1) El documento presenta las leyes de exponentes y define potenciación, radicación y exponentes. 2) Explica las definiciones de exponente natural, exponente cero y exponente negativo para la potenciación. 3) También presenta teoremas como la multiplicación de bases iguales y la potencia de una potencia para las leyes de exponentes.

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Enero del 2019
LEYES DE EXPONENTES:
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian
a los exponentes a través de las operaciones de
potenciación y radicación.
POTENCIACIÓN:
Es una operación matemática que consiste en hallar
una expresión llamada potencia, partiendo de otras
expresiones llamadas base y exponente.
Notación:
a : base
an
= P n : exponente
P : potencia
Definiciones:
Exponente natural
an
=







2nsia...a.a
1nsia
vecesn

Exponente cero
Si a  0 se define:
a0
= 1
Nota:
* 00
no está definido
Exponente negativo
Si a  0  n  N se define:
a-n
=
n
n a
1
a
1







Nota:
* 0– n
no existe
Teoremas:
Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros
positivos, entonces se cumple:
1. Multiplicación de bases iguales.
an
. am
= am+n
2. División de bases iguales.
nm
n
m
b
b
b 

3. Potencia de potencia.
m
nn.m
n
m
bbb 








Nota:
* m.nmn
bb 
4. Potencia de una multiplicación.
  nnn
baab 
5. Potencia de una división.
n
nn
b
a
b
a






; b  0

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Nota: Si “b” es un número real y m, n, p son
enteros, entonces:
zbbb yxm
pnm

Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo
RADICACIÓN EN :
Es una operación matemática que consiste en hacer
corresponder dos números llamados índice y
radicando con un tercer número llamado raíz, el
cual es único, según:
n
b = r  rn
= b
n : índice (n  2 ; n  N)
b : radicando
r : raíz n-ésima principal de b
Teoremas:
Si n
a y n
b existen, entonces se cumple:
1. Raíz de una multiplicación:
n
a
n
b = n
ba
2. Raíz de una división:
n
n
n
b
a
b
a
 si b  0
3. Raíz de una radicación:
n.mm .n
bb 
Nota:
*
m n p
cba 
= p.n.mn.mm cba


*
m n
aa 
= n.m n
a 
Exponente fraccionario:
Si n
m
a existe en  se define:
n mn
m
aa 
1. Efectuar:
P = 294
336
30.14.15
80.35.21
2. Ordenar en forma decreciente:
A =
432
1 B =
413
2 C =
241
3
D =
123
4 E =
231
4
3. Simplificar:
R = 7
2
7
3
7
2
7
1
2
1
4.
4
1
2.)9(.)2( 












4. Hallar el valor de “M”:
M =







 
b
2a
2
2









2b
a
2
2
5. Reducir:
P =
4
5074
)2(
6. Calcular:
A =
144 208
2.24

7. Hallar el valor de W:
W =
1249
12412
894



8. Hallar el valor de:
2n
1n2nn
2
222



9. Al simplificar:
n n n22n32
n n n2n2
xx
xx


el exponente de x es:
10. Sabiendo que:
E =
2x
5
5.220
20
2x2x22x
1x 








 

Hallar E3
11. Simplificar:
T = 4
m
m
811
811




3. Página 3 de 5
12. Calcular el valor reducido de la expresión “N”:
N = a
aaa
aaa
1286
432



13. Reducir:
P =
  

  

veces"n"
8m
n mn mn mn m
factores)6m(
2m2m2m2m
xx.x.x
xx.x.x









14. Simplificar:
E =
8 5 3 904 3517
4 8 7533 5 60
x.x.x.x
x.x.x.x
Dar como respuesta el exponente de x:
15. Reducir:
  


  

radicales)1a(
a
a a
a
sumandos"n"
a a
a
a
a
a aaa
a
)f actoresn(aaa


16. Si: Q =
7 7 7 333
radicalesxxx 
P =
5 5 5 333
radicalesxxx  
Calcular: P + Q
1. Simplificar:
22
334
70.60.250.54
42.30.10
A) 10 B) 20 C) 84 D) 84 E) 1
2. Si: x  0
Reducir: 9753
108642
x.x.x.x.x
x.x.x.x.x
A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x 5
3. Resolver:
xxx
xxx
x.x.x
A)
x3
x
x C)
3x
x
x E) 3
B)
x
x3
x D)
x
x
x3
4. Efectuar:
K =
12
1242
21
3
9
16
7
2
3
1
























A) 1/4 B) 1/2 C) 5 D) 1/4 E) 1/5
5. Simplificar:
7413
43053
25 
A) 133 B) 125 C) 7 D) 13 E) 150
6. Simplificar:
P =
212)3(15
24223
)x(.x.)x(
)x(.x.)x(
01


A) x5
B) x–5
C) 3x3
D) x–32
E) x32
7. Decir cuáles son falsas:
I. 3a0
+ 3b0
– 8(x + y)0
= 0
II. (5x0
– 5y0
+ 1)–0
= 0
III. (15a0
– 11b0
– 4x0
)0
= 1
A) Solo I C) I y II E) Todas
B) Solo II D) I y III
8. Simplificar:
E = 2n3n4n
1nn1n
333
333




A) 3 B) 3–3
C) 33
D) 3–5
E) 35
9. Reducir:
8
4
xx
xxx












A) x B) x4
C) x2
D) x5
E) x –2
10. Determinar el valor de:
C = 3
1
1
1
22
8
3
3
2
5
5
1







































