focos, ejes, tangentes e intersecciones de curvas con rectas.
La elipse, parábola e hipérbola son curvas cónicas. La elipse es una curva cerrada simétrica respecto a dos ejes perpendiculares que pasan por sus dos focos. La parábola es una curva abierta y de una rama definida como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un foco y una directriz. La hipérbola es una curva abierta y de dos ramas simétrica respecto a dos ejes perpendiculares que pasan por sus dos focos.
Este documento trata sobre tangencias. Explica las características básicas de las tangencias entre figuras geométricas como rectas y circunferencias. Luego, detalla los pasos para trazar diferentes tipos de tangencias como entre circunferencias y rectas, entre circunferencias, y entre circunferencias y múltiples rectas. Finalmente, resume los principios y propiedades fundamentales para resolver problemas de tangencias.
Este documento describe diferentes tipos de curvas geométricas planas, incluyendo curvas técnicas como el óvalo, el ovoide y la espiral. Explica que estas curvas se utilizan comúnmente en el diseño industrial, arquitectónico y gráfico, y proporciona instrucciones detalladas para construir varias formas de óvalos y ovoides.
6.b. curvas cónicas; elipse, hipérbola y parábola.3Raquel
Este documento presenta un resumen de las curvas cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola). Explica cómo se generan estas curvas al seccionar un cono de revolución con un plano, y describe los elementos clave de cada curva como ejes, focos, directrices, etc. También incluye instrucciones para construir cada curva cónica conociendo diferentes parámetros.
Este documento describe las curvas cónicas, en particular la elipse y la hipérbola. Explica que las curvas cónicas son las secciones de una superficie cónica de revolución cortada por un plano, y clasifica las cónicas en circunferencias, elipses, hipérbolas, parábolas y cónicas degeneradas. Luego detalla las propiedades y métodos de construcción de la elipse y la hipérbola, incluidos sus ejes, focos, circunferencias principales y focales.
Este documento describe las propiedades geométricas fundamentales de las curvas cónicas elipse, hipérbola y parábola. Explica que la elipse es una curva cerrada simétrica respecto a sus ejes, la hipérbola es una curva abierta con dos ramas simétrica respecto a sus ejes, y la parábola es una curva abierta y de una rama con un vértice y foco. También define elementos como los focos, radios vectores, ejes, circunferencias principales y focales para cada curva
Este documento describe las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola), incluyendo sus definiciones, parámetros, estudios analíticos y métodos de trazado. También presenta ejemplos reales donde se observan estas curvas, como las órbitas planetarias, antenas parabólicas, lentes y superficies reflectoras. El documento concluye con una opinión personal sobre lo interesante que es aprender sobre las cónicas y sus aplicaciones en la vida cotidiana.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de curvas, incluyendo curvas cónicas (elipse, hipérbola y parábola), curvas técnicas y curvas cíclicas. Explica los elementos y características de cada curva, así como métodos para su construcción, como usar puntos, haces proyectivos, envolventes y propiedades geométricas. También cubre conceptos como focos, ejes, tangentes e intersecciones de curvas con rectas.
La elipse, parábola e hipérbola son curvas cónicas. La elipse es una curva cerrada simétrica respecto a dos ejes perpendiculares que pasan por sus dos focos. La parábola es una curva abierta y de una rama definida como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un foco y una directriz. La hipérbola es una curva abierta y de dos ramas simétrica respecto a dos ejes perpendiculares que pasan por sus dos focos.
Este documento trata sobre tangencias. Explica las características básicas de las tangencias entre figuras geométricas como rectas y circunferencias. Luego, detalla los pasos para trazar diferentes tipos de tangencias como entre circunferencias y rectas, entre circunferencias, y entre circunferencias y múltiples rectas. Finalmente, resume los principios y propiedades fundamentales para resolver problemas de tangencias.
Este documento describe diferentes tipos de curvas geométricas planas, incluyendo curvas técnicas como el óvalo, el ovoide y la espiral. Explica que estas curvas se utilizan comúnmente en el diseño industrial, arquitectónico y gráfico, y proporciona instrucciones detalladas para construir varias formas de óvalos y ovoides.
1) El documento describe las características y métodos de construcción de las curvas cónicas, incluyendo elipse, hipérbola y parábola.
2) Explica elementos como focos, ejes, vértices y cómo definir cada curva como el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas propiedades.
3) Detalla métodos para trazar cada curva dado diferentes datos, como focos, ejes o un punto, usando técnicas de puntos, haces o envolventes.
