Este documento describe las razones, proporciones y sus propiedades. Define las razones aritméticas y geométricas, y explica las proporciones aritméticas y geométricas. También cubre conceptos como términos de la razón, cuarta proporcional, proporcionalidad directa e inversa, y reparto proporcional.

1. RAZONES Y
PROPORCIONES
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2. RAZÓN
Razón es una cantidad que resulta de comparar dos
cantidades homogéneas mediante una sustracción o una
división.
RAZÓN ARITMÉTICA
La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia
entre dichas cantidades
a  antecedent e

a–b = r b  con sec uente
r  razón aritmética

9 – 6 = 3 Razón aritmética = 3
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3. RAZÓN GEOMÉTRICA
La razón geométrica de dos cantidades es el
cociente entre dichas cantidades.
 A  antecedente 3
A  ------
 k  B  con sec uente 6
B k  razón geométrica o cons tan te de proporcionalidad

RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (RGE)
Son aquellas que teniendo términos diferentes su razón
geométrica es constante ( k )
(k = razón constante o constante de proporcionalidad )
a1 a 2 a 3 an
   k
b1 b2 b3 bn
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4. TÉRMINOS DE LA RAZÓN
Los términos de la razón Aritmética y Geométrica
son el antecedente y el consecuente
Razón Aritmética
13 − 10 = 3
Antecedente Consecuente
Razón Geométrica
Antecedente 16
=2
Consecuente
8
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5. PROPORCIÓN
a c
Proporción es la igualdad entre dos razones, 
b d . Se
lee a es a b como c es a d. A a y d se les llama
extremos y a b y c medios. Al tratarse de una igualdad
entre fracciones se verifica que a·d = c·b.
En una proporción la razón entre la suma de los
antecedentes y la suma de los consecuentes es igual
a cualquier razón de la proporción.
6 12 6  12 6 12
Ejemplo:  . Luego  
5 10 5  10 5 10
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6. PROPORCIÓN ARITMÉTICA (PA)
Una proporción aritméticas es la igualdad de dos
razones aritméticas.
Notación: a – b = c – d Donde: a, d: términos
extremos y b, c: términos medios
Además a y c : antecedentes, b y d: consecuentes.
Propiedad fundamental: En toda proporción
aritmética, la suma de sus extremos es igual a la
suma de sus términos medios.
a–b= c–d  a+d=b+c
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7. Clases:
PA discreta:
Todos sus términos son diferentes: 19 -15 = 17 -13
En esta clase de proporción cualquiera de sus
términos recibe el nombre de cuarta diferencial.
PA continua.
Sus términos medios son iguales: 7 – 5 = 5 – 3
Su término medio recibe el nombre de media
diferencial o media aritmética y su segundo
extremo es tercera diferencial.
Por ejemplo: Tres es la tercera diferencial de siete
y cinco (en orden), en el que cinco es la media
diferencial.
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8. Si en una proporción conocemos todos los términos
menos uno, al desconocido los llamamos cuarta
proporcional.
Ejemplo: Calcula el cuarto proporcional,
3 x
 6
5 10
Propiedades
Cuarta diferencial:
1) Si “x” es la 4ª diferencial de 7, 5 y 4 se escribe:
7–5=4–x
2) Tercera diferencial: Si “t” es 3ra diferencial de 15
y 12 se escribe: 15 - 12=12 - t
3. Media diferencial:
Si “m” es media diferencial de 16 y 12 se escribe:
16 - m = m – 12
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9. Una proporción es continua cuando sus
medios o sus extremos son iguales:
4 6
Ejemplo: 
6 9
Medio proporcional es el término igual de
una proporción continua. En el ejemplo
anterior el medio proporcional es 6.
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10. PROPORCION GEOMÉTRICA (PG)
Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones
geométricas
Notación:
a c
 k
b d
a; c : antecedent es; b; d : consecuent es

a; d : extremos; b; c : medios
Propiedad fundamental: En toda proporción geométrica el
producto de sus extremos es igual al producto de sus
términos medios.
a c
  ad  bc
b d
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11. Clases:
•PG discreta: Todos sus términos son diferentes 3 9

