Este documento describe métodos numéricos para calcular derivadas e integrales de manera aproximada. Presenta el método de la derivación por límites y por diferencias finitas para calcular derivadas, así como los métodos del trapecio y de Simpson para calcular integrales numéricamente dividiendo los intervalos en subintervalos.

1. CAPITULO V
Diferenciación e Integración.
V.1. Introducción.
En los cursos de Cálculo se estudian métodos exactos para calcular derivadas e integrales.
En algunas ocasiones estos métodos resultan muy complicados, en otros casos no se tiene la
función a derivar e integrar, sino una tabla de valores; para casos como estos, y en los que
se requiere una gran exactitud, un método de los que se estudiarán aquí resulta apropiado.
Estos métodos calculan las derivadas e integrales de manera aproximada por medio de
procedimientos numéricos alternos.
V.2. Diferenciación.
Se abordará, primero, el tema relacionado con la diferenciación y se estudiarán dos
métodos para derivar funciones.
V.2.1. Derivación por medio de límites.
Los métodos de derivación estudiados en cursos tradicionales de Cálculo son,
generalmente, apropiados para el cálculo de los mismos; sin embargo, estos métodos
pueden resultar complicados en algunos casos de funciones muy especiales. Para tales
casos, se tienen a la mano los siguientes Métodos Numéricos:

2. Métodos Numéricos
Por los cursos de Cálculo se sabe que:
h
xfhxf
Limxf
h
)()(
)('
0
−+
=
→
siendo éste un límite en el que se manejan números muy pequeños, se puede trabajar de la
siguiente manera:
f’(x) = [f(x+h) – f(x)] k donde k = h-1
Se puede tomar h = 0.1n
con n = 1, 2, 3, . . ., ya que h → 0si n → ∞. Se toma, además, el
criterio de Cauchy como criterio de paro en el cálculo de la integral. Para este método se
da a continuación el algoritmo estructurado:
Algoritmo Derivada:
Definir f(x)
Leer x, ε
n = 1
da = 1 x 1010
Repetir
k = n
1.0
1
d = [f(x + 0.1n
) – f(x)] * k
delta = |da – d|
da = d
n = n + 1
Hasta delta < ε
Imprimir d
Terminar
Ejemplo: Calcular f’(2.5) para f(x) = 3 x2 – 5 x + 6, con ε = 0.001
f(2.5) = 12.25
n h k x + h f’(x) ε
1 0.1 10 2.6000 10.3000 - - -
2 0.12
100 2.5100 10.0300 0.2700
3 0.13
1000 2.5010 10.0030 0.0270
4 0.14
10000 2.5001 10.0003 0.0027
5 0.15
100000 2.5000 10.0000 0.0003
Como un segundo ejemplo, se presenta una derivada que no existe; así, se estudia el
comportamiento del método en casos como estos, los cuales no son poco comunes.
68

3. Métodos Numéricos
Ejemplo: Calcular f’(1) para f(x) = 3
1−x con ε = 0.001.
f(1) = 0
n h k x + h f’(x) ε
1 0.1 10 1.1000 4.6416 - - -
2 0.12
100 1.0100 21.5443 16.9027
3 0.13
1000 1.0010 100.0000 78.4557
4 0.14
10000 1.0001 464.1588 - - -
El método no converge; por lo tanto, la derivada pedida no existe.
V.2.2. Derivación por medio de diferencias finitas.
Dada la función f(x) definida por:
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
. . . . . .
xn yn
de la interpolación de Newton se sabe que:
...
!4
)3)(2)(1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
)( 0
4
0
3
0
2
00 +∆
−−−
+∆
−−
+∆
−
+∆+= y
kkkk
y
kkk
y
kk
ykyxf
es un polinomio de grano n+1 que pasa por todos los puntos. Así, hallando la derivada de
la fórmula anterior, se halla la derivada para cualquier punto tabulado.
Tomando en cuenta que: x = x0 + k h
y por lo tanto: k h = x – x0
se tiene: k =
h
xx )( 0−
y también.
hh
xx
dx
d
dx
dk 10
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
Ahora, derivando ambos miembros de la igualdad de la función de Newton con respecto a
x, se tiene:
dx
dk
y
kkk
y
kk
yky
dk
d
xf
dx
d
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∆
+−
+∆
−
+∆+= ...
!3
23
!2
)( 0
3
23
0
2
2
00
69

