El documento describe las aplicaciones de las congruencias en criptografía y sistemas de cifrado. Explica el cifrado de César y cómo se puede representar matemáticamente usando congruencias módulo 27. También introduce el algoritmo de exponenciación modular, que es importante para la criptografía, y el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor. Finalmente, explica los criptosistemas de clave pública, donde cada persona tiene una clave pública para cifrar mensajes y una clave privada para descifrarlos.

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SESIONES 2.6
APLICACIONES DE LASCONGRUENCIAS
La teoría de números tiene aplicaciones en un amplio abanico de áreas. En esta sesión
presentamos los sistemas de cifrado basado en aritmética modular.
CRIPTOGRAFIA
Las congruencias tienen muchas aplicaciones en matemáticas discretas y ciencias de la
computación. Una de las aplicaciones más importantes de las congruencias está relacionada con
la criptografía, que es el estudio de los mensajes secretos. Uno de los primeros usos conocidos
de la criptografía se debe a Julio Cesar. Construía mensajes secretos moviendo la posición de
cada letra tres posiciones hacia delante en el alfabeto. Este es un ejemplo de codificación o
cifrado, esto es, el proceso de construir un mensaje secreto.
Para expresar matemáticamente el proceso de cifrado de Cesar, primero se reemplaza cada
letra por un entero de 0 a 26, basada en su posición en el alfabeto español.
El método de cifrado de Cesar se puede representar por la función f que asigna a un entero no
negativo p, p 26, el entero f(p) del conjunto {0, 1, 2, …, 26} con f(p) = (p + 3) mod 27.
Ex20. ¿Cuál es el mensaje cifrado obtenido usando el cifrado de Cesar a partir del mensaje
“VOY AL PARQUE MAÑANA”?.
Solución. Primero se reemplaza las letras del mensaje por números. Esto produce
22 15 25 0 11 16 0 18 17 21 4 12 0 14 0 13 0
Ahora se reemplaza cada uno de estos números p por f(p) = (p + 3) mod 27. Esto da:
25 18 1 3 14 19 3 21 20 24 7 15 3 17 3 16 3
Pasando de nuevo a letras, se produce el mensaje codificado:
“YRB DÑ SDUTXH ODQDPD”
Para recuperar el mensaje original a partir de un mensaje cifrado por el método Cesar se usa la
función f-1
, la inversa de f. Tenga en cuenta que la función f-1
asigna a un entero p de
{0, 1, 2, …, 26} el elemento f-1
(p) = (p - 3) mod 27. Este proceso de obtención del mensaje
original a partir del codificado se llama decodificación o descifrado.
Hay varias formas de generalizar el cifrado de Cesar. Por ejemplo, en vez de desplazar cada
letra tres puestos, se puede desplazar un número k, de tal forma que
f(p) = (p + k) mod 27
Tal codificación se llama cifrado por traslación. Observe que se descifra usando
f-1
(p) = (p - k) mod 27

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Obviamente, el cifrado de Cesar y el cifrado por desplazamiento no tienen un nivel de seguridad
alto. Hay varias formas de mejorar este método. Una modificación que aumenta ligeramente la
seguridad de usar una función de la forma
f(p) = (ap + b) mod 27 donde a y b son enteros, elegidos de forma que f seauna biyección.
Esto proporciona un gran número de codificaciones distintas. El uso de uno de estos sistemas se
ilustra en el siguiente ejemplo.
Números asociados a cada una de las letras del alfabeto español.
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Ex21. ¿Qué letra reemplaza a la letra K cuando se utiliza la función de cifrado f(p) = (7p + 3)
mod 27?
Solución. Como K se representa por el numero 10. Utilizando la función de cifrado, se tiene que
f(10) = (7  10 + 3) mod 27 = 19. Como 19 representa la S, K se reemplaza por S en el
mensaje cifrado
EXPONENCIACIÓN MODULAR
En criptografía es importante calcular de forma eficiente bn
mod m, donde b, n
y m son enteros grandes. No es práctico calcular primero bn
y posteriormente
hallar el resto de dividirlo por m, porque bn
puede ser un número
excesivamente grande. En lugar de esto, podemos usar el algoritmo que
emplea la expansión binaria del exponente n, es decir, n=(ak-1ak-2…a1a0)2.
El algoritmo calcula sucesivamente b mod m, b2
mod m, b4
mod m,..,br
mod m
(donde r=2k-1
) y multiplica todos los términos bs
mod m (s=2j
) cuando aj =1,
calculando el resto de la división por m tras cada multiplicación.
El pseudocódigo se describe a continuación:
ProcedimientoExponenciaciónmodular(b:entero,n=(ak-1...a1a0)2, m:enteropositivo)
x:=1
potencia:=bmodm
Parai:=0hastak-1
begin
Siai=1Entonces x:=(x*potencia)modm
potencia:=(potencia*potencia)modm

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Finpara//finalmentexesigualabn
modm
Finprocedimiento
Ex11. Utiliza procedimiento anterior para hallar 2644
mod 645.
i=0:Como a0 = 0,tenemos que x=1 y potencia= 22
=4mod 645= 4
i=1:Como a1 = 0,tenemos que x=1 y potencia= 42
=16mod 645= 16
i=2:Como a2 = 1,tenemos que x=116 ypotencia = 162
=256 mod645 = 256
i=3:Como a3 = 0,tenemos que x=16 ypotencia = 2562
=65536 mod645 =391
i=4:Como a4 = 0,tenemos que x=16 ypotencia = 3912
=152881 mod645 = 16
i=5:Como a5 = 0,tenemos que x=16 ypotencia = 162
= 256 mod 645 =256
i=6:Como a6 = 0,tenemos que x=16 ypotencia = 2562
=65536 mod645 =391
i=7:Como a8 = 1,tenemos que x=(16 391) mod645 =451 ypotencia = 3912
= 152881 mod645=16
i=8:Como a8 = 0,tenemos que x=451 y potencia =162
=256 mod645 = 256
i=9:Como a9 = 1,tenemos que x=(451 256) mod 645= 1
Taller: Resolver los siguientes problemas:
a) 32003
mod 99 b)2100
mod 100 c) 31024
mod 10
d) 181913
mod 2537 e) 141513
mod 2537=2182 f) 52047
mod 20
ALGORTIMO DE EUCLIDES
El método para calcular el máximo común divisor de dos enteros usando la descomposición en
productos de factores primos no es eficiente. La razón es que la Factorización es un proceso que
consume mucho tiempo. Daremos un método más eficiente para hallar el máximo común
divisor, llamado algoritmo de Euclides. Este algoritmo se ha utilizado desde la antigüedad. Se
denomina así por el matemático de la Grecia antigua Euclides, quien incluyó una descripción de
este algoritmo en su obra Los elementos.
Lema 1
Sea a=bq+r, donde a, b, q y r son enteros. Entonces mcd(a, b)=mcd(b, r).
Sea a = 2322, b = 654. Calcular el maximo comun divisor de a y b.
2322 = 654*3 + 360 mcd(2322, 654) = mcd(654, 360)
654 = 360*1 + 294 mcd(654, 360) = mcd(360, 294)
360 = 294*1 + 66 mcd(360, 294) = mcd(294, 66)
294 = 66*4 + 30 mcd(294, 66) = mcd(66, 30)
66 = 30*2 + 6 mcd(66, 30) = mcd(30, 6)
30 = 6*5 mcd(30, 6) = 6
Entonces, mcd(2322,654) = 6.

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Ex12a. Calcular el mcd de 120 y 500 usando el algoritmo de Euclides
Sol. 500=120*4+20 120=20*6. Luego mcd(120,500)=mcd(20,120)=20
APLICACIONES DE LATEORIA DE NUMEROS
La teoría de números tiene muchas aplicaciones, especialmente en informática. En esta sesión se
introduce algunos resultados fundamentales y se presenta un tipo de sistema criptográfico, de
reciente creación, llamado sistema de clave pública. En este criptosistema, las claves no tienen por
qué ser secretas, puesto que el hecho de conocerlas no nos ayuda a descifrar el mensaje en un
tiempo razonable. Para descifrar los mensajes se usarán claves de descifrado privadas. Además, Se
introduce el Teorema del residuo chino, que desempeña un papel central en la teoría de número y
sus aplicaciones.
ALGUNOSRESULTADOS UTILES
Un resultado importante que utilizaremos es que el máximo común divisor de dos enteros a y b se
puede expresar de la forma sa + tb, donde s y t son enteros. En otras palabras, el mcd(a,b) se
puede expresar como una combinación lineal de a y b con coeficientes enteros. Por ejemplo,
mcd(6,14) = 2 y 2= (-2)  6 +1 14
Teorema 1
Si a y b son enteros positivos, entonces existen dos enteros s y t tales que mcd(a, b) = sa + tb.
Ex1. Expresa mcd(252, 198) = 18 como una combinación lineal de 252 y 198.
Sol. 18= 4  252 – 5  198
CONGRUENCIALINEAL
Una congruencia de la forma axb(mod m), donde m es un entero positivo y a, b son enteros, y x
es una variable, es llamada una congruencia lineal. Tales congruencias aparecen frecuentemente en
teoría de números y en sus aplicaciones.
Teorema3
Si a y m son enteros primos relativos y m>1, entonces existe un inverso de a
modulo m.
Demostración Rosen
Si a y m son primos relativos, entonces mcd(a,m)=1. Igualmente hay enteros s y
t tales que
sa + tm=1 (de acuerdo a teorema que indica que mcd(a,b)=sa+tb para a,b
enteros positivos)
Dado que sa+tm-1=0= mk, entonces sa+tm1(mod m).
Puesto que tm0(mod m) se sigue que sa1(mod m)
De la afirmación anterior se puede notar que s es un inverso de a modulo m.

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Ex3: Encuentre un inverso de 3 modulo 7
Sol. Ya que mcd(3,7)=1, estos son primos relativos por lo cual debe existir
inverso.
Igualmente sa+tm = 1 = 3s+7t .
Es claro que cuando t=1 s=-2 (inverso de 3 mod 7).
Análogamente de 3s1(mod 7), también se intuye que s=-2
EL TEOREMA DEL RESIDUOCHINO
En muchos contextos pueden aparecer sistemas de congruencias lineales. Estos sistemas aparecen
incluso en juegos lógicos recogidos en escritos de antiguos matemáticos chinos e hindúes.
Ejemplo. En el siglo I, el matemático chino Sun-Tsu se preguntó lo siguiente:
Hay algo cuyo número de desconoce. Cuando se divide entre 3, el resto es 2; cuando se divide
entre 5, el resto es 3, y cuando se divide entre 7 el resto es 2. ¿Cuál es este número?
Este acertijo se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma: ¿Cuáles son los valores del
sistema de congruencias
x  2 (mod 3)
x  3 (mod 5)
x  2 (mod 7)?
Teorema 4
Sea m1, m2,...., mn enteros positivos primos relativos entre ellos. El sistema
x  a1 (mod m1)
x  a2 (mod m2)
…..
x  an (mod mn)
tiene una única solución modulo m=m1  m2 ... mn. (Es decir, hay una solución x
con 0x<m,y todas las otras soluciones son congruentes modulo m a esta
solución)

