3ro.arit.final 2010

RAZONES Y PROPORCIONES
24

6

A B

Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del
primero (A), sobrepasa a la del segundo (8) en:
24 – 6 = 18 ................................ (1)

Pero también podemos afirmar que la altura del primero es:
24
= 4 .......................................... (2)
6
Cuatro veces, la del segundo.

En ambos casos estamos comparando dos cantidades, en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división.

“En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón”

Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una Si a ≠ b ≠ c ≠ d la proporción se llama discreta y
resta, se llama razón aritmética o por diferencia y sus cualquiera de sus cuatro términos, cuarta diferencial.
términos son:
1º 2º Propiedad básica:
A - B = α ← Valor de la razón
Suma de medios = suma de extremos
↑ ↑ b–c = a+d
antecedente consecuente
Proporción continúa:
Cuando se comparan 2 cantidades por división, el Aquella en la que los medios son iguales.
resultado se llama razón geométrica o por división y a–b=b–c
sus términos son:
antecedent e 1º → A b = media diferencial o media aritmética.
= K ← valor de la razón a y c = tercia diferencial
consecuent e 2º → B
a +c
Por propiedad básica: 2b = a + c ; b=
PROPORCIÓN 2

Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (EQUICOCIENTE)
orden, constituyen una proporción, si la razón de los
dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. a c
Si: =K ∧ =K ∴ habrá proporción
La proporción puede ser aritmética o geométrica, b d
según que las razones sean aritméticas o 1º 3º medios
geométricas respectivamente. a c
a : b :: c : d ó b = d
2º 4º extremos
PROPORCIÓN ARITMÉTICA (EQUIDIFERENCIA)
Si a ≠ c ≠ d, la proporción es discreta y cualquiera
Si: a – b = α ∧ c – d = α de sus términos: cuarta proporcional.

∴ Habrá proporción, ya que: Propiedad básica

1º 2º 3º 4º Producto de medios = Producto de extremos: (b)
a - b = c - d (c) = (a)(d)

Medios Proporción continua:
Externos

1

a b 10. La suma del antecedente y el consecuente de
Aquella en la que los medios son iguales: = una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su
b c
diferencia, si la razón vale 0,04?.
b = media proporcional o media geométrica a y c,
tercera proporcional. a) 13 b) 4 c) 24
Por propiedad básica
d) 14 e) 0,96
PRACTICANDO EN CLASE
PRACTICANDO EN CLASE

1) Simplifica cada razón: 1. En una proporción geométrica continua la suma
1) 4: 8 4) 448 : 336 7) de los términos extremos es 20 y su diferencia es
16. ¿Cuál es la media proporcional?.
25 : 15 a) 8 b) 6 c) 18
2) 36: 20 5) 270: 486 8) 100 : 48 d) 4 e) 9
3) 24: 84 6) 75 : 105 9) 36 : 180
2. Si la razón de la suma con la diferencia de 2
números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el
2) Dos números son entre si como 2 es a 3. Si la
número mayor, si su producto es 64?.
suma de sus cuadrados es 52. Hallar el menor. a) 4 b) 8 c) 16
a) 4 b) 6 c) 10 d) 32 e) 64
d) 12 e) 9.
3. La relación geométrica entre 2 números cuya
3) Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y
suma de sus cubos es 280. Hallar el mayor. se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de
a) 6 b) 4 c) 12 dichos números?.
a) 31 b) 29 c) 28
d) 10 e) 8. d) 25 e) 24
4) La suma de 2 números es a su diferencia como 9 4. 15 es la media proporcional de p y 25; “2p” es la
es a 5 si el producto de los números 0es 22400. tercera proporcional de 8 y q. ¿Cuál es la cuarta
Determinar la diferencia de los mismos. proporcional de p, q y 15?.
a) 200 b) 160 c) 240 a) 16 b) 24 c) 20
d) 180 e) 80 d) 25 e) 40

5) Si la razón de la suma con la diferencia de 2 5. Si “A” es la cuarta diferencial de 18, 9 y 11. “B” es
números es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su la media diferencial de 16, 12. Hallar la tercera
producto es 64?. diferencial de A y B?.
a) 4 b) 8 c) 16 a) 10 b) 24 c) 26
d) 36 e) 64 d) 27 e) N.A.

6) La suma del antecedente y el consecuente de 6. Hallar la media proporcional de la cuarta
una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su proporcional de 4; 16 y 2 y la tercera
diferencia. Si la razón vale 0,04?. proporcional de 50 y 10.
a) 13 b) 4 c) 24 a) 4 b) 8 c) 16
d) 14 e) 0, 96 d) 20 e) 10.

7) La diferencia de 2 números es 244 y están en relación 7. 3 números son entre sí como 2; 6 y 8 si la media
de 7 a 3. ¿Cuál es el mayor de los números?. diferencia entre el segundo y el tercero es 28.
a) 427 b) 356 c) 429 Hallar la media proporcional entre el primero y el
d) 359 e) 431 tercero.
a) 4 b) 8 c) 16
8) La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su d) 12 e) 4
producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos
números. 8. En una proporción geométrica continua el
a) 84 b) 36 c) 49 producto de los 4 términos es 1296 y el producto
d) 48 e) 45 de los antecedentes es 24. Hallar la tercia
proporcional.
9) Si la razón de la suma con la diferencia de 2 a) 9 b) 12 c) 15
números es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su d) 8 e) 16
producto es 64?.
a) 4 b) 8 c) 16
12.En una proporción geométrica de razón 7/8, la
d) 32 e) 64 suma de los términos es 585 y la diferencia de los
consecuentes es 56. Hallar el mayor de los
antecedentes.

2

a) 157 b) 161 c) 134 18. La relación geométrica entre dos números cuya
suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y
d) 176 e) 167
se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de
dichos números?.
13.Hallar 3 cantidades que están en relación con los
números 4, 5 y 8 respectivamente y que su suma
a) 31 b) 29 c) 28
sea 850. dar como respuesta el número mayor.
d) 25 e) 24

a) 300 b) 400 c) 350
d) 380 e) 420
19. Los cuadrados de 1/2, 1/4 y 1/8 son
proporcionales a otros 3 números que suman
14.Los antecedentes de varias razones equivalentes 147/176. Uno de dichos números es:
son 3, 4, 5 y 6. Si la suma de los 2 primeros
consecuentes es 28. Hallar los 2 últimos.

a) 7/176 b) 5/44 c) 1/44
a) 20 y 22 b) 20 y 24 c) 22 y 24
d) 1 e) 1/2
d) 20 y 26 e) N.A.