4. Métodos Numéricos
Finalmente, se obtiene:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∆
+−
+∆
−
+∆= ...
!3
263
!2
121
)(' 0
3
2
0
2
0 y
kk
y
k
y
h
xf
La anterior es la fórmula de derivación de primer orden. Una forma alterna de calcular la
derivada es calcular la función siguiendo el método de Newton y derivando ésta; así,
sustituyendo se obtiene:
!
))...()((
...
!2
))(()(
)( 010
2
0
2
1000
0
nh
yxxxxxx
h
yxxxx
h
yxx
yxf n
n
n ∆−−−
++
∆−−
+
∆−
+=
la cual es una función derivable.
Ejemplo: Calcular f’(x) para la tabla de valores dada:
xi yi ∆ yi ∆2
yi ∆3
yi ∆4
yi ∆5
yi
1.0 0.7937 1.0901 0.6232 0.0563 0.0254 - 0.1212
1.5 1.8838 1.7133 0.6795 0.0817 - 0.0958
2.0 3.5971 2.3928 0.7912 - 0.0141
2.5 5.9899 3.1540 0.7471
3.0 9.1139 3.9011
3.5 13.0150
Sustituyendo en la fórmula:
)1212.0(
!45.0
)5.2)(2)(5.1)(1(
)0563.0(
!35.0
)2)(5.1)(1(
)6232.0(
!25.0
)5.1)(1(
)0901.1(
5.0
)1(
7937.0)(
4
32
−
−−−−
+
−−−
+
−−
+
−
+=
xxxx
xxxxxx
xf
f(x) = 0.0751 x3
+ 0.9085 x2
– 0.4476 x + 0.2578
Por lo tanto, la derivada es:
f’(x) = 0.2253 x2
+ 1.817 x – 0.4476
Solo para efectos comparativos, se da una tabla con los valores calculados por medio de la
función y los valores reales de la derivada:
70

5. Métodos Numéricos
x y’calculada y’real
1 1.5947 1.5874
1.5 2.7848 2.7848
2 4.0876 4.0876
2.5 5.5030 5.5006
3 7.0311 7.0107
3.5 8.6718 8.6073
Esta forma alterna de trabajar las derivadas es muy apropiado si se pretenden encontrar
derivadas de varios puntos; pero si se necesita un sólo punto o dos, el proceso es muy
complicado y resulta más apropiado utilizar la fórmula de derivación de primer orden en
lugar de esta forma alterna.
Como nota final, obsérvese que la fórmula tiene unos pocos sumandos; para tener una
mejor aproximación pueden calcularse algunos otros e incluso se puede derivar de nuevo
esta fórmula, tantas veces como sea necesario, para obtener derivadas de segundo orden y
de orden superior en general.
V.3. Integración.
La presente sección presenta los métodos utilizados para calcular las integrales por medio
de los Métodos Numéricos. Se presentan tres de los métodos más utilizados.
V.3.1. Integración por el Método del Trapecio.
En los cursos de Cálculo se define la integral de la siguiente manera:
∑∫ =
→∆
∆=
n
i
ii
b
a
x
xfLimdxxf
1
0
)()( ξ
esta definición tiene un significado geométrico según se muestra en la Figura V.1: la
integral es el área debajo de la curva f(x) y es una sumatoria infinita si se toma en cuenta
que ∆x → 0. Ahora, al trabajar la integral numéricamente, para evitar tomar valores de ξi
desconocidos, cuando se desean un número finito de sumandos y tratando de evitar lo más
posible el error, se pueden considerar trapecios en lugar de rectángulos, según se muestra
en la Figura V.2.
71