7 21
En este ejemplo 21 es cuarta proporcional de 3, 7 y 9 (en
ese orden).
2 4
•PG continua: Sus términos medios son iguales 
4 8
En este ejemplo, 4 es media geométrica o media
proporcional de 2 y 8 (en ese orden). Y el número 8 es
tercera proporcional de 2 y 4 (en ese orden)
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12. Propiedades:
Cuarta proporcional: Si “x” es la 4ª proporcional de
14, 7 y 8 se escribe:
14 8

7 x
Tercera proporcional: Si “t” es 3ra proporcional de
18 y 6 se escribe:
18 6

6 t
Media proporcional: Si “m” es media proporcional de
25 y 4 se escribe:
25 m

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13. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
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14. MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente
proporcionales si el cociente de las
cantidades correspondientes es
constante. Dicho valor constante se
llama constante de proporcionalidad
directa.
Ejemplo: Dos sondas dentales (sd)
valen 14 soles.
Nº sd 2 4 8 1 3 5
Precio(soles) 14 28 56 7 21 35
Constante de proporcionalidad directa = 7
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15. • Para resolver un problema de
proporcionalidad directa utilizamos la
regla de tres directa.
• Ejemplo: 6 espejos dentales valen
336 soles ¿Cuánto cuestan 10 espejos
dentales ?
Magnitud A Magnitud B
6 336
10 X
6 336
 x  560soles
10 x
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16. Dos magnitudes son inversamente
proporcionales si el producto de las
cantidades correspondientes es
constante. Dicho valor constante se
llama constante de proporcionalidad
inversa.
Ejemplo: 8 dentistas atienden 20
pacientes
Nº de dentistas 8 4 2 1 16 32
Nº de pacientes 20 40 80 160 10 5
Constante de proporcionalidad inversa = 160
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17. • Para resolver un problema de proporcionalidad
inversa utilizamos la regla de tres inversa, que
consiste en formar la proporción en la que la
razón de las cantidades de la magnitud A están
invertidas.
• Ejemplo: Si tengo 10 ampollas de anestesia
para 40 pacientes ¿Cuántas ampollas de
anestesia usaremos para 50 pacientes?
Magnitud A Magnitud B
10 40
X 50
x 40
 x  8 ampollas
10 50
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18. PROBLEMA 1
En una proporción geométrica discreta, la suma de los dos
primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos
términos es 25. Calcular el menor de los términos medios, si
la suma de los consecuentes es 27.
Solución
i) Sea la proporción geométrica discreta: ; donde
, donde “a” y “b” son los primeros términos y “c” y “d” son los
segundos términos de la proporción.
Según los datos del problema
ii) a + b = 20
iii) c + d = 25
iv) b + d = 27
v) Si …(Propiedad ii)
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19. vi) Reemplazando ii) y iii) en v): ,
de donde 20d – 25b = 0
vii) Resolviendo el sistema formado por las
ecuaciones de iv) y vi): se obtiene que : b = 12 y d =
15
viii) Reemplazando vii) en ii) y iii): a = 8 y c = 10
ix) Como los términos medios son b = 12 y c= 10, se
deduce que el menor de ellos es 10
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20. 29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 20