0. Hallar la media proporcional de la cuarta
proporcional de 4, 16 y 2 y la tercia proporcional
15.Un cilindro de 60  de capacidad fue llenado de 50 y 10.
completamente por 4 recipientes donde el
volumen del primero es al segundo como el del
a) 4 b) 8 c) 16
tercero es al cuarto, como 2 es a 1. Hallar la suma d) 20 e) 10.
de los volúmenes del segundo y el cuarto
recipiente. (en litros).

a) 20 b) 40 c) 30 PRACTICANDO EN EQUIPO
d) 15 e) 25

1. Tres números son entre sí como 2, 6 y 8
si la media diferencial entre el segundo y
16.Si:
1111
= 2222
= 3333
=k el tercero es 28. Hallar la media
aaaa bbbb cccc proporcional entre el primero y el
tercero.
además:a2 + 4b2 + 9c2 = 392 a) 4 b) 8 c) 16
d) 12 e) 4
Hallar a + b + c
U
2. Si: D = N
O
= O
S
= 1
2
y N + S = 15 y D + O =
a) 6 b) 10 c) 12 14.
d) 14 e) 18
Hallar: U+N+O
17. Existe una posibilidad contra 3 de que “A” derrote a
“B”. Si la posibilidad que “B” le gane a C están en la
relación de 5 a 2. ¿Qué posibilidad tiene “A” de derrotar a a) 17 b) 16 c) 15
“C”?.
d) 14 e) 13

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5
d) 5/6 e) 3/7. 3. Si: 18
a
=b=
c
d
e y ab + bc + 27c = 4 cd

3

extremos es 6. Hallar la suma de los
antecedentes de dicha proporción.
Hallar: E= 8 a +3 e
2 e +a

a) 6 b) 8 c) 10
a) 2/3 b) 8/27 c) d) 12 e) 14
30/17
d) 45/16 e) 16/45
10. El producto de los cuatro términos de
4. 15 es la media proporcional de m y 25 una P.G. C. es 144; la suma de sus
“2m” es la 3ra. Proporcional de 8 y m, cuál extremos es 7. Hallar el mayor de los
es la 4ta. proporcional de m, n y 15?. extremos.
a) 16 b) 24 c) 20
a) 3 b) 18 c) 10
d) 25 e) 40 d) 6 e) 8

5.Si ”A” es la 4ta diferencial de 18; 9 y 11. 11. Las edades de A, B, C y D son
“B” es la media diferencial de 16 y 12. proporcionales a 2, 3, 5 y 6. Además se
Hallar la 3ra. Diferencial de “A” y “B”. sabe que el producto de dichas edades
a) 10 b) 24 c) 26 es 14 580. Hallar la suma de dichas
edades.
d) 27 e) 20.
a) 64 b) 32 c) 56
d) 80 e) 48
6.Si “A” es la 4ta diferencial de 18; 9 y 11.
“B” es la media diferencial de 16 y 12. 21. En una P.G.C. el producto de los 4
Hallar media diferencial de 16 y 12. Hallar términos es 1296 y el producto de los
la 3ra. Diferenciadle “A” y “B”. antecedentes es 24. Hallar la tercia
proporcional.
a) 10 b) 24 c) 26
a) 9 b) 12 c) 15
d) 27 e) 20
d) 8 e) 16
7.La tercia proporcional de (x – 2) ; (x + 2) es
(x + 8). ¿Cuál es la 4ta. proporcional de 12.La suma, diferencial y el producto de 2
x (x + 6) y (x + 5) . números que los números 5, 3 y 16. Hallar
estos números.
a) 18 b) 20 c) 21
a) 8 y 14 b) 4 y 16 c) 2 y 8
d) 24 e) 25
d) 6 y 12 e) 6 y 16

8. Tres números son entre sí como 2; 6 y 8
si la media diferencial entre el 2do. Y el 13.Si a cada uno de los cuatro términos de
3ro. es 28. Hallar la media proporcional una P.G. se le quita una misma cantidad se
entre el primero y el tercero. obtiene 20, 28 y 32 y 44. Hallar la suma de
los cuatro términos de dicha proporción.
a) 4 b) 8 c) 16
a) 344 b) 148 c) 140
d) 12 e) 4
d) 156 e) 160

9. El producto de los cuatro términos de
una P.G.C. es 256 si al diferencia de los 14. Si: 64
a
=b=b=c=
a
c d
d
2

4

Hallar “d”. Determine el valor de:
( a 2 +b 2 + c 2 )
E=
( a +b + c ) 2
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.A. a) 0, 43 b) 0, 42
c) 0, 52
d) 0, 32 e) N.A.
15. Si: = = ; q = 4p ; r = 5p
p q r
a b a

APLICACIÓN DE RAZONES Y
PROPORCIONES

PRACTICANDO EN CLASE 4.- En un grupo de razón del número de
hombres al de niños es 3:5 y la razón del de
mujeres a niños es 5:8 compara estas
1.-Halla el número que es a 16 como 8,1 es a razones para decidir si hay más hombres o
7,2. mujeres en el grupo.

2.- Halla el número que es a 5 como 12 es a 5.- Un equipo ha perdido 7 de 18 juegos y
3. otro ha perdido 5 de 12 juegos.
a) ¿Qué razón es mayor 7 : 18 ó
3.- Un pan de 120 gramos cuesta 20 céntimos 5 : 12? b) ¿Qué equipo tiene mayor
de sol, uno de 160 gramos 25 céntimos de marca?
sol.
a) ¿Qué razón es mayor 120 a 20 6.-Una vasija contiene 4 litros de vino; se
añade 0,4 litros de agua ¿En que relación está
ó 160 a 25?
el vino con el agua?
b) Si no hay diferencia en calidad a) 20/1 b) 10/1 c)
de pan ¿Cuál de los dos resulta más 5/2 d) 6/3 e) 1/2
económico?

5

7.- Un rectángulo tiene 4m. de base y 3m. de
altura y otro rectángulo siguiente tiene 8m.de 14.-La suma de dos números es a su
base. Establece la proporción entre ambas diferencia como 7 es a 3. Si el producto
dimensiones. de dichos números es 160. Determina la
3 x 3 x diferencia de los números.
a) = b) = c) a) 8 b) 12 c)
4 8 4 12
4 x 4 6 14 D) 16 E) 18
= d) =
3 8 3 x 15.- Dos números son entre si como 24 es
8.-Dos números están en la relación de 4 a 60, si su diferencia es 12 ¿Cuál es el
11; si su suma es 120. Determina el menor mayor de dichos números?
de dichos números. A) 8 B) 12 c)
a) 88 b) 44 c) 20 d) 24 e) 36
32 d) 55 e) 23
16.- Halla la media proporcional entre 7 y 63.
9.-La semisuma de dos números es 36 y su a) 27 b) 7 3 c)
semidiferencia es 24. Halla la razón 21 d) 3 7
geométrica entre dichos números.
17.- Halla la media proporcional entre
1 1
a) b) c) 3 16
6 5 y
4 75
2 1 3
d) e) 6 3
7 8 5 a) b)
5 5
2 5
10.-La diferencia de los cuadrados de dos c) d)
números es 640; y la razón de dichos 5 2
7
números es ¿cuales son los números? 18.- Halla la tercera proporcional entre: 5 y
3
10
a) 21 y 9 b) 35 y 15 c)
a) 7,5 b) 5 c)
26 y 14 d) 28 y 12 e) 42 y 18
20 d) 10
11.- Si con una velocidad de 5 Km. por hora a
pie y 40 Km/h. un automóvil se recorre la 1
19.-Halla la tercera proporcional entre: 5 y
misma distancia ¿Cuánto se empleará en 4
automóvil, si el peatón emplea 3 horas? 7.
a) 8h b) 24h c) 7 25
22,5 min d) 23 min e) 25 min a) b) c)
4 3
x y 63 28
12.-Halla el valor de “X” en: = ; si d)
45 9 3 3
x-y = 28 20.-Determina la cuarta proporcional de: 5;
a) 30 b) 35 c) 2 y 16.
40 d) 45 e) 55 a) 5,8 b) ,62 c)
3 6,4 d) 5,6
13.-Halla la razón equivalente a ; de tal
11
21.-Determina la cuarta proporcional de:
manera que la suma de los cuatro
25; 51 y 104.
términos de la proporción formada sea
a) 121 b) 221 c)
igual a 70.
112 d) 122
6 9
a) b) c)
22 33
12 15 18
d) e)
44 55 66

REPARTO PROPORCIONAL

REPARTO SIMPLE En este caso el reparto puede ser directo o
inverso.