6. Métodos Numéricos
Figura V.1. Definición de Integral.
Figura V.2. El método del trapecio.
72

7. Métodos Numéricos
En la Figura V.2 se tiene:
B = f(xi+1)
b = f(xi)
h = xi+1 – xi
Así, se tiene:
)(
2
)(
2
)()(
)( 11
1
1
++
+
+=−
+
=∫
+
iiii
ii
x
x
yy
h
xx
xfxf
dxxf
i
i
Para cubrir un intervalo [a, b], se divide éste en n subintervalos, los cuales deben cumplir
con h = xi+1 – xi y también con a = x1, x2, x3, . . ., xn = b. Así:
∫∫∫∫∫
−
++++=
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
1
4
3
3
2
2
1
)(...)()()()(
En la ecuación anterior cada integral cumple con:
)(
2
)( 1
1
++=∫
+
ii
x
x
yy
h
dxxf
i
i
Por lo tanto se tiene:
)(
2
...)(
2
)(
2
)(
2
)( 1433221 nn
b
a
yy
h
yy
h
yy
h
yy
h
dxxf ++++++++= −∫
De manera resumida:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++= ∑∫
−
=
1
2
1 2
2
)(
n
i
in
b
a
yyy
h
dxxf
Este método es conocido como el Método del Trapecio y es una forma de aproximarse al
valor de la integral. El valor calculado de la integral será cercano al valor real como se
requiera, dependiendo del número de subintervalos con el que se divida el intervalo dado;
esto es, a mayor número de subintervalos, mayor aproximación. De manera similar a los
métodos anteriores, se presentan a continuación dos algoritmos estructurados para éste
método; el primero asume el conocimiento dela función a integrar y el segundo trabaja con
una tabla de valores.
73

8. Métodos Numéricos
Algoritmo Trapecio: Algoritmo Trapecio:
Definir f(x) Leer n, h
Leer a, b, n Para i = 1 hasta n
h = (b – a)/(n – 1) Leer yi
x = a fin_para
i = 1 área = y1 + yn
Repetir Para i = 2 hasta n – 1
yi = f(x) área = área + 2 * yi
i = i + 1 fin_para
x = x + h área = área * h/2
Hasta x > b Imprimir área
área = y1 + yn Terminar
Para i = 2 hasta n – 1
área = área + 2 * yi
fin_para
área = área * h/2
Imprimir área
Terminar
Ejemplo: Calcular la integral pedida, trabajando con seis intervalos:
∫ +
3
0
2
16 x
dx
Para trabajar con seis subintervalos se tiene:
h = 5.0
6
)03()(
=
−
=
−
n
ab
Así, se genera una tabla de la siguiente manera:
x y m y * m
0.0 0.0625 1 0.0625
0.5 0.0615 2 0.1230
1.0 0.0588 2 0.1176
1.5 0.0548 2 0.1096
2.0 0.0500 2 0.1006
2.5 0.0449 2 0.0898
3.0 0.0400 1 0.0400
Σ = 0.6425
74

9. Métodos Numéricos
La integral, por lo tanto, es:
160625.0)6425.0(
2
5.0
16
3
0
2
==
+∫ x
dx
Para facilitar el cálculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:
( a ) Las dos primeras columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.
( b ) La tercera columna es un factor que multiplica a f(x); en este método en
particular, el factor es 1 para el primero y último valores y 2 para los
intermedios.
( c ) La cuarta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna
requiere ser sumada.
( d ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor
de h y dividiendo entre 2.
V.3.2. Integración por el Método de Simpson.
Una forma más exacta de calcular la integral es haciendo pasar una parábola, en lugar de
una recta, pero entre tres puntos consecutivos de la función. Esto se muestra en la Figura
V.3. La función f(x) tiene la forma a x2
+ b x + c y por lo tanto se tiene:
Figura V.3. Método de Simpson 1/3
75

