El documento explica cómo obtener las relaciones de Maxwell a partir de las ecuaciones de la termodinámica. Se parte de la primera y segunda ley de la termodinámica para establecer la ecuación fundamental, y luego se diferencia para obtener la primera relación de Maxwell para la energía interna. El mismo procedimiento se aplica a las otras funciones termodinámicas para derivar las tres relaciones restantes de Maxwell.

1. Cómo obtener las relaciones de Maxwell
Cuando se habla de ecuaciones diferenciales exactas, para una ecuación:
Existe la siguiente relación:
Por ejemplo, para obtener la ecuación fundamental de la termodinámica (que relaciona la primera
con la segunda ley) se parte de que, la primera ley, menciona que:
La segunda ley define cada parámetro como:
Sustituyendo los parámetros en la primera ley, obtenemos que:
Si se reescribe la ecuación conforme a dU, dividimos cada parámetro entre sus respectivas
diferenciales y haciendo constante la variable contraria a la diferencial, (es decir, si se trata de dS
hacemos constante V y si se trata de dV hacemos constante S) la ecuación queda expresada de la
siguiente forma:
Por ello, de acuerdo a la ecuación anterior:
De acuerdo a la ecuación mostrada arriba (df = g dx + h dy) y a la condición para una diferencial
exacta, tenemos que:
Por ello, para la ecuación:

2. Queda que df = dU, g=T, dx=dS, h=-p, dy=dV, x=S y y=V así que sustituyendo en la condición de una
diferencial exacta queda que:
Por lo que se obtiene la primera relación de Maxwell para la energía interna (∆U). Existen otras
tres relaciones, que se obtienen para las otras funciones termodinámicas (∆H, ∆G y ∆A). En el caso
de ∆H, se debe de partir de
Por ello, diferenciando la ecuación:
Y sustituyendo dU, de acuerdo a la primera ley de la termodinámica expresada en la ecuación
fundamental, queda expresada como:
A partir de aquí se haría un procedimiento similar a lo realizado con la primera relación. Para la
función de Gibbs y de Helmholtz, se aplican sus respectivas definiciones y se sustituye ya sea dU o
dH.