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Ejemplo1: Encuentre una solución al siguiente sistema de congruencias lineales:
x  2 (mod 3)
x  3 (mod 5)
x  2 (mod 7)
Sol. Sea m=357=105, M1=5 7=35, M2=37=21, M3=35=15. Calculando
inversos:
2 es el inverso de M1=35 (mod 3), puesto que 35  2 (mod 3); luego y1 =2
1 es el inverso de M2=21 (mod 5), puesto que 21  1 (mod 5); luego y2 =1
1 es el inverso de M3=15 (mod 7), puesto que 15  1 (mod 7); luego y3 =1
Las soluciones de este sistema son aquellos x tales que:
x= a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3 = 2352 + 3211 + 2151 = 233  23 (mod 105)
Se sigue que 23 es el menor entero positivo que es una solución del sistema.
Concluimos que 23 es el entero positivo más pequeño cuyo resto es 2 cuando se
divide por 3, su resto es 3 cuando se divide por 5 y 2 cuando se divide por 7.
Criptosistemas de clave privada
Cuando se utiliza un criptosistema de clave privada, un par de personas que
desean comunicarse en secreto deben compartir una clave. Como toda persona
que conozca la clave puede cifrar y descifrar mensajes con facilidad, estas dos
personas necesitan intercambiar las claves en forma segura.
Estos métodos de cifrado de mensajes están basados en congruencias. En estos
sistemas los caracteres son trasladado a números y luego transformados en
otros, usando un desplazamiento o una transformación afín modulo 27.

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Criptosistemas de clave pública
A mediados de los setenta se introdujo el concepto de Criptosistemas de clave
pública.
En estos sistemas el conocimiento de cómo enviar a alguien un mensaje no le
ayuda a descifrarlo. En tales sistemas, cada persona puede tener una clave de
cifrado pública conocida. Solamente la clave de descifrado es guardada en
secreto, y solamente quien recibe el mensaje puede descifrarlo, puesto que la
clave de cifrado no le permite a alguien encontrar la clave de descifrado sin
tener que invertir en ello una gran cantidad de tiempo (actualmente en el orden
de miles de años.)
Criptosistema RSA
Creado por los investigadores del MIT: Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard
Adleman.
Está basado en la exponenciación modular del producto de dos primos grandes.
Donde cada individuo tiene una clave de cifrado que consiste de n=p*q donde p
y q son primos grandes (por ejemplo: 200 dígitos) y un exponente e que es un
primo relativo a (p-1)(q-1).
Cifrado
En este sistema los mensajes son convertidos en secuencias de enteros. Esos
enteros son agrupados para formar enteros grandes, cada uno representando un
bloque de letras. La cifrado procede transformando al entero M que representa
al mensaje original, a un entero C que representa al texto cifrado, usando la
función:
C=Me
mod n
Finalmente se deja el mensaje cifrado como un bloque de números que es
enviado.
Ejemplo1: Cifra el mensaje STOP empleando el criptosistema RSA con p=43,
q=59, por lo que n=43*59=2537, y e = 13. Observa que
mcd(e, (p-1)(q-1)) =mcd(13, 4258)=1
Agrupando los números en bloques de 4
1819 1415.

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Codificamos cada bloque usando: C=M13
mod 2537
Usando los algoritmos de exponenciación modular, se puede hallar que
181913
mod 2537=2081 y 141513
mod 2537=2182
El mensaje cifrado, para el alfabeto ingles es de 2081 2182
Descifrado
El mensaje inicial puede ser recuperado rápidamente si la clave d, un inverso de
e modulo (p-1)(q-1) es conocido. Es claro que el inverso existe, puesto que el
mcd(e,(p-1)(q-1))=1.
Luego de1 (mod (p-1)(q-1)).
D=Cd
mod n
Ejemplo1: Se recibe el mensaje codificado 0981 0461. ¿Cuál es el mensaje
original si éste se cifró utilizando el sistema RSA mostrado en el ejemplo anterior
para un alfabeto de 26 letras?
Solución: n=43*59=2537 e=13. Luego:
d*131 (mod (42)(58)).
d*131 (mod 2436). d=937.
Finalmente:
D=C937
mod 2537
0981937
mod 2537=0704 y 0461937
mod 2537=1115.
Pasando a letras del alfabeto ingles, se deduce que el mensaje original era HELP.
TALLER SESION 2.6
Resolver los problemas: 1, 3, 5, 7, 19, 21, 46, 47, 48, 49.