6

A. Reparto Directo si la misma suma se hubiera repartido hace 2
años, ¿cuánto le hubiera tocado al mayor?
a) S/. 117 b) S/.120 c) S/.144
Se hace de tal manera que las partes resultantes
d) S/.152 e) S/.172
sean D.P. a los índices de proporcionalidad.
Propiedad 8. Al repartir N I.P. a 39, 311 y 312, se obtuvo que la
Si a todos los índices de proporcionalidad se les menor parte fue 75. Hallar «N».
multiplica o divide por un mismo número, entonces a) 3250 b) 2840 c) 2400
el reparto no se altera. d) 5150 e) 2325
B. Reparto Inverso
9. Al repartir N en partes que sean proporcionales a
Se hace en forma I.P. a los índices, para ello se los cuadrados de 0,5; 0,25 y 0,1 se obtuvo que la
invierten los índices y luego se efectúan en cantidad mayor fue 4200. Hallar la suma de cifras
reparto directo, como ya se conoce. de N.
a) 12 b) 15 c) 17
2. REPARTO COMPUESTO d) 18 e) 21
En este caso se trata de repartir una cantidad en
forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma 10.Repartir 1320 en forma D.P. a los números 4; 5 y
I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: 10 y a su vez I.P. a 3; 2 y 6. Dar la parte menor.
a) 300 b) 320 c) 450
1.Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo d) 480 e) 540
los índices)
2. Se multiplican los índice de las dos relaciones 11. Un padre deja a sus hijos una herencia a
D.P. repartirse en forma I.P. a sus edades que son 18;
21 y 24 años. Si al menor le corresponde $4200.
3. Se efectúa un reparto simple directo con los
¿Cuánto le corresponde al mayor?
nuevos índices. a) $4600 b) $4500 c) $3600
d) $3150 e) $2400
12.Repartir 2050 en tres partes, de tal manera que
la primera sea ala segunda como dos es a cinco
y la segunda sea ala tercera como tres es a
cuatro. Dar la parte mayor.
PRÁCTICANDO EN CLASE a) 1000 b) 1200 c) 1300
d) 1400 e) 1500
1. Repartir 544 directamente proporcional a los 13.Cuatro socios forman una empresa para lo cual
números 4; 5 y 8. Dar la parte mayor. reúnen 3000 dólares, el primero coloca 8000
Rpta: ................ dólares; el segundo 3/5 de lo que colocó el
primero, el tercero colocó la suma del primero y
el segundo y el cuarto lo restante. Si al finalizar el
2. Repartir 1560 directamente proporcional a 2; 4; primer año obtuvieron una ganancia de 7000
6; 8 y 10. Dar la parte intermedia. dólares. ¿Cuánto le corresponde al que colocó
Rpta: ................ mayor capital?
a) $1600 b) $2800 c) $1800
d) $3200
3. Repartir 962 inversamente proporcional a 3, 5 y e)
12. Dar la parte menor. $3600
Rpta: ................

4. Repartir 8150 inversamente proporcional a 4 1/2; 14.Fue repartida cierta cantidad en 3 partes que
5 1/3 y 6 2/5. Dar la parte menor. sean D.P. a 3n, 3n -1 y 3n + 1 e I.P. con 4 n – 1; 4n + 1 y
Rpta: ....... 4n respectivamente y se observa que la primera
parte excede a la última en 2/6. Hallar la
5. Repartir 840 D.P. a los números 0,3; 0,5 y 1,2. Dar cantidad a repartir.
la suma de cifras de la parte menor.
a) 1480 b) 1580 c) 1660
Rpta: ....... d) 1630 e) 1530

6. Al repartir 1612 D.P. a los números 1/3; 2/5 y 15. Una persona A recorre 360 km a una cierta
3/10 se obtuvo que la parte menor fue: velocidad, B recorre la misma distancia con el
a) 806 b) 548 c) 468 doble de velocidad y C la misma distancia lo
d) 852 e) 752 hace con el triple de velocidad que el primero. Si
entre los 3 tardan 22 horas. ¿Cuál es la
7. Se repartió 348 soles entre 4 mendigos en forma velocidad de B?.
D.P. a sus edades que son 25; 28; 30 y 42 años,

7

a) 45 km/h b) 72 km/h c) 60 km/h partes S/. 28. Hallar la cantidad repartida (en
d) 40 km/h e) 7 km/h soles).

16. Fue organizado un concurso de aritmética por a) 240 b) 180 c) 240
equipos; el equipo ganador de 3 integrantes d) 280 e) 200
recibió un premio en efectivo el cual se repartió
entre sus tres miembros proporcionalmente al 2. Se reparte una cantidad de dinero entre 3
número de problemas resueltos durante el personas en forma D.P. a 3 números
concurso, siendo estos 36, 32 y 30 consecutivos. Si al segundo le corresponde S/.
respectivamente. Si el 2do. hubiera resuelto un 180. ¿Cuál fue la cantidad de dinero repartida?.
problema más , habría recibido s/. 143 más. ¿A
cuánto ascendió el premio?. a) 360 b) 450 c) 540
d) 600 e) 720
a) 21021 b) 2102 c) 210
d) 21 e) N.A. 3. N se va repartir D.P., a 2, 3 y 4 sin embargo el
reparto se hizo D.P. a los cuadrados de estos
17. 3 personas A, B y C se reparten un dinero en números, por lo que la segunda parte disminuye
partes I.P. a 5, 8 y 12 respectivamente. Luego en 16 unidades.
deciden repartirse la cantidad en partes iguales,
razón por la cual uno de ellos devuelve s/. 230. a) 396 b) 432 c) 484
¿Cuánto más recibe “C”?. d) 696 e) 1264

a) 120 b) 150 c) 190 4. Una cantidad se reparte I.P a los números
d) 210 e) N.A. 2
;3;7;1
2
; siendo la parte que le
5 4 6
corresponde a 3/n la quinta parte del total
18 Repartir 1380 en 3 partes, tal que a la
Hallar “n”.
primera sea a la segunda como 2 es a 3 a) 8 b) 0 c) 10
y que esta sea a la tercera como 5 es a d) 11 e) 12
7. ¿Cuál es la cantidad menor?.
5. Repartir 1225 en partes D.P. a todos los
a) 300 b) 360 c) 420 números naturales menores que 50. Indicar la
diferencia entre la parte mayor y la menor.
d) 480 e) 630
a) 48 b) 47 c) 50
d) 52 e) N.A.
19.Repartir S/. 950 entre “J”, “P” y “C” de
modo que la parte de “J” sea ala de “P” 6. Repartir 4900 en partes D.P. a los cuadrados de
como 4 es a 3 y la parte de “P” ala de “C” todos los números naturales menores que 2.
Indicar la parte mayor.
como 6 es a 5. ¿Cuánto recibe “P”?. a) 576 b) 567 c) 500
a) 280 b) 400 c) 300 d) 800 e) N.A.

