5 raz. matem.

A s o c i a c i ó n E d u c a t i v a P A SC U A L SA C O O LIV E R O S
C A P Í T U L O
1 3
INTRODUCCIÓN
Entre los problemas que nos enfrentamos en la vida cotidiana siempre se desea obtener cómo se
puede hacer el menor gasto posible de dinero o cómo obtener las mayores ganancias en un proceso
comercial. En las empresas en general siempre es una preocupación el de liderar el mercado para lo
cual tratan de obtener los menores precios del mercado, pero también el de dar un producto de alta
calidad.
A m o r t ig u a d o r e s
C a ta liz a d o r
C a ja d e c a m b io s
B a t e r ía
D ife r e n c ia l
Á r b o l d e T r a n s m is ió n
P is t o n e s
L la n t a s
V o la n t e
V a r io s c o n s t r u c t o r e s in v e s t i g a n p r o t o t ip o s
b a s a d o s e n e l v a p o r.
U n o d e e llo s , N ic o lá s C u g n o t , a d a p t a u n a
m á q u i n a d e v a p o r a u n v e h í c u lo
a u t o m ó v il.
K a r l B e n z c o n s t r u y e e l
p r i m e r a u t o m ó v il c o n
m o t o r a g a s o lin a .
S e t r a t a d e u n t r ic ic lo d e
t r a c c ió n t r a s e r a y
c a m b io d e v e lo c i d a d e s
p o r c o r r e a .
F o r d in ic i a la fa b r ic a c ió n
d e l m o d e lo T , e l p r im e r
a u t o m ó v il r e a liz a d o e n
s e r ie c o n c o m p o n e n t e s
e s t a n d a r iz a d o s .
E l m e r c e d e s 3 0 0 S L e s e l p r im e r
a u t o e n s e r ie d o t a d o c o n in y e c c ió n .
M e d i a n t e e s t e
m e c a n i s m o , la
g a s o li n a e s
in t r o d u c id a a
p r e s ió n , lo q u e
d is m in u y e e l
c o n s u m o y a u m e n t a s u r e n d im ie n t o
S a a b c o m e r c ia li z a lo s p r im e r o s c a r r o s e n
s e r ie q u e in c o r p o r a e l t u r b o c o m p r e s o r.
É s t e m e jo r a e l r e n d im ie n t o d e l m o t o r.
C R O N O L O G Í A
1769190819541967
SIS T E M A H E LI C O I D A L

MotorTurboventilador
Depósito
deCombustibleCarroderadar
Cabina
demando
ClaseEjecutiva
BandadeAtaquemóvil
Fuselaje
Claseturistica
Cola
Salida
Alerón
Frenos
Aerodinámicos
E l c ie n t í fic o s u iz o D a n ie l B e r n o u lli d e s c u b r e q u e
e l a u m e n t o d e la v e lo c id a d d e u n líq u i d o o g a s
d is m in u y e s u p r e s ió n . E s t e p r i n c ip io s e a p lic a e n
e l d is e ñ o d e la s a la s y p e r m it e la e le v a c ió n d e l
a v ió n .
L o s h e r m a n o s f r a n c e s
M o n t g o l f i e r c o n s t r u y e n e l
p r i m e r g lo b o n o d i r i g ib le
c a p a z d e t r a n s p o r t a r
p e r s o n a s . E n 1 7 8 5 , a b o r d o d e
u n o d e s u s m o d e lo s , m u e r e , a l
in t e n t a r c r u z a r e l C a n a l d e la
M a n c h a , P ila t r e d e R o z ie r, la
p r i m e r a v í c t i m a d e u n
a c c id e n t e a é r e o .
E l fr a n c é s H e n r i G if fa r d in v e n t a u n g lo b o m á s
li g e r o q u e e l a ir e , c o n u n m o t o r d e v a p o r y u n a
h é lic e p a r a p o d e r d ir ig ir lo ; p e r o n o s e lle g a a
c o m p r o b a r s u fu n c io n a m ie n t o e n la p r á c t ic a .
E l in g e n ie r o in g lé s G e o r g e C a y le y c o n s t r u y e e l
p r i m e r p la n e a d o r – u n a e r o p la n o s in m o t o r – q u e
v o l ó c o n é x i t o . E s e l f u n d a d o r d e l a
a e r o d i n á m i c a , c i e n c i a q u e e s t u d i a l a s
c o n d ic io n e s e n la s q u e u n a p a r t o s e s o s t ie n e e n
e l a ir e .
E l a le m á n F e r d in a n d v o n
Z e p p e lin r e a li z a e l p r im e r
v u e lo d ir i g id o d e la h is t o r ia
e n u n a p a r a t o m e n o s
p e s a d o q u e e l a ir e : e l g lo b o
d ir ig ib le .
E l e s t a d o u n id e n s e O r v ille
W r i g h t r e a li z a e l p r i m e r
v u e lo d e la h i s t o r ia e n u n
a p a r a t o m á s p e s a d o q u e e l
a i r e . E l a e r o p l a n o f u e
c o n s t r u id o p o r O r v ille y s u
h e r m a n o W ilb u r. V o ló 2 4
m e t r o s , c a s i a r a s d e l s u e lo ,
d u r a n t e 1 2 s e g u n d o s .
L o s p ilo t o s p e r u a n o s J u a n B ie lo v u c ic y C a r lo s
T e n a u d r e a li z a n lo s p r im e r o s v u e lo s n a c io n a le s
e n a e r o p la n o . E l 4 d e m a y o s e in a u g u r a la
E s c u e la N a c io n a l d e A v ia c ió n .
Por lo expuesto es muy importante saber como calcular los máximos y mínimos de un problema y el
de aplicar en los procesos industriales, comerciales,...

