Este documento describe diferentes métodos para adaptar la impedancia entre una línea de transmisión y una carga. Explica que una línea de cuarto de onda puede usarse para igualar la impedancia de entrada a la impedancia característica de la línea original. También describe cómo un stub cortocircuitado, conectado en paralelo a la línea y la carga, puede lograr la adaptación mediante el ajuste de su longitud y posición. El documento proporciona ecuaciones para diseñar adaptadores de cuarto de onda y stubs, y presenta ejemp
La Carta de Smith representa impedancias normalizadas a través de dos diagramas superpuestos. Muestra valores de impedancia dividiendo el valor real por la impedancia característica de la línea. Contiene nueve casos especiales que ilustran diferentes configuraciones de carga y sus correspondientes coeficientes de reflexión, relaciones de onda estacionaria y posiciones de mínimo voltaje.
El documento describe los diferentes tipos de modulación en amplitud, incluyendo moduladores de bajo y alto nivel con diodos, transistores y circuitos integrados. También cubre la generación y detección de señales AM, DSB y SSB.
El documento presenta los conceptos básicos de la teoría de líneas de transmisión. Explica que una línea de transmisión puede modelarse como un circuito de parámetros distribuidos cuando la longitud de la línea no es mucho menor que la longitud de onda de la señal, mientras que puede aproximarse como un circuito de parámetros concentrados cuando la longitud de la línea es mucho menor que la longitud de onda. También define los parámetros primarios R, L, C y G que caracterizan el modelo de línea de transmisión.
Este documento describe el desarrollo de un filtro pasa bajos usando un amplificador operacional. Se construyó el circuito y se midió la señal de salida a diferentes frecuencias, observando que la señal se atenuaba a medida que la frecuencia aumentaba por encima de la frecuencia de corte del filtro, validando su funcionamiento como filtro pasa bajos. Los resultados experimentales coincidieron razonablemente con las simulaciones, aunque hubo pequeñas variaciones debido a tolerancias en los componentes.
Este documento trata sobre líneas de transmisión y contiene 13 secciones. Describe la propagación física en líneas de transmisión, deriva las ecuaciones de onda para líneas de transmisión, analiza la propagación sin pérdidas y con voltajes sinusoidales, y cubre temas como la reflexión de ondas, relación de onda estacionaria, líneas de longitud finita y métodos gráficos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales sobre líneas de transmisión bifilar y coaxial. Explica que las líneas coaxiales están compuestas de un conductor central rodeado por una malla conductora, separados por un dieléctrico. También describe los parámetros clave de las líneas de transmisión como la impedancia característica, la constante de propagación y los cálculos para determinarlos. Finalmente, detalla los procedimientos experimentales realizados para medir y analizar físicamente muestras de líneas bif
Este documento describe un laboratorio sobre filtros activos realizado por estudiantes de ingeniería electrónica. Presenta los objetivos, fundamentos teóricos, materiales y procedimientos para el diseño e implementación de diferentes tipos de filtros activos como pasa bajas, pasa altas, rechaza banda y pasa banda utilizando amplificadores operacionales. Los estudiantes diseñan y simulan filtros para luego medir sus respuestas en frecuencia y graficar las ganancias obtenidas.
Ejemplo fuente común mosfet versión finalLuis Monzón
Este documento resume los pasos para calcular la polarización de un transistor MOSFET en un circuito de auto polarización. Explica cómo calcular la tensión entre la puerta y la fuente (VGS), la corriente de drenaje (ID), la tensión de drenaje (VDS) y comprobar si el MOSFET opera en saturación. También describe cómo usar los parámetros calculados para determinar los parámetros pequeña señal pi del MOSFET. El documento incluye 16 ilustraciones que muestran el circuito y los cálculos.
La Carta de Smith representa impedancias normalizadas a través de dos diagramas superpuestos. Muestra valores de impedancia dividiendo el valor real por la impedancia característica de la línea. Contiene nueve casos especiales que ilustran diferentes configuraciones de carga y sus correspondientes coeficientes de reflexión, relaciones de onda estacionaria y posiciones de mínimo voltaje.
El documento describe los diferentes tipos de modulación en amplitud, incluyendo moduladores de bajo y alto nivel con diodos, transistores y circuitos integrados. También cubre la generación y detección de señales AM, DSB y SSB.
El documento presenta los conceptos básicos de la teoría de líneas de transmisión. Explica que una línea de transmisión puede modelarse como un circuito de parámetros distribuidos cuando la longitud de la línea no es mucho menor que la longitud de onda de la señal, mientras que puede aproximarse como un circuito de parámetros concentrados cuando la longitud de la línea es mucho menor que la longitud de onda. También define los parámetros primarios R, L, C y G que caracterizan el modelo de línea de transmisión.
Este documento describe el desarrollo de un filtro pasa bajos usando un amplificador operacional. Se construyó el circuito y se midió la señal de salida a diferentes frecuencias, observando que la señal se atenuaba a medida que la frecuencia aumentaba por encima de la frecuencia de corte del filtro, validando su funcionamiento como filtro pasa bajos. Los resultados experimentales coincidieron razonablemente con las simulaciones, aunque hubo pequeñas variaciones debido a tolerancias en los componentes.
Este documento trata sobre líneas de transmisión y contiene 13 secciones. Describe la propagación física en líneas de transmisión, deriva las ecuaciones de onda para líneas de transmisión, analiza la propagación sin pérdidas y con voltajes sinusoidales, y cubre temas como la reflexión de ondas, relación de onda estacionaria, líneas de longitud finita y métodos gráficos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales sobre líneas de transmisión bifilar y coaxial. Explica que las líneas coaxiales están compuestas de un conductor central rodeado por una malla conductora, separados por un dieléctrico. También describe los parámetros clave de las líneas de transmisión como la impedancia característica, la constante de propagación y los cálculos para determinarlos. Finalmente, detalla los procedimientos experimentales realizados para medir y analizar físicamente muestras de líneas bif
Este documento describe un laboratorio sobre filtros activos realizado por estudiantes de ingeniería electrónica. Presenta los objetivos, fundamentos teóricos, materiales y procedimientos para el diseño e implementación de diferentes tipos de filtros activos como pasa bajas, pasa altas, rechaza banda y pasa banda utilizando amplificadores operacionales. Los estudiantes diseñan y simulan filtros para luego medir sus respuestas en frecuencia y graficar las ganancias obtenidas.
Ejemplo fuente común mosfet versión finalLuis Monzón
Este documento resume los pasos para calcular la polarización de un transistor MOSFET en un circuito de auto polarización. Explica cómo calcular la tensión entre la puerta y la fuente (VGS), la corriente de drenaje (ID), la tensión de drenaje (VDS) y comprobar si el MOSFET opera en saturación. También describe cómo usar los parámetros calculados para determinar los parámetros pequeña señal pi del MOSFET. El documento incluye 16 ilustraciones que muestran el circuito y los cálculos.
Este documento describe los diferentes tipos de arreglos de antenas, incluyendo arreglos lineales, planares y circulares. Explica conceptos clave como el patrón de radiación, factor de arreglo, ancho de haz y directividad. También describe parámetros de control como la configuración geométrica, distancia de separación, amplitud y fase de excitación de cada elemento. Finalmente, presenta ejemplos como arreglos broadside, endfire y la cruz de Mills, así como sus aplicaciones.
Los acopladores direccionales son componentes pasivos de radiofrecuencia con cuatro puertos que permiten obtener una muestra de la señal de entrada a través del puerto acoplado con menor potencia. Se utilizan para redistribuir señales, proporcionar puntos de prueba y combinar señales. Los parámetros clave son el acoplamiento, aislamiento y directividad. Los duplexores y diplexores permiten transmitir y recibir señales a través de una misma antena en diferentes frecuencias y se usan en sistem
Este documento presenta los detalles de una práctica de laboratorio sobre distorsión lineal. La práctica analiza la distorsión en una línea telefónica y cómo puede corregirse usando un circuito corrector de distorsión. Se midió la respuesta en frecuencia de la línea sola, del circuito corrector y de ambos en cascada, y los resultados muestran que el circuito corrector logra contrarrestar efectivamente la distorsión de la línea.
El documento describe la conexión Darlington, la cual utiliza dos transistores BJT conectados de tal forma que actúan como un solo transistor con una alta ganancia de corriente. La ganancia total es el producto de las ganancias individuales de cada transistor. También explica que los transistores Darlington encapsulados contienen internamente dos transistores conectados de esta forma, proporcionando una alta ganancia. Finalmente, analiza el circuito equivalente en corriente continua y alterna, así como la impedancia, ganancia y otros parámetros.
El documento describe las diferentes clases de amplificadores de potencia (Clase A, B, AB, C y D). Cada clase varía en cómo polariza el punto de operación del transistor y cuánto del ciclo de la señal de entrada amplifica. Las clases más eficientes en potencia son las clases B, AB, C y D. La clase A amplifica todo el ciclo pero es la menos eficiente.
Este documento describe los filtros activos de segundo orden, incluyendo filtros pasabajas, pasaaltas y pasabanda. Explica las topologías con realimentación positiva y negativa, y cómo diseñar filtros de tipo Butterworth y Chebyshev para cumplir con especificaciones de frecuencia de paso y factor de calidad. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar el proceso de diseño de filtros activos de segundo orden con diferentes características.
Este documento describe tres tipos de filtros pasivos:
1) Filtros paso bajo solo permiten frecuencias por debajo de una frecuencia de corte.
2) Filtros paso alto solo permiten frecuencias por encima de una frecuencia de corte.
3) Filtros paso banda permiten un rango de frecuencias entre dos frecuencias de corte.
El documento describe el cálculo de radioenlaces para evaluar la viabilidad de un enlace inalámbrico. Explica que se deben calcular las pérdidas en el trayecto considerando la atenuación en el espacio libre y por el medio ambiente, así como las características de las antenas y el equipamiento. También presenta un ejemplo de cálculo del presupuesto de potencia para estimar la viabilidad de un enlace WiFi de 5 km.
Una línea de transmisión es un sistema de conductores metálicos que transfiere energía eléctrica de un punto a otro a través de ondas electromagnéticas transversales. Puede tener diferentes configuraciones como líneas balanceadas, desbalanceadas, de conductor paralelo, coaxial o de microcinta y cinta. Las líneas de transmisión transportan energía a través de la propagación de ondas electromagnéticas cuya velocidad depende de las características del medio de propagación.