d) 270 e) 320 7. Repartir en tres partes D.P. a las raíces
cuadradas de 96; 150 y 384. Indicar la mayor de
las partes.
20. 3 personas se repartieron una suma de a) 2500 b) 1800 c) 2400
1
dinero en forma I.P. a los números n +2 ; d) 2200 e) 2000
1 8. Dos agricultores A y B tienen terrenos de 4 y 3
n y n −2 . Al primero le correspondió S/.
hectáreas respectivamente, que laborarán en
1200 y al tercero S/. 300. ¿Cuánto le conjunto. Para concluir mas rápido el trabajo
correspondió al segundo?. contratan a un peón C. Si el peón cobró por su
trabajo 1400 soles y todos trabajaron igualmente,
a) 67,5 b) 66,5 ¿cuánto pagará cada uno de los agricultores?
c) 65,5 a) S/.800 y S/.600 b) S/.900 y S/.500
d) 40, 5 e) 40 c) S/.1200 y S/.200 d) S/.1000 y S/.400
e) S/.1100 y S/.300

PRACTICANDO EN CASA
9. Juan Pedro tienen 3 hijos: Antonio, Bernardo y
1. Se reparte cierta cantidad de dinero en partes César y semanalmente reciben propinas D.P. a
que son D.P. a 4, 7 y 9; siendo la menor e las su edades que son 16; 18 y 22 años. Si Antonio

8

recibe 30 soles menos que César. ¿Cuánto hacer el reparto proporcionalmente a los
recibe Bernardo? números 6, 5 y 4. Averiguar cual es el monto de
a) S/. 60 b) S/.30 c) S/.80 la herencia si en el nuevo reparto uno de ellos
d) S/.90 e) S/.120 habría recibido 1200 más que la primera vez.
a) 108000 b) 110000 c) 112000
10.Las edades de 4 hermanos son números d) 114000 e) 116000
consecutivos. Si reciben una herencia de un tio
lejano, el cual dejó indicado que se hiciera el 17. .Repartir 280 directamente proporcional a 1/5;
reparto proporcional a las edades, ¿a cuánto 2/3 y 3/10. Dar como respuesta la parte mayor.
ascendía la herencia?. sabiendo que el menor a) 100 b) 140 c) 160
recibía los 6/7 del mayor y el segundo recibió d) 180 e) N.A.
$3000?
a) $10500 b) $12000 c) $11700 18.Repartir 400 directamente proporcional a los
d) $16500 e) N.A. números, 75 y . Dar la parte menor.
, 48
11. 5. Dividir N en tres partes, de tal manera que la a) 100 b) 120 c) 150
primera se a la segunda como 3 es a 7 y la d) 80 e) N.A.
segunda es a la tercera como 4 es a 5. Si la
parte menor es 288. Hallar N. 19.Repartir 3250 inversamente proporcional a los #s
a) 1500 b) 1200 c) 1000 45 , 45 y dar como respuesta la parte
d) 1600 e) 1800 menor.
a) 750 b) 200 c) 400
12.Se propone a 2 alumnos repartir d) 500 e) N.A.
proporcionalmente un número, el primero lo hace
D.P. a 2; 4 y 5 y el segundo lo hace I.P. a los 20.Se requiere repartir una herencia de 360000
mismos números. Si la diferencia entre las dólares entre dos hermanos de manera que uno
cantidades que le corresponden a la primera de ellos reciba 1/7 mas que el otro. ¿Cuánto le
parte es 360. Hallar el número. toca al que recibe mayor cantidad?
a) 1020 b) 1045 c) 1250 a) 192000 b) 180000
d) 1450 e) 1700 c) 240000 d) 125000
e) 2 400
13.Al repartir $5700 entre 3 personas A, B y C se
hace el reparto en partes proporcionales a 3
números consecutivos crecientes. Luego del MAGNITUDES Y PROPORCIONES
reparto se tienen que 1/5 de lo que le tocó a B
más lo que le toca a «A» hacen lo que le tocó a
«C». ¿Cuánto le tocó a esta última persona?
MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.
a) 2070 b) 2060 c) 2090
d) 2870 e) 2640 CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud
por ejemplo.
14.Una persona dispuso en su testamento que se
entregará a 3 sobrinos suyos la cantidad de Magnitud Cantidad
$19695 dólares para que se repartan Longitud 75 cm
proporcionalmente a las edades que cada uno de Volumen 30 litros
ellos tuviera el día en que falleciera. Uno de ellos Número de días 25 días
tenía 38 años el día en que su tío falleció y le Número de
correspondió $7020 pero renunció a ellos y el 43 obreros
obreros
reparto se hizo entre los otros 2, también Cantidad de
700 m3
proporcional a sus edades por lo que a uno de obra
ellos de correspondió $2700 adicionales.
Calcular las edades.
a) 36, 25, 40 b) 36, 40, 45 c) 36, 45, 60 RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
d) 36, 60, 72 e) 36, 39, 42
MAGNITUDES DIRECTAMENTE
15.Se reparte la cantidad «S» en 3 partes A, B y C
PROPORCIONAL (D.P)
que son D.P. a 15, 13 y 17 e I.P. a 5, 39 y 85
Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada
respectivamente. Además la parte que le toca a
una de las botellas con un litro de gaseosa a S/. 2
«A» más 1800 es a la parte que le toca a B más
analizamos las magnitudes, número de botellas
la de C como 6 es a 1. Hallar «S».
vendidas y el precio.
a) 29300 b) 36000 c) 31200
d) 31800 e) 32400 16. Un x4 ÷2 x3 x 5/6
padre desea repartir su fortuna entre 3 hijos
suyos A, B y C de manera que las partes sean # de botellas 1 4 2 6 5
entre sí como 7, 6 y 5 respectivamente. precio 2 8 4 12 10
Posteriormente cambia de opinión y ordena

9

Se observa que: a.- Si la magnitud A2 es I.P 3
B , calcule x, si:
1 4 2 6 5
= = = = = 0 .5
2 8 4 12 10 A 15 X
Observamos que la relación entre los valores B 27 1728
correspondientes entre las 2 magnitudes es
constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las b.- La presión es I.P con el volumen, ¿a qué
llamaremos D.P. (precio). presión está sometido un gas, si al aumentar la
Veamos gráficamente. presión en 12 atmósferas, el volumen varía en
1/7?
12
Analicemos las magnitudes I.P. como función de
10
proporcionalidad.
8
Sabemos que cuando A I P B:
(Valor de A) (Valor de B) = etc.
4
Llamaremos: “y” al valor de A
2 “x” al valor de B
1 2 4 5 6 # de botellas “m” a la etc,
luego reemplazamos y . x = m
m
y=
MAGNITUDES INVERSAMENTE x
PROPORCIONALES (I.P) lo que es una ecuación de una hipérboles equilátera
por lo que:
Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja
en 10 días, analicemos los valores correspondientes m
que pueden tomar las magnitudes número de y = f(x) entonces : f (x ) = ó f(x).x = m
x
obreros y números de días.
÷3 x2 x 3/4 en donde f(x) es una función de proporcionalidad
inversa
# de Obreros 24 8 16 12
# de días 10 30 15 20 Luego 2 magnitudes son D. P si la relación entre sus
valores correspondientes es constante.
÷ ÷ Su gráfica será una línea recta o punto de
x3 2 3/4 pertenencia o una misma línea recta que pasa por el
Podemos Observar que: origen de coordenadas.
Entonces, sean las magnitudes A y B, D . P se
24 . 10 = 8.30 = 16 .15 = 12 . 20 cumple.
Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto de
sus valores correspondientes es constante les ( Valor de A)
llamaremos magnitudes I.P. = k (cte)
∴ (# de obreros) I.P (# de días) ( Valor de B )
Veamos
gráficamente Aplicación 1:
Si la magnitud A es D.P.B2, calcule el valor que
# de días asume la magnitud A cuando B es 16, sabiendo que
cuando A asume el valor de 25, en B asume el valor
de 20
30

20
15
Aplicación 2:
10
La temperatura en grados centígrados en una aula
8 12 16 24 # de obreros
es D.P, a la raíz cuadrada del número de alumnos
presentes. En un determinado momento la
temperatura fue de 24ºC. Cuando estuvieron
Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus
presentes 36 alumnos, Cuál será la temperatura
valores correspondientes es constante, su gráfica
cuando ingresen 28 alumnos más.
será una o parte de una rama de una hipérbole
equilátera.
Analicemos las magnitudes D.P como función de
Entonces, sean las magnitudes A y B I.P. Se cumple
proporcionalidad:
(valor de A) (valor de B) = etc.
Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.

10

a) 2 b) 4 c) 6
( Valor de A) d) 8 e) 5
= k (cte)
( Valor de B )
7. Se tiene dos magnitudes tales que: 3 A es I.P.
Llamemos:
“y” al valor de A a B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A
“x” al valor de B cuando B sea 4.
“m” a la etc a) 9 b) 27 c) 4
d) 32 e) 64
Entonces:
8. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es
y
= m D.P. a B e I.P. a C2 cuando A=8 y B=16
x
entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y C=4.
Lo que nos representa la ecuación de una recta que a) 2 b) 4 c) 6
pasa por el origen de coordenadas por lo que: y = d) 6 e) 16
f(x), entonces :
F(x) = mx , en donde f(x) es una función de 9. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es
proporcionalidad DP a B1/2; A es IP a C2. Cuando A=8, B=16, C=6.
Calcular B si A=9 y C=4.
Aplicación 3 a) 2 b) 3 c) 4
Si f(x) es una función de proporcionalidad directa, en d) 5 e) 6
donde f(4) = 12, Calcule f(3) + f(2)
10.La magnitud A es DP a B2, e IP a C1/3. Si el valor
de B se duplica y el de C disminuye en sus
Aplicación 4
26/27. ¿Qué sucede con el valor de A?
Si f(x) es una función de proporcionalidad, calcule
a) Queda multiplicado por 12
F(3) x F(4 ) − F(5))2
( 1 b) Disminuye en 1/11 de su valor
x = x
F(17 ) F(9) c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadriplica
PRÁCTICANDO EN CLASE 11.A es DP a D y la suma de B y C e IP a B.C.
A=3D cuando B=3 y C=2, siendo: BDP C.
1. ¿Cual de las siguientes relaciones no indica una Calcular A cuando B es igual a 9 y D=5.
relación de proporcionalidad entre x e y? a) 1 b) 2 c) 3
a) 5x = 7y b) 9x = 2/4 d) 4 e) 5
c) x + y = 12 d) x + y = 2y
e) (x+1)2 = y + 2 12.Se tiene la siguiente tabla de valores para dos
magnitudes A y B:
2. Si A es D.P. a B, además cuando A = 12 A 36 144 324 n 4
entonces B es igual a 16. Hallar A cuando B sea B 6 3 2 9 18
igual a 12. Hallar “n”
a) 8 b) 9 c) 10 a) 12 b) 14 c) 16
d) 12 e) 6 d) 18 e) 20
3. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 10, 13.Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B≤
entonces B es igual a 24. Hallar B cuando A sea 30); A DP B (B ≥ 30). Si A = 6 cuando B = 20.
igual a 15.
¿Cuál será el valor de A cuando B = 60?
a) 10 b) 8 c) 16
a) 2 b) 4 c) 8
d) 12 e) 4
d) 3 e) 6
4. Si A es D.P. a B2, además cuando A es igual a 14. El peso de un eje varía proporcionalmente a su
32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B longitud y a su sección transversal. Si un metro
sea igual a 3. de hierro forjado de un centímetro de diámetro
a) 6 b) 9 c) 18 pesa 0,6 kg. Calcular el peso de un eje de 5m
d) 27 e) 36 de largo y 5 cm de diámetro.
5. Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, además a) 60kg b) 75kg c) 90kg
cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A cuando d) 105kg e) 120kg
B=48, C=2 y D=3.
a) 4 b) 6 c) 8 15.¿Cuál es el peso de un diamante que vale
d) 12 e) 16 55.000 dólares, si uno de 6 kilates cuesta 19800
y el precio es proporcional al cuadrado de su
6. Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, además cuando A peso.
es igual a 2, entonces B es igual a 6 y C es igual (1 kilate = 0.259)
a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10. a) 6g b) 6,25g c) 2,5g

11

d) 25g e) 62,5g
24.Se sabe que “A “ es I.P. con “B” y que “B” es I.P.
16.A varía como la suma de 2 cantidades de las con “C”. Si cuando “A” aumenta 15 unidades “C”
cuales una varía como B y la otra inversamente varia en 20%. ¿Qué pasa con “B” cuando “A”.
a B 2 . Si A = 19 cuando B es 2 ó 3. Hallar A aumenta en 25 unidades?
cuando B = 6
a) 28 b) 29 c) 30 a) Aumenta en 10%
d) 31 e) 32 b) Aumenta en 20%
c) Disminuye en 15%
17.Según la ley de Boyle, la presión es I.P. al d) Disminuye en 25%
volumen que contiene determinada cantidad de e) No varia
gas. ¿a qué presión está sometida un gas, si al
aumentar este en 2atm, el volumen varía en
40%

a) 4atm b) 5 c) 6 25.De las siguientes afirmaciones:
d) 2 e) 3
I. El área de un cuadrado es D.P. a su lado
18.Se sabe que una magnitud A varía en forma II. Si “A” y “B” son magnitudes I.P. entonces el
proporcional a B . Hallar el valor de A, si se cociente entre sus valores correspondientes
sabe que al disminuir en 30 unidades entonces es constante
el valor se B varía en 9/25 de su valor. III. Si “A” es D.P. a “B”, “B” es D.P. a “C”
a) 150 b) 180 c) 120 entonces “A” es D.P. a “C”.
d) 200 e) 90 Señalar cuál es verdadera
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
19.Se tiene 2 magnitudes A y B tales que 3 A es d) Sólo I y IIIe) N.A.
I.P. a B si cuando A = 8, B = 6. Hallar A si B = 2 26.Si “A” varia en forma D.P. con “B” y “C” y “C”
a) 64 b) 216 c) 512
d) 1000 e) 343 varia en forma D.P. con F 3 , cuando A = 160
entonces B = 5, F = 2. Si B = 8 y F = 5. ¿Cuánto
20.Si “X” varia a razón directa a “Y” e inversa al será A?
cuadrado de “Z”. Cuando X = 10 entonces Y= 4 a) 4000 b) 3800 c) 3500
y Z = 14. Hallar “X” cuando Y = 16 y Z = 7 d) 3200 e) 2400
a) 180 b) 160 c) 154
d) 140 e) 120 27. La eficiencia se mide en puntos y es D.P. a los
años de servicio e I.P. a la raíz cuadrada de la
21.El precio de un pasaje varia inversamente con el edad del trabajador . Se sabe que la eficiencia
número de pasajeros con el número de de Juan es de 2 puntos cuando tiene un año de
pasajeros, si para 14 pasajeros el pasaje es de servicio y 25 años de edad. ¿Cuál será la
S/. 15. ¿Cuántos pasajeros serán cuando el eficiencia a los 36 años?
pasaje cueste S/. 6? a) 18 b) 25 c) 28
a) 31 b) 33 c) 34 d) 20 e) 22
d) 35 e) 36
28. De las siguientes gráficas
A A.D.P B C C.I.P D
22.Dos magnitudes son inversamente
proporcionales si una de ellas disminuye en 1/4 12 24
d su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la
x 2k
otra?
D
a) Aumenta 1/4 b) Disminuye 1/4 15 k B 30 y
c) Aumenta 1/8 d) Disminuye 1/8 Hallar: x/y
e) Disminuye 1/3 a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7
d) 0,8 e) 2
23.Se sabe que la fuerza de atracción entre 2
cuerpos varia en forma D.P. al producto de sus 29.Las magnitudes A 2 y B son I.P. y cuando A=20.
masas e I.P. al cuadrado de la distancia entre
A es a B como 10 es 9. ¿Qué valor toma “A”
ellos si la distancia entre dos cuerpos aumenta
cuando “B” = 72?
en 20% que pasa con la
a) 18 b) 16 c) 10
fuerza de atracción entre ellos?
d) 12 e) 15
a) Aumenta en 25%
b) Disminuye en 23/8%
c) Disminuye en 69,4% PRACTICANDO EN CASA
d) Disminuye en 30,55%
e) Disminuye en 29% 1. Para las magnitudes A y B se tiene:

12

A
4x 7. En un cierto país se cumple que el cuadrado del
precio de un producto es proporcional a la raíz
x+6 cuadrada de su peso. Si un artículo costó 2
monedas cuando su peso es 49 gramos. ¿Cuál
x es el peso de un artículo por el cual se pagó 6
monedas?
0 y 3y y +6 B a) 1 221 gr b) 1 396 c) 3 969
Indicar el valor de (x + y) d) 11 025 e) 1 023
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6 8. La gratificación para los empleados es
proporcional al cuadrado de su edad que tiene.
Si actualmente tiene 18 años. ¿Cuántos años
2. Del siguiente gráfico: más deberá tener para que la gratificación que
N° Días
reciba sea el cuádruplo de lo que recibió?
b a) 10 b) 16 c) 18
d) 24 e) 30
200
9 El precio de una esmeralda varia
a proporcionalmente al cuadrado de su peso. Si
una esmeralda se compró en 3 600 dólares y se
0 2 3 600 N° Obreros rompe en dos pedazos que pesan 11,1 gr; y
¿Cuál es el valor de (a + b)? 25,9gr respectivamente. ¿Cuál es la pérdida
a) 201 b) 300 c) 301 sufrida?
d) 400 e) 602 a) $ 576 b) $ 1 200 c) $ 1 296
d) $ 1 728 e) $ 1 900
3. Si a + b + c + m = 129, Hallar “m” en:
L1
A L2 10.Si una magnitud A es I.P. a B D.P. a B D.P. a
C es I.P. a D 2 . Hallar el valor de A cuando

2m B es 10; C es 36 y D es 4, si cuando A es 720; B
es 2; C = 4 y D es igual a 3
m
a) 243 b) 81 c) 162
H1 d) 63 e) 729

0 8 a b c 16.Se sabe que un cae libremente recorre una
B
distancia proporcional al cuadrado del tiempo.
a) 12 b) 14 c) 16
Una piedra recorre 9,8 m en un segundo 4
d) 17 e) 18
décimas. Determinar la profundidad de un pozo
si se sabe que al soltar la piedra esta llega al
4. Una rueda dentada de 48 dientes da 560 R.P.M.
fondo en 2 segundos.
y concatena con un piñón que da 107520
a) 10 m b) 5 m c) 15 m
vueltas por hora ¿Cuál es el número de dientes
d) 20 m e) 18 m
del piñón?
a) 3 b) 15 c) 7
17.El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de
d) 5 e) 30
su peso. Si un diamante se parte en 2 pedazos,
uno de los cuales pesa 3/5 del otro, sufre una
d) 10 e) 12
pérdida de 24 000 dólares. ¿Cuánto costaba el
diamante antes de romperse?
5. Sabiendo que A es I.P. a la inversa de B 2 , e I.P
a) $ 50 000 b) $ 51 200 c) $ 36 000
a C 3 y además B es D.P. a D 2 y C I.P. a E3. d) $ 15 000 e) $ 20 800
Determinar el valor de A cuando E = 4; D = 9, si
cuando E = 2; D = 3 y A = 1 18.Se sabe que A es I.P. a B 3 y B I.P. a C 2 .
a) 3 8 ⋅ 2 9 b) 3 9 ⋅ 2 8 c) 6 9 Hallar el valor de A cuando B = 4 y C = 6, si
d) 3 4 ⋅ 2 9 e) 3 2 ⋅ 2 9 cuando: A = 27; B = 12 y C = 2.
a) 1 b) 2 c) 4
6. Sabiendo que A es proporcional a B y que C es d) 5/2 e) 64
proporcional A . Hallar “ n” si:
Magnitud Valores 19.Un anciano repartió su herencia entre sus dos
sirvientes proporcionalmente a sus años de
A 36 n
servicio que son 18 y 20 años e inversamente
B 2 1/3
proporcional a sus edades 26 y 26 años
C 3 1 respectivamente. Determinar el monto de la
a) 1/36 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/9 e) 1/4

13

herencia si el mayor recibió $ 1 600 más que el a) A α B b) A I.P. B c) A α B2
menor. d) A2 I.P. B3 e) A3 α B2
a) $ 14 000 b) $ 12 000 c) $ 14 600
d) $ 15 400 e) $ 16 400 25. Si una plancha consume una potencia que es
directamente proporcional con su resistencia y
20.Para las magnitudes P y Q se tiene el gráfico con el cuadrado de su corriente que circula.
siguiente: ¿Qué pasará con su potencial si su corriente se
P L2 duplica y su resistencia se hace 4 veces menor?
P1 a) disminuye 50%
b) aumenta 50%
L1 c) sigue igual
P2 d) aumenta 50%
e) disminuye 20%
2
Q
0 1 1
10 5
20. Es un empleado un Es DP a año de servicio e IP PRACTICANDO EN CASA
al de su coeficiente intelectual. Si es que trabaja
hace ocho años y tiene un coeficiente Intelectual 1.Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente
de si 100 gana $2000. ¿Cuál es el coeficiente al cuadrado de "C", cuando A = 10, entonces, B =
intelectual mediante ese que trabaja hace 20 4 y C = 14. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7.
años y gana $5000? a) 200 b) 180 c) 160
a)100 b)80 c)120 d) 140 e) 156
d)110 e)90
2.Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar "A" cuando
B = 2, si A = 6, entonces B = 4.
21. Si “A” es directamente proporcional a “B”. Hallar
(m + n). a) 48 b) 46 c) 50
d) 52 e)4
A
36 3.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando
B = 4. hallar "B". Cuando A = 8
24 a) 1 b) 2 c) 8
d) 4 e) 16
m
4. "A" es I.P. a "B", si A = 20, entonces B= 30. hallar
0 8 n B "A" cuando B = 50
24
a) 10 b) 12 c) 8
a) 30 b) 28 c) 36
d) 16 e) 20
d) 22 e) 14