Entre los valores de una función puede haber uno que sea más grande (máximo) o más pequeño
(mínimo) que los demás. En muchísimos problemas prácticos importa saber a que valor de la
variable corresponde tal valor de la función.
Supongamos, por ejemplo que se desea hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que
puede inscribirse en un círculo de 5cm. de radio.
x
5
5
A
B
D
C
Sea: AD x=
Entonces:
2
AB 100 – x=
Por lo tanto la región rectangular tiene como área:
2
A x 100 – x=
ANÁLISIS DEL PRODUCTO :
2
A x 100 – x=
1. Por la naturaleza del problema es evidente que X y A deben ser positivos.
2. Los valores de x varían de cero a 10.
3. Construyamos ahora una tabla de valores y tracemos la gráfica.
0 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
x 1 0 0 x 2
1 0
9 , 9
9 , 8
9 , 5
9 , 1
8 , 6
8 , 0
7 , 1
6 , 0
4 , 4
A
0
9 , 9
1 9 , 6
2 8 , 6
3 6 , 6
4 3 , 0
4 8 , 0
4 9 , 7
4 8
3 9 , 6
A
5 0
7 8 x
4. Observando la gráfica concluimos que el área será máxima para un valor de x entre 7 y 8.
5. Pero obsérvese que el área será máxima para
2
x 100 – x=
Entonces:
2
x 5 2 A 5 2 5 2 50cm= ⇒ = ⋅ =
Luego el rectángulo de área máxima inscrito en el círculo de radio 5cm. es un cuadrado.
De área igual a 50cm2.

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
El trabajo de Gregorius Reish (muerto en 1523), titulado "Margarita
Phylosophica", que puede considerarse como la primera enciclopedia
“moderna”, resulta notable por la información sobre matemática y
astronomía que contienen sus doce libros. Esta obra tuvo tanto éxito,
que alcanzó en un siglo 16 ediciones, la primera en Friburgo en 1503 y la
segunda en Estrasburgo en 1504. Precisamente en el grabado que se
reproduce –correspondiente a la edición de 1504– se contempla una
alegoría de la polémica entre un abaquista y un algoritmista (por cierto,
poco acertadamente representados por Pitágoras y Boecio).
El matemático inglés Alan Turing (1912 - 1954) ha sido uno de los
pioneros en el cargo de la inteligencia artificial. Alguien ha llegado a
decir que se le podía llamar el “Einstein de las máquinas de proceso de
datos” (aunque quizá dicho título lo mereciera también un Babbage o
un Von Neuman) En 1936, publicó un artículo cuyo título
angloalemán, On Computable Numbers, with an Application to the
Entscheidungsproblems (“Sobre los números computables, con una
aplicación a problema de la decisión”), da ya una idea de su dificultad,
en él se encuentran los fundamentos teóricos sobre las máquinas
lógicas, que ahora llamamos «máquinas de Turing». Trabajó en los
proyectos ingleses de ordenadores.
Murió joven y como dicen algunos biográficos en un “accidente con
productos químicos” (¿Suicidio?). Su madre Sara Turing escribió su
biografía en 1959.
CERTEZAS
Tener certeza, es estar seguro de algo y para que eso suceda hay considerar las situaciones más crítica o
ponernos en el peor de los casos.
Ejemplo: Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 negras, 12 rojas y 15 amarillas.
¿Cuántas esferas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido 5
rojas?
Para tener la seguridad obtener al azar 5 esferas rojas, se deben extraer todas las esferas blancas,
negras y amarillas mas 5 rojas.
Respuesta: 6 + 8 + 15 + 5 = 34

1. En una urna hay 10 bolas rojas, 12 azules y 15
verdes, ¿cuál es el mínimo número de bolas
que se deben sacar para tener la seguridad de
haber extraído 8 bolas de uno de los colores?
Rpta.: ............................................................
2. ¿Cuál es el mínimo valor de E = x2 + 2x + 7?
Rpta.: ............................................................
3. En una caja de bombones hay hasta 3
sabores de ellos, ¿cuánto debo tomar como
mínimo para tener la certeza de que tengo 4
bombones del mismo sabor?
Rpta.: ............................................................
4. Trece naranjas pesan entre 3 y 4,8 kg, ¿cuál
es el máximo número de neranjas que puede
haber en 12 kg?
Rpta.: ............................................................
5. Cuatro hombres y 2 muchachos tienen que
cruzar un río en una canoa, en cada viaje
puede ir uno de los hombres o los dos
muchachos, pero no un hombre y un
muchacho a la vez, ¿cuál es el número de
veces que la canoa tiene que cruzar el río, en
cualquier sentido para que se pase a todos?
Rpta.: ............................................................
6. Se tienen 5 trozos de cadena con 4 eslabones
cada uno. Se desea formar una cadena
continua de forma circular con esos trozos,
¿cuál es el menor número de eslabones que
hay que abrir y cerrar?
Rpta.: ............................................................
7. Cuatro constructores: A, B, C y D presentan
sus presupuestos para la construcción de 4
obras W, X, Y y Z; cuyos costos de muestran
en la tabla dada. Si cada constructor sólo
puede hacer una obra, ¿cuál es el
presupuesto mínimo para hacer las 4 obras?
W X Y Z
A 2 3 2 4
B 2 2 3 5
C 3 1 2 3
D 5 1 3 2
Rpta.: ............................................................
8. El mayor número entero M que satisface la
desigualdad 2x2 – 4x + 1 > 2M; para todo valor
real de x es:
Rpta.: ............................................................
9. En una ánfora hay 80 bolos numerados del 1 al
80, ¿cuántos bolos como mínimo deben
extraerse para tener la certeza de obtener 3 bolos
comprendidos entre 24 y 37?
Rpta.: ............................................................
10.Una señora tiene en una caja oscura 3 pares
diferentes de zapatos de colores negros, 4
blancos, 2 azules y 5 rojos. Diga usted, ¿cuántos
zapatos se deben extraer de uno en uno y sin
reposición a fin de tener la certza de obtener un
par útil?
Rpta.: ............................................................
11. Halle la longitud del camino más corto en
centímetros para que el escarabajo llegue de A a
B.
3 0 c m
A
B
2 0 c m
2 0 c m
Rpta.: ............................................................
12.La edad promedio de 4 personas es 50 años.
Ninguno es mayor de 65 años, entonces:
I. La edad mínima que una persona puede tener
es de 5 años.
II. El promedio de la edad de 2 personas no
puede ser 65 años.
Rpta.: ............................................................

