La elipse es una curva cerrada plana definida como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Tiene dos ejes perpendiculares, uno mayor y otro menor, así como vértices y centro. Su ecuación depende de si su eje principal pasa por los focos o es perpendicular a ellos. La excentricidad mide qué tan achatada es la elipse y depende de la distancia entre el foco y el centro.

1. ELIPSE

3. Definición
▪ Lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
es una constante.
▪ Los puntos fijos se llaman focos

5. Imágenes

6. Elementos de la elipse

7. 1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une
los focos.
4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su
longitud es a.
8.Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario.
Su longitud es b y cumple 𝒃 = 𝒂 𝟐 − 𝒄 𝟐
9.Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los
segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple
que 𝒅 𝑷, 𝑭 = 𝒂 − 𝒆𝒙 y 𝒅 𝑷, 𝑭´ = 𝒂 + 𝒆𝒙

8. Ecuación canónica de la elipse con C(0,0)
Eje focal sobre x
▪
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐 +
𝒚 𝟐
𝒃 𝟐 = 𝟏
▪ Vértices en V(a,0) y V´(- a , 0)
▪ Focos en F(c,0) y F´(-c, 0)
▪ Lado recto LR =
𝟐𝒃 𝟐
𝒂
▪ Coordenadas (c,
𝒃 𝟐
𝒂
) , (-c,
𝒃 𝟐
𝒂
)
▪ Directriz 𝒅 =
𝒂 𝟐
𝒄
Eje focal sobre y
▪
𝒙 𝟐
𝒃 𝟐 +
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐 = 𝟏
Vértices en V(0, a) y V´(0,-a)
▪ Focos en F(0, c) y F´(0, -c)
▪ Lado recto LR =
𝟐𝒃 𝟐
𝒂
▪ Coordenadas (
𝒃 𝟐
𝒂
, c) , (
𝒃 𝟐
𝒂
, - c )
▪ Directriz 𝒅 =
𝒂 𝟐
𝒄

9. Excentricidad
El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una
recta fijos es una constante recibe el nombre de sección cónica o simplemente
cónica
El punto fijo se llama Foco, la recta fija directriz y la relación constante
excentricidad, representada por la letra “𝒆”
Las secciones conicas se clasifican en 4 categorías según su forma y propiedades,
y son:
➢ Si 𝒆 = 𝟎, la cónica se llama Circunferencia
➢ Si 𝐞 < 1, la cónica se llama elipse
➢ Si 𝒆 = 1, la cónica se llama parábola
➢ Si 𝒆 > 1, la cónica se llama hipérbola
Por tanto podemos decir que la excentricidad es un número que mide el mayor o
menor achatamiento de la elipse. Su ecuación es: 𝒆 =
𝒄
𝒂

10. Ecuación ordinaria de la elipse con C(h,k)
Eje focal paralelo a X
▪
𝒙−𝒉 𝟐
𝒂 𝟐 +
𝒚 −𝒌 𝟐
𝒃 𝟐 = 𝟏
Eje focal paralelo a Y
▪
𝒚−𝒌 𝟐
𝒂 𝟐 +
𝒙−𝒉 𝟐
𝒃 𝟐 = 𝟏
Ecuación General
𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

12. Paginas web
http://www.x.edu.uy/docentes.htm
https://aga.frba.utn.edu.ar/elipse/