10. Métodos Numéricos
2222
23
)()(ˆ)(
23
2
++++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++=++== ∫∫∫
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
dcx
bxax
dxcbxaxdxxfdxxf
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++ +
++
dcx
bxax
dcx
bxax
i
ii
i
ii
2323
23
2
2
2
3
2
= ( ) ( ) ( )iiiii xxcxx
b
xx
a
−+−+− +++ 2
22
2
33
21
23
= ( )( ) ( )( ) ( )iiiiiiiiiiii xxcxxxx
b
xxxxxx
a
−++−+++− ++++++ 222
2
2
2
22
23
=
( )
( ) ( )( )cxxbxxxxa
xx
iiiiii
ii
632
6
2
2
2
2
2
2
+++++
−
+++
+
Teniendo en cuenta que:
yi = a xi
2
+ b xi +c
yi+1 = a xi+1
2
+ b xi+1 +c
yi+2 = a xi+2
2
+ b xi+2 +c
xi+1 – xi = h
xi+2 – xi = 2h
Se obtiene:
( )cbxbxaxxaxax
h
dxxf iiiiii
x
x
i
i
633222
6
2
)( 2
2
2
2
2
2
+++++= +++∫
+
= [ ] [ ]( )cbxbxaxxaxaxcbxaxcbxax
h
iiiiiiiiii 4222
3
2
2
2
2
22
2
2
2
+++++++++++ +++++
= ( ) ( )( )cxxbxxxxayy
h
iiiiiiii 422
3
22
22
22 +++++++ ++++
= ( ) ( )( )cxxbxxayy
h
iiiiii 42
3
2
2
22 ++++++ +++
= ( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++++ +++ cxx
b
xx
a
yy
h
iiiiii 2
2
22
24
4
3
76

11. Métodos Numéricos
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
++ ++
+ c
xx
b
xx
ayy
h iiii
ii
22
4
3
2
2
2
2
= ( )( )cbxaxyy
h
iiii ++++ +++ 1
2
12 4
3
= ( )214
3
++ ++ iii yyy
h
Para el área desde x0 hasta xn:
∫∫∫∫∫
−
++++=
n
n
n x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
2
6
4
4
2
2
00
)(...)()()()(
= ( ) ( ) ( ) ( )nnn yyy
h
yyy
h
yyy
h
yyy
h
++++++++++++ −− 12654432210 4
3
...4
3
4
3
4
3
= ( )nnn yyyyyyyyyy
h
++++++++++ −− 126543210 42...242424
3
Así:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++= ∑∑∫
−
=
−
=
2,2
2
2,1
1
0 24
3
)(
0
n
i
i
n
i
in
x
x
yyyy
h
dxxf
n
Este método es conocido como Método de Simpson de 1/3 y es aplicable sólo cuando n es
par (número par de áreas). De manera similar al método anterior, se presentan a
continuación sus dos algoritmos estructurados.
Algoritmo Simpson 1/3: Algoritmo Simpson 1/3:
Definir f(x) Leer n, h
Leer a, b, n Para i = 1 hasta n
h = (b – a)/(n – 1) Leer yi
x = a fin_para
i = 1 área = y1 + yn
Repetir Para i = 2 hasta n – 1
yi = f(x) Si i mod 2 = 0
i = i + 1 entonces área = área + 4 * yi
x = x + h si_no área = área + 2 * yi
Hasta x > b fin_si
área = y1 + yn fin_para
77

12. Métodos Numéricos
Para i = 2 hasta n – 1 área = área * h/3
Si i mod 2 = 0 Imprimir área
entonces área = área + 4 * yi Terminar
si_no área = área + 2 * yi
fin_si
fin_para
área = área * h/3
Imprimir área
Terminar
Ejemplo: Calcular por Simpson 1/3, la integral para los valores dados:
i x y m y * m
0 0.000 1.0000 1 1.0000
1 0.125 1.0156 4 4.0624
2 0.250 1.0625 2 2.1250
3 0.375 1.1406 4 4.5624
4 0.500 1.2500 2 2.5000
5 0.625 1.3906 4 5.5624
6 0.750 1.5625 2 3.1250
7 0.875 1.7656 4 7.0624
8 1.000 2.0000 1 2.0000
Σ = 31.9996
NOTA: Observe la tabla de valores y la ausencia de la función. Si se tiene la tabla, la
función es irrelevante.
La integral por lo tanto, es:
3333.1)9996.31(
3
125.0
)(
1
0
==∫ dxxf
Para facilitar el cálculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:
( a ) La primera columna es la de los subíndices de x para determinar el factor que
le corresponde.
( b ) Las dos siguientes columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.
( c ) La cuarta columna es un factor que multiplica a f(x); en este método en
particular, el factor es 1 para el primero y último valores, 4 para los subíndices
impares y 2 para los pares.
( d ) La quinta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna
requiere ser sumada.
( e ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor
de h y dividiendo entre 3.
78

