Geometria(1 parte) 4° 1 b

27 28COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
FUNDAMENTALES
OPERACIONES CON SEGMENTOS
I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍA
El objeto de la geometría es el estudio de las
figuras geométricas desde el punto de vista de
su forma, extensión y relaciones que guardan
entre sí.
Geometría plana.- Estudia las figuras planas,
esto es, aquellas cuyos puntos se encuentran en
un mismo plano. Llamada también
Planimetría.
Geometría del espacio.- Estudia las figuras
sólidas o del espacio, esto es, aquellas cuyos
puntos no se encuentran en un mismo plano.
Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc.
II. FIGURA GEOMETRICA
Se llaman figuras geométricas a los conjuntos
de puntos, tales como las líneas, superficies y
cuerpos. El punto representa el conjunto
unitario. En toda figura, menos en el punto,
distinguiremos su tamaño, su forma y su
posición.
Clasificación de las figuras planas:
 Congruentes. Cuando tienen igual forma y
tamaño.
 Semejantes. Cuando tienen igual forma
pero diferente tamaño.
 Equivalente. Cuando tienen la misma área o
el mismo volumen pero diferente forma o
tamaño.
III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA
GEOMETRÍA
Los elementos geométricos fundamentales son:
1) El Punto
2) La Recta y
3) El Plano
1. Punto: Límite mínimo de la extensión,
que se considera sin longitud, latitud ni
profundidad. La idea de punto geométrica
nos lo da la punta de un alfiler o la marca
que deja la punta de un lápiz. Expresa tan
solo una idea y no un objeto real.
2. Línea Recta: Sucesión continua de
puntos que se desplaza hacia ambos
extremos en forma ilimitada.
3. Plano: Superficie imaginaria ilimitada,
es engendrada por una línea recta cuando
se desplaza paralelamente a su posición
original.
IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS
1. Línea: Está formada por una sucesión
continua de puntos con una sola
dimensión que es la longitud.
2. Semi-recta: Parte de la recta que carece
de punto de origen.
3. Rayo: Parte de la recta que posee punto
de origen.
4. Segmento de recta: Porción de recta
comprendido entre dos puntos que son los
extremos.
Conjuntos Convexos
Definición: Un conjunto “P” del plano recibe
el nombre de conjunto convexo, si y solo si,
para cada par de puntos A y B de P, se
cumple que PAB ⊂ .
Un conjunto que no es convexo se llama
CÓNCAVO.
A
B
A
B
A
B
a) b) c)
d) ___ ___
e)
De los conjuntos precedentes (a) son
conjuntos convexos.
SEGMENTO DE RECTA
 Definición: Para dos puntos cualesquiera A
y B, el segmento AB es el conjunto de los
puntos A y B y de todos los puntos que están
entre A y B. Los puntos A y B se denominan
extremos.
 Segmentos consecutivos: Dos o más
segmentos se llaman consecutivos, cuando
cada uno tiene con el siguiente un extremo
común. Los segmentos consecutivos pueden
pertenecer a una misma recta o a una
poligonal.
 Congruencia de segmentos: Se dice que
dos segmentos son congruentes cuando
tienen la misma longitud.
Punto Medio o Punto Bisector de un
segmento:
Se dice que el punto “M” de AB es un
punto medio. Si: AM=MB
A M B
a a
AM= MB= a
Observaciones:
a) Todo segmento tiene exactamente un
punto medio.
b) Si los puntos extremos de un segmento
PQ , tienen por coordenadas ( )11 y,x
y ( )22 y,x , entonces su punto medio
tiene por coordenada (m;n).
Donde:
2
xx
m
21
+
= ;
2
yy
n 21
+
=
Ejemplo:
Si: P=(2;4) y Q=(6,8)
Hallar la coordenada de su punto medio.
Solución: 4
2
62
m =
+
= ;
6
2
84
n =
+
=
Luego: M= (4,6)
c) Si los puntos extremos de AB tienen
por coordenadas 21 xyx , es decir:
1xA = y 2xB = , entonces, su
punto medio tiene por coordenada:
2
xx
m 21
+
=
Distancia entre A y B:
12
xxAB −=
OPERACIONES CON SEGMENTOS
A) Suma de Segmentos:
A B C D
ADCDBCAB =++
B) Resta de Segmentos:
A B C D
S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
GEOMETRÍA

BDADAB −=
PROBLEMAS RESUELTOS
01.En una recta se encuentran los puntos
consecutivos A, B, C donde BC mide 10
y AC , 40. Hallar la medida del segmento
AB .
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
Solución:
Sea la recta:
A B C
10
40
BCACAB −= 1040 −=AB
30=AB
Clave “C”
02.Los puntos colineales y consecutivos A, B, C
y D; son tales que: AD = 18, BD =13 y
AC = 12. Hallar BC
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 5
Solución:
A B C D
18
13
12
ACADCD −=
1218CD −=
)1..(..........6CD =
)2......(CDBDBC −=
Reemplazando (1) en (2):
613BC −=
7BC =
Clave “B”
03.En una recta se encuentran los puntos A, B, C
y D consecutivos tal que AC = 18 y
BD = 20.
Hallar ABCD −
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Solución:
A B C D
18
20
x
BCACAB −=
.......(1)x18AB −=
BCBDCD −=
.......(2)x20CD −=
Restando: (2) menos (1)
x)(18x20ABCD −−−=−
x18x20ABCD +−−=−
2=− ABCD
Clave “B”
04.Los puntos colineales y consecutivos son
tales que: AB + BC = 15;
20CDAB;17CDBC =+=+ ;
hallar AB – BC + CD
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e)
16
Solución:
A B C D
a b c
(*) a + b = 15 ........(1)
(*) b + c = 17 .......(2)
(*) a + c = 20 ........(3)
Sumando: (1) + (2) + (3):
2(a+b+c) = 52
(a+b+c) = 26 ⇒ a = 9
17
Luego: 6b = y 11c =
Por tanto:
a – b + c = 9 – 6 + 11 = 14
Clave “C”
05.P, Q y R son 3 puntos consecutivos de una
recta PQ = 2QR + 1 y PR = 31. Hallar QR.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
Solución:
P Q R
a b
Del enunciado tenemos:
a = 2b + 1.......(1)
a + b = 31 .......(2)
3b + 1 = 31 ⇒ b =10
Luego:
10bQR ==
Clave “B”
06.Sobre una línea recta se ubican
ordenadamente los puntos A, B, C y D, si AB
= 3BC = 4CD y AD=19m.
Calcular la longitud de BC .
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
Solución:
A B C D
a b c
Del enunciado:
(*) a = 3b = 4c = k ...... (1)
(*) a + b +c = 19 ..........(2)
De (1)
a = k
b = 3
k
c = 4
k
Reemplazando en (2)
19
4
k
3
k
k =++
k = 12
Por tanto:
3
12
3
k
bBC ===
4BC =∴
Clave: “A”
07.Sobre una línea recta se ubican los puntos
consecutivos: A, B, C, D y E. Si AC + BD +
CE = 44, AE = 25 y DE = 2AB. Calcular la
longitud de AB .
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Solución:
A B C D E
a b c d
Del Dato:
(*) a + b + b + c + c + d = 44
a + 2b +2c + d = 44 ....... (1)
.....25dcbaAE =+++= (2)
.....a2dAB2DE =⇒= (3)
(a+b+c+d) +b+c=44
25 + b+c=44
b+c=19 ......(4)
a+d+19=25
a+d=6 ...... (5)
Reemplazando (3) en (5)
a+2a=6

a=2
Luego:
2aAB ==∴
Clave: “B”
08.Sobre una línea recta se ubican
ordenadamente los puntos A, B, C, D y E; si
AC + BD + CE = 32 y además:
5
AE3
BD = . Calcular la longitud de
AE .
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
Solución:
A B C D E
a b c d
Del Dato:
32CEBDAC =++
32dccbba =+++++
32dc2b2a =+++ ...... (1)
Además:
( )dcba
5
3
cb +++=+
d3c3b3a3c5b5 +++=+
)2......(d3a3c2b2 +=+
32d)d3a3(a =+++
)3........(8da =+
)da(3c2b2 +=+
)8(3)cb(2 =+
)4........(12cb =+
Sumando (3) y (4):
20dcba =+++ 
20AE =
Clave: “B”
09.A, C, D y E son puntos colineales y
consecutivos tal que D sea punto medio de
CE y AC +AE = 50. Hallar AD.
a) 25 b) 12.5 c) 50
d) 20 e) N.a.
Solución:
A
a
C D E
bb
Del enunciado:
50AEAC =+
Reemplazando:
50b2aa =++
50)ba(2 =+
25ba =+
25baAD =+=
Clave: “A”
10.A, B y C son puntos colineales y
consecutivos, tales que 7AB =8BC y AC
= 45, hallar BC.
a) 25 b) 19 c) 23
d) 21 e) N.a.
Solución:
A B C
a b
Del enunciado, tenemos:
)1........(kb8a7 ==
)2...(..........45ba =+
De (1):
8
k
b
7
k
a =∧=
Reemplazando “a” y “b” en (2):
45
8
k
7
k
=+
k = 168
Luego:
8
168
8
k
bBC ===
21BC =∴
Clave: “D”
PRÁCTICA DE CLASE
01.AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ
A B C D
x
a a b b
P Q
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
02.AB = 60 cm ; BC = 40 cm
AM = MC . Calcular “x”
A M B N
C
x
a) 50 b) 30 c) 20
d) 15 e) 5
03.AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD = 17 cm.
Hallar “x ”
A B C D
x
a) 4 b) 10 c) 12
d) 7 e) 8
04. PR + QS = 20 mts QR = 6 mts.
Calcular : “x”
P Q R S
x
a) 14 b) 11 c) 13
d) 10 e) 9
05.7 PC = 2 PD + 5 PB
2AD + 5AB = 14 mts. Calcular “x”
P A B C D
x
a) 2 b) 7 c) 4
d) 8 e) 6
06. AM = 4 mts , OR = 6 mts
1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar “x”
A M O R
x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. CD = AB + BC ; AD = 10 mts
CD/BC = 2/5. Hallar “x”
A B C D
x
a) 3 b) 6 c) 8
d) 10 e) 7
08. AC = 3 mts ; AB . AC =
)BCAB(2 22
−
Calcular “x”
A CB
x

a) 2 b) 5 c) 8
d) 3 e) 1,5
09.AM = MD ; AB + CD = 10 mts
BM - MC = 2 mts. calcular “x”
A DB M C
x
a) 7 b) 4 c) 6 d) 9 e) 2
10. AP;AQ/1AB/2AP/1 == = 2
mts
BQ = 3 mts. Calcular : “x”
A BP Q
x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11.
2
CDAC
AB
+
= ;
1BD2BD
2
−=
Calcular : “x”
A DB C
x
a) 9 b) 1 c) 7
d) 2 e) 0,8
12.Los puntos consecutivos A, M, B y C
pertenecen a la misma recta. M es el punto
medio de AC . Hallar MB; si AB – BC =
32.
a) 8 b) 32 c) 18
d) 16 e) 24
13.En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D cumpliendo la
relación: AD – BD – 2CD = 1. Hallar AD, si
AB = 3 y AC = 5.
a) 5 b) 6 c) 8
d) 9 e) 7
14.Sean los puntos colineales y consecutivos: A,
B, C y D. Calcular “AD” si : AC = 7 ;
BD = 9 y BC = 4.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
15.Se tiene los puntos A, B, C y D, colineales y
consecutivos, tal que AB=4 y AB.BD =
AC.CD. Calcular “CD”.
a) 2 b) 22 c) 4
d) 6 e) 8
16.Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B y C de tal manera que :
AC+AB=18 ; si “M” es punto medio de BC
. Calcular “AM”.
a) 12 b) 9 c) 8
d) 7,5 e) 6
17.Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D tal que “M” es
punto medio de AB y “N” es punto medio
de CD . Calcular “MN” si AC = 6 y
BD = 8.
a) 7 b) 9 c) 12
d) 10 e) 5
consecutivos A, B, C, y D de manera que AC
= 8, BD = 7 y AD = 4BC.
Calcular “BC”.
a) 2,5 b) 3 c) 3,5
d) 4 e) 5
19.Sobre una recta se dan tres puntos
consecutivos M, A y B , tal que AB = 2 y
MB . MA = 24.
Calcular la distancia de “M” al punto medio de
AB .
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
20.Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D.
Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60. Hallar
“AC”.
a) 45 b) 30 c) 15
d) 10 e) 20
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Se tiene los puntos colineales A, B, C y D.
AC=2BD. Calcular “BC”.
Si: 2AB + 8 = 3BC + 4CD
a) 8 b) 12 c) 9
d) 10 e) 11
02.En una recta se toman los puntos consecutivos
A, B, C, D, E, tal que AC+BE = 20 . Hallar
BC, si AE=BC+12.
a) 6 b) 3 c) 4
d) 5 e) 8
03.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos
A, B, C. Luego se toma el punto medio “M”
de BC .
Hallar AM, si: AB+AC=14µ.
a) 7µ b) 14µ c) 28µ
d) 3,5µ e) N.A.
consecutivos A, B, C y D, cumpliéndose que
AC + BD = 10µ y BC=3µ. Hallar AD.
a) 6µ b) 7µ c) 8µ
d) 9µ e) N.A.
05.En una recta se encuentra los puntos
consecutivos A, B, C, D y cumplen la siguiente
relación:
4AB - BD - 2CD = 4µ ; AB = 3µ ; AC = 5µ
Hallar AD:
a) 5µ b) 6µ c) 7µ
d) 8µ e) N.a.
06.Sobre una línea recta se marcan los puntos
consecutivos A, B, C y D de modo que AB,
BC y CD están en progresión aritmética. Si AD
= 27 y CD = AB + 6. Hallar AB
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
07.Tres segmentos tienen sus longitudes
proporcionales a los números 5, 8 y 12. Si el
mayor tiene 56 unidades más que el menor,
entonces la longitud del segmento que no es
mayor ni menor es:
a) 20 b) 32 c) 64
d) 72 e) 86
08.Se tienen los segmentos consecutivos
colineales CDyBC,AB . El primero
es el cuádruple del segundo y el tercero es el
doble de AC . Si AD = 30. Hallar la
distancia entre los puntos medios de
CDyAB .
a) 8 b) 12 c) 15
d) 16 e) 18
09.En una recta se toman los puntos colineales O,
A, B. Si .m13OBOA =+
Calcular la distancia de “O” al punto medio de
AB.

a) 5 b) 6 c) 5,5
d) 6,5 e) 7,5
10.En una recta se tienen los puntos consecutivos
A, B, C, D. Si AB = 2CD; BC igual a 5CD y
BC = 3m.
Calcular AB .
a) 1,2 b) 6 c) 2,8
d) 1,4 e) 1,6
consecutivos A, B y D de modo que AC = CD.
Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
12.En una recta se tienen los puntos consecutivos
A, B, C y D de modo que:
3
CD
2
BC
B ==A . Si AD = 24m.
Calcular AB.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
13.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos
A, B y C. Hallar AM2
– BM2
. Sabiendo que
AB x AC = 16 y que M es punto medio de BC.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16
14. Sobre una recta se toman los puntos A, B, C,
D.
Calcular AD, si: BC = 6
CD
AD
BC
AB
;
2
3
CD
AB
==
a) 36 b) 38 c) 42
d) 56 e) 64
15.En una recta se toman los puntos consecutivos
A, B, C, D, hallar AD, Sí:
4
CD
3
BC
2
AB
== y AC = 4 + CD
a) 4 b) 16 c) 27
d) 36 e) 45
TAREA DOMICILIARIA
01. Se tienen los puntos consecutivos: “M” ,
“A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de
AB. Calcular OM, sabiendo que
4
AB2
+
MA . MB = 81
a) 18m b) 12 c) 6
d) 3 e) 9
02. Se tiene los puntos consecutivos “P”, “Q”,
“R” y “S” de manera que: PR + QS = 20m,
si QR = 6m, halle PS
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
03. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y
D; siendo B punto medio de AC. Calcular
AB, si:
m22ADy
3
AC
4
BD
==
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 12
04. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D, y E hallar BE, si:
51AE,
7
DE
5
CD
3
BC
2
AB
====
a) 6 b) 9 c) 24
d) 36 e) 45
05. Sobre una recta se dan los puntos: A, B, C, D
de modo que AC = 12m, BD = 15m, BC =
CD/2, calcular el valor de AB.
a) 5m b) 6m c) 7m
d) 8m e) 9m
06. Sobre una recta XX1
se dan los puntos O, A,
C, B de tal manera que OA = 6cm, OB =
15cm y AC CB/2, se pide determinar la
longitud OC.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 5
07. Sobre una recta se dan los puntos A,B, C, D,
E y F consecutivamente de modo que BE =
5/8. AF y AC + BD + CE + DF = 26m.
Hallar el valor de AF
a) 13cm b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
08. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D y E de tal manera
que se cumpla:
AB = BC/2 = CD/3 = DE/4.
Calcular AE si AC = 6m
a) 20m b) 21 c) 24
d) 25 e) 18
09. Sean los puntos colineales y consecutivos L,
M, N, P, Q, siendo: 2LM = MN y
5
1
MQ
LN
= .
Hallar
LM
NQ
a) 12 b) 1/12 c) 13
d) 1/13 e) N.a.
10. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos P, Q y R entre los puntos Q y R
se toma un punto H, tal que:
.28PQ4QRy
4
HR
PH =−=
Hallar QH.
a) 7 b) 5,6 c) 4,8
d) 4,5 e) N.a.

Definición: Es la reunión de dos rayos que tienen
un punto extremo común, es decir tienen el
mismo origen.
Los dos rayos son los lados del ángulo y el punto
extremo común se llama VÉRTICE del ángulo.
A
B
O
θ
Elementos del ángulo.
1. Lados: OA y OB
2. Vértice: “O”
3. Simbología: ∠ AOB, AOB; ∠ AOB
4. Notación: ∠ AOB = OA ∪ OB
5. Medida: m ∠ AOB = θ°
Ángulos congruentes. (≡)
Dos o más ángulos son congruentes si tienen
igual medida.
A
B
O
∝°
P
Q
O
∝
POQAOB ∠≅∠
Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un
ángulo es el rayo que partiendo del vértice divide
al ángulo en dos ángulos congruentes.
• OX : es bisectriz del ∠ AOB
• m∠AOX =∠ XOB = θ°
• ∠AOX =∠ XOB
A
B
O
θ
x°
θ°
Clasificación de los ángulos.
Los ángulos se clasifican según su medida, de
acuerdo a su posición y según sus características.
I. SEGÚN SU MEDIDA
1. Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya
medida es menor que 90° pero mayor que 0°.
A
B
O
θ°
°∠θ°∠ 90O
2. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya
medida es mayor que 90° pero menor que
180°.
A
B
O
°α
°∠α°∠ 18090
3. Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel ángulo
cuyos lados son dos rayos opuestos; es decir
son colineales y su medida es 180°.
O
180°
°=∠ 180AOBm
4. Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya
medida es igual a 90°
A
BO
θ
°=θ 90
5. Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel ángulo
cuya medida se considera igual a 0°.
A
B
O
°=∠ 0AOBm
II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS
1. Ángulos adyacentes:
Se dice que dos ángulos son adyacentes
cuando tienen el mismo vértice y un lado
común tal que los lados se encuentren a otro y
otro lado del lado común.
B
O
θ
lado común
A
C
α
Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes (*)
dos o más ángulos serán adyacentes
consecutivos cuando cada uno de ellos es
adyacente con su inmediato.
2. Ángulos opuestos por el vértice:
Son dos ángulos determinados al trazar dos
rectas secantes.
θα
A
B D
C
∠ AOB ≡ ∠ COD
m∠ AOB = m ∠ COD
III. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS.
1. Ángulos adyacentes complementarios:
complementarios, cuando tienen el mismo
vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y
cuyos lados no comunes forman un ángulo
recto.
A
B
O
θ
C
α
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes
complementarios.
°=β+α 90
ÁNGULOS

2. Ángulos adyacentes suplementarios:
suplementarios, cuando tienen el mismo
vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y
cuyos lados no comunes forman un ángulo
recto.
A
B
O
θ
C
α
PROBLEMAS RESUELTOS
01.La diferencia entre el suplemento y el
complemento del ángulo “α”, es igual a 6
veces el ángulo “α”. Hallar dicho ángulo.
a) 30° b) 90° c) 60°
d) 15° e) N.a
Solución
Sea el ángulo “α”
Por da:
(*) Suplemento = 180 - α
(*) Complemento = 90 - α
Planteando la ecuación:
(180 - α) - (90° - α) = 6α
90 = 6α
°=α 15
02.Si a un ángulo se le resta su complemento es
igual a la cuarta parte de su suplemento.
Hallar dicho ángulo.
a) 80° b) 45° c) 15°
d) 60° e) 75°
Solución
Sea el ángulo “α”
Luego:
α - (90° - α) 1/4 (180 - α)
2α - 90 = 1/4 (180 - α)
8α - 360 = 180 - α
9α = 540
°=α 60
03.Si a uno de 2 ángulos suplementarios se le
disminuye 35° para agregarle al otro, este
nuevo resulta ser 8 veces mayor de lo que era
el primero. El menor de los ángulos
suplementarios mide:
a) 50° b) 45° c) 125°
d) 55° e) N.a.
Solución:
Sean los ángulos “α” y “θ”
Por dato
α + θ = 180° ............................. (1)
Si se agrega y disminuye 35°, se tiene:
(θ + 35)= 8( α - 35)
θ + 35 = 8α - 280
8α - θ =315 .............................. (2)
Sumando (1) + (2)
α + θ = 180°
8α - θ = 315°
4α = 495°
α = 55
θ = 125
Clave: “D”
04.En la figura: OP y OR son bisectrices
?COB,160RQP ==
∧∧
A D
P
B
O
C
R
a) 80° b) 140° c) 100°
d) 120° e) N.a.
Solución:
De la gráfica:
A D
P
B
O
C
R
α
α
θ
θ
γ
PQR = 160°
α + γ + θ = 160° ......................... (1)
Además:
α + θ + (α + γ + θ) = 180°
α + θ + 160° = 180°
α + θ = 20° ........... (2)
Reemplazando (2) en (1)
α + θ + γ = 160°
20° + γ = 160°
γ = 140°
Clave: “B”
05.En la figura: AOC = 140, BOD = 120,
BOC = ?
A D
CB
O
a) 80° b) 50° c) 70°
d) 60° e) N.a.
Solución:
De la gráfica:
A D
CB
O
α
β
θ
Se tiene, según los datos:
AOC = α + β = 140 ..............……. (1)
BOD = β + θ = 120 ……………… (2)
Además:
α + β+ θ = 180 …………………... (3)
Sumando (1) y (2) y reemplazando en (3)
β + β + α + θ = 260°
β + 180 = 260
BOC = β = 80
Clave: “A”
06. En la figura: AOC = 150°, BOD = 110°.
Calcular: BOC
AD
C B
O
a) 80° b) 90° c) 85°
d) 55° e) N.a.
Solución:
Del dato tenemos:
AOC = AOB + BOC
BOD = COD + BOC
AOC+BOD= AOB+BOC+COD+BOC
Reemplazando:
150 + 110 = 180 + BOC
BOC =80
Clave: “A”

PRÁCTICA DE CLASE
01.Tres ángulos consecutivos, situados a un
mismo lado de una recta están en progresión
aritmética. Calcular los ángulos, si el menor y
el mayor están en relación de 3 es a 7.
a) 36°, 60°, 84° b) 0°, 60°, 84°
c) 60°, 20°, 70° c) 40°, 50°, 80°
e) N.a.
02.Cinco ángulos situados alrededor de un punto
están en progresión aritmética. Calcular el
mayor de los ángulos si los menores están en
relación de 4 es a 5.
a) 84° b) 48° c) 96°
d) 40° e) N.a.
03.En el siguiente gráfico BD es bisectriz del
ángulo CBE y la suma de los ángulos
ABC + ABE = 86°. ¿ Cuál es el valor de los
ángulos ABD?
B
A
C
D
E
a) 45° b) 35° c) 43°
d) 48° e) 60°
04.Sabiendo que:
AOBdetrizsecBiOQ →
°=→ 48BOCyAOCdetrizsecBiOR
Calcular QOR
O
A
C
R
B
Q
a) 14° b) 24° c) 12°
d) 26° e) 10°
05. En el siguiente gráfico:
O
C
D
B
A
AOC + BOC = 100°
AOC - BOC = 40°
DOBHallar.AOCdetrizsecBiOD →
a) 8° b) 6° c) 5°
d) 15° e) 10°
06.Se tiene tres ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD de tal manera que las bisectrices
de los ángulos AOB y COD son
perpendiculares y el ángulo BOD mide 80°.