22. Si la magnitud A es inversamente proporcional a 5. Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C , cuando A =
la inversa de B donde algunos valores 4, B = 8 y C = 16.Hallar "A" cuando B = 16 y
C=36.
correspondientes se muestran en la siguiente
tabla:
a) 6 b) 12 c) 2
d) 4 e) 10
A 100 5 n
B m 0,05 4 6. El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo
Calcular : (m + n) de B cuando A = 3 y B = 4. Hallar el valor de B
a) 5 b) 101 c) 120
3
d) 57 e) 201 cuando A =
3
23. A es directamente proporcional a B y C e 1 2
a) 1 b) 1 c) 3/4
inversamente proporcional a D2. Cuando B=4; 3 3
C=2 y D=2 entonces A=12. ¿Qué valor tomará D d) 2 e) 22
cuando A=48 ; B= 25 y C=2?
a) 1,5 b) 2 c) 2,5 7. El cuadrado de "X" varía proporcional-mente al
d) 3 e) 3,5 cubo de "Y". Si "X" = 4, "Y" = 2. hallar "Y"
cuando X = 2
24. Si se tiene la siguiente tabla de valores para dos
a) 1 b) 2 c) 3
magnitudes A y B.
d) 4 e) 5
A 1 8 0,125
B 36 9 144

14

8.Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C1/2, cuando A = 1;
B = 2 y C = 64. hallar "A" cuando B =1y C = 4 a) 8 b) 9 c) 6
a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 7 e) 5
d) 1 e) 8
2. Si 3 conejos comen 3 zanahorias en 3 min.,
9. Si "A" es D.P. con "B" e I.P. a C2. Cuando A entonces un conejo comerá 2 zanahorias, ¿en
= 4, entonces B =2 y C = 2. Hallar "A" cuando B cuántos minutos?
= 3 y C = 1/2.
a) 2 b) 3 c) 4
a) 10 b) 96 c) 48 d) 5 e) 6
d) 4/3 e) 8/3
3. En 24 días, 15 obreros han hecho 1/4 de una
10.Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar A cuando B obra. ¿Cuántos días empleará otro grupo de 60
= 3; Si A = 3 y B = 2 obreros, en terminar la obra?

a) 8/9 b) 7/4 c) 3/8 a) 24 b) 36 c) 18
d) 9/8 e) N.A. d) 20 e) 15

11.El cuadrado de “A” varía proporcional-ente al 4. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 horas en
cubo de “b”. Si “A” = 3 ; “B” = 4. Hallar “B” cuando podar los 600 m² de un jardín. ¿Cuánto
3 demorarán 8 jardineros en podar otro jardín de
A= 400m²?
3
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4
a) 3 horas b) 6 c) 5
d) 4/3 e) 5/3
d) 4 e) 2 1 2
12. Si "A" es directamente proporcional con B2 e
5. Si 4 gallinas ponen 8 huevos en 8 horas,
inversamente proporcional a C , cuando A = 4, entonces 6 gallinas ¿cuántos huevos pondrán en
B = 8 y C = 16. hallar "A" cuando B = 12 y C = 36. 12 horas?

a) 7 b) 8 c) 10 a) 18 b) 24 c) 12
d) 9 e) 6 d) 9 e) 15

13.Si "A" varía en razón directa a "B" e 6. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de
inversamente al cuadrado de "C", cuando A = un edificio ¿Cuántas horas demoraran 12
10, entonces, B = 4 y C = 14. Hallar "A" cuando pintores, en terminar de pintar el edificio?
B = 16 y C = 7.
a) 200 b) 180 c) 160 a) 18 b) 24 c) 21
d) 140 e) 156 d) 20 e) 27

14. Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar "A" cuando 7. Una guarnición de 1600 hombres tiene viveres
B = 2, si A = 6, entonces B = 4. para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada
hombre. Si se refuerzan con 400 hombres,
a) 48 b) 46 c) 50 ¿cuántos días durarán los víveres si cada
d) 52 e)4 hombre toma 2 raciones diarias?

15.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando a) 14 b) 12 c) 10
B = 4. hallar "B". Cuando A = 8 d) 18 e) 24

a) 1 b) 2 c) 8 8. 10 hombres, trabajando en la construcción de un
d) 4 e) 16 puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. Si retiran
8 hombres, ¿cuánto tiempo emplearán los
restantes para terminar la obra?
REGLA DE TRES SIMPLE Y
a) 15 2/3 b)18 2/3 c)26 2/3
COMPUESTO d) 24 1/3 e) 25 3/5

9. Dos hombres han cobrado 350 colones por un
trabajo realizado por los dos. El primero trabajó
durante 20 días a razón de 9 horas diarias y
recibió 150 colones. ¿Cuántos días, a razón de 6
1. Un grupo de 8 carpinteros demoran 6 días en horas diarias, trabajó el segundo?
hacer 24 mesas. 12 carpinteros ¿cuánto
demoran en hacer 42 mesas? a) 40 días b) 50 c) 36

15

d) 42 e) 39
19.Una guarnición de 350 hombres tiene víveres
10.3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho para 100 días a razón de 4 raciones diarias. Si se
80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos refuerzan con 150 hombres. ¿Cuánto debe ser
días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas las raciones diarias para que los víveres duren
diarias para hacer 60 metros de la misma obra? 40 días?
a) 4 b) 5 c) 6
a) 9 días b) 4 c) 8 d) 7 e) 8
d) 12 e)6
11. Si 3 monitos comen 3 plátanos en 3 minutos 20.Si 12 maquinas pueden producir 3500 lapiceros
luego ¿8 monitos se comerán 8 plátanos en en 21 horas ¿Cuántos lapiceros podrán producir
cuánto tiempo? en 18 horas 24 máquinas?
a) 3000 b) 6000 c) 4500
a) 8 b) 6 c) 3 d) 12000 e) 4800
d) 18 e) 20
21.60 obreros pueden cavar una zanja de 800m³ en
12.10 frascos de alcohol de 50 cm³ se evaporan en 50 días. ¿Cuántos días necesitan 100 obreros en
50 seg. luego 5 frascos de alcohol de 50cm³ ¿en cavar una zanja de 1200 m³ cuya dureza es tres
cuánto tiempo se evaporarán? veces la del terreno anterior?
a) 80 b) 135 c) 105
a) 20 seg. b) 10 c) 50 d) 120 e) 200
d) 25 e) 49
22.En 24 días 15 obreros han hecho ¼ de la obra
13.Un niño crece 10 cm. cada 10 años. luego 2 que les fue encomendado. ¿Cuántos días
niños crecerán 20 cm. ¿en cuántos años? empleará otra cuadrilla de 30 obreros
doblemente hábiles en terminar la obra?
a) 20 años b) 10 c) 15 a) 12 b) 18 c) 6
d) 12 e) no se sabe d) 15 e) 13

14.Si 10 obreros hacen 1 obra en 20 días, ¿qué 23.Un trabajo puede ser hecho por 8 hombres en 16
parte de la obra harán 15 obreros en 4 días? días trabajando 5 horas diarias cuando habían
hecho la mitad de la obra se retiraron la mitad de
a) 10/3 b) 1/5 c) 3/10 los hombres. ¿Cuántos días adicionales habrá
d) 5/8 e)3/5 que darles para que acaben el trabajo?
a) 20 b) 24 c) 18
15.Indicar que pareja de magnitudes son "D.P." d) 12 e) 8

a) Obreros - días 24.Los 2/5 de una obra pueden hacerlo "m" obreros
b) Rendimiento - días en "2m" días, si se contrata "2m" obreros mas
c) Difícil obra - obra ¿en cuántos días acabarán la obra?
d) Rendimiento - obreros a) 9/4m b)4/9 c)2/7
e) obra - obreros d) 1/4 e)2/7

16.Si 18 obreros hacen 3/4 de una obra en 12 días, 25.Si 2000 hombres hacen un edificio en 3 meses.
¿cuántos obreros más se necesitaran para que ¿Qué parte del edificio harán 500 hombres en 15
hagan la mitad de la obra en 6 días? días? (1 mes = 30 días)

a) 24 b) 6 c) 8 a) 1/4 b) 3/2 c) 2/3
d) 10 e) 15 d) 1/5 e)2/7

PRACTICANDO EN CASA
17.100 obreros hacen 1/7 de una obra en 15 días.
¿En cuántos días 20 obreros harán 4/7 de la
obra? 1. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14
a) 30 b) 38 c) 300 días. ¿Cuántos obreros hay que incrementar
d) 70 e) 100 para que la obra se termine en 8 días?
a) 15 b) 12 c) 10
18.12 jardineros demoran 16 horas en podar d) 8 e) 14
1200m² de jardín. ¿Cuántos jardineros más será
necesario contratar para que poden 3600m² y 2. 12 obreros pueden hacer un trabajo en 29 días.
empleen 8 horas? Después de 8 días de trabajo se retiran 5
a) 72 b) 60 c) 52 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se
d) 68 e) 70 entregará la obra?
a) 15 días b) 30 días c) 80 días

16

d) 5 días e) 20 dias
12.Nataly demora 6 horas en construir un cubo
3.Una guarnición de 2200 hombres, tiene compacto de 4 cm de arista, después de 54
provisiones para 62 días, al terminar el día 23 se horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12
retiran 250 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán cm de arista habrá construido?
durar las provisiones que quedan al resto de la
guarnición? a) 1/ 2 b) 1/ 3 c) 1/ 8
a) 40 días b) 44 días c) 80 días d) 2/ 3 e) 4/ 5
d) 50 días e) 55 dias
13.Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es
4.8 obreros pueden haber una obra en 20 días. el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres
Después de 5 días de trabajo se retiran 3 pueden terminar una tarea de Aritmética en 16
obreros. ¿Con cuántos días de atraso se días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán
entregará la obra? la misma tarea?
a) 10 b) 14 c) 9
d) 12 e) 20 a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 80
5. Un propietario tiene 649 corderos que puede
alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos 14.Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud
deben vender si quiere alimentar su rebaño por puede comer la hierba que está a su alcance en
15 días más dando la misma ración? 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la
a) 100 b) 200 c) 300 hierba que está a su alcance, si la longitud de la
d) 180 e) 120 cuerda fuera de 15m?.

6. Un caballo atado con una soga de 3 m de largo a) 10 b) 9 c) 8
demoran 5 días en comer el pasto que está a su d) 12 e) 15
alcance. Si la soga fuera de 6 m. ¿Cuántos días
tardará en comer todo el pasto a su alcance? 15.Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros
tardan 21 días. ¿Cuánto días se necesitarán para
7. En al construcción de un puente trabajaron 15 pavimentar 120m de la misma pista con 4
albañiles durante 12 días, e hicieron las 3/4 obreros menos?
partes de la obra; después se retiraron 7 de ellos.
En cuántos días concluyeron las restantes la a) 18 b) 20 c) 40
obra? d) 60 e) N.A
8. Una obra lo pueden hacer 28 hombres en cierto 16.Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias durante
tiempo . ¿Cuántos obreros se necesitarán 20 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días
aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo necesitarán 40 obreros trabajando 1 hora diaria
2/7 del anterior trabajando la mitad de horas menos para hacer un ciento de las mismas
diarias? sillas?
a) 10 b) 20 c) 18
d) 15 e) 23
9. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto
yendo a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el 17.Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas
mismo trayecto yendo a 60 km/h? cada día, pueden hacer una zanja de 200m de
largo, 3m de ancho y 2m de profundidad. ¿En
a) 10 b) 50 c) 56 cuántos días, de 8 horas, harían 100 hombres
d) 60 e) N.A una zanja de 400 metros de largo; 4m de ancho y
3 metros de profundidad?
10. A y B recorren cierta distancia, y los tiempos
que emplean están en la razón 15/21. La a) 100 b) 54 c) 58
velocidad de A es de 56 Km/h. ¿Cuál es la d) 61 e) 24
velocidad de B?
18.Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días.
a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/h ¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para
d) 40 km/h e) 80 km/h hacer 12 puertas iguales?
a) 5 b) 7 c) 6
11.Dos ruedas cuyos diámetros son 1,5m y 2,4 m d) 8 e) 10
están movidas por una correa. Cuando la menor
da 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones da 19.Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado
la mayor? S/.640. ¿Cuánto ganarán por 16 días, 15 obreros
con los mismos jornales?
a) 137,5 rev b) 140 rev c) 180 rev
d) 175 rev e) N.A a) 1600 b) 1800 c) 1520

17

d) 1810 e) 1740 26.Si tres metros de polystel cuesta S/. 120.
¿Cuánto se pagará por 5,5 metros del mismo
polystel?
20.20 obreros, en 14 días de 8 horas; han realizado
un trabajo de 120m de largo. ¿Cuántos días de 7 a) 200 b) 220 c) 185
horas emplearán 24 obreros para hacer 90m del d) 230 e) 195
mismo trabajo?
27.Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una
a) 11 b) 10 c) 80 obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para
d) 30 e) 18 hacer la misma obra en 15 días?

21.Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un a) 11 obreros b) 14 obreros c) 15 obreros
peón ha ganado S/.120. ¿Cuántas horas diarias d) 13 obreros e) 12 obreros
habrá trabajado en la misma obra si por 30 días
le han pagado S/.225? 28.Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto
yendo a 90 km/h. ¿Cuántos tardará en recorrer el
a) 10 b) 12 c) 14 mismo trayecto yendo a 60 km/h?
d) 16 e) 20
a) 10h b) 11h c) 12h
22.Si con 120 Kg de pasto se alimenta a 4 caballos d) 13h e) 14h
durante 5 días. ¿Cuántos kg de pasto se
necesitarán para alimentar a 9 caballos en tres
días? 29.Un albañil ha construido un muro en 16 días. Si
hubiera trabajado 4 horas menos habría
a) 16 kg b) 160 kg c) 162 kg empleado 8 días más para hacer el muro.
d) 140 kg e) N.a. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día?

23.Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar 72 a) 6h b) 12 h c) 10 h
páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para d) 8 h e) 16 h
digitar 90 páginas?
30.Un grupo de estudiantes tienen víveres para un
a) 6 horas b) 5 horas c) 1,6 horas viaje de 48 días. Si se retiran el 25% de los
d) 2 horas e) N.a. estudiantes. ¿para cuántos días más alcanzaron
los víveres?
24.Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de
obreros tardan 18 días para terminar una obra, a) 120 b) 24 c) 16
trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días d) 15 e) 64
terminarán la misma obra?
a) 30 b) 25 c) 33
d) 28 e) 27

25.Si 25 pollos cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto
costarán 14 pollos?

a) S/. 63 b) S/. 62 c) S/. 50
d) S/. 44 e) S/. 53

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