13.Si p es la razón de personas enfermas de cólera
en una ciudad y si q es la razón de los que no
están enfermos, ¿cuál es el máximo valor que
puede tomar la expresión pq?
Rpta.: ............................................................
14.El ingreso mensual de una familia de 4
miembros se encuentra entre S/.15 000 y S/.27
000. La suma del ingreso mensual de 2
miembros de la familia es fijo y es igual a S/.12
000. Una de las siguientes afirmaciones es
verdadera.
I. Un miembro de la familia no puede ganar
más de S/.1 000.
II. Un miembro de la familia no puede ganar
más de S/.14 000.
1. La edad promedio de 4 hombres es 65 años.
Ninguno de ellos es mayor a 70 años, ¿cuál es la
edad mínima que cualquiera de los hombres puede
tener?
A) 67 años B) 65 años C) 54 años
D) 50 años E) 45 años
2. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20
naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si comprara
solo naranjas, ¿cuál es el máximo número que
podría comprar?
A) 30 B) 35 C) 25
D) 40 E) 45
3. ¿Cuál es el menor número entero que al dividirlo
entre 5 deja un residuo de 1, al dividirlo entre 7
deja un residuo de 6, pero al dividirlo entre 3 no
deja residuo?
A) 146 B) 76 C) 41
D) 111 E) 72
4. Si p representa un número entre 3 y 6; y q
representa un número entre 15 y 60; entonces q/p
representa un número entre
A)
1
2 y 20
2 B) 5 y 20 C)
1
2 y 10
2
D) 5 y 10 E) 3 y 60
5. Sumar el máximo y el mínimo valor entero que
puede tomar x en 12 4x 8 20.− ≤ + <
A) 4 B) 2 C) –1
D) –3 E) 1
III. El ingreso medio mensual de la
familia es S/.6 000.
IV. La diferencia mensual de los
ingresos variables de la familia no es mayor
de S/.12 000.
V. La suma de los ingresos de los 3 miembros
de la familia no puede ser más de S/.12 000.
Rpta.: ............................................................
15.Cecilia le da a su hija Juana como propina S/.5
cada viernes, S/.10 cada sábado y S/.15 cada
domingo. ¿Cuál es la máxima cantidad que
Juana recibirá durante un mes de 30 días?
Rpta.: ............................................................
6. En una urna hay 6 bolas rojas y 6 azules, ¿cuál es el
mínimo número de bolas que deben sacar para tener la
certeza de haber extraido 2 de diferente color?
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 13
7. Un muchacho tiene en un bolsillo 5 chapitas premiadas
de la gaseosa A y 6 chapitas premiadas de la gaseosa B,
¿cuántas chapitas tendrá que sacar de una en una para
tener con certeza un par de la misma marca?
A) 6 B) 4 C) 2
D) 3 E) 1
8. ¿Cómo colocarías tres nueves para obtener su máximo
valor?
A)
9
99 B)
( )
99
9 C)
99
9
D) 999 E) 999
9. ¿Cuál de las raíces es menor?
3 4
5, 11 o 36
A) 5 B)
4
36 C)
3
11
D) son iguales E) N.A.
10. Pepe va a una ciudad en busca de un amigo. En el
camino pierde la dirección, sin embargo, recuerda que
en esa ciudad los números telefónicos son de 3 cifras,
que el número de su amigo empieza con 4, que es impar
y que además la suma de sus cifras es 12. ¿Cuántas
llamadas como mínimo tendrá que hacer para dar con el
teléfono de su amigo?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 12

C A P Í T U L O
1 4
OBJETIVOS
• Nos interesa estudiar los símbolos convencionales :
n ! o : Factorial de «n»
n n
k kC y ( ) : Combinaciones de «n» en «k» y el coeficiente binomial «n» de «k».
De la teoría coordinatoria elemental y sus diversas propiedades, en el proceso de efectuar operaciones de
ordenación, permutación o combinación que sea posible formar con los elementos de algún conjunto.
• Resaltar la importancia de estos operadores matemáticos para la obtención de la potencia de un binomio o de un
polinomio elevado a un exponente natural.
BLAISE PASCAL
Clermont - Ferrand (Auvernia) 19 de Julio de 1623 - París 1662.
Matemático, físico, filósofo y escritor francés.
Pascal fue educado con la mayor dedicación por su padre que era abogado y presidente del tribunal de
apelación.
Como se le consideró poco inteligente para abordar el estudio de las matemáticas, fue dedicado al
estudio de las lenguas. A los doce años se despertó su curiosidad matemática y cuatro años después
escribió y publicó un ensayo original sobre secciones cónicas.
Disfrutó en París de la compañía de Robernal, Mersenne y otros matemáticos de renombre, cuyas
reuniones semanales se convirtieron, finalmente, en la Academia Francesa de Ciencias.
A los 18 años de edad, se entretenía haciendo su primera máquina de calcular, y seis años más tarde
publicó Nuevos experimentos sobre el vacío. Fue superdotado tanto en las ciencias prácticas y
experimentales como en la geometría pura.
De un debate con Fermat surgió la noción de probabilidad matemática y con su perspicacia
característica halló el mecanismo para estudiarla.
Después de salir ileso de un accidente llevó una vida de abnegación y caridad. Murió a los treinta y
nueve años de edad.
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
SÍNTESIS TEÓRICA
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Definición .-
El factorial de un número natural «n», es el producto que resulta de multiplicar todos los números
naturales consecutivos desde el 1, hasta el número «n» inclusive.
Simbología : n! , n
, n
Lectura : Factorial del número «n»
Axiomáticamente, n N∀ ∈ , se define:



 =∨=
=
3 . . .• • ;n n 2≥•2•1
1n0n;1
!n

Ejemplos :
6 ! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720
4 ! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24
x 5+
= 1 • 2 • 3 .............. (x+3) (x+4) (x+5)
2p 1−
= 1 • 2 • 3 .............. (2p-3) (2p-2) (2p-1)
(a2) ! = 1 • 2 • 3 .............. (a2-2) (a2-1) (a2)
PROPIEDADES :
1º)Por definición :
n 1
n 1• 2• 3• • (n 1)• n
−
= …… −
Ordenando :
2n;n - 1nn ³=
Ejemplos : • 100 100 99=
• (x+1)! = (x+1) x!
2º)
)d e fin ic ió nP o r(1n
)c o n v e n c ió nP o r(0n1nS i
=
∨
=→=
Ejemplo :
• Calcular la suma de los valores que puede adquirir la
incógnita «x», en la ecuación :
(2x2 - x)! = 1
2x2 - x = 0 v 2x2 - x = 1
x (2x-1) = 0 v 2x2 - x - 1 = 0
x (2x-1) = 0 v (2x+1) (x-1) = 0
x1=0 v x2=1/2 v x3=-1/2 v x4=1
Nos piden : x1 + x2 + x3 + x4 = 1
3º) a,b N∀ ∈ , tal que ab ≠ 0, se cumple :
babaS i =→=
Ejemplo : Resolver la ecuación :
m(2m 1) 720+ =
Como : 6 1• 2• 3• 4• 5• 6 720= =
Resulta :
2
2m m 6+ =
Por la propiedad : 2m2 + m = 6
2m2 + m – 6 = 0
Factorizando : (2m – 3) (m+2) = 0
Entonces : m = 3/2v m = –2
4º) Descomposición factorial general
Por definición :
n k
n n(n 1)(n 2) (n k 1)(n k) 3• 2• 1
−
= − − … − + − …
n = n ( n – 1 ) ( n ) K ( n ) n– 2 – k + 1 – k ; n > K
Ejemplos :
• 100 100• 99• 98 55 54= ……
• 78 78• 77• 76 24 23= ……
• x 30 (x 30)(x 29)(x 28) (x 1) x+ = + + + …… +
• 3n 2 (3n 2)(3n 3)(3n 4) (3n 11) 3n 12− = − − − …… − −
•
2 2 2 2 2 2
m (m )(m 1)(m 2) (m n) m n 1= − − …… − − −
Ejemplo : Dar el valor de la expresión :
12 10 11
E
9 8 7
= + +
12• 11• 10 9 10• 9 8 11• 10• 9• 8 7
E
9 8 7
= + +
E = 1320 + 90 + 7920 = 9330
PROPIEDADES AUXILIARES :
a) n N, n 1∀ ∈ ≥
se cumple :
n + n + 1 = ( n + 2 ) n
Ejemplos :
• 7 8 9 7+ =
• 111 112 113 111+ =
• (x-1)! + x! = (x+1) • (x-1)!
b) n N, n 1∀ ∈ ≥
se cumple :
n + n + 1 + n + 2 = ( n + 2 ) n2
Ejemplos :
•
2
7 8 9 9 7 81 7+ + = =
•
2
54 55 56 56 54+ + =
• (m-1)! + m! + (m+1)! = (m+1)2 (m-1)!
c) Descomposición racional de una fracción
1n;
1n
1
n
1
1n
n
≥
+
−=
+
Ejemplo : Calcular la suma de la serie :
1 2 3 4 100
S
2 3 4 5 101
= + + + +…+
Descomponiendo cada una de las fracciones:
1 1 1 1 1 1 1 1
S
2 2 2 3 3 4 100 101
= − + − + − + …+ −
resulta :
1
S 1
101
= −

II.SEMIFACTORIAL, COFACTORIAL O
CUASIFACTORIAL DE UN NÚMERO
NATURAL
Simbología : n
, n!!
Lectura : «Semifactorial del número n»
Axiomáticamente, n N*∀ ∈ , se define :




=
IM P A Re sns i;n7•5•3•1
P A Re sns i;n8•6•4•2
!!n
K
K
Ejemplos :
- Para números pares, se tienen :
6!! = 2 • 4 • 6 = 48
10!! = 2 • 4 • 6 • 8 • 10 = 3840
(2m)!! = 2 • 4 • 6 • 8 ...... (2m-4)(2m-2)(2m)
(8p+12)!!=2•4•6•8......(8p+8)(8p+10)(8p+12)
- Para números impares, se muestran :
5!! = 1 • 3 • 5 = 15
9!! = 1 • 3 • 5 • 7 • 9 = 945
(2n+1)!! = 1 • 3 • 5 • 7 ...... (2n-3)(2n-1)(2n+1)
(6x-17)!! = 1•3•5•7...... (6x-21)(6x-19)(6x-17)
También debemos observar que :
Nn;!!n!)!n( ∈≠
FÓRMULAS GENERALES DEL
SEMIFACTORIAL:
a) Si «n» es un número par
n!! = 2 • 4 • 6 • 8 ...... n
n
n!! (2• 1)(2• 2)(2• 3)(2• 4) 2•
2
 
= … 
 
n
veces
2
n
n!! 2• 2• 2 2 1• 2• 3• •
2
 
 
 
 
= … … 
 

Por lo tanto :
2
n
2!!n
2
n
=
Ejemplos :
•
50
100!! 2 50=
•
m
(2m)!! 2 m=
b) Si «n» es un número IMPAR
n!! = 1 • 3 • 5 • 7 ........ n
Multiplicando y dividiendo por [2•4•6 .... (n-1)]
1• 2• 3• 4 • 5• 6 (n 1)(n)
n!!
2• 4 • 6 (n 1)
… −
=
… −
n
n!!
n 1
(2• 1)(2• 2)(2• 3) 2
2
=
 −  
…   
  
n 1
veces
2
n
n!!
n 1
2• 2• 2 2 1• 2• 3
2− 
 
 
=
 −  
… …  
  

Por lo tanto :
2
1n
2
n
!!n
2
1n
=
Ejemplos :
•
127
255
255!!
2 127
=
•
m 1
2m 1
(2m 1)!!
2 m 1
−
−
− =
−

1. Reduzca
( )
( )
( )
( )
a! 1 a 1 !
a ! a a !
a . a 1 !
R
a ! . a 1 !
+ +
−
=
−
Rpta.: ............................................................
2. Reduzca
( )
( )
2a
2 4 6 8 ... 2a 2a
M
1 3 5 7 ... 2a 1
2
× × × × × 
= × 
× × × × × − 
Rpta.: ............................................................
3. Calcule el valor de x:
( ) ( )
2423!!x!! x!!
119! . 5! 5!! =  
Rpta.: ............................................................
4. Calcule el valor de "n+k" en la siguiente expresión:
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 k 1 n
a 2a 3a ... ka 6 .a
+
=
Rpta.: ............................................................
5. Halle el valor de "n" en
2n 1
128
n 1 2 3 4 5 ... n factores
 
= × × × × × 
Rpta.: ............................................................
6. Indique el valor de "k"; siendo:
( )( ) 1k 1 ! k ! 1 k !
k k 8 1
-+ +
=
Rpta.: ............................................................
7. Resuelva la siguiente ecuación:
( )
( )
x! x 1 ! 24x 24
x! x 1 ! x 2
+ +
=
+ + +
dé el valor de "x".
Rpta.: ............................................................
8. Determine el valor de la siguiente expresión:
(1!1 + 2!2 + 3!3 + ... + 20!20 + 1): 18!
Rpta.: ............................................................
9. Halle el valor de E
( )
k 5
k 4
k 1
k 3
2 k 1
k 1
k 1
2
E
k
k
=
=
=
=
=
=
+
 
= −  
 
∏
∏
∏
Rpta.: ............................................................
10.Si
n
i 1
2i A
=
=∏
, halle el equivalente de
n
i 3
i ?
=
=∏
Rpta.: ............................................................
11. Sabiendo que
n
i 1
3 9
2i 16=
=∏
halle el valor de "n".
Rpta.: ............................................................
12. Halle el valor de
( )
n 120
i 1
cos iº
=
=
∏
Rpta.: ............................................................
13. Si
5
a 2,= halle el valor de:
( )
( )( )
n 8
i i 1
i 1
n 4
i i 1 i 2
i 1
a
E
a
=
+
=
=
+ +
=
=
∏
∏
Rpta.: ............................................................
14. Si
( )m 1m
2m
aa ,
3 −
=
donde a2 = 4,
calcule
n 4
i
i 1 i
a 1
a
=
=
+
∏
Rpta.: ............................................................
15. Calcule el valor de
k 8
k 1
1
1
k
=
=
 
− 
 
∏
Rpta.: ............................................................

1. Simplifique
( ) ( ) ( )
( ) ( )
8! 1 9! 8!
8!9 2
8! 7! 9!
P
9! 7! 8!
+
× ×
=
 × × 
A) 1 B) 8 C) 8!
D) 9 E) 9!
2. Reduzca la siguiente expresión
R 2 2 4 2 6 3 8 4 ... 40 20= + + + + +
A)
20 20
B) 40 22
C) 42 20
D) 300 20
E) 21 21
3. Halle "n" en
( )
n! 6 1
n! n! 1 20
+
=
+
A) 2 B) 4 C) 3
D) 5 E) 6
4. Calcule el valor de "m" en
( ) ( )[ ] ( )m 11! 5! ! 10! 24! 10! 121! 11! 4! !− = × −
A) 10 B) 11 C) 120
D) 24 E) 4
5. Simplifique
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
7 8 6 5 5
25 1 7 7 7
6 7 6
S
6 . 7 . 7 . 3
−
−+
× ×
=
A) 7 B) 1 C) 6
D) E) N.A.
6. Halle el equivalente de:
n
k 3
1
k 1=
 
 
− 
∏
A) (n – 1)! B) n! C)
1
n!
D) E)
7. Halle el equivalente de:
A) n! – n B) (n – 3)! C)
D) ( )
1
n 1 !− E) ( )
1
n 2 !−
8. Si
n
n p
i 1
4 2
=
=∏
, calcule el valor de
n
n
i 1
16 ?
=
=∏
:
A) 2p B) 2–2p C) 4p
D) 8p E) N.A.
9. Halle la expresión equivalente a:
( ) ( )
n n
i i 1 i i 1
i 1 i 2
X : X
+ −
= =
∏ ∏
A) xn(n – 2) B) xn(n + 1) C) xn(n – 1)
D) xn(n + 3) E) N.A.
10.Sabiendo que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
i 1
F i F 1 F 2 F 3 .... F N
=
=∏    
calcule el valor de
n 3 n 3 n 3
i 1 i 1 i 1
E i 2i 3i
= = =
= = =
= ∏ ∏ ∏ 
A) (4!) B) (3!) C) (6!)
D) (36!) E) N.A.

C A P Í T U L O
1 5
I. PRINCIPIO FUNDAMENTAL
DEL ANÁLISIS COMBINATORIO
Suponga que una persona tiene 2 formas de ir
de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez
llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra
ciudad C, ¿De cuántas maneras podrá realizar
el viaje de A a C pasando por B?
A B C
e n a v ió n
e n c a r r o
e n tr a s a tlá n tic oe n b ic ic le ta
a p ie
Si empezó a pie, podrá tomar luego avión,
carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta,
también podrá tomar avión, carro o
transatlántico.
La persona tuvo 6 formas diferentes de
realizar el viaje que son: (iniciales)
(2 × 3 6)
pa,pc,pt,ba,bc,bt
=

Se puede representar en un diagrama de
árbol:
A B C V ia je to ta l
A p ie
A v ió n
C a r r o
T r a s a tlá n t ic o
A p ie - A v ió n
A p ie - C a r r o
A p ie - T r a s
B ic i - A v ió n
B ic i - C a r r o
B ic i - T r a s
E n b ic ic le ta
T r a s a tlá n tic o
A v ió n
C a r r o
Por lo que el principio fundamental del
análisis combinatorio, puede expresarse así:
Si una primera decisión, operación o acción
puede efectuarse de a formas diferentes, una
segunda acción puede efectuarse de b formas
diferentes, una tercera acción puede
efectuarse de c formas diferentes y así
sucesivamente hasta la enésima acción que
puede efectuarse de z formas diferentes,
entonces el número total de formas diferentes
en que puede efectuarse estas n acciones es
igual a:
a × b × c × ... × z
Este principio también se llama principio de
conteo o principio multiplicativo.
EJEMPLO 1:
¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un
joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y
2 pares de calzado?
Resolución
3 × 4 × 2 = 24 maneras diferentes
EJEMPLO 2:
En una ciudad los números de teléfono constan de 5
dígitos, cada uno de los cuales se llama con alguno
de los 10 dígitos (0 al 9). ¿Cuántos números
diferentes pueden formularse?
Resolución
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 números
EJEMPLO 3
La agencia de Publicidad PIPSA, ha obtenido la
exclusividad respecto a una línea de polvos para
preparar postres. A estos efectos la agencia ha
decidido organizar un concurso nacional destinado
a adivinar el nombre futuro de esa línea de
productos.
Las condiciones son:
a. Los nombres que se propongan deben ser de 4
letras.
b. Ninguna letra debe repetirse.
c. La primera y tercera letra deben ser
consonantes.
d. La segunda y cuarta letra deben ser vocales.
e. Si una persona propone 2 veces el mismo
nombre queda descalificada.
¿Cuántos nombres debe proponer una persona para
estar seguro que participa en el sorteo público?
(Considerar 28 letras del alfabeto)
Resolución
23 × 5 × 22 × 4 = 10 120 nombres diferentes
¿Por qué esos números?
Porque hay 28 letras del alfabeto, 23 consonantes y
5 vocales, pero se disminuyó de 23 a 22 en la
primera y tercera cifra porque una de las
condiciones es que las letras no se repitan. Así como
5 y 4 en la segunda y cuarta cifras, que son las
vocales.

II. PERMUTACIONES
Una permutación es un conjunto ordenado de n
elementos.
Notación: Pn
Permutación de 5 elementos
P5 = 5!
Por lo que:
Pn n!=
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
EJEMPLO 1:
Para el conjunto {a, b, c} existen las siguientes
permutaciones:
Resolución
abc, acb, bca, bac, cab, cba = 6
P3 = 3! = 6
EJEMPLO 2:
En una asamblea de accionistas, hay 6 personas
que han solicitado hacer uso de la palabra ¿En
cuántos órdenes diferentes pueden hablar, si es
que no se ha establecido un orden de
prioridades?
Resolución: P6 = 6! = 720
EJEMPLO 3:
En un proceso de manufactura hay seis
operaciones distintas, que se indican con A, B,
C, D, E y F. En general no existe una secuencia
fija para las operaciones, con la salvedad de que
A debe efectuarse al principio y F al final.
¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir?
Resolución
A BCDE F
P4 4! 24 formas diferente
↓
= =

III.CUANDO SE TOMA PARTE DE LOS
ELEMENTOS DEL CONJUNTO SE TIENE
UNA VARIACIÓN DE “n” ELEMENTOS
TOMADOS EN “r” EN “r”. (CON n > r):
n
r
n!
(n – r)!
V =
EJEMPLO 1:
Sin n = 5 y r = 3
5
3
5! 5! 5x4x3x2!
60
(5 – 3)! 2! 2!
V = = = =
EJEMPLO 2:
Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas, si
todos los candidatos son igualmente eficientes,
¿De cuantas maneras se puede efectuar la
asignación?
Resolución
7
3
7! 7! 7 6 × 5 × 4 !
210
(7 – 3)! 4 ! 4 !
V
×
= = = =
IV. COMBINACIONES
Una combinación de n elementos tomados de “r”
en “r” es un subconjunto no ordenado de “r”
elementos.
(Con: n > r).
Dos combinaciones formadas por r elementos son
distintas, si difieren al menos en un elemento.
EJEMPLO 1:
Sea el conjunto {a, b, c} de cuántas maneras
podemos seleccionar:
A) Un elemento
B) Dos elementos
C) Tres elementos
Resolución
A) Existen tres formas de seleccionar un elemento: a;
b; c.
B) Existen 3 formas de seleccionar dos elementos: ab,
ac, bc
C) Existen 1 forma de seleccionar 3 elementos: abc.
Notación:
n
r
n
;
rC
 
 
 
Para determinar el número de combinaciones de
“n” elementos tomando de “r” en “r”, se tiene:
n
r
n!
r!(n r)!
C =
−
EJEMPLO 2:
Si: n = 10r = 7 ; r = 7
10
7
10! 10! 10× 9× 8× 7! 720
120
7! (10 – 7)! 7!3! 7!3! 6C = = = = =
EJEMPLO 3:
El congreso anglo mexicano de administración
pública, debe elegir el futuro comité ejecutivo que
regirá a esa institución durante el próximo año.
La comisión directiva se forma con 6
integrantes y este año han sido propuestos 7
representantes mexi

canos y 4 ingleses para ser electos. Se pide
determinar de cuántas maneras se puede
integrar la comisión, si en dicha comisión debe
haber 4 mexicanos y 2 ingleses.
Resolución
Los mexicanos se pueden escoger de:
7
4
7!
35
4!3!C = =
Los ingleses se pueden escoger de:
4
2
4 !
6
2! 2!C = =
Conjuntamente
7 4
4 2
x (35) · (6) 210C C = =
EJEMPLO 4:
En los laboratorios “ELKO” hay 3 plazas
vacantes; y de un total de 33 solicitudes de
empleo sólo 14 se han considerado aceptables,
en bases a las entrevistas practicadas por el
departamento de personal.
¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3
plazas si todos los empleos son de la misma
categoría?:
Resolución
14
3
364C =
V. PERMUTACIONES CIRCULARES
Una permutación circular de “n” elementos es
el número total de ordenamientos que se
pueden realizar con ellos alrededor de una
circunferencia.
OJO:
(El orden de los elementos se toma con
respecto a uno de ellos)
Notación: PCn
Para determinar el número de permutaciones
circulares de “n” elementos se tiene:
nPC (n – 1)!=
EJEMPLO
5 amigos se sientan alrededor de una mesa
circular. ¿De cuántas maneras diferentes podrán
ubicarse?:
Resolución:
PC5 = (5-1)! = 4! = 24.
VI. PERMUTACIONES
CON REPETICIÓN
Dados m elementos de una sola clase, n
elementos de otra clase, p elementos de una
tercera clase, etc. Si llamamos k = m+n+p+....,
entonces el número de ordenamientos de estos k
elementos tomados todos a la vez se denomina
permutación con repetición.
Notación:
(donde: k = m + n + p + ....)
Para calcular el número de permutaciones de k
elementos donde m de ellos son de una clase, n de
una segunda clase, p de una tercera clase, etc. se
tiene :
k
m,n,p,...
k!
P
m ! · n! · p!...
=
EJEMPLO:
¿Cuántas palabras distintas se puede formar con
todas las letras de la palabra “CARRERA”?
Resolución
Aquí debemos ordenar 7 elementos (siete letras
de la palabra) pero, A se repite 2 veces y R se
repite 3 veces, C una vez y E una vez, entonces:
7
2,3,1,1
7 ! 5040
420
2 ! · 3 ! · 1! · 1! 2 · 6 · 1 · 1
P = = =

1. A y B juntan figuritas. A tiene 3 figuritas distintas y
B tiene 8 todas distintas a las de A.
Quieren intercambiar figuritas de modo que A
tenga siempre 3 y B 8. ¿De cuántas maneras
pueden hacerlo?
A) 56 B) 112 C) 164
D) 240 E) 336
2. De cuántas maneras se pueden colocar 7 niños en
una fila, de manera que 3 niños en particular
queden juntos?
A) 120 B) 5040 C) 900
D) 720 E) 840
3. La barra de una cafetería tiene 7 asientos en una
fila. Si 4 personas desconocidas entre sí ocupan
lugares al azar. ¿De cuántas maneras diferentes
pueden quedar los 3 asientos restantes
desocupados?
A) 720 B) 1440 C) 4320
D) 840 E) 800
4. ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden
obtener con las letras de la palabra UNICORNIO,
si las vocables deben permanecer juntas?
A) 1200 B) 1210 C) 1360
D) 1440 E) 1800
5. ¿De cuántas formas diferentes 6 alumnos pueden
ordenarse para jugar a la ronda, si 3 de ellos
siempre deben permanecer juntos?
A) 24 B) 45 C) 40
D) 38 E) 36
6. ¿Cuántos números de la forma a (a 3)mb+
que
sean pares, existen?
A) 90 B) 540 C) 1 800
D) 300 E) 720
7. Nancy quiere tomar una hora semanal de gimnasia
o de danza. ¿De cuántas maneras puede
estructurar su horario, si debe asistir a una
academia donde los lunes, martes y miércoles se
enseña gimnasia de 5 p.m. a 6 p.m. y danza los
martes, jueves y viernes de 5 a.m. a 6 p.m.?
A) 3 B) 6 C) 9
D) 15 E) 27
8. ¿Cuántas palabras, pueden formarse con 3
mayúsculas, 5 consonantes y 4 vocales, todos
diferentes entre sí, cada palabra debe contener 3
consonantes, 2 vocales y una mayúscula como
máximo, la cual siempre debe estar al comienzo de
consonantes y vocales en lugares fijos?
A) 2160 B) 2610 C) 210
D) 2140 E) 21600
9. En la siguiente figura, se muestra un decágono en el
cual se han resaltado 10 puntos, ¿Cuántos triángulos
se pueden formar con dichos puntos?
A) 120 B) 110 C) 100
D) 90 E) 96
10.Se tiene un grupo de 7 varones y 3 damas, se desea
formar un equipo de fulbito. ¿De cuántas maneras
diferentes se podrá hacerlo si en el equipo debe
haber por lo menos una dama?
A) 200 B) 203 C) 206
D) 209 E) 212
11. Un tren empieza su recorrido en Lima y lo termina
en Huancayo. Entre Lima y Huancayo están las
estaciones A, B, C y D. Se quiere ir de Lima a
Huancayo parando en una o más de las estaciones
intermedias. ¿De cuántas formas distintas se puede
organizar el viaje en tren?
A) 4 B) 8 C) 12
D) 15 E) 16
12. ¿Cuántas sumas de dinero distintas se puede
obtener al sacar de una caja que contiene 5 billetes,
de 10; 20; 50; 100 y 1 000 dólares, uno de cada
clase?
A) 30 B) 31 C) 29
D) 28 E) 40

13.¿De cuántas maneras diferentes se pueden
acomodar 6 personas en un auto de 5 asientos,
sabiendo que sólo 2 de ellos manejan y que una
persona no viajará en el auto?
A) 120 B) 240 C) 410
D) 340 E) 150
12.¿De cuántas maneras diferentes se pueden
colocar los números del 1 al 8 en la siguiente
rueda giratoria?
A) 2400 B) 2880 C) 5040
D) 2520 E) 5760
15.En una reunión hay 4 hombres y 5 mujeres si se
desea formar grupos de 2 o más personas.
¿Cuántos grupos se formarán?
A) 110 B) 132 C) 127
D) 55 E) 90
16.Hallar “N”
a ! (a 1)! (a 2)!
N
a ! (a 1)!
+ + + +
=
+ +
A) a B) a + 1 C) a2
D) a + 2 E) a3
1. El número de permutaciones de “n” letras
diferentes tomadas de 8 en 8 es al número de
permutaciones de las mismas “n” letras tomadas
de 7 en 7 como 6 es a 1. Halle el valor de “n”.
A) 10 B) 11 C) 13
D) 15 E) 12
2. En una juguetería se quiere ordenar en una vitrina
6 juguetes diferentes, disponiendo de 9 juguetes.
¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer?
A) 6! B) 7! C) 4×7!
D) 6×7! E) 12×7!
3. En un campeonato se jugará 524 partidos. En la
primera rueda jugaron todos contra todos y en la
segunda sólo jugaron los 8 mejores. ¿Cuántos
equipos participaron?
17. Efectuar:
20
k 1
(k 1)!
k! (k 1)!=
+
+ −
∑
A) 105 B) 400 C) 210
D) 120 E) 60
18.Reducir: “E”
(2n 4)!!
E
4 (n 2)!
+
=
+⋅
A) 2n – 1 B) n! C) 2n!
D) 2n E) 2n + 1
19.El equivalente de “S”
es:
100
k 1
S (2k)
=
= ∏
A) 200! B) 100! C) 210.1001
D) 2100(1001) E) 2.(1001)
20. Simplificar:
(n 1)! n! (2n 3)! n!
(2n 1)! (2n 2)! (n 2)! (n 1)!
 + + +   
     
+ + + + −    
A) n – 1 B) 2n C) n + 2
D) n + 1 E) n
A) 32 B) 31 C) 33
D) 61 E) 60
4. Sobre un exágono regular se toman 5 puntos en cada
lado (sin tocar los vértices). ¿Cuántos triángulos se
podrían formar, tal que los 3 vértices sean los puntos
mostrados?
A) 4010 B) 3960 C) 3900
D) 4000 E) 4060

5. Hallar: n
n n n n 2 9
1 2 3 n
C C C . . . C (1! 2! 3! ... n!) (40320) × × × × × × × × =  
A) 6 B) 8 C) 10
D) 14 E) 12
6. Se tienen 4 frutas diferentes. ¿Cuántos jugos de
sabores distintos se podrán obtener de todas las
maneras posibles?
A) 20 B) 16 C) 15
D) 30 E) 4
7. ¿Cuántas palabras diferentes de 4 letras,
aunque no necesariamente tengan sentido, se
puede formar con las letras de la palabra
AMOR, de modo que:
• Tenga siempre la sílaba MA.
• La letra O esté siempre antes que R.
A) 12 B) 18 C) 200
D) 24 E) 36
8. En cuántos ceros termina
11
k 1
(k 1)!
=
−π
A) 5 B) 10 C) 7
D) 8 E) 9
9. Simplificar
54 ! 64 ! 74 ! 84 !
P
52! 62! 72! 82!
= − + −
A) 2740 B) – 2740 C) 1370
D) – 1370 E) – 2540
10.Reducir la siguiente expresión:
(n!)n (n 2)! (n 1)!
(n 1)! (n 1)! (n 1)!
+ +
+ −
− + −
A) n B) n2 C) 2n
D) 3n + 1 E) 1
11. Efectuar
20
k 1
k!
(k 1)!= −
∑
A) 210 B) 209 C) 24
D) 1 E) 211
12.Edmundo ve desde la ventana de su casa, que las
personas allí reunidas en la plaza, se han dado 210
apretones de manos. Diga usted, ¿cuántas
personas ha visto, si cada uno saluda una vez a
cada uno y todos se saludan?
A) 18 B) 15 C) 24
D) 21 E) 12
13.¿Cuántos números existen de la forma:
(3a)(2b)( c)
?
A) 900 B) 200 C) 980
D) 150 E) 891
14.¿Cuántas palabras diferentes se puede formar sin
importar lo que diga, con todas las letras de la
palabra “PELIGRO”, si todas las palabras deben
llevar consigo la sílaba PE?
A) 120 B) 1440 C) 240
D) 720 E) 5040
15.Tres mujeres y dos hombres van al cine y
encuentran 5 asientos juntos en una misma fila
donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras
diferentes pueden sentarse, si las tres mujeres no
quieren estar juntas?
A) 12 B) 11 C) 24
D) 30 E) 6
16.Considere las placas de automóviles que tienen
tres letras seguidas de tres dígitos. Si pueden
emplearse todos los arreglos posibles. ¿Cuántas
placas diferentes pueden formarse?
A) 19683000 B) 5550000 C) 5781020 D)
3996000 E) 47930021
17. Para la biblioteca de la Academia “Pascual Saco
Oliveros” se han comprado 6 estantes grandes, 5
medianos y 4 pequeños todos de distintos diseños.
Se les va a ubicar en una fila en un ambiente
acondicionado. ¿De cuántas maneras diferentes se
puede ubicar sabiendo que los estantes del mismo
tamaño siempre están juntos?
A) 3!×15! B) 2!×5!×10! C) 2!×6!×9!
D) 3!×4!×5!×6! E) 4!×5!

18. En una sala de estudios de la academia se
encuentran 10 alumnos del local de Arenales y
5 alumnos del local de San Juan. ¿De cuántas
maneras diferentes puede formar un grupo de
5 alumnos, para que se sienten en una
carpeta, si en ella debe haber siempre 3 de
Arenales y 2 de San Juan?
A) 1200 B) 560 C) 724
D) 11×12×13×21 E) 600
19.Un estudiante tiene una colección de 12 libros
diferentes de razonamiento matemático. ¿De
cuántas maneras diferentes podrá seleccionar
6 libros?. Sabiendo que uno es su preferido y
siempre lo va a elegir ya que es de la Academia
“Pascual Saco Oliveros”
A) 642 B) 462 C) 624
D) 426 E) 264
20. Julio ha visto un atropello en el cual se dio a la
fuga el chofer irresponsable. Investigado por las
autoridades, Julio sólo recuerda que la primeras 3
cifras de la placa del automóvil eran 523, no
recordando acerca de los 4 dígitos que le faltaban,
más que todos ellos, eran diferentes entre sí y a los
que ya recordó. ¿Cuántos números de placas
diferentes tendrá que investigar la policía?
A) 840 B) 1000 C) 1800
D) 960 E) 720

5 raz. matem.

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