El documento describe diferentes tipos de secciones cónicas como elipse, hipérbola, parábola y círculo, definidas por la intersección de un cono y un plano. También describe varios tipos de arcos arquitectónicos como el arco de medio punto, carpanel, rampante y ojival, así como diferentes molduras como bocel, cimacio, escocia y media caña.
Este documento presenta información sobre circunferencias, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas entre circunferencias, propiedades de tangentes y ángulos relacionados con circunferencias. También incluye 10 problemas de geometría resueltos que aplican estos conceptos para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento define los elementos básicos de una circunferencia como el radio, diámetro, cuerda, arco, ángulos del centro e inscritos. También describe las posiciones relativas entre circunferencias como secantes, no secantes y tangentes. Finalmente, presenta un ejercicio para identificar estos elementos y posiciones en un diagrama.
Este documento describe las propiedades de los ángulos en una circunferencia. Explica que la medida del ángulo central es igual al arco que abarca, y que la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco entre sus lados. También indica que la medida de un ángulo interior es la semisuma de los arcos a cada lado, mientras que la de un ángulo exterior es la semidiferencia de esos arcos.
Este documento compara las curvas cónicas (elipse, parábola e hipérbola) en términos de sus elementos de construcción y tangencias. Describe los elementos utilizados para construir cada curva como ejes, focos y radios vectores, y explica cómo trazar tangentes a estas curvas desde puntos dentro y fuera de la curva, así como con una dirección dada.
Este documento describe las secciones cónicas, incluyendo la elipse. Explica los elementos de una elipse como sus focos, ejes, parámetros y propiedades. Detalla métodos para trazar una elipse, como por puntos, afinidad o haces proyectivos. Finalmente, ofrece ejemplos de elipses en órbitas planetarias y formas circulares vistas de manera oblicua.
Este documento describe los polígonos, incluyendo sus definiciones, elementos, clasificaciones y métodos de construcción. Los polígonos son figuras planas formadas por líneas rectas. Se clasifican como convexos o cóncavos, regulares o irregulares, y por su número de lados. El documento explica cómo calcular la suma de los ángulos interiores y exteriores, y proporciona instrucciones paso a paso para construir polígonos regulares dados sus lados u otros elementos.
El documento presenta información sobre ángulos centrales e inscritos en círculos. Explica que un ángulo central tiene su vértice en el centro del círculo, mientras que un ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia. Además, señala que cuando un ángulo central y uno inscrito comparten los mismos lados, el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
Se traza una circunferencia con un centro y radio conocidos. Se dibujan dos diámetros perpendiculares que se cortan en el centro de la circunferencia y se dividen la circunferencia en cuatro partes iguales.
Este documento define conceptos básicos relacionados con círculos y circunferencias, incluyendo: circunferencia, radio, cuerda, diámetro, interior y exterior de la circunferencia, círculo, ángulo central, arco (menor y mayor), semicircunferencia y tipos de rectas (tangente, secante, exterior). También incluye notaciones y ejemplos ilustrativos de estos conceptos.
El documento describe las propiedades geométricas de las circunferencias. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, cuerda, arco y tangente. Luego describe propiedades básicas como que un radio perpendicular a una cuerda la biseca. También cubre posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes. Finalmente, presenta teoremas sobre medidas de ángulos.
Matematica II 3º Fisico Matematica Actividad 4guest1c433c
Este documento presenta 6 actividades relacionadas con conceptos geométricos como la proporción áurea, la división de segmentos, la construcción de rectángulos y espirales áureos, y la construcción de un pentágono regular utilizando la proporción áurea. Cada actividad incluye pasos detallados e instrucciones para realizar construcciones geométricas y comprobar propiedades matemáticas usando software como Geogebra.
Se traza una circunferencia con centro O y radio conocido, luego se traza el diámetro AB. Con B como centro se dibuja un arco que corta la circunferencia en los puntos M y N, formando así el triángulo equilátero AMN.
Las curvas cónicas son secciones de un cono de revolución cortado por un plano. Dependiendo de la inclinación del plano, se obtienen diferentes curvas: la elipse cuando el plano es oblicuo, la parábola cuando es paralelo a una generatriz, y la hipérbola cuando es paralelo al eje o dos generatrices. La elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante, la parábola de puntos cuya distancia al foco es igual a la distancia a la direct
Este documento describe las fórmulas para medir diferentes tipos de ángulos en geometría. Explica que la medida del ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende, la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco opuesto, y la medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la amplitud del arco que subtiende. También define las medidas de los ángulos interior, exterior y circunscrito como funciones de las medidas de los arcos opuestos o que delimitan.
Este documento describe las secciones cónicas y las circunferencias. Explica que una sección cónica es la curva obtenida por la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución, la cual puede ser una circunferencia, parábola, elipse o hipérbola. Luego, define la circunferencia como el conjunto de puntos a una distancia constante del centro, y presenta la ecuación canónica para representar una circunferencia.
El documento proporciona información sobre diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros, pirámides, prismas, cilindros, conos y esferas. Describe sus características y cómo calcular su área y volumen. Explica que los poliedros pueden ser regulares u irregulares, y que los regulares son los sólidos platónicos.
SISTEMA DIÉDRICO: INTERSECCIONES. PARALELISMO. PERPENDICULARIDADanaballester
This document discusses geometric concepts in a dihedral system including intersections, parallelism, perpendicularity, and distances. It defines intersections between lines and planes, parallel lines and planes, perpendicular lines and planes, and distances between points, lines, and planes. It provides examples and problems for each concept.
1) El documento describe las características y métodos de construcción de las curvas cónicas, incluyendo elipse, hipérbola y parábola.
2) Explica elementos como focos, ejes, vértices y cómo definir cada curva como el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas propiedades.
3) Detalla métodos para trazar cada curva dado diferentes datos, como focos, ejes o un punto, usando técnicas de puntos, haces o envolventes.
El documento describe diferentes tipos de secciones cónicas como elipse, hipérbola, parábola y círculo, definidas por la intersección de un cono y un plano. También describe varios tipos de arcos arquitectónicos como el arco de medio punto, carpanel, rampante y ojival, así como diferentes molduras como bocel, cimacio, escocia y media caña.
Este documento presenta información sobre circunferencias, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas entre circunferencias, propiedades de tangentes y ángulos relacionados con circunferencias. También incluye 10 problemas de geometría resueltos que aplican estos conceptos para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento define los elementos básicos de una circunferencia como el radio, diámetro, cuerda, arco, ángulos del centro e inscritos. También describe las posiciones relativas entre circunferencias como secantes, no secantes y tangentes. Finalmente, presenta un ejercicio para identificar estos elementos y posiciones en un diagrama.
Este documento describe las propiedades de los ángulos en una circunferencia. Explica que la medida del ángulo central es igual al arco que abarca, y que la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco entre sus lados. También indica que la medida de un ángulo interior es la semisuma de los arcos a cada lado, mientras que la de un ángulo exterior es la semidiferencia de esos arcos.
Este documento compara las curvas cónicas (elipse, parábola e hipérbola) en términos de sus elementos de construcción y tangencias. Describe los elementos utilizados para construir cada curva como ejes, focos y radios vectores, y explica cómo trazar tangentes a estas curvas desde puntos dentro y fuera de la curva, así como con una dirección dada.
Este documento describe las secciones cónicas, incluyendo la elipse. Explica los elementos de una elipse como sus focos, ejes, parámetros y propiedades. Detalla métodos para trazar una elipse, como por puntos, afinidad o haces proyectivos. Finalmente, ofrece ejemplos de elipses en órbitas planetarias y formas circulares vistas de manera oblicua.
Este documento describe los polígonos, incluyendo sus definiciones, elementos, clasificaciones y métodos de construcción. Los polígonos son figuras planas formadas por líneas rectas. Se clasifican como convexos o cóncavos, regulares o irregulares, y por su número de lados. El documento explica cómo calcular la suma de los ángulos interiores y exteriores, y proporciona instrucciones paso a paso para construir polígonos regulares dados sus lados u otros elementos.
El documento presenta información sobre ángulos centrales e inscritos en círculos. Explica que un ángulo central tiene su vértice en el centro del círculo, mientras que un ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia. Además, señala que cuando un ángulo central y uno inscrito comparten los mismos lados, el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
Se traza una circunferencia con un centro y radio conocidos. Se dibujan dos diámetros perpendiculares que se cortan en el centro de la circunferencia y se dividen la circunferencia en cuatro partes iguales.
Este documento define conceptos básicos relacionados con círculos y circunferencias, incluyendo: circunferencia, radio, cuerda, diámetro, interior y exterior de la circunferencia, círculo, ángulo central, arco (menor y mayor), semicircunferencia y tipos de rectas (tangente, secante, exterior). También incluye notaciones y ejemplos ilustrativos de estos conceptos.