13. Métodos Numéricos
Para hacer aún más exacta la integral, tómense ahora, cuatro puntos y pásese una cúbica a
través de ellos, según la Figura V.4.
Figura V.4. Método de Simpson 3/8.
3333
234
)()(ˆ)(
234
23
++++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++=+++== ∫∫∫
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
edx
cxbxax
dxdcxbxaxdxxfdxxf
Teniendo en cuenta que:
yi = a xi
3
+ b xi
2
+c xi + d
yi+1 = a xi+1
3
+ b xi+1
2
+c xi+1 + d
yi+2 = a xi+2
3
+ b xi+2
2
+c xi+2 + d
yi+3 = a xi+3
3
+ b xi+3
2
+ c xi+3 + d
xi+1 – xi = h
xi+2 – xi = 2h
xi+3 – xi = 3h
De manera similar al Método de Simpson de 1/3 obtiene:
( )321 33
8
3
)(
3
+++ +++=∫
+
iiii
x
x
yyyy
h
dxxf
i
i
79

14. Métodos Numéricos
En el área desde x0 hasta xn:
∫∫∫∫∫
−
++++=
n
n
n x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
3
9
6
6
3
3
00
)(...)()()()(
( ) ( ) ( )
( )nnnn yyyy
h
yyyy
h
yyyy
h
yyyy
h
++++
++++++++++++=
−−− 123
987665433210
33
8
3
...33
8
3
33
8
3
33
8
3
= ( )nnnn yyyyyyyyyyy
h
+++++++++++ −−− 1236543210 332...233233
8
3
Así:
( ∑∑∫ +++= jin
x
x
yyyy
h
dxxf
n
32
8
3
)( 0
0
) con i = múltiplos de 3; j = resto de ordenadas.
Este método es conocido como Método de Simpson de 3/8 y es aplicable sólo cuando n es
múltiplo de 3, lo cual asegura que se tiene un múltiplo de 3 como número de áreas. De
manera similar a los métodos anteriores, se presentan a continuación sus dos algoritmos
estructurados.
Algoritmo Simpson 3/8: Algoritmo Simpson 3/8:
Definir f(x) Leer n, h
Leer a, b, n Para i = 1 hasta n
h = (b – a)/(n – 1) Leer yi
x = a fin_para
i = 1 área = y1 + yn
Repetir Para i = 2 hasta n – 1
yi = f(x) Si (I – 1) mod 3 = 0
i = i + 1 entonces área = área + 2 * yi
x = x + h si_no área = área + 3 * yi
Hasta x > b fin_si
área = y1 + yn fin_para
Para i = 2 hasta n – 1 área = 3 * área * h/8
Si (i – 1) mod 3 = 0 Imprimir área
entonces área = área + 2 * yi Terminar
si_no área = área + 3 * yi
fin_si
80

15. Métodos Numéricos
fin_para
área = 3 * área * h/8
Imprimir área
Terminar
Ejemplo: Calcular por Simpson 3/8, la integral para los valores dados:
i X y m y * m
0 2 6 1 6
1 4 4 3 12
2 6 2 3 6
3 8 1 2 2
4 10 2 3 6
5 12 6 3 18
6 14 14 1 14
Σ = 64
La integral por lo tanto, es:
48)64(
8
)2(3
)(
14
2
==∫ dxxf
Para facilitar el cálculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:
( a ) La primera columna es la de los subíndices de x para determinar el factor que
le corresponde.
( b ) Las dos siguientes columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.
( c ) La cuarta columna es un factor que multiplica a f(x); en este método en
particular, el factor es 1 para el primero y último valores, 2 para los subíndices
múltiplos de 3 y 3 para el resto de las ordenadas.
( d ) La quinta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna
requiere ser sumada.
( e ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor
de h y por 3 y dividiendo entre 8.
V.3.3. Integración por el Método de los Coeficientes Indeterminados.
Haciendo una inspección en los métodos anteriores, se puede determinar que el cálculo de
la integral de una función se resume a evaluar una ecuación como la siguiente:
∑=
≈
n
i
ii yAI
0
en donde los coeficientes Ai varían según el método utilizado.
81