A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11. Calcular:
12
2
1
1613
1
2
1
81
1
125
1
4
1
2
1
















































A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) 8

4. Página 4 de 5
12. Sabiendo que:
A =    
factores)2n(
1n1n1n1n
x.x.x.x


B =    
factores)1n(
2n2n2n2n
x.x.x.x


Hallar
A
B
A) – 1/2 B) – 1 C) 1/2 D) 1 E) 2
13. Reducir:
13
4
2
2
5
3
22
32
3
3
2
a2.
ba
c
.
a
cb
.ba
4
5
.
c
ba2

































A) b10
c5
C)
2
5
b10
c4
E) 10 b15
c4
B) 5 b8
c4
D) 25 b15
c4
14. Simplificar:
1
4
1
1
3
1
1
2
1
4
1
3
1
2
1







































A) 271 B) 278 C) 287 D) 0 E) 1
15. Reducir:
E = 1n1m
n2m1m
16.8
4.2


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
16. Simplificar:
  






vecesm
vecesnvecesnvecesn
xx.x.xxx.x.xxx.x.x 
A) xm–n
C) mxn
E) 4x4
B) nxm
D) m . nx
17. Simplificar:
1293333
33333
33

A) 27 C) 1 E) N.A.
B) 81 D) 3 3
18. Simplificar:
A = 2
22
2 22
)2(
)2(

A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) N.A.
19. Efectuar:
E =
m 2mm 1mm 4m
8.4.2 
A) 4 B) 8 C) 16 D) 64 E) N.A.
20. Calcular:
25
24
4 3
81273








A) 2 B) 3 C) 1 D) 8 E) 10
21. Calcular:
E =




















veces)2n4(
veces)6n3(
xx.x.x
xx.x.x











 
6
veces)3n2(
x
xx.x.x










2n
x
1
A) x B) x2
C) xn
D) x3n
E) x3
22. Reducir:
F = n5
n
2/1n
6.6
36


A) 1 B) 6 C) 6 D) 36 E) N.A.
23. Efectuar:
R = m
2m m
1m
4.4
2


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8
24. Simplificar:
T =
3
4 10/m3
3 10/m
ba
ab













A) a3/4
b – m/40
C) a5/4
b m/40
E) a –3/4
b m/40
B) a5/4
b – m/40
D) a3/4
b m/40
25. Al simplificar:
F =
n
2
n
n4
1n
3.3
3.39














, se obtiene:
A) 3 B) 1/3 C) 3
3 D) 27 E) 9
26. Simplificar:
8 118
1 1 1 1 9
9 9 9 91 1 1 1
9 9 9 91
9
veces
veces
E

 
                 
              
       
        
  
 
A) 3 B) 92
C) 93
D) 99
E) 9–1
27. Simplificar:
1
2
. . .
c c cb b ba b b ab ab a a
E a a a a
   

A) aa
B) a–1
C) aa–1
D) aa+1
E) –a

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28. Simplificar:
E =
2
1
mm
mn n mn 3n 2n
xx
xxxx


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
29. Calcular el valor de la expresión:
E = 1m21mm25m
m21m1m23m
7.27.2
7.27.2




A) 1 B) 2 C) 3 D) 2m
E) 7m
30. Simplificar:
E = yx
xy
yx
15
15




A) 0 B) 1 C) 5 D) 10 E) 6
31. Al reducir:
5
5
5 3
3
3
x
x
x
, el exponente de x es:
A) 1/5 C) 12/25 E) 13/25
B) 63/125 D) 64/125
32. Reducir:
E = m
mmm
mmm
61218
27189


A) 2/3 B) 3/2 C) 2m
D) 3m
E) N.A.
33. Reducir la expresión:
P = 1x2x
sumandosx3
33
6666



  

A) 1 B) 3x
C) 2,3x
D) 3x+1
E) N.A.
34. Simplificar:
W = 1x1x1x
x1x2x
333
3.23.123.27




A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) N.A.
35. Determinar el resultado de simplificar:
Z =
2aa 3aa
1aa 2aa
a.a
  
A) a2
B) a4
C) a2a
D) a4
E) N.A.
36. Simplificar:
M =
4 4 4
7 7 7 444
radicx.x.x
radicxxx




A) x B) x6
C) 6
x D) x E) 3
x
37. Simplificar:
x 2 x 2xx
x
x

A) x B) x–x
C) xx
D) x2x
E) N.A.
38. Siendo x  0 simplificar la siguiente expresión:
E =
xxx
xx x
xx x xxx
x














A) x B) –x C) x2
D) 1/x E) xx
39. M = 






 5
x







5 8
x







8 11
x   factores
A) 3
x C) 3 x E) 2  10–2
B) 6
x D) 3
x
40. Reducir:
3
3
3
3
5
3
7
x
x
x
x


A) x–1
B) x2
C) 2x D) x7
E) N.A.
Bibliografía
Baker, A. Breve introducción a la teoría de números.
Alianza Ed., Madrid, 1986.
Hungerford, T.W. Algebra. Springer-Verlag, New York,
1974.
Referencia
https://www.slideshare.net/pelvis/teora-de-exponentes-
24807909
file:///D:/Perfil%20de%20Miguel/Downloads/practica
nro-160315230049.pdf
Notas de clase