21. 29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 21

22. Observemos
algunos ejemplos de proporción directa
A mayor A mayor A mayor A mayor
Trabajo lujos construcción Velocidad cantidad de
vs vs vs ropa
vs
Dinero Mayor costo Mayor vs
Mayor nº de
vehículo trabajadores accidentes Mayor costo
(dinero)
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23. Observemos
algunos ejemplos de proporción inversa
A menor Nº animales A mayor A mayor A mayor
cantidad de lujos
tiempo de obra vs velocidad Temperatura
vs vs
vs alimento vs
Menor Menor cantidad
Mayor nº de (permanece Menor tiempo de personas que
cantidad hielo
trabajador constante) de traslado pueden acceder
a estos lujos
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24. Proporcionalidad directa
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25. PROPORCIONALIDAD INVERSA
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26. REPARTO
PROPORCIONAL
Consiste en repartir una cantidad en
varias partes que sean proporcionales a
otros varios números dados (índices del
reparto).
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27. El reparto puede ser:
Reparto Simple, el cual subdivide en: Directo, Inverso,
Compuesto
A) Reparto simple directo
Ejemplo:
Repartir 600 en 3 partes que sean proporcionales a 7, 4 y 9
Solución:
Sean las partes: A, B, y C; talque: ; además A, B y C son
directamente proporcionales a los números 7, 4 y 9 respectivamente, se tiene:
A B C
  K
7 4 9
Despejando cada parte: 𝐴 = 7𝑘; 𝐵 = 4𝑘: 𝐶 = 9𝑘
La suma de las tres partes es 600: 7k + 4k + 9k = 600, donde K= 30
Entonces las tres partes son:
𝑨 = 7(30) = 𝟐𝟏𝟎 ; B = 4(30) = 120 y C = 9(30) = 270
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28. B) Reparto simple inverso En este caso las partes son inversamente proporcionales
a los índices del reparto.
Ejemplo:
Repartir 780 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números 6, 9
y 12
Solución:
Sean las partes: A, B, y C; talque: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 780 ; además A, B y C son
inversamente proporcionales a los números 6, 9 y 12 respectivamente, se tiene:
6𝐴 = 9𝐵 = 12𝐶 = 𝐾
𝑘 𝑘 𝑘
Despejando cada parte: : 𝐴 = ; 𝐵 = 𝑦 𝐶 = → 𝐾 = 2160
6 9 12
Entonces las tres partes son:
2160 2160 2160
A = = 360 ; B = = 240 y C = = 180
6 9 12
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29. C) Reparto Compuesto, es aquel en el cual cada parte es proporcional a varios
números dados
Propiedad.- Si A es DP con B y también con C entonces A es DP con (B x C)
Ejemplo:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3, 5 y 8 e IP a los números
4, 6 y 9
Solución:
Sean las partes: A, B, y C; talque: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2225
𝐴.4 3
Si A es DP a 3 e IP a 4, entonces: = 𝐾  𝐴= 𝐾
3 4
𝐵.6 5
Si B es DP a 5 e IP a 6, entonces: = 𝐾  𝐵= 𝐾
5 6
𝐶.9 8
Si C es DP a 8 e IP a 9, entonces: = 𝐾  𝐶= 𝐾,
8 9
3 5 8
Como el total es 2225, entonces: A + B + C = 𝐾 + 𝐾 + 𝐾 = 2225 K= 900
4 6 9
Entonces las tres partes son:
3 5 8
𝐀 = (900) = 675 ; B = (900) = 750 y C = (900) = 800
4 6 9
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30. PROBLEMA 1
Se reparte 400 proporcionalmente a 10, 12 y a. Si
entre los dos últimos reciben 200 mas que el
primero, hallar “a”.
Solución
De modo que P1+P2 + P3 = 400
Del enunciado P2 + P3 - P1 =200
Entonces P1 =100; P2 + P3 = 300
En todo reparto proporcional se cumple
𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝2 + 𝑝3 100 300
= = = = ⇒ 𝑎 = 18
10 12 𝑎 12 + 𝑎 10 12 + 𝑎
Igualando y remplazando
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31. PROBLEMA 2
Dividir el número 1000 en 3 partes que sean directamente
proporcionales a los números 2,3, y 5
Solución: 2K
Sean las tres partes pedidas 3K
5K
2K + 3K +5K = 1000
10K = 1000
K = 100 2K = 2(100) = 200
Remplazamos el valor de K 3K = 3(100) = 300
5K = 5(100) = 500
Respuesta: 200, 300 y 500 son los números
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32. PROBLEMA 3
Dividir el número 858 en 3 partes que sean directamente
proporcionales a los números 3/4, 5/6, y 4/5
Solución: 3/4 K
Sean las tres partes pedidas 5/6 K
4/5 K
3/4 K + 5/6 K + 4/5 K = 858 3/4 (360) = 270
45K +50 K+48K /60 = 858
5/6 (360) = 300
143K/60 = 858
4/5 (360) = 288
K = 360
Respuesta: 270, 300 y 288 son los números
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33. PROBLEMA 4
Repartir el número 360 en 3 partes que sean inversamente
proporcionales a los números 3, 4 y 6
Solución: K/3
Sean las tres partes pedidas K/4
K/6
K/3 + K/4 + K/6 = 360 480/3 = 160
K = 480 480/4 = 120
480/6 = 80
Respuesta: 160, 120 y 80 son los números
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34. PROBLEMA 5
Repartir el número 735 en partes inversamente proporcionales
a 1/5, 3/5 y 3
Solución:
K/(1/5 )= 5K
Sean las partes pedidas K/(3/5)= 5K/3
K/(3) = K/3
5K + 5K/3 + K/3 = 735 5K = 5(105) = 525
K = 105 5K/3 = 5(105)/3 = 175
K/3 = 105/3 = 35
Respuesta: 525, 175y 35 son los números
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35. PROBLEMA 6
Alicia ha estado enferma y ha necesitado cuidados durante 5
meses. Ha decidido repartir 4000 soles que tenía ahorrados
entre las tres personas que la atendieron durante su
convalecencia de forma directamente proporcional al tiempo
que estuvieron con ella.
La primera persona la acompañó durante un mes y medio; la
segunda, durante dos meses y medio, y el resto del tiempo
estuvo con ella la tercera. ¿Cuánto le dará a cada una de ellas?
SOLUCION
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36. PROBLEMA 7
Cuatro socios forman un negocio aportando S/.2800 el primero,
S/. 2100 el segundo, S/.4000 el tercero y S/.1100 el ultimo. El
negocio fracasa y lo que pierden en conjunto los dos primeros
es S/. 64 menos que lo que pierden en conjunto los dos últimos.
.Cuanto pierde el primero?
Solución
Las perdidas son proporcionales a las aportaciones:
𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4
= = =
2800 2100 4000 1100 Por dato P3 + P4 – (P1+P2) =64
Multiplicando por 100 Remplazando el valor de P
𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 K = 32
= = =
28 21 40 11
P1 =28(32) = S/.896
Los valores P en función de K
Rpta: el primer socio pierde
𝑃1 = 28𝑘 𝑃2 = 21𝑘 S/.896
𝑃3 = 40𝑘 𝑃4 = 11𝑘
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37. PROBLEMA 8
Tres personas forman un negocio, aportando cada una un capital que
es el triple del aportado por el socio anterior. El primero permanece en
el negocio 6 meses, el segundo, 3 meses y el ultimo, 45 días. Si se
obtiene una utilidad de S/. 7600, ¿cuánto le toca al segundo?
Solución
Multiplicando por 2/3
Capitales Tiempos a los índices
𝑐 𝑥 6𝑚 → 6
7600 3𝑐 𝑥 3𝑚 → 9
4
9𝑐 𝑥 1,5𝑚 → 13,5 7600 6
9
Por propiedad se establece:
7600
𝑘= = 400
4+6+9
El segundo recibe 6(400) = 2400
Rpta: Al segundo le toca S/. 2400
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38. PROBLEMA 9
Doce amigos se reparten un premio y escogen un mes del
ano en curso realizando el reparto proporcionalmente al
numero de días que tiene el mes escogido. Si el ano fuera
bisiesto, uno de ellos recibiría 33,7 soles mas. .A cuanto
asciende el premio repartido?
Solución Si el año es bisiesto:
P 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜
31 (# días de enero) 29 𝑥
r 28 (# días de febrero) 366
e 31 (# días de marzo) Según los datos podemos
formular:
m
29 28
i
31 (# días de diciembre) 366 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜 - 365 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜 = 33,7
o
Si el año solo tiene 365 días:
El premio es 13 359 soles
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜
28 𝑥
365
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