16. Métodos Numéricos
El método conocido como Coeficientes Indeterminados intenta calcular la integral a partir
de la fórmula anterior asumiendo que cada función a integrar tienen sus particulares valores
de Ai. Para derivar este método, sea E el error de cálculo dado de la siguiente manera:
∫ −=
b
a
IdxxfE )(
Se puede demostrar que E = 0 para funciones polinomiales de grado n; por lo tanto, dicho
error también será cero para polinomios de grado menor a n. Esto significa que E es igual a
cero para:
f(x) = 1, x, x2
, x3
, . . ., xn
Para cada una de las funciones anteriores se tienen las siguientes relaciones:
Para f(x) = 1:
n
b
a
AAAAdx ++++=∫ ...210
Para f(x) = x:
nn
b
a
xAxAxAxAxdx ++++=∫ ...221100
Para f(x) = x2
:
22
22
2
11
2
00
2
... nn
b
a
xAxAxAxAdxx ++++=∫
Para f(x) = x3
:
33
22
3
11
3
00
3
... nn
b
a
xAxAxAxAdxx ++++=∫
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para f(x) = xn
:
n
nn
nnn
b
a
n
xAxAxAxAdxx ++++=∫ ...221100
82

17. Métodos Numéricos
Por otro lado, los términos independientes de estas fórmulas están dados por:
11
111
+
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+++
∫ n
ab
n
x
dxx
nnb
a
nb
a
n
De lo anterior, para calcular los valores de los coeficientes, se requiere solucionar el
siguiente sistema:
abAAAA n −=++++ ...210
2
...
22
221100
ab
xAxAxAxA nn
−
=++++
3
...
33
22
22
2
11
2
00
ab
xAxAxAxA nn
−
=++++
. . . . . . . . . . . . . . .
1
...
11
221100
+
−
=++++
++
n
ab
xAxAxAxA
nn
n
nn
nnn
Este método es conocido como Método de Coeficientes Indeterminados y es exacto
cuando la integral a calcular es un polinomio. De manera similar a los métodos anteriores,
se presentan a continuación sus dos algoritmos estructurados.
Algoritmo Coeficientes: Algoritmo Coeficientes:
Definir f(x) Leer n
Leer a, b, n Para i = 1 hasta n
h = (b – a)/(n – 1) Leer xi, yi
x = a fin_para
i = 1 Para i = 1 hasta n
Repetir Para j = 1 hasta n
yi = f(x) aij = xj
i-1
i = i + 1 fin_para
x = x + h ai,n+1 = (xn
i
– x0
i
)/i
Hasta x > b fin_para
Para i = 1 hasta n Gauss (aij)
Para j = 1 hasta n suma = 0
aij = xj
i-1
Para i = 1 hasta n
fin_para suma = suma + ai,n+1 * yi
ai,n+1 = (xn
i
– x0
i
)/i fin_para
fin_para Imprimir suma
Gauss (aij) Terminar
83

18. Métodos Numéricos
suma = 0
Para i = 1 hasta n
suma = suma + ai,n+1 * yi
fin_para
Imprimir suma
Terminar
Ejemplo: Calcular por Coeficientes Indeterminados la integral pedida, tomando cuatro
puntos intermedios:
∫ +−
3
0
3
1xx
dx
La tabla de valores es:
i x y
1 0 1.0000
2 1 1.0000
3 2 0.5228
4 3 0.3420
El sistema de ecuaciones:
A0 + A1 + A2 + A3 = 3.00
0 + A1 + 2 A2 + 3 A3 = 4.50
0 + A1 + 4 A2 + 9 A3 = 9.00
0 + A1 + 8 A2 + 27 A3 = 20.25
La solución del sistema por algún método conocido.
A0 = 0.375
A1 = 1.125
A2 = 1.125
A3 = 0.375
La integral, por lo tanto es:
∫ +−
3
0
3
1xx
dx
= (0.375)(1) + (1.125)(1) + (1.125)(0.5228) + (0.375)(0.342) = 2.2164
84