Propagación de Ondas (2017)
- Modelo de propagación en espacio libre
- Modelo de Tierra Plana (MTP)
- Propagación por onda de superficie
- Modelo de tierra curva
- Difracción
- Dispersión
- Propagación en entorno urbano
- Análisis del presupuesto del enlace
Este documento explica los principios básicos de la modulación de amplitud (AM). La AM varía la amplitud de una onda portadora sinusoidal para transmitir información. Esto genera bandas laterales superiores e inferiores que contienen la información. Un modulador combina matemáticamente la señal portadora y la señal moduladora para producir la onda AM final.
Proyecto de lab. Circuitos Electrónicos II UNSAAC(watner ochoa nuñez 171174)Watner Ochoa Núñez
Este documento presenta el diseño de un amplificador de audio clase AB. Describe los conceptos teóricos de los amplificadores de potencia como clase A, B, AB y D. Explica las etapas del amplificador como diferencial, de ganancia de voltaje y de salida. Luego, detalla el diseño del amplificador clase AB realizado, incluyendo análisis en corriente continua, corriente alterna y simulación. Finalmente, resume la construcción física del circuito y las conclusiones obtenidas.
Este documento trata sobre los filtros eléctricos, clasificándolos en pasivos y activos. Los pasivos solo utilizan elementos pasivos mientras que los activos incluyen amplificadores. Los filtros ideales no son realizables pero se pueden aproximar incrementando el orden. Los filtros de Butterworth tienen una respuesta más plana mientras que los de Chebyshev tienen una transición más abrupta pero rizado en la banda pasante. Se describen también los pasos para diseñar filtros pasivos de diferentes tipos y filtros activos usando amplificadores operacional
Este documento describe una serie de actividades prácticas realizadas en un laboratorio de electrónica. En la primera actividad, se generó una señal senoidal con un generador y se visualizó en un osciloscopio para determinar sus parámetros. En la segunda actividad, se generó otra señal y se midieron sus parámetros. En la tercera actividad, se generó una señal triangular y se midieron sus parámetros. Finalmente, en la cuarta actividad se generó una señal cuadrada y se varió el offset del generador para observar
autor: estudiantes EUITIZ
publisher: Daniel Garrido
licencia: Creative Commons
Universidad de Zaragoza - EUITIZ
@fomentemos el conocimiento colaborativo
Este documento contiene información sobre cálculos de directividad, anchos de haz y ganancia de antenas. Presenta fórmulas y ejemplos numéricos para calcular estas propiedades a partir de parámetros como la potencia de entrada, la eficiencia y el patrón de radiación de la antena. También incluye cálculos de densidad de potencia radiada a distintas distancias teniendo en cuenta estos parámetros.
Amplificadores diferenciales y en cascadaAnaCegarra
El documento describe diferentes tipos y aplicaciones de amplificadores operacionales. Específicamente, discute amplificadores diferenciales, los cuales amplifican la diferencia entre dos señales de entrada pero rechazan señales comunes a ambas entradas. También cubre el uso de múltiples amplificadores operacionales en cascada para lograr mayores ganancias totales, así como algunas aplicaciones comunes como convertidores y filtros.
El documento describe diferentes aplicaciones de amplificadores operacionales, incluyendo seguidores de tensión, amplificadores inversores y no inversores, y sumadores inversores ponderados. Un seguidor de tensión mantiene la tensión de entrada pero cambia la impedancia, un amplificador inversor invierte la fase de la señal de salida y su ganancia depende de las resistencias de realimentación y entrada, y un sumador inversor ponderado suma tensiones de entrada proporcional a las resistencias de cada rama.
Este documento describe cómo acoplar impedancias en una línea de transmisión utilizando un transformador de longitud λ/4 o stubs. Explica que un transformador de λ/4 actúa como un transformador de impedancia perfecto solo si su longitud es exactamente λ/4. También describe cómo los stubs, que son secciones cortas de línea que terminan en cortocircuito u circuito abierto, pueden usarse como elementos reactivos para acoplar impedancias. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para calcular los parámetros de un sistema de acoplam
Este documento trata sobre líneas de transmisión terminadas. Se introduce el concepto de reflexión en la carga y se define el coeficiente de reflexión. Se explica que la tensión y corriente en la línea son el resultado de la interferencia entre la onda incidente y la reflejada, dando lugar a ondas estacionarias. También se estudia la reflexión en posiciones arbitrarias de la línea y la conservación de la potencia.
Este documento describe los diferentes tipos de arreglos de antenas, incluyendo arreglos lineales, planares y circulares. Explica conceptos clave como el patrón de radiación, factor de arreglo, ancho de haz y directividad. También describe parámetros de control como la configuración geométrica, distancia de separación, amplitud y fase de excitación de cada elemento. Finalmente, presenta ejemplos como arreglos broadside, endfire y la cruz de Mills, así como sus aplicaciones.
Los acopladores direccionales son componentes pasivos de radiofrecuencia con cuatro puertos que permiten obtener una muestra de la señal de entrada a través del puerto acoplado con menor potencia. Se utilizan para redistribuir señales, proporcionar puntos de prueba y combinar señales. Los parámetros clave son el acoplamiento, aislamiento y directividad. Los duplexores y diplexores permiten transmitir y recibir señales a través de una misma antena en diferentes frecuencias y se usan en sistem
Este documento presenta los detalles de una práctica de laboratorio sobre distorsión lineal. La práctica analiza la distorsión en una línea telefónica y cómo puede corregirse usando un circuito corrector de distorsión. Se midió la respuesta en frecuencia de la línea sola, del circuito corrector y de ambos en cascada, y los resultados muestran que el circuito corrector logra contrarrestar efectivamente la distorsión de la línea.
El documento describe la conexión Darlington, la cual utiliza dos transistores BJT conectados de tal forma que actúan como un solo transistor con una alta ganancia de corriente. La ganancia total es el producto de las ganancias individuales de cada transistor. También explica que los transistores Darlington encapsulados contienen internamente dos transistores conectados de esta forma, proporcionando una alta ganancia. Finalmente, analiza el circuito equivalente en corriente continua y alterna, así como la impedancia, ganancia y otros parámetros.
El documento describe las diferentes clases de amplificadores de potencia (Clase A, B, AB, C y D). Cada clase varía en cómo polariza el punto de operación del transistor y cuánto del ciclo de la señal de entrada amplifica. Las clases más eficientes en potencia son las clases B, AB, C y D. La clase A amplifica todo el ciclo pero es la menos eficiente.
Este documento describe los filtros activos de segundo orden, incluyendo filtros pasabajas, pasaaltas y pasabanda. Explica las topologías con realimentación positiva y negativa, y cómo diseñar filtros de tipo Butterworth y Chebyshev para cumplir con especificaciones de frecuencia de paso y factor de calidad. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar el proceso de diseño de filtros activos de segundo orden con diferentes características.
Este documento describe tres tipos de filtros pasivos:
1) Filtros paso bajo solo permiten frecuencias por debajo de una frecuencia de corte.
2) Filtros paso alto solo permiten frecuencias por encima de una frecuencia de corte.
3) Filtros paso banda permiten un rango de frecuencias entre dos frecuencias de corte.
El documento describe el cálculo de radioenlaces para evaluar la viabilidad de un enlace inalámbrico. Explica que se deben calcular las pérdidas en el trayecto considerando la atenuación en el espacio libre y por el medio ambiente, así como las características de las antenas y el equipamiento. También presenta un ejemplo de cálculo del presupuesto de potencia para estimar la viabilidad de un enlace WiFi de 5 km.
Una línea de transmisión es un sistema de conductores metálicos que transfiere energía eléctrica de un punto a otro a través de ondas electromagnéticas transversales. Puede tener diferentes configuraciones como líneas balanceadas, desbalanceadas, de conductor paralelo, coaxial o de microcinta y cinta. Las líneas de transmisión transportan energía a través de la propagación de ondas electromagnéticas cuya velocidad depende de las características del medio de propagación.
Propagación de Ondas (2017)
- Modelo de propagación en espacio libre
- Modelo de Tierra Plana (MTP)
- Propagación por onda de superficie
- Modelo de tierra curva
- Difracción
- Dispersión
- Propagación en entorno urbano
- Análisis del presupuesto del enlace
Este documento explica los principios básicos de la modulación de amplitud (AM). La AM varía la amplitud de una onda portadora sinusoidal para transmitir información. Esto genera bandas laterales superiores e inferiores que contienen la información. Un modulador combina matemáticamente la señal portadora y la señal moduladora para producir la onda AM final.
Proyecto de lab. Circuitos Electrónicos II UNSAAC(watner ochoa nuñez 171174)Watner Ochoa Núñez
Este documento presenta el diseño de un amplificador de audio clase AB. Describe los conceptos teóricos de los amplificadores de potencia como clase A, B, AB y D. Explica las etapas del amplificador como diferencial, de ganancia de voltaje y de salida. Luego, detalla el diseño del amplificador clase AB realizado, incluyendo análisis en corriente continua, corriente alterna y simulación. Finalmente, resume la construcción física del circuito y las conclusiones obtenidas.
Este documento trata sobre los filtros eléctricos, clasificándolos en pasivos y activos. Los pasivos solo utilizan elementos pasivos mientras que los activos incluyen amplificadores. Los filtros ideales no son realizables pero se pueden aproximar incrementando el orden. Los filtros de Butterworth tienen una respuesta más plana mientras que los de Chebyshev tienen una transición más abrupta pero rizado en la banda pasante. Se describen también los pasos para diseñar filtros pasivos de diferentes tipos y filtros activos usando amplificadores operacional
Este documento describe una serie de actividades prácticas realizadas en un laboratorio de electrónica. En la primera actividad, se generó una señal senoidal con un generador y se visualizó en un osciloscopio para determinar sus parámetros. En la segunda actividad, se generó otra señal y se midieron sus parámetros. En la tercera actividad, se generó una señal triangular y se midieron sus parámetros. Finalmente, en la cuarta actividad se generó una señal cuadrada y se varió el offset del generador para observar
autor: estudiantes EUITIZ
publisher: Daniel Garrido
licencia: Creative Commons
Universidad de Zaragoza - EUITIZ
@fomentemos el conocimiento colaborativo
Este documento contiene información sobre cálculos de directividad, anchos de haz y ganancia de antenas. Presenta fórmulas y ejemplos numéricos para calcular estas propiedades a partir de parámetros como la potencia de entrada, la eficiencia y el patrón de radiación de la antena. También incluye cálculos de densidad de potencia radiada a distintas distancias teniendo en cuenta estos parámetros.
Amplificadores diferenciales y en cascadaAnaCegarra
El documento describe diferentes tipos y aplicaciones de amplificadores operacionales. Específicamente, discute amplificadores diferenciales, los cuales amplifican la diferencia entre dos señales de entrada pero rechazan señales comunes a ambas entradas. También cubre el uso de múltiples amplificadores operacionales en cascada para lograr mayores ganancias totales, así como algunas aplicaciones comunes como convertidores y filtros.