El documento describe las propiedades geométricas de las circunferencias. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, cuerda, arco y tangente. Luego describe propiedades básicas como que un radio perpendicular a una cuerda la biseca. También cubre posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes. Finalmente, presenta teoremas sobre medidas de ángulos.
Matematica II 3º Fisico Matematica Actividad 4guest1c433c
Este documento presenta 6 actividades relacionadas con conceptos geométricos como la proporción áurea, la división de segmentos, la construcción de rectángulos y espirales áureos, y la construcción de un pentágono regular utilizando la proporción áurea. Cada actividad incluye pasos detallados e instrucciones para realizar construcciones geométricas y comprobar propiedades matemáticas usando software como Geogebra.
Se traza una circunferencia con centro O y radio conocido, luego se traza el diámetro AB. Con B como centro se dibuja un arco que corta la circunferencia en los puntos M y N, formando así el triángulo equilátero AMN.
Las curvas cónicas son secciones de un cono de revolución cortado por un plano. Dependiendo de la inclinación del plano, se obtienen diferentes curvas: la elipse cuando el plano es oblicuo, la parábola cuando es paralelo a una generatriz, y la hipérbola cuando es paralelo al eje o dos generatrices. La elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante, la parábola de puntos cuya distancia al foco es igual a la distancia a la direct
Este documento describe las fórmulas para medir diferentes tipos de ángulos en geometría. Explica que la medida del ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende, la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco opuesto, y la medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la amplitud del arco que subtiende. También define las medidas de los ángulos interior, exterior y circunscrito como funciones de las medidas de los arcos opuestos o que delimitan.
Este documento describe las secciones cónicas y las circunferencias. Explica que una sección cónica es la curva obtenida por la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución, la cual puede ser una circunferencia, parábola, elipse o hipérbola. Luego, define la circunferencia como el conjunto de puntos a una distancia constante del centro, y presenta la ecuación canónica para representar una circunferencia.
El documento proporciona información sobre diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros, pirámides, prismas, cilindros, conos y esferas. Describe sus características y cómo calcular su área y volumen. Explica que los poliedros pueden ser regulares u irregulares, y que los regulares son los sólidos platónicos.
SISTEMA DIÉDRICO: INTERSECCIONES. PARALELISMO. PERPENDICULARIDADanaballester
This document discusses geometric concepts in a dihedral system including intersections, parallelism, perpendicularity, and distances. It defines intersections between lines and planes, parallel lines and planes, perpendicular lines and planes, and distances between points, lines, and planes. It provides examples and problems for each concept.
Este documento es una lista de los alumnos de 1o C de ESO del IES Santa Clara durante el curso 2010-2011 y los trabajos que realizaron con motivo de la festividad del Día del Libro en colaboración de las asignaturas de Lengua y Educación Plástica y Visual. La lista incluye el nombre de cada alumno y un breve resumen de 3 líneas o menos del libro sobre el que hicieron su trabajo.
Este documento describe los métodos para trazar una hipérbola dados sus ejes mayores reales AB y CD, incluyendo por puntos, por haces proyectivos y por envolventes. También explica cómo trazar la tangente a una hipérbola en un punto P, indicando que la tangente es la bisectriz de los ángulos formados por los radios vectores desde los focos al punto P.
La elipse es una curva cerrada definida como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Puede construirse trazando arcos entre los focos y el eje mayor, o mediante tangentes a una circunferencia focal. Existen varios métodos para trazar una elipse a partir de sus elementos como los focos, ejes y tangentes.
Este documento describe métodos para trazar elipses y tangentes a elipses. Explica que una elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos fijos es constante. Luego detalla tres métodos para trazar una elipse conociendo sus ejes: trazando puntos, usando haces proyectivos, y usando envolventes. Finalmente, explica que la tangente a una elipse en un punto P es la bisectriz de los ángulos formados por los radios vectores desde los focos a P.
El documento describe las características y métodos de construcción de una elipse. Una elipse es la curva donde la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. El documento explica cinco métodos para trazar una elipse dados diferentes elementos como los focos, ejes mayores y menores, o un punto en la curva.
El documento describe los pasos para dibujar el triángulo simétrico de ABC respecto de la recta AB y coplanario con él. Primero se colocan los puntos A, B y C en el plano. Luego se abate el plano sobre un plano paralelo para trabajar en geometría plana. Se abate el punto B y se halla el punto D simétrico a B respecto de la recta AB. Finalmente, se desabaten los puntos D', D'' y el triángulo simétrico está completo.
1) El documento instruye cómo dibujar la proyección diédrica de una circunferencia que pasa por los puntos M, N y P en el espacio.
2) Se trazan los puntos M, N y P en un plano paralelo al plano vertical para encontrar la circunferencia.
3) Luego, la circunferencia se desabate identificando sus ejes mayor y menor en las diferentes proyecciones.
Este documento explica los pasos para realizar abatimientos, que implican girar un plano hasta hacerlo coincidir con otro, en el sistema diédrico. Describe cómo abatir puntos, rectas y planos sobre los planos horizontales y verticales de proyección, así como sobre planos paralelos a estos. Los abatimientos son una forma de obtener figuras planas en el plano de proyección vertical mediante.
El documento repite la frase "DIBUJO TÉCNICO II Sistema Diédrico II." nueve veces, indicando que trata sobre el sistema diédrico II en el curso de dibujo técnico II.
Bravo Andres Seyla_Arte y Resistencia Digitalkipirinai
Este documento analiza el potencial de la creatividad y el arte para la transformación social a través del uso de las redes. Indica que los artistas y colectivos creativos han utilizado las redes para organizarse, crear contenidos de forma colaborativa y criticar los efectos de los medios masivos, con el objetivo de cambiar la realidad. Asimismo, señala que la naturaleza de Internet ha permitido la reconquista del espacio público y la creación de comunidades, inspirando iniciativas como la cultura libre. Por lo tanto, la creativ
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTO
RESUMEN
ÍNDICE
I Introducción
II Historia de las Secciones Cónicas
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
2.2. Las cónicas como lugares geométricos
2.3. Expresión analítica de las cónicas
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.
III Tema
3.1. Elipse
3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real
3.1.2. Definiciones y Propiedades.
3.1.3. Elementos de la elipse
3.1.4. Excentricidad de la elipse
3.1.5. Ecuación de la elipse
3.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse
3.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y
3.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas
3.1.6. Ejercicios resueltos
3.1.7. Problemas aplicados a la teoría
3.1.8. Ejercicios Propuestos (sin solución)
3.1.9. Construcciones de una elipse
IV Conclusión
V Bibliografía
Este documento presenta las definiciones y propiedades de las curvas cónicas principales: la elipse, la hipérbola, y la parábola. Explica que son secciones de una superficie cónica producidas por un plano secante, y describe los focos, vértices, ejes, y otras características geométricas clave de cada curva, además de métodos para su construcción.
Este documento presenta información sobre curvas cónicas. Explica que las curvas cónicas son secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. Dependiendo del ángulo del plano secante se producen elipses, parábolas e hipérbolas. Describe las propiedades de estas curvas como sus focos, vértices, directrices y circunferencias focales. También explica métodos para construir estas curvas geométricamente.
Este documento describe las curvas cónicas, incluyendo la elipse, hipérbola, parábola y circunferencia. Explica sus propiedades geométricas y cómo se pueden construir y trazar cada una. También incluye métodos para trazar tangentes y normales a las curvas.
Este documento describe las curvas cónicas, en particular la elipse. Explica que una elipse es la intersección de un plano oblicuo con una superficie cónica de revolución. Detalla los elementos de una elipse como los focos, ejes, y diámetros, y presenta varios métodos geométricos para construir una elipse, trazar tangentes, y encontrar puntos de intersección. El documento también cubre brevemente la hipérbola y la parábola.
El documento describe las curvas cónicas principales (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) y sus elementos. Explica que son curvas de intersección de una superficie cónica con un plano, dependiendo de si los radios son iguales, mayor o menor. Luego define los focos, directrices, ejes y construcción de cada curva cónica.
El documento describe las curvas cónicas principales (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) y sus elementos. Explica que son curvas de intersección de superficies cónicas con planos, y define sus ejes, focos, directrices y otras propiedades geométricas. También incluye instrucciones para construir cada curva cónica.
Este documento describe las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola), incluyendo sus definiciones, parámetros, estudios analíticos y métodos de trazado. También presenta ejemplos reales donde se observan estas curvas, como las órbitas planetarias, antenas parabólicas, lentes y superficies reflectoras. El documento concluye con una opinión personal sobre lo interesante que es aprender sobre las cónicas y sus aplicaciones en la vida cotidiana.
Este documento presenta una introducción a las secciones cónicas, incluyendo elipses, hipérbolas y parábolas. Detalla la definición, elementos, parámetros y propiedades de cada curva, así como métodos para su trazado y ejemplos reales. El documento está organizado en secciones dedicadas a cada curva cónica, con subsecciones para cada tema relevante.
El documento describe diferentes tipos de curvas técnicas como óvalos, ovoides y curvas cónicas como elipses, parábolas e hipérbolas. Explica sus definiciones, propiedades y métodos de construcción geométrica. También incluye ejercicios prácticos para construir estas curvas y ejemplos de tangencias y enlaces entre ellas.
Las curvas cónicas fueron estudiadas por matemáticos griegos como Menaechmus y Apollonius de Perga. Menaechmus descubrió las secciones cónicas al cortar un cono con un plano, mientras que Apollonius introdujo los términos parábola, hipérbola y elipse. Las cuatro curvas cónicas principales - elipse, hipérbola, parábola y círculo - se forman dependiendo del ángulo entre el plano de corte y el eje del cono. Las curvas cón
Las curvas cónicas fueron estudiadas por matemáticos griegos como Menaechmus y Apollonius de Perga. Menaechmus descubrió las secciones cónicas al cortar un cono con un plano, mientras que Apollonius introdujo los términos parábola, hipérbola y elipse. Las cuatro curvas cónicas principales - elipse, hipérbola, parábola y círculo - se forman dependiendo del ángulo entre el plano de corte y el eje del cono. Las curvas cón
1) El documento habla sobre las diferentes secciones cónicas como elipses, hipérbolas y parábolas, incluyendo sus definiciones, parámetros y ejemplos.
2) Las elipses se encuentran comúnmente en órbitas planetarias y formas circulares, mientras que las hipérbolas se usan en relojes solares y telescopios.
3) Las parábolas describen la trayectoria de proyectiles y tienen una única propiedad de distancia entre el foco y la directriz.
Las secciones cónicas son curvas obtenidas de la intersección de un cono circular con un plano. Dependiendo de la inclinación del plano respecto al eje del cono, se obtienen diferentes curvas cónicas: una circunferencia si el plano es perpendicular al eje, una elipse si el plano está inclinado ligeramente, una parábola si el plano es paralelo a una generatriz del cono, y una hipérbola si el plano corta ambas ramas del cono. Se describen las características de la paráb
Este documento describe las diferentes secciones cónicas, incluyendo la parábola, elipse, circunferencia e hipérbola. Explica que son curvas que se forman por la intersección de un cono circular con un plano, y cómo la inclinación del plano determina qué sección cónica se produce. También proporciona detalles sobre los elementos y ecuaciones que definen cada una.
El documento describe las curvas cónicas de elipse, hipérbola y parábola. Define cada una y explica sus elementos, propiedades, parámetros, ecuaciones y ejemplos reales. La elipse se define como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. La hipérbola como el lugar donde la diferencia de distancias a los focos es constante. Y la parábola como el lugar de puntos equidistantes de un foco y una recta.
El documento explica las fórmulas y conceptos relacionados con el punto medio de un segmento, el diámetro de una circunferencia, las ecuaciones de elipses, hipérbolas y secciones cónicas. También incluye ejemplos de cómo calcular la distancia entre puntos y resolución de ejercicios.
Este documento describe las propiedades de cuatro tipos de curvas cónicas: la elipse, la parábola, la hipérbola y la circunferencia. Explica que la elipse es una curva cerrada cuya suma de distancias a dos focos es constante, mientras que la parábola es una curva abierta cuyas distancias a un foco y una directriz son iguales. Además, la hipérbola es una curva abierta con dos ramas cuya diferencia de distancias a dos focos es constante, y la circ
Este documento describe las cuatro curvas cónicas principales (círculo, elipse, hipérbola y parábola), que se pueden formar al cortar un cono circular recto con un plano. Explica los elementos clave de cada curva cónica, como sus ejes, vértices, centros y ecuaciones. También incluye ejemplos prácticos de una circunferencia y define la concavidad de una parábola.
1. Dibujo Técnico – Curvas cónicas- elipse 2º Bach.
22. CURVAS CÓNICAS-ELIPSE
22.1. Características generales.
Las curvas cónicas son las secciones planas de un cono de revolución.
El cono de revolución es la superficie que genera una recta r al girar alrededor de otra
recta.
La recta r se denomina generatriz.
La recta sobre la que gira r se denomina eje.
El punto de corte de la recta r y el eje se denomina se denomina vértice del cono.
Las dos partes de la superficie cónica se denominan hojas y se encuentran separadas
entre si por el vértice V.
22.1.1. Curvas cónicas.
La elipse se obtiene al cortar la superficie cónica por un
plano oblicuo que corta al eje y no es paralelo a la
generatriz.
La parábola se obtiene al cortar la superficie cónica
por un plano paralelo a la generatriz que corta al eje.
La hipérbola se obtiene al cortar la superficie cónica
por un plano paralelo al eje que corta las dos hojas de la
cónica.
1
2. Dibujo Técnico – Curvas cónicas- elipse 2º Bach.
22.2. Focos y directrices.
Focos. El foco o los focos (F1-F2 o F-F’) de una curva
cónica son los puntos de tangencia entre el plano secante
que produce la cónica y las esferas inscritas en el cono que
sean a la vez tangentes al plano (teorema de Dandelin). Los
focos son llamados puntos notables de las cónicas.
La elipse tiene dos focos.
Directrices. Se denomina directriz d de una curva cónica a
la recta de intersección del plano secante con el plano que
contiene a la circunferencia de tangencia entre el cono y la
esfera que siendo tangente al plano secante, esta inscrita en
la superficie cónica.
La elipse tiene dos directrices.
22.3. Circunferencia principal y circunferencias focales.
Circunferencia principal. Es la que tiene por centro, el centro de la curva y por diámetro la longitud del eje
real, siendo este la distancia entre los vértices:
Elipse: Ø = V1-V2 =2a
La recta se puede considerar una circunferencia de radio
infinito.
Circunferencias focales. Son las que tiene por centro los focos
y radio la longitud del eje real, siendo este la distancia entre los
vértices:
Elipse:
Tenemos dos circunferencia focales al tener dos focos R = V1-
V2= 2a
Parábola una circunferencia es de radio infinito y por centro el
foco F, se denomina impropia. La otra esta representada por la
directriz y por lo que es de radio infinito ya que el centro se
encontraría en el foco F’ impropio
Excentricidad: Dado un punto cualquiera de una cónica, se
denomina excentricidad a la razón constante de la distancias de dicho punto al foco y a la directriz
correspondiente: Elipse e=AF2/AD< 1
2
3. Dibujo Técnico – Curvas cónicas- elipse 2º Bach.
22.4. Elipse.
La elipse es una curva cerrada y plana, simétrica respecto a dos ejes y en la que un punto P de la misma
tiene la propiedad de que la suma de las distancias a dos puntos llamados focos (F y F’) o F1 y F2) es
constante e igual a 2a.
Propiedades:
La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el centro O.
- Simetría: Es simétrica respecto al eje AB y respecto al otro eje CD.
- Ejes: Al eje mayor AB se le llama eje real y vale 2a y al eje menor CD se llama eje imaginario y vale 2b.
- Distancia focal: la distancia focal F-F’ vale 2c. los focos se
encuentran siempre en el eje real.
- Radios vectores: (r1 y r2): son las rectas PF y PF’ que unen cada
punto de la elipse con los focos.
- Circunferencia principal (Cp) es la que tiene por centro el de la
elipse y radio a.
- Circunferencias focales (Cf y C’f): son las que tienen por
centros los focos y radio 2a.
- Diámetros conjugados: Se llaman a todo par de diámetros como
H-I y J-K ,que cumplen con la condición de que cualquier recta
secante como la 1-2 paralela al diámetro H-I es cortada por el otro diámetro J-K en dos partes iguales, lo
mismo ocurre con la recta secante 3-4 respecto al otro diámetro H-I.
Extremos de los ejes: Los puntos A, B, C y D extremos de los ejes se denominan vértices de la curva.
En la elipse siempre se verifica que a2 = b2 + c2
22.1.2. Conocidos los ejes determinar los
focos
Hacemos centro en un extremo del eje menor por ejemplo el C.
Con radio a= AB/2 trazamos un arco de circunferencia que cortara
al eje mayor en los puntos F y F’ que son los focos de la elipse.
CF+CF’=2a pues CF = CF’=a.
22.1.3. Construcción de la elipse por puntos.
Datos los ejes AB y CD:
3
4. Dibujo Técnico – Curvas cónicas- elipse 2º Bach.
1.- Hallamos los focos F y F’, con centro en C o
en D y radio OB=a trazamos un arco que corta el
eje mayor en F y F’.
2.- Tomamos una serie de puntos cualesquiera E,
H, I,… del eje mayor situados entre los focos.
3.- Con centro en F y radio AH=r1 trazamos el
arco 1, con centro en F’ y radio BH=r2 trazamos
en arco 2 que determinan el punto P.
4.- Repetimos lo mismo para los puntos simétricos del P respecto a los ejes.
5.- Repetimos el mismo procedimiento para los otros puntos H, I,… y obtenemos los puntos de la elipse que
se unen por medio de una plantilla de curvas obteniendo la elipse.
22.1.4. Construcción de la elipse por haces proyectivos a partir de los ejes.
1º.- Construimos un rectángulo de lados igual a los ejes AB y
CD.
2º Se dividen en el mismo número de partes el semieje mayor
AO y la mitad del lado menor AE, (seis en nuestro caso).
3º.- Unimos C con las divisiones del segmento AE y unimos D
con las divisiones del semieje mayor y las prolongamos, de
manera que se corten las rectas C5 con la D5, C4 con D4, C3
con D3, C2 con D2 y C1 con D1.
4º.- Hacemos la misma operación con los otros cuadrantes y
tenemos los puntos de la elipse.
5º.- Unimos los puntos y obtenemos la elipse.
22.1.5. Construcción de la elipse por puntos mediante la circunferencia
principal y la de diámetro 2b.
1º.- Trazamos con centro en O la circunferencia principal de
diámetro 2a y la de diámetro 2b.
2º.- Trazamos un radio cualquiera que corte a las dos
circunferencias por ejemplo el ON’’ que corta en N’’ a la Cp y
en N’ a la de radio 2b.
3º.- Por N’ trazamos la paralela al eje mayor AB y por N’’
paralela al eje menor CD, que se cortan en N que es un punto
de la elipse.
4
5. Dibujo Técnico – Curvas cónicas- elipse 2º Bach.
5º.- Trazamos otros radios y se repite el mismo procedimiento obteniendo diferentes puntos de la elipse.
22.1.6. Construcción de la elipse por envolventes.
La circunferencia principal Cp es el lugar geométrico de
los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a
las tangentes. Por lo tanto procedemos de la manera
siguiente:
1º.- Trazamos la Cp de centro O y diámetro 2a.
2º.- Se toma un punto cualquiera E de la Cp, se une con
el foco F y por E trazamos la perpendicular t a EF, la
recta es tangente a la elipse.
3º Se repite la operación cuantas veces se considere
necesario y se obtienen una serie de tangentes que van
envolviendo a la elipse.
22.1.7. Rectas tangentes a la elipse.
22.1.7.1. Tangente y normal a una elipse en un punto de la misma.
La recta tangente a una elipse en un punto P de ella es la recta t
bisectriz exterior del ángulo formado por los dos radios vectores PF
y PF’.
La normal a la elipse en el punto P es la perpendicular a la tangente
y a su vez la bisectriz de los radio vectores PF y PF’.
22.1.7.2. Tangentes a una elipse desde un punto
exterior de la misma.
Tenemos una elipse
definida por los ejes
AB y CD y los focos F y F’, y un punto exterior a ella P.
Como la circunferencia focal es el lugar geométrico de los
puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes.
En problema consiste en buscar un punto de ella que unido
con F, resulte ser una cuerda de la circunferencia de centro
P y radio PF.
1.- Se traza la circunferencia focal de centro F’ y radio 2a.
2.- Con centro en el punto P se traza una circunferencia de
radio PF.
5
6. Dibujo Técnico – Curvas cónicas- elipse 2º Bach.
3.- Las circunferencias anteriores se cortan en los puntos M y N que los unimos con el foco F (foco por el
que pasa la circunferencia de centro en el punto dado P).
4.- Trazamos las mediatrices de los segmentos F-N y F-M rectas t y t’, que pasan por el punto P (también
se puede como vemos trazar la perpendicular a los segmentos por el punto P).
5.- Para determinar los punto de tangencia T y T’, unimos los punto M y N con el otro foco F’
determinando los puntos de tangencia buscados.
22.1.7.3. Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada d.
Tenemos una elipse definida por los ejes AB y CD y los focos F y F’, y una recta d.
La circunferencia focal es en este caso de radio
infinito por lo que se convierte en una recta
perpendicular a la dirección dada.
1.- Se traza la circunferencia focal de centro F’ y
radio 2a.
2.- Por el otro foco F se traza una perpendicular a la
dirección dada d.
3.- La circunferencia focal y la perpendicular a la
dirección d se cortan en los puntos M y N.
4.- Trazamos las mediatrices de los segmentos F-N
y F-M rectas t y t’, que son paralelas a la dirección
dada d y son las tangentes buscadas
5.- Para determinar los punto de tangencia T y T’,
unimos los punto M y N con el otro foco F’
determinando los puntos de tangencia buscados.
6