El documento describe diferentes aplicaciones de amplificadores operacionales, incluyendo seguidores de tensión, amplificadores inversores y no inversores, y sumadores inversores ponderados. Un seguidor de tensión mantiene la tensión de entrada pero cambia la impedancia, un amplificador inversor invierte la fase de la señal de salida y su ganancia depende de las resistencias de realimentación y entrada, y un sumador inversor ponderado suma tensiones de entrada proporcional a las resistencias de cada rama.
Este documento describe cómo acoplar impedancias en una línea de transmisión utilizando un transformador de longitud λ/4 o stubs. Explica que un transformador de λ/4 actúa como un transformador de impedancia perfecto solo si su longitud es exactamente λ/4. También describe cómo los stubs, que son secciones cortas de línea que terminan en cortocircuito u circuito abierto, pueden usarse como elementos reactivos para acoplar impedancias. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para calcular los parámetros de un sistema de acoplam
Este documento trata sobre líneas de transmisión terminadas. Se introduce el concepto de reflexión en la carga y se define el coeficiente de reflexión. Se explica que la tensión y corriente en la línea son el resultado de la interferencia entre la onda incidente y la reflejada, dando lugar a ondas estacionarias. También se estudia la reflexión en posiciones arbitrarias de la línea y la conservación de la potencia.
El documento presenta 5 temas sobre teoría electromagnética para una evaluación. El primer tema involucra el cálculo de impedancias características para acoplar cargas a través de transformadores de cuarto de onda. El segundo tema involucra el cálculo de impedancias características y potencia para acoplar dos antenas. El tercer tema involucra el cálculo de potencia reflejada y transmitida a través de múltiples líneas de transmisión. El cuarto tema involucra el cálculo de una
1) Una línea de transmisión se puede representar como una cascada de cuadripolos, donde cada tramo se comporta como un circuito RC debido a la capacidad y inductancia distribuidas a lo largo de la línea. 2) Las ecuaciones del telegrafista describen la propagación de señales a lo largo de la línea ideal sin pérdidas, relacionando las variaciones espaciales y temporales de la tensión y corriente. 3) Al desacoplar estas ecuaciones se obtienen ecuaciones de onda que muestran que la línea
1. El documento describe los elementos básicos de los circuitos eléctricos, incluyendo elementos activos y pasivos, y las relaciones entre tensión e intensidad en resistencias, condensadores, bobinas y fuentes. 2. Explica cómo se pueden asociar elementos en serie y paralelo, y deriva las ecuaciones para calcular las tensiones, intensidades e impedancias equivalentes en dichas asociaciones. 3. También cubre temas como bobinas acopladas, transformadores ideales y la conversión de fuentes.
1) El documento describe la característica del diodo Zener y su uso como regulador de tensión. 2) Un diodo Zener mantiene la tensión constante entre sus extremos para un amplio rango de corriente inversa, lo que lo hace útil para aplicaciones de regulación. 3) El diseño de un regulador Zener requiere escoger una resistencia R de manera que el diodo permanezca en la región de tensión constante para todo el rango de entrada.
La línea de transmisión ideal es aquella adaptada, donde toda la potencia es absorbida por la carga y no hay pérdidas. Una línea infinitamente larga o terminada en su impedancia característica Z0 se comporta como si no tuviera ondas reflejadas. La velocidad de fase Vp es la velocidad a la que se propaga la onda a lo largo de la línea, mientras que la longitud de onda λ depende inversamente de la frecuencia f y directamente de la velocidad de fase.
identificacion de dispositivos electronicos 1002davidtorres383
Este documento proporciona información sobre los componentes electrónicos básicos como resistencias, condensadores, inductancias, diodos, transistores y circuitos integrados. Explica sus características, símbolos, unidades de medida y cómo se asocian en circuitos eléctricos. También describe dispositivos como transformadores, rectificadores y tipos de corriente eléctrica.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales aplicadas a transitorios de circuitos eléctricos. Explica diferentes tipos de circuitos RC y RL con varios tipos de excitación, como escalón y senoidal. Analiza las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de la corriente y tensión en cada circuito y cómo varían con el tiempo.
Este documento describe el modelo eléctrico equivalente de un transformador monofásico real, reconociendo tres limitaciones principales respecto al modelo ideal: 1) Las bobinas tienen resistencia eléctrica debido a la resistividad del conductor, 2) El núcleo de hierro tiene una permeabilidad magnética finita en lugar de infinita, y 3) Existe una inductancia mutua imperfecta entre las bobinas debido a fugas de flujo magnético.
1) El documento introduce conceptos básicos sobre la propagación de ondas a lo largo de líneas de transmisión, las cuales pueden modelizarse como una sucesión de cuadripolos de tamaño infinitesimal.
2) Para cada cuadripolo se aplica la aproximación cuasi-estática, representándose la línea como un circuito de parámetros distribuidos.
3) En el caso ideal, sin pérdidas, las ecuaciones resultantes describen ondas de tensión y corriente que se propagan a lo largo de la línea a
1) El documento introduce conceptos básicos sobre la propagación de ondas a lo largo de líneas de transmisión, las cuales pueden modelizarse como una sucesión de cuadripolos de tamaño infinitesimal.
2) Para una línea ideal sin pérdidas, las ecuaciones de las ondas de tensión y corriente a lo largo de la línea son ecuaciones acopladas conocidas como ecuaciones del telegrafista.
3) La solución a estas ecuaciones son ondas que se propagan a lo largo de la línea
El documento describe diferentes tipos de rectificadores no controlados. Explica que un rectificador convierte una tensión alterna en continua usando diodos. Luego detalla rectificadores monofásicos de media onda y onda completa, así como rectificadores trifásicos, analizando su funcionamiento, formas de onda y parámetros eléctricos como tensión media, eficaz y rendimiento.
Este documento proporciona una introducción a los componentes electrónicos básicos como resistencias, condensadores, inductancias, transformadores, diodos, transistores y circuitos integrados. Explica brevemente cómo funcionan y se asocian estos componentes, así como sus unidades y códigos de colores.
Practica 3 prelaboratorio y postlaboratorio francisco apostolFrancisco Apostol
Este documento contiene las respuestas a un pre-laboratorio sobre rectificadores y diodos Zener. Explica los conceptos de rectificadores de media onda y onda completa, describiendo sus circuitos y formas de onda. También describe el funcionamiento de rectificadores con filtro capacitivo y el análisis de su constante de tiempo. Finalmente, explica las características de un diodo Zener y su curva de voltaje-corriente.
Este documento describe diferentes tipos de diodos para aplicaciones especiales, incluyendo el diodo Zener, el diodo LED, el fotodiodo y el optoacoplador. Explica cómo funcionan estos diodos y sus aplicaciones comunes como reguladores de tensión, indicadores luminosos y aislamiento galvánico.
Divisor de tensión y divisor de corrienteIsrael Magaña
Clase de Divisor de tensión y divisor de corriente, enfocado a la carrera de ingeniería electromecánica, para la materia de circuitos eléctricos de corriente directa
Este documento describe conceptos generales sobre interruptores eléctricos, incluyendo su definición, transitorios que ocurren durante el cierre y apertura, y corrientes asociadas. También analiza las solicitaciones térmicas y electromagnéticas que experimentan los interruptores durante maniobras de cierre y apertura bajo condiciones normales y de falla. Explica factores como la velocidad de contacto, rigidez dieléctrica, y energía disipada por el arco eléctrico que afectan el desemp
El documento describe cómo resolver circuitos eléctricos RLC en paralelo usando la transformada de Laplace. Explica los componentes de un circuito RLC, incluyendo resistencias, condensadores e inductores. Luego, muestra cómo aplicar la transformada de Laplace para convertir las ecuaciones diferenciales del circuito en ecuaciones algebraicas complejas que pueden resolverse fácilmente. Finalmente, resuelve un ejemplo de circuito RLC en paralelo usando este método.
Este documento presenta las respuestas a un pre-laboratorio sobre rectificadores y diodos Zener. En la primera respuesta, se definen y dibujan rectificadores de media onda y onda completa, incluyendo puente y punto medio. La segunda respuesta describe las características de un diodo Zener, como mantener un voltaje constante cuando está polarizado inversamente. La tercera respuesta dibuja la curva característica de un diodo Zener, mostrando su zona operativa de voltaje constante.
1. Electromagnetismo 2004 6-33
6 - Líneas de Transmisión (cont.)
Adaptación de impedancias
Es común que se deba conectar una carga a una línea de impedancia característica diferente. En
tal caso existirá una onda reflejada que disminuye la potencia entregada a la carga y puede tener
efectos adversos en el generador, crear sobretensiones y sobrecorrientes sobre la línea capaces de
causar daños, etc. Para evitar estas situaciones problemáticas existen distintos mecanismos de
adaptación entre la línea y la carga. Veremos los más sencillos a continuación.
Como es lo habitual en las aplicaciones, supondremos que las líneas son ideales o de bajas pérdi-
das, por lo que tomamos reales a la impedancia característica y la constante de propagación. Por
simplicidad en la introducción también supondremos que la carga es real
• Transformador (línea) de cuarto de onda
Se trata de un trozo de línea de longitud La
y de impedancia característica Za. Para la
Z0 Za ZL
adaptación, se requiere que la impedancia
z de entrada del conjunto carga + adaptador
-La 0 sea igual a la impedancia característica de
Zin la línea original Z0:
Z L cos( k La ) + i Z a sen( k La )
Z in = Z ( − La ) = Z a = Z0
Z a cos( k La ) + i Z L sen( k La )
2
Luego: Z a Z L cos( k La ) + i Z a sen( k La ) = Z a Z 0 cos( k La ) + i Z L Z 0 sen( k La )
Para que se cunpla esta igualdad deben igualarse por separado las partes reales e imaginarias de
ambos miembros:
Z a Z L cos( k La ) = Z a Z 0 cos( k La )
2
Z a sen( k La ) = Z L Z 0 sen( k La )
La primera ecuación, si el coseno es no nulo, requiere que ZL = Z0, pero esto no ocurre por hipó-
tesis, ya que en tal caso no sería necesaria la adaptación. Entonces la igualdad sólo es válida si se
La π λ
anula el coseno: cos(k a La ) = 0 ⇒ k a La = 2π =n ⇒ La = n a
λa 2 4
Si n = 1 ⇒ L a = λ a / 4 y esta es la longitud más corta de la línea adaptadora, que por tal mo-
tivo se llama línea de cuarto de onda. Con esta condición el seno en la segunda ecuación vale 1
y se satisface la igualdad si: 2
Za = Z LZ0 ⇒ Z a = Z0 Z L
que es la media geométrica de las impedancias que se quieren adaptar.
Consideremos ahora la adaptación cuando la
carga es compleja. En este caso se coloca el
Z0 Za Z0 ZL
adaptador a una distancia L0 de la carga para la
′
cual la impedancia de entrada Z L es real y en-
-La-L0 -L0 0 z tonces: ′
Za = ZLZ0
ZL′ La adaptación por este método se realiza en for-
ma sencilla usando la carta de Smith que veremos más adelante.
La adaptación de impedancias por línea de cuarto de onda se da
una única frecuencia, aquélla en que La = λ /4
para Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultadade Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
2. Electromagnetismo 2004 6-34
• Adaptador (stub)
Muchas veces no es posible tener una línea con
la impedancia característica necesaria para un
Z0 ZL adaptador de cuarto de onda. Suele usarse un
stub, que habitualmente es un trozo de la misma
Z0 z línea que se conecta en paralelo con el conjunto
-ds 0 linea+carga para lograr la adaptación de impe-
cortocircuito dancias. Normalmente el extremo de carga (ex-
Ls
tremo lejano) del stub se cortocircuita para mi-
nimizar la emisión de radiación electromagnéti-
ca que podría causar interferencias.
El diseño del stub consiste en definir la longitud del stub Ls y la posición - ds en la que debe ubi-
carse. En el punto de conexión la admitancia del conjunto es la suma de las admitancias del stub
y la admitancia de entrada del conjunto línea+carga. Esa admitancia debe ser igual a 1/ Z0 para
la adaptación.
Si la carga es resistiva quedan las ecuaciones para las admitancias de entrada:
YL Y0 + (Y02 − YL2 )sen(2k d )
i
Y cos(k d ) + i Y0 sen(k d ) 2
línea+carga: Y (−d s ) = Y0 L = Y0 2
Y0 cos(k d ) + i YL sen(k d ) Y0 cos (k d ) + YL2 sen 2 (k d )
2
stub: Y (−Ls ) = −iY0 cotan(k Ls )
de modo que para adaptación: Y0 = Y ( − d s ) + Y ( − L s )
Y L Y 0 + (Y 02 − Y L2 )sen( 2 k d )
i
Operando: Y 0 = Y 0 2 2 − iY 0 cotan ( k L s ) de donde:
Y 0 cos 2 ( k d ) + Y L2 sen 2 ( k d )
2 2
Y LY0
2 2
=1 ⇒ ds =
λ
tan −1 ( Z L / Z0 )
Y cos ( k d s ) + Y sen ( k d s )
0 L 2π
(Y02 − Y L2 )sen( 2 k d ) = 2 cotan ( k L s ) ⇒ Ls =
λ 2 Z LZ0
tan −1
Y 0 cos 2 ( k d ) + Y L sen 2 ( k d )
2 2 2π Z L − Z0
Estas ecuaciones permiten diseñar la adaptación. Son válidas únicamente para cargas resistivas.
En el caso general de cargas no resistivas es más fácil utilizar la carta de Smith para diseñar los
adaptadores, cosa que veremos más adelante.
Ejemplo 6.12: Una línea de transmisión coaxil de tipo RG58 está terminada en una carga de
valor ZL = 175 Ω. Se desea acoplarla por medio de un coaxil adaptador de λ/4 a 10MHz.
Calcule la impedancia característica y la longitud del adaptador.
De la tabla de la p.6.10 tenemos que Z0 = 50Ω. La impedancia característica del adaptador
debe ser: Z a = Z 0 Z L ≈ 93.5 Ω
De la tabla de la p.6.10 se ve que el cable tipo RG62 A/U tiene la impedancia adecuada.
La velocidad de propagación es vf = 0.85c. La longitud del adaptador entonces es:
λa v
La = = a ≈ 6.38 m
4 4f
Ejemplo 6.13: Realice la adaptación del Ejemplo previo usando un stub cortocircuitado de la
misma línea.
2 Z LZ0
Las ecuaciones de diseño son: ds =
v
2π f
tan −1 ( Z L / Z0 ) Ls =
v
2π f
tan −1
Z −Z
L 0
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
3. Electromagnetismo 2004 6-35
De la tabla de la pág. 235 se tiene para el cable RG58: Z0 = 50Ω , vf = 0.66c y entonces:
2 Z LZ0
ds =
v
2π f
tan −1 ( )
Z L / Z 0 ≈ 3.4m Ls =
v
2π f
tan −1
Z L − Z0
≈ 3.09m
Nuevamente en este caso la adaptación funciona a una única frecuencia, porque los parámetros
de diseño son proporcionales a la longitud de onda en la línea a la frecuencia de adaptación. Si se
cambia esta frecuencia se debe cambiar la longitud del stub y su posición. La longitud se puede
modificar con cierta facilidad, colocando un cortocircuito móvil en el extremo de carga, pero la
posición es difícilmente variable. Sin embargo, si se usan dos o más stubs es posible variar la
frecuencia de adaptación cambiando únicamente sus longitudes1.
Carta de Smith
La impedancia de onda relativa a la impedancia característica puede escribirse:
i ( 2 kz +ϕ )
Z ( z ) e − ikz + ρ L e ikz 1 + ρ L e i 2 kz 1 + ρ L e
= − ikz = =
Z0 e − ρ L e ikz 1 − ρ L e i 2 kz 1 − ρ L e i ( 2 kz +ϕ )
1+ w
Esta ecuación es del tipo: z = donde z = r + i x y w = u + iv.
1− w
Tal ecuación se conoce como una transformación bilineal (se puede demostrar fácilmente que
z −1
w= ) y se caracteriza porque las líneas de r constante o las líneas de x constante resultan
z +1
circunferencias en el plano w. Como ρ L ≤ 1 el diagrama completo se halla dentro del círculo de
radio unitario. Podemos demostrar que la forma de las curvas de de r constante o x constante
son circunferencias:
1 + u + iv (1 + u + iv )(1 − u + iv ) 1 − u 2 − v 2 + i 2 v
Partimos de: r + ix = = =
1 − u − iv (1 − u ) 2 + v 2 (1 − u ) 2 + v 2
1− u2 − v2 2v
Luego: r= x=
(1 − u ) 2 + v 2 (1 − u ) 2 + v 2
1− u2 − v2
de donde: r= ⇒ (1 + r ) u 2 − 2 r u + (1 + r )v 2 = 1 − r
(1 − u ) 2 + v 2
2 2
completamos cuadrados: u2 − 2
r r
u+ 2 1− r + r
+v =
1+ r 1+ r 1+ r 1+ r
y finalmente: [u − r (1 + r )] + v 2 = 1 (1 + r )
2 2
de donde se ve que las líneas de r constante son circunferencias de radio 1 /(1 + r ) y centradas
en el punto r /(1 + r ) .
Se ve también que el círculo para r = 0 tiene la ecuación u 2 + v 2 = 1 y coincide con el círculo
exterior de la carta y que el círculo para r → ∞ tiene la ecuación [u − 1] + v 2 = 0 y coincide con
2
el punto (1,0).
Análogamente, de la ecuación para x:
2v v v 1 1
x= 2 2
⇒ (1 − u ) 2 + v 2 − 2 = 0 ⇒ (1 − u ) 2 + v 2 − 2 + 2 = 2
(1 − u ) + v x x x x
y finalmente: [u − 1]2 + [v − 1 / x ]2 = 1 / x 2
1
Ver, por ejemplo, R. Neli Vera, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill Interamericana, México,. 199, pp. 182 y
posteriores.
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
4. Electromagnetismo 2004 6-36
de donde se ve que las líneas de x constante son circunferencias de radio 1 / x y centradas en el
punto (1, 1 / x ) .
Para x = 0 el radio se hace infinito y la curva coincide con el eje real. Para x → ∞ se tiene la
ecuación [u − 1] + v 2 = 0 , que nuevamente coincide con el punto (1,0).
2
En este diagrama los ejes (u,v) representan las partes real e imaginaria del complejo ρLei(2kz+ϕ)
mientras que r = Re[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el eje horizontal) y
x = Im[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el círculo exterior) son los valores, normalizados a la
impedancia característica de la línea, de la parte real e imaginaria de la impedancia de onda.
Por convención, el ángulo ϕ del fasor ρL se mide desde el eje real positivo en sentido antihorario.
iv Variar la posición sobre la línea impli-
ρL=1
ca cambiar el ángulo de fase del com-
λ hacia el generador i1 plejo (u, v), lo que implica girar alre-
ϕρ , ϕτ
i0 5 i2 dedor del centro del diagrama a ρL
constante (ρL es constante porque de-
pende de las impedancias característica
y de carga, pero no de la posición en la
línea).
Como los ángulos aumentan conven-
O u cionalmente en el sentido antihorario,
0
02 05 1 2 y el sentido positivo de la coordenada z
es hacia la carga, un giro antihorario
representa un movimiento hacia la
carga, y el giro horario un movi-
ρL=0.5
miento hacia el generador. El círculo
exterior del diagrama permite medir
-i0 5 -i2 estos desplazamientos, calibrados en
λ hacia la carga
-i1 longitudes de onda. El cero de despla-
zamiento se coloca sobre el eje real
negativo. Dado que se miden diferen-
cias de longitud (la posición a lo largo de la línea
respecto de la posición de la carga) no importa
dónde se ponga el cero.
La carta de Smith se usa para calcular impedan-
cias de entrada, ROE, coeficientes de reflexión y
otros datos sólo con una regla y un compás, sin
usar funciones trigonométricas o hiperbólicas, lo
que facilita los cálculos. Aunque hemos deducido
sus ecuaciones para líneas sin pérdidas (Z0 real),
es posible extender su uso a líneas con bajas pér-
didas. En la figura se muestra una carta estándar
(archivo SMITH.PDF).
Las aplicaciones de cálculo básicas de la carta
de Smith a líneas sin pérdidas son:
• Dada Z(z) obtener ρ(z)
Dada ρ(z) obtener Z(z)
• Dados ZL y ρL obtener Z(z) y ρ(z)
Dados Z(z) y ρ(z) obtener ZL y ρL
• Hallar posiciones y valores de máximos y mínimos de tensión sobre la línea.
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
5. Electromagnetismo 2004 6-37
• Hallar la ROE.
• Dada Z(z) obtener Y(z)
Dada Y(z) obtener Z(z)
Ejemplos de uso de la carta de Smith
La operación básica con la carta de Smith consiste en ubicar una impedancia, como se explica en
el siguiente ejemplo:
Ejemplo 6.14: Ubicar sobre la carta de Smith las siguientes impedancias:
iv a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una
reactancia inductiva XB = i10Ω. c) Una
i1 reactancia capacitiva XC = -i50Ω. d) Una
i2 impedancia RL serie ZD = (15 + i10)Ω. e)
i0 5
Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocir-
cuito ZF = 0. Usar como impedancia de
normalización el valor Z0 = 50Ω.
B a) z A = Z A / Z 0 = RA / Z 0 = 3 (A)
D
A b) z B = Z B / Z 0 = X B / Z 0 = i 0.2 (B)
F O E u
0
02 05 1 2 c) z C = Z C / Z 0 = X c / Z 0 = −i 1 (C)
d) z D = Z D / Z 0 = 0.3 + i 0.2 (D)
e) zE = Z E / Z0 → ∞ (E)
f) zF = Z F / Z0 = 0 (F)
-i0 5 C -i2 Ejemplo 6.15: Una línea de 50Ω está ter-
-i1 minada por una resistencia de 30Ω en se-
rie con una reactancia capacitiva de 40Ω.
Hallar: a) ρL y ROE, b) la impedancia de
entrada si la longitud de la línea es L = 0.1 λ y c) los valores de longitud de línea que llevan
a una impedancia de entrada pura-
iv mente resistiva y los valores de estas
impedancias.
i1
Para utilizar la carta de Smith prime-
i2
i0 5 ro expresamos la impedancia de car-
ga normalizada a la impedancia ca-
racterística:
Z L 30 − i 40
= = 0 .6 − i 0 .8
Z0 50
y entonces marcamos en la carta de
O u Smith el punto A en la intersección
C D
0
02
de los círculos r = 0.6 y
05 1 2
B x = - 0.8.
a) La distancia desde A al centro del
diagrama da ρL= 0.5 y la prolon-
(l0+L)/λ A gación de este segmento hasta el
círculo de ángulos exterior da ϕ = 90°
ρL (trazos en negro).
-i0 5 ϕ 1+ ρL 1 + 0.5
-i2 Además ROE = = =3
-i1 1 − ρL 1 − 0. 5
Podemos sacar el valor de ROE de la
l0/λ
carta de Smith. Como depende sola-
mente de ρL, una carga resistiva pura con el mismo ρL dará el mismo ROE.
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
6. Electromagnetismo 2004 6-38
Como para RL > Z0 : ρ L = (R L − Z 0 ) (R L + Z 0 ) ⇒ R L Z 0 = (1 + ρ L
′ ′ ′ ) (1 − ρ ) = ROE
L
y el valor del ROE coincide con la resistencia normalizada que da el mismo valor de ρL.
Se usa este hecho y se traza en la carta de Smith el arco de circunferencia centrada en el
centro del diagrama hasta el eje x = 0 para r > 1. El valor obtenido de r en el cruce D (3)
es igual al ROE (trazo en verde).
b) Para calcular la impedancia de entrada buscamos la posición donde el radio del diagrama
que pasa por A corta al círculo perimetral marcado “hacia el generador”. Resulta l0/λ =
0.375. Este es un valor de partida arbitrario. Si ahora nos desplazamos hacia el generador
(en el sentido horario) sobre el círculo de ρL = cte. (ρL depende solamente de la carga y
Z0) en 0.1λ, de acuerdo al enunciado del problema, tendremos:
(l0+L)/λ = 0.375 + 0.1 = 0.475.
El punto B así obtenido tiene r = 0.34 y x = 0.14 , o sea Zin = (17 – i 7)Ω (trazos en azul).
c) Finalmente, las longitudes de las líneas con impedancia de entrada resistivas corresponden
a los puntos de intersección sobre el eje real (x = 0) de la circunferencia que pasa por A,
recorrida en el sentido horario. El primer punto de cruce es el C (separado del A en λ/4)y
luego el D (separado del C en λ/4) (trazos en violeta).
Carta de admitancias
Dado que la admitancia Y = 1/Z satisface las mismas ecuaciones que la impedancia de onda, la
carta de Smith es también un diagrama de admitancias normalizadas a Y0 = 1/Z0. La trans-
formación bilineal es:
i ( 2 kz + ϕ ) i ( 2 kz + ϕ )
Z ( z) 1 + ρ L e Y ( z) 1 − ρ L e 1 + ρ L e i ( 2 kz + ϕ+ π ) 1 + we iπ
= ⇒ = = ⇒ y=
Z0 1 − ρ L e i ( 2 kz + ϕ ) Y0 1 + ρ L e i ( 2 kz + ϕ) 1 − ρ L e i ( 2 kz + ϕ + π ) 1 − we i π
que es la misma ecuación de la carta de impedancias, pero aparece un ángulo de fase de π multi-
iv plicando al complejo w. Por ello, un punto de la carta
i1 de impedancias está sobre el círculo de ρL constante
i0.5 i2 separado 180° (π) del punto correspondiente a la mis-
A ma carta medida en admitancias. Por otra parte, las
escalas son iguales, de manera que donde se lee resis-
tencia (reactancia) en la carta de impedancias se debe
leer conductancia (susceptancia) en la de admitancias.
O u
0
0.2 0.5 1 2 En el siguiente ejemplo se usa la carta de Smith para
pasar de impedancia a admitancia en el caso de las
cargas del Ejemplo 6.14.
A´
Ejemplo 6.16: Ubicar sobre la carta de Smith las si-
-i0.5
-i2 guientes admitancias:
-i1 a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una reactancia in-
iv
ductiva XB = i10Ω. c) Una reactancia capacitiva
C´ i1 XC = -i50Ω. d) Una impedancia RL serie ZD = (15 +
i0.5 i2 i10)Ω. e) Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocircuito
ZF = 0. Usar como impedancia de normalización el
valor Z0 = 50Ω.
B
D a) y A = Y A / Y0 = Z 0 / G A = 1 / 3 (A´)
F A E u b) y B = YB / Y0 = Z 0 / X B = −i 5 (B´)
0 O
02 0.5 1 2
A´ D´ c) y C = YC / Y0 = Z 0 / X c = i 1 (C´)
B´ d) y D = YD / Y0 ≈ 2.3 − i 1.54 (D´)
e) z E = YE / Y0 = 0 (E)
-i0.5
C -i2
f) z F = YF / Y0 → ∞ (F)
-i1
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
7. Electromagnetismo 2004 6-39
Otra posibilidad de repre-
sentación de admitancias es
Z Y
girar todo el diagrama en π,
en lugar de girar cada punto,
con lo que se obtiene una
carta de admitancias como
la de la figura.
A la izquierda se muestra
una carta de Smith donde se
dibujan los círculos de im-
pedancias (en rojo) y de
admitancias (en azul) simultáneamente. En este
caso no es necesario girar en π la posición del
punto para pasar de una carta a la otra, sino que
basta con usar los círculos adecuados (archivo
SMITHZY.PDF).
En el siguiente ejemplo se diseña un stub paralelo
de adaptación usando la carta de Smith como carta
de impedancias y luego como carta de admitancias.
Ejemplo 6.17: Usar la carta de Smith para dise-
ñar un stub de adaptación entre una línea de
Z0 = 100 Ω y una carga real ZL = 500 Ω.
Vamos a usar la carta de Smith de impedancias.
La impedancia de carga normalizada es:
zL = Z L / Z0 = 5
Se ingresa a la carta en este punto (A). Se traza un círculo auxiliar concéntrico con la carta
que pasa por A. Este círculo es la curva de ρL y ROE constantes. Para adaptación debe-
mos pasar de A a O, el centro del dia-
iv
grama, donde ρL= 0. Como vamos a
ds colocar un stub en paralelo con la línea
i1
principal, nos conviene trabajar con
i0 5 i2 admitancias. Pasamos entonces de A al
punto correspondiente B (a 180°), don-
de la admitancia normalizada es yL=0.2.
C Para ubicar el stub nos movemos por el
círculo de ρL constante en sentido
horario (hacia el generador) hasta llegar
al círculo de admitancia real normaliza-
B O A u da igual a 1 (que coincide con el círculo
0
02 05 1 2 de impedancia normalizada igual a 1 -
punto C). Para adaptación sólo se re-
quiere agregar una susceptancia en
Ls paralelo de valor opuesto a la suscep-
tancia de C. La distancia ds = 0.183 λ
(en longitudes de onda) medida sobre el
círculo exterior de la carta entre los
-i0 5 radios que pasan por B y C es la distan-
-i2
D cia desde la carga a la que hay que po-
-i1 ner el stub. Para hallar la longitud del
stub, se observa que la impedancia
normalizada en C es yC = 1 + i 1.79, de
manera que el stub debe presentar una admitancia de entrada que anule la parte imagina-
ria: yS = - i 1.79. El stub cortocircuitado presenta una admitancia de entrada puramente
reactiva: Z ( −l s ) = i Z 0 tan ( k l s ) ⇒ Y ( −l s ) = −i Y 0 cot(k l s ) .
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
8. Electromagnetismo 2004 6-40
El lugar geométrico de esta impedancia (a medida que cambia ls es el círculo exterior de
radio unitario que corresponde a r = 0. Ubicamos entonces el punto D que define la admi-
iv tancia de entrada del stub sobre el cru-
ce del círculo de susceptancia bS = -i
D i1 1.79 con el círculo exterior, y midiendo
i2 sobre el círculo exterior la distancia
Ls i0.5 desde el punto de admitancia normali-
zada infinita (condición de cortocircuito
- eje real positivo) se obtiene Ls = 0.08 λ
que es la longitud (mínima) requerida
del stub.
Si se trabaja con la carta de admitan-
O B u cias, se parte desde B ( y L = 0.2) y se
∞ 25 1 05 0.2 0 gira a ρL constante hasta alcanzar el
círculo de conductancia normalizada
unitaria (C). Se mide sobre la escala de
C longitudes de onda la posición del stub,
como antes. Luego se ubica el punto D,
que neutraliza la impedancia de entrada
de la línea en el punto de conexión del
-i2 -i0 5
stub y se mide la longitud necesaria del
ds stub. Naturalmente los valores obteni-
-i1 dos son los mismos que en la construc-
ción previa.
Ejemplo 6.18: Usar la carta de Smith para diseñar un adaptador de cuarto de onda entre una
línea de Z0 = 100 Ω y vf = 0.87c y una carga ZL = 150(1+i) Ω a 20 MHz.
Este es un caso donde el uso de la
carta de Smith es mucho más sen-
Z0 Za Z0 ZL cillo que la resolución analítica. En
la sección de adaptación vimos có-
z mo adaptar una carga real a una
-za línea de impedancia característica
Zin 0
real, pero en este caso tenemos una
carga de impedancia compleja.
La solución consiste en intercalar el adaptador a una distancia za de la carga, de manera
que la impedancia de entrada Zin del conjunto línea+carga sea real, como se muestra en la
figura. La determinación de esta posición
iv se complica matemáticamente si se desea
resolver el problema analíticamente, pero
i1 es muy fácil con la carta de Smith.
i0 5 i2 Comenzamos calculando primero la impe-
dancia de carga normalizada:
z L = Z L / Z 0 = 1.5 + i 1.5
y determinamos el punto A en la carta.
Cualquier posición en la línea estará sobre
la circunferencia centrada en la carta y
A zs que pasa por A. Para hallar la posición
O u
0 donde se debe intercalar el adaptador de
02 05 1 2 B cuarto de onda, nos movemos desde A
hacia el generador (en sentido horario)
hasta el primer cruce con el eje real. Esto
ocurre en el punto B. Podemos leer en la
escala exterior la longitud del arco que nos
da la posición deseada zs para el adapta-
′
dor, y del eje real la impedancia (real) Z L
-i0 5 -i2 en ese punto, que será la impedancia que
-i1 hay que adaptar a la línea.
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
9. Electromagnetismo 2004 6-41
En nuestro caso:
vf
zs ≈ 0.056 λ = 0.056 ≈ 0.73 m
f
′
Z L ≈ 3.35 Z 0 ≈ 335 Ω
de donde:
′
Z a = Z 0 Z L ≈ 1.83 Z 0 ≈ 183 Ω
λa v f
La = = ≈ 3.26 m
4 4f
Aplicación a circuitos de constantes concentradas
La carta de Smith no es sólo aplicable a circuitos con líneas. Se puede usar para diseñar circuitos
concentrados con la misma simplicidad, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 6.19: Determinar la impedancia de entrada del circuito de la figura. Datos: R1 = 50 Ω,
R2 = 15 Ω, L1 = 8 µHy, L2 = 26.5 µHy, C1 = 3 nF, C2 = 50 nF, f = 1 MHz.
Para usar la carta de Smith debemos normalizar las impe-
dancias del circuito a un valor arbitrario. En el caso de las
C1 L1
R2 líneas elegimos la impedancia característica. En este caso
L2 R1 elegiremos el valor de la resistencia R. Asignamos a cada
elemento el valor de su impedancia normalizada a la fre-
C2 cuencia de trabajo:
Zin
iv R1 → r1 = 1 R 2 → r2 = R 2 / R1 = 0.3
L1 → x1 = iωL1 / R1 ≈ i L2 → x 2 ≈ 3.33 i
i1
C1 → x4 = 1 / iωC1 R ≈ −1.06 i
i0 5 i2
C2 → x5 ≈ −0.064 i
Con estos valores ubicamos primero la
B' impedancia serie zA = r+ix1 = 1+i en la
A carta de Smith (punto A). El siguiente paso
consiste en hallar la impedancia resultante
C' del paralelo de z1 con x2 , para lo cual de-
D
O u bemos transformar ambas impedancias en
0 admitancias:
02 5 1 2
zA → yA = 0.5(1-i) (punto A')
D' C x 2 → b2 = −1 / x 2 ≈ −0.3i
La admitancia resultante del paralelo de y1
A' y b2 se puede hallar en el diagrama de
B Smith moviéndonos sobre el círculo de
conductancia constante 0.3 en el sentido
-i0 5 de admitancia decreciente (porque b2 es
-i2
negativa) o sea en el sentido opuesto a las
-i1 agujas del reloj. Llegamos al punto B
[yB ≈ 0.5 - 0.8 i)]. Como el siguiente ele-
mento a combinar es en serie, volvemos al
diagrama de impedancias [punto B' : zB ≈ 0.56 + 0.9 i)]. Agregamos ahora la impedancia se-
rie x4 para lo cual nos movemos sobre el círculo de resistencia constante en el sentido an-
tihorario de reactancia decreciente (porque x4 es negativa) hasta llegar al punto C:
zC ≈ 0.56 - 0.16 i. Finalmente agregamos en paralelo la serie de R2 y C2: zC ≈ 0.3 - 0.064 i,
que corresponde a una admitancia yC ≈ 3.19 + 0.68i. Pasamos al diagrama de admitancias:
C → C' (yC ≈ 1.65 + 0.47 i) y giramos primero sobre un círculo de conductancia constante
+0.68i y luego sobre un círculo de susceptancia constante 3.19, para llegar al punto D
(yD ≈ 4.84 + 1.15 i). Finalmente invertimos el punto para volver al diagrama de impedan-
cias y llegamos al punto final D' : zD = zin ≈ 0.196-0.046 i ⇒ Zin ≈ (9.8 - 2.3i)Ω. Los valores
numéricos que aparecen en el texto salen de la carta y los valores intermedios no se re-
quieren para el resultado y se han dado solamente para referencia.
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
10. Electromagnetismo 2004 6-42
Ejemplo 6.20: Diseñar un circuito de adaptación entre un generador de impedancia interna
Zg = 50 Ω y una impedancia de carga ZL = (25 - 13.2i)Ω a la frecuencia de trabajo.
Para adaptación se requiere que la impedancia de entrada Zin sea
igual a la impedancia del generador Zg.
Zg
Ubicamos en la carta de Smith la impedancia del generador y la
Vg ZL impedancia de carga normalizadas a Zg :
Zin zg = 1 (O) zL = 0.5 - 0.264i (A).
iv Para pasar de A a O podemos ir por varios
caminos. Elegimos el camino de la figura
i1 donde vamos primero en sentido horario
i0 5 i2 sobre el círculo de reactancia constante
hasta alcanzar el círculo r = 1, y luego por
este círculo hasta el punto O. Esto implica
agregar una impedancia serie RL:
z = 0.5 + 0.264i ⇒ Z = (25 + 13.2i)Ω,
que es una solución trivial del problema.
O u Esta solución tiene una respuesta en fre-
0 cuencia del tipo de un pasabajos. Es posi-
02 05 1 2
ble obtener otras soluciones de diferentes
A respuestas en frecuencia modificando el
camino desde A hacia O, lo que implica
elegir otros circuitos de adaptación.
-i0 5 -i2
-i1
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
11. Electromagnetismo 2004 6-43
Líneas resonantes
Además de transmitir energía e información de un punto a otro, las líneas se pueden usar como
elementos de circuito, fundamentalmente por su propiedad de lograr cualquier impedancia de
entrada en función de su longitud y su carga. Esta situación es muy común en la actualidad, en
que se integran líneas de transmisión o guías de onda en chips para microondas.
En particular, la posibilidad de tener ondas estacionarias lleva a que las líneas se puedan usar
como circuitos resonantes o sintonizados.
Consideremos primero una línea supuestamente ideal cortocircuitada en ambos extremos. El
generador se coloca en algún punto intermedio que consideraremos más adelante. Las ondas
(estacionarias) de tensión y corriente en la línea son:
V
v( z , t ) = 2 V+ sen(ωt ) sen( kz ) i( z, t ) = 2 + cos(ωt ) cos( kz )
Z0
Veamos si estas expresiones satisfacen las condiciones en los extremos de la línea. La tensión se
anula sobre el extremo de carga (z = 0) pero debe también anularse sobre el extremo opuesto
(z = -l). Entonces:
λ c n
sen( kl ) = 0 ⇒ kl = n π ⇒ ln = n = n ⇒ ln =
2 2f 2 f LC
lo que significa que, para una dada frecuencia de excitación, la longitud de la línea no puede ser
cualquiera, sino solamente alguno de los valores discretos ln . Viceversa, para una línea de lon-
gitud y parámetros dados, sólo se pueden establecer ondas con un conjunto discreto de frecuen-
cias:
1 n
l=n ⇒ fn =
2 f n LC 2 l LC
Un elemento circuital o un circuito que selecciona frecuencias es un circuito resonante o sinto-
nizado. Para esta aplicación pueden usarse líneas que habitualmente se cortocircuitan en ambos
extremos para minimizar la radiación de interferencias.
Ahora podemos analizar la posición del generador que alimenta la línea. Suponemos que es un
generador de tensión ideal (impedancia interna nula), y podemos colocarlo en la posición de un
antinodo cualquiera de la onda estacionaria:
π ( 2 m + 1)
sen( kz ) = 1 ⇒ - kz m = ( 2 m + 1) ⇒ zm = −
2 4f LC
donde se toman valores negativos de zm por la
convención de colocar el origen de coordena-
V0 das sobre la carga. Entonces queda definido el
valor de V+: 2V+ = V0, donde V0 es la tensión
del generador.
z
l zm 0
Energía y Q
La energía almacenada en la línea, que está asociada a sus componentes reactivos, se puede cal-
cular apelando al modelo circuital. Cada dz de línea tiene una inductancia Ldz y una capacidad
Cdz. La energía almacenada en estos elementos es:
2
1
dU = L i
2
( )
2 ( z , t ) + C v 2 ( z , t ) dz = 1 L V0 cos 2 (ωt ) cos 2 (kz ) + C V 2 sen 2 (ωt ) sen 2 (kz ) dz
2 Z0
0
Entonces:
1
(
dU = C V0 cos 2 (ωt ) cos 2 (kz ) + sen 2 (ωt ) sen 2 (kz ) dz
2
2 )
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
12. Electromagnetismo 2004 6-44
y tomando el promedio temporal:
1
4
2 ( 1
4
2 )
< dU >= C V0 cos 2 (kz ) + sen 2 (kz ) dz = C V0 dz
1
Finalmente, integrando a toda la línea: < U n >= C V 02 l n
4
Consideremos ahora una línea con pérdidas. Si las pérdidas son bajas, como es el caso en la ma-
yoría de las líneas comerciales, podemos suponer que la distribución de tensión y corriente no
será muy diferente que en el caso ideal, y podemos calcular la potencia perdida para cada tramo
dz de la línea como:
V 2
dW = Rdz i 2 ( z , t ) + Gdz v 2 ( z , t ) = R 0 cos 2 (ωt ) cos 2 ( kz ) + G V0 sen 2 (ωt ) sen 2 (kz ) dz
2
Z0
1 2 R G
y tomando el promedio temporal: < dW >= CV0 cos 2 (kz ) + sen 2 (kz ) dz
2 L C
1 R 0 G
0
Integrando a toda la linea: < W >= CV02 ∫ cos 2 (kz ) dz + ∫ sen 2 ( kz ) dz
2 L −l C −ln
n
y como k = nπ /ln :
1 0
2 R 2 nπ G
0
nπ 1 R G
z ) dz ⇒ < Wn >= CV02 + l n
L −∫
< W >= CV0 cos ( z ) dz + ∫ sen 2 (
2 ln C −l n ln 4 L C
ln
Un circuito resonante tiene como misión almacenar energía. Cuanto mayores son las pérdidas
menor es la calidad del circuito como resonante. Esta característica se suele medir por el llamado
factor de calidad o factor de mérito:
energía media almacenada <U > <U >
Q = 2π = 2π =ω
potencia media disipada por ciclo <W > / f <W >
Usando las expresiones que hemos hallado:
1
CV 02 l n 1 2π
<U > 4 Qn = =
Q =ω =ω ⇒
<W > 1 R G (R ω n L + G ω n C ) R f n L + G f n C
CV 02 + l n
4 L C
Se observa que para una línea de bajas pérdidas Qn >> 1 ya que en tal caso cada término del
denominador es mucho menor que 1. La frecuencia que aparece en la expresión de Qn es una de
las posibles frecuencias de resonancia fn del circuito, y el valor de Qn calculado corresponde a
esa frecuencia.
En resonancia, el generador (supuestamente conectado en un antinodo de la tensión) ve una im-
pedancia infinita cuando la línea es ideal. Cuando hay pérdidas, la potencia perdida debe ser su-
ministrada por el generador, de manera que la impedancia que el generador ve debe ser ahora
finita y real y de valor tal que la potencia que el generador le suministra sea igual a la potencia
disipada en la línea. Podemos calcular así la resistencia de entrada (en resonancia) de la línea
vista por el generador:
1 V02 1 R G 4 4Q
< W >= = CV02 + l n de donde Ri =
=
2 Ri 4 L C ωC (R ωL + G ωC )nλ ω C n λ
2 Qn Z 0
y finalmente nos queda, en función del Q de la línea: R in =
πn
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
13. Electromagnetismo 2004 6-45
Ancho de banda
Podemos analizar el comportamiento en frecuencia alrededor de la resonancia considerando aho-
ra que variamos ligeramente la frecuencia del
generador respecto de una de las frecuencias de
V0 resonancia del circuito. Para analizar el resultado
de esta variación de frecuencia, el circuito se
puede pensar como un generador conectado a dos
líneas en paralelo y cortocircuitadas en sus ex-
l1 l2 tremos de carga. Las longitudes de cada línea
son, respectivamente, l1 y l2. En resonancia, estas longitudes son múltiplos impares de λ/4 y la
impedancia de entrada del paralelo de ambas líneas es Ri, pero deja de tener este valor fuera de
resonancia. Como se trata de líneas cortocircuitadas de bajas pérdidas, fuera de resonancia sus
impedancias de entrada son fundamentalmente reactivas, por lo que en el siguiente análisis des-
preciamos momentáneamente la parte resistiva. Como las dos líneas están en paralelo, es conve-
niente trabajar con las admitancias (susceptancias). En resonancia:
i Bi = −i Y0 [cot(β l1 ) + cot(β l 2 )] → 0
Fuera de resonancia podemos escribir: β = ω / c = ω 0 (1 + δ ) / c donde ω0 es una de las frecuen-
cias de resonancia y δ<<1 representa un corrimiento relativo de frecuencia.
ω (1 + δ ) π π
Luego: β l1 = 0 l1 = β 0 l1 (1 + δ ) = n1 (1 + δ ) y análogamente: β l 2 = n 2 (1 + δ )
c 2 2
π π
Luego tenemos: i Bi = −i Y0 cot n1 (1 + δ ) + cot n1 (1 + δ )
2 2
π π π
Pero para n1 impar: cot n1 (1 + δ ) = − tan n1 δ ≅ − n1 δ
2 2 2
π π nπ δ
y entonces: i B i = −i Y0 − n1 δ − n 2 δ = i Y0
2 2 2
Finalmente, incorporando la resistencia de entrada, la admitancia que ve el generador fuera de
resonancia es, aproximadamente:
π n Y0 nπ δ nπ 1 nπ 1 ω − ω0
Yi = 1 / Ri + i Bi ≅ + i Y0 = Y0 + i δ =
Q Y0 + i
Q
2Q 2 2 2 ω0
2 2 2 2
nπ 1 ω −ω0 2 Z0 1 ω −ω0
y entonces: Yi = Y0 Q + ω
⇒ Zi = +
Q ω
2 0 nπ 0
Si graficamos el módulo de la impedancia de entrada en función de la frecuencia ω obtenemos
la clásica curva de resonancia:
El valor mínimo de admitancia (o el máximo de im-
Zi/Ri
pedancia) de entrada se da para la resonancia ω = ω0:
1 nπ 2Q
Yi min = Y 0 ⇒ Z i MAX = Z 0 = Ri
2Q nπ
y es la resistencia de entrada Ri ya calculada. Defini-
1 2 mos el ancho de banda ∆ω entre las dos frecuencias
a ambos lados de la resonancia para las cuales la im-
pedancia de entrada cae a 1 / 2 de su valor máximo,
o lo que es lo mismo, la admitancia de entrada es 2
ω/ ω0 veces el valor mínimo:
2∆ω
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
14. Electromagnetismo 2004 6-46
2 2 2
n πY 0 1 ω −ω0 n πY 0 1 ω −ω0 2
Yi =
2 Q ω
+ = 2 Y i min = 2
2Q
⇒
Q 2
+
ω = 2
Q
0 0
ω ω
y finalmente: ω − ω 0 = ± 0 ⇒ ∆ω = 0 de donde: Q n = ω 0 n / ∆ω n = f 0 n / ∆f n
Q Q
Podemos observar que a estas frecuencias la parte real y parte imaginaria de la admitancia de
entrada (o de la impedancia de entrada) son iguales.
La ecuación hallada vincula los tres parámetros fundamentales de la
resonancia: la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el Q.
Ejemplo 6.21: Una línea de parámetros L = 1.2 µHy/m, C = 30 nF/m, R = 0.01 Ω/m,
G = 10--41/Ωm se usa como circuito sintonizado. a) Hallar la mínima longitud para tener
una frecuencia de resonancia de 10MHz. b) Determinar las posibles posiciones de la en-
trada al circuito. c) Calcular el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el ancho de
banda del circuito sintonizado.
n 1
a) Las frecuencias de resonancia son: f n = ⇒ l min = l = ≈ 26.35 cm
2 l LC 2f LC
b) Las posiciones de los antinodos, posibles posiciones de entrada al circuito, son:
( 2 m + 1)
zm = − = (m + 1 / 2 )l ⇒ z 0 = l / 2 ≈ 13.17 cm
4f LC
ya que sólo se puede tomar m = 0.
2πf 2Q Z0
Q= ≈ 5386 Ri = π ≈ 21.68 KΩ
c) (R / L + G / C ) ⇒
f
R + iωL ∆f = ≈ 1.86kHz
Z0 = ≈ 6.3 Ω
G + iωC Q
Se observa que el ancho de banda es muy bajo comparado con el valor de la frecuencia
central, lo que se asocia al alto valor del Q.
Ejemplo 6.22: Un tramo de coaxil RG11 se usa para crear un circuito resonante a 100 MHz.
Hallar la longitud necesaria del cable, el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el
ancho de banda del circuito sintonizado.
De la tabla de la p.6.10, los parámetros del coaxil RG11 son:
Diámetro (2b) Z0 v/c C α (a 100 MHz)
mm Ohm pF/m dB/m
10.3 75 0.66 67 0.069
1 v
La longitud mínima del circuito sintonizado es: l= = ≈ 1m
2 f LC 2f
πf L πf
Q = α Z = α v ≈ 200
0
Como: Q ≈
2 πf R 2Q Z0
y α= ⇒ Ri = ≈ 9 .5 K Ω
R/L 2Z 0 π
∆f = f ≈ 0.5 MHz
Q
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
15. Electromagnetismo 2004 6-47
Transitorios en líneas
Es muy común el uso de líneas de transmisión para propagar pulsos que codifican información.
Un tren periódico de pulsos se puede representar mediante una serie de Fourier que es una su-
perposición de ondas armónicas (un pulso no periódico requiere una integral de Fourier, que
también representa una superposición de ondas armónicas). Es posible entonces analizar el pro-
ceso para cada frecuencia y finalmente superponer los resultados, ya que las ecuaciones diferen-
ciales que describen el comportamiento de las líneas de transmisión son lineales. Este análisis se
hace entonces en el dominio de la frecuencia.
Sin embargo, en muchos casos es más instructivo analizar el comportamiento de la señal com-
pleta sin descomponerla por Fourier. Este análisis se hace en el dominio del tiempo, y es el que
vamos a usar en esta sección.
Rs Consideremos una línea sin pérdidas
que conecta una batería de impedan-
Vs cia interna resistiva Rs a una resisten-
Z0 RL cia de carga RL. En el instante t = 0
se cierra el interruptor que conecta el
generador a la línea. La onda inicial o
z
de arranque “ve” solamente la serie
-l 0 de Rs y Z0.
Entonces la corriente para z = -l, t = 0+ es: I(-l,0+) = I0 = Vs /(Rs+Z0) y la tensión inicial es:
V(-l,0+) = V0 = I0 Z0 = Vs Z0/(Rs+Z0).
Después de cerrar el interruptor las ondas i+ = I0 y
v+ = V0 se propagan hacia la carga con la velocidad
c = 1 / LC . Como esta velocidad es finita, el frente de
c ondas tarda t = l / c en llegar a la carga e interaccio-
1
nar con ella. En ese momento la tensión y corriente en
la carga serán la superposición de las ondas incidente y
la reflejada:
V (0, t1 ) = v+ + v− = (1 + ρL )V0
I (0,t1) = i+ + i− = (1− ρL ) I0
Z L − Z0
donde ρL = es el coeficiente de reflexión en la carga.
ZL + Z0
Las ondas reflejadas i- = ρL I0 y v- = ρL V0 viajan ahora hacia el generador (las ondas inciden-
tes siguen propagándose desde el generador hacia la carga). En el instante t = 2 t1 las ondas re-
flejadas llegan al generador, donde la nueva desadaptación de impedancias crea una nueva onda
“reflejada” progresiva:
V (−l,2t1 ) = v+ + v− + v′ = (1 + ρL )V0 + ρs ρL V0 = (1 + ρL + ρL ρs )V0
+
I (−l,2t1) = i+ + i− + i+ = (1 − ρL ) I0 − ρs (−ρL I0 ) = (1 − ρL + ρL ρs ) I0
′
Zs − Z0
donde ρ s = es el coeficiente de reflexión en el generador.
Zs + Z0
Esta nueva onda progresiva viaja hacia la carga, donde llega para t = 3t1 , instante en el que se
genera una nueva onda regresiva: El proceso de reflexiones múltiples se puede ver más fácil-
mente mediante los diagramas de rebote o diagramas de malla de Bewley, que se muestran a
continuación:
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
16. Electromagnetismo 2004 6-48
z = -l z=0 z = -l z=0
V I
ρs ρL ρs ρL
1 1
t1
ρL − ρL
2t1
ρ Lρ s ρ Lρ s
3t1
ρ2ρs
L
− ρ2ρs
L
4t1
ρ2ρ2
L s ρ2ρ2
L s
5t1 − ρ3ρ2
ρ3ρ2
L s L s
6t1
Se ve claramente cómo se forma cada serie de términos que dará el valor final de la tensión y la
corriente sobre la línea después de los múltiples rebotes. Salvo en los casos de generador ideal y
carga en cortocircuito o circuito abierto, en que se producen oscilaciones permanentes, como se
analizó en la sección previa, como ρ<1 cada término es menor que el precedente y la serie
finalmente converge a un valor límite. Vamos a analizar las formas de onda que se obtienen
cuando se colocan diversas impedancias de carga.
Ejemplo 6.23: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador y
la carga para una línea de Z0 = 50 Ω, conectada a un generador de tensión de 10V con re-
sistencia interna Rs = 10 Ω. La impedancia de carga es RL = ∞ (circuito abierto).
Las amplitudes de las ondas progresivas que viajan por la línea luego de cerrar el inte-
Z 0 Vs V
rruptor son. V0 = ≈ 8.33V I 0 = 0 ≈ 0.167 A
Rs + Z 0 Z0
R − Z0 Rs − Z 0
Los coeficientes de reflexión son: ρL = L =1 ρs = = −0.667
RL + Z 0 Rs + Z 0
Realizamos la serie que describen los diagramas de Bewley para obtener las siguientes
gráficas (tensiones en V y corrientes en A):
V(-1,t) I(-1,t)
V(0,t)
I(0,t)
20 0.2
16.67 0.167
11.11 12.9 0.074
9.26 0
1
8.33 5.56 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t
-0.111
-0.2
0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t
Se observa que la tensión y la corriente a la entrada de la línea oscilan tendiendo a su va-
lor final V (0, ∞ ) = V ( −l , ∞ ) = V s = 10 V , que corresponde al estado estacionario (de corriente
continua) donde ya no hay ondas viajeras en la línea. La línea es en estas condiciones un
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
17. Electromagnetismo 2004 6-49
cortocircuito y la tensión final sobre la carga es la misma que la tensión de entrada (e igual
a la tensión de la fuente porque no circula corriente por estar la carga en circuito abierto).
La corriente sobre la carga es siempre cero, como debe ser, y la corriente en la entrada
tiende a su valor final cero.
Ejemplo 6.24: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de
la línea del ejemplo anterior para RL = 0 Ω (cortocircuito).
Los coeficientes de reflexión son: ρ L = −1 ρ s = −0.667 V0 e I0 tienen los mis-
mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:
V(-1,t) I(-1,t)
V(0,t) I(0,t)
10 1
8.33
0.704
0.629
5.56
5 0.444 0.556
3.7 0.5
0.333
0.167
0
0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t
La tensión a la salida es siempre cero, por el cortocircuito, mientras que a la entrada tien-
de a su valor límite nulo de corriente continua. La corriente tiende en ambos extremos de
la línea a su valor límite de continua que vale I (0, ∞ ) = I ( −l , ∞ ) = V s / R s = 1 A
A tiempo infinito, ya no hay ondas viajeras por la línea y ésta se comporta como un corto-
circuito por el que circula corriente estacionaria.
De estos ejemplos se observa que, en el caso de carga a circuito abierto, la tensión en el extremo
del generador oscila alrededor del valor límite de continua (la tensión del generador) mientras
que en el caso de carga cortocircuitada la tensión de entrada tiende monótonamente a cero.
Vemos ahora qué ocurre con una impedancia de carga resistiva finita.
Ejemplo 6.25: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de
la línea del ejemplo anterior para RL = 200 Ω .
Los coeficientes de reflexión son: ρ L = 0.6 ρ s = −0.667 V0 e I0 tienen los mis-
mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:
V(-1,t) I(-1,t)
V(0,t) I(0,t)
15 13.33 0.2
10.13 0.167
10 9.33
10 9.524
8.33 8 0.1
5 0.067 0.06 0.05
0.04
0 0.0476
0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t
Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua:
I ( 0, ∞ ) = I ( − l , ∞ ) = V 0 /( Z s + Z L ) ≈ 47 .6 mA y V (0, ∞ ) = V ( −l , ∞ ) = Z L I (0, ∞ ) ≈ 9.524 V
Ejemplo 6.26: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de
la línea del ejemplo anterior para RL = 20 Ω .
Los coeficientes de reflexión son: ρ L = −0.429 ρ s = −0.667 V0 e I0 tienen los
mismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
18. Electromagnetismo 2004 6-50
V(-1,t) I(-1,t)
V(0,t) I(0,t)
10 0.5
0.32 0.333
8.33 0.238 0.286 0.306
7.14 6.8 6.51 0.326
5 6.12 6.67 0.25 0.167
4.76
0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t
Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua:
I ( 0, ∞ ) = I ( − l , ∞ ) = V 0 /( Z s + Z L ) ≈ 33 .3 mA y V (0, ∞ ) = V ( −l , ∞ ) = Z L I (0, ∞ ) ≈ 6.67 V
En este caso ( Z L < Z 0 ) la tendencia de tensión y corriente a sus valores finales es monó-
tona, mientras que en el caso previo ( Z L > Z 0 ) la tendencia era oscilante.
En estos dos últimos ejemplos se observa que si ZL < Z0 la tendencia de todas las variables grafi-
cadas es monótona hacia sus valores finales, mientras que si ZL > Z0 la tendencia es oscilante.
Cargas complejas
Hemos analizado el comportamiento de cargas resistivas. Cuando la carga es una impedancia
compleja la dependencia temporal de los frentes de onda se modifica. Consideremos por ejem-
plo una línea de impedancia característica real Z0 terminada en una impedancia de carga ZL, a la
que se conecta una batería V0 a la entrada para t = 0. El frente de onda de tensión V0 viaja con la
velocidad de propagación en la línea hasta que llega a la carga en t = t1. La carga impone la rela-
ción entre tensión y corriente y genera así una onda reflejada, por la desadaptación de impedan-
cias con la impedancia característica de la línea.
Podemos obtener la forma de onda de la onda regresiva utilizando técnicas de de la transforma-
ción de Laplace. Si en lugar de trabajar con las tensiones y corrientes como funciones del tiempo
consideramos sus transformadas de Laplace:
v ± ( z , t ) ↔ V± ( z , s ) i± ( z , t ) ↔ I ± ( z, s)
entonces podemos escribir para el coeficiente de reflexión:
v − (0, t ) Z L − Z 0 V− (0, s ) Ξ L − Z 0 Ξ − Z 0 V0
ρL = = ↔ ΡL = = ⇒ V− (0, s ) = L
v + (0, t ) Z L + Z 0 V+ (0, s ) Ξ L + Z 0 ΞL + Z0 s
donde ΞL es la transformada de Laplace de la impedancia de carga y V0/s la transformada de La-
place de la función escalón que representa la onda progresiva. Esta expresión se invierte nueva-
mente por Laplace para hallar la expresión en el tiempo de la onda de tensión regresiva.
Ejemplo 6.27: Halle la onda de tensión regresiva cuando la impedancia de carga es: a) una
serie RL; b) una serie RC; c) un paralelo RL; d) un paralelo RC.
a) En este caso: Ξ L = R + sL
Ξ L − Z 0 V0 R − Z 0 + L s V0 R − Z 0 1 2Z 0 1
y: V − (0, s ) = = = + V0
Ξ L + Z 0 s R + Z 0 + L s s R + Z 0 s R + Z 0 s + 1/τ
R
donde τ = L /( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:
R − Z0 2 Z 0 −t ′ / τ
v − (0, t ) = V0 + e u (t ′) con t ′ = t − t1
L R + Z0 R + Z0
Se ve que para t′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = V0 y la tensión sobre la carga en el
instante del rebote duplica a la de la onda incidente, porque la inductancia serie
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
19. Electromagnetismo 2004 6-51
impide el súbito incremento de la corriente, que entonces es inicialmente cero (condición
de circuito abierto).
b) En este caso: Ξ L = R + 1 / sC
Ξ L − Z 0 V0 R − Z 0 + 1 / sC V0 1 2Z 0 1
y: V− (0, s) = = = − V0
Ξ L + Z0 s R + Z 0 + 1 / sC s s R + Z 0 s + 1 / τ
R
donde τ = C ( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:
2Z 0 −t ′ / τ
C v − (0, t ) = V0 1 − e u (t ′) con t ′ = t − t1
R + Z0
R − Z0
Se ve que para t′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = V0 ya que el capacitor es inicialmente un
R + Z0
cortocircuito y la tensión sobre la carga depende solamente de la relación R/Z0.
c) En este caso: Ξ L = 1 /(1 / R + 1 / Ls ) = sRL /( R + sL)
Ξ L − Z 0 V0 sL( R − Z 0 ) − RZ 0 V0 1 2R 1
y: V− (0, s ) = = = − + V0
Ξ L + Z 0 s sL( R + Z 0 ) + RZ 0 s s R + Z 0 s + 1 / τ
R L donde τ = RZ 0 / L( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:
2R
v − (0, t ) = V0 − 1 + e −t ′ / τ u (t ′) con t ′ = t − t1
R + Z0
R − Z0
Se ve que para t ′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = V0 ya que la inductancia es inicialmente un
R + Z0
circuito abierto y la tensión sobre la carga depende nuevamente de la relación R/Z0.
d) En este caso: Ξ L = 1 /(1 / R + Cs ) = R /(1 + sCR )
Ξ L − Z 0 V0 R − Z 0 − sCRZ 0 V0 R − Z 0 1 2R 1
y: V− (0, s ) = = = − V0
Ξ L + Z 0 s R + Z 0 + sCRZ 0 s R + Z 0 s R + Z 0 s + 1 / τ
R C donde τ = CRZ 0 /( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:
R − Z0 2R
v − (0, t ) = V0 − e −t ′ / τ u (t ′) con t ′ = t − t1
R + Z0 R + Z0
Se ve que para t ′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = −V0 ya que el capacitor es inicialmente un cortocir-
cuito y la tensión sobre la carga debe anularse.
Las formas de onda de la onda regresiva en cada uno de estos casos se representa en las
siguientes figuras, donde r = R/Z0 = 0.5, 1, 2.
v-/V0 v-/V0
r = 0.5
r=1
a r=2 b
t/τ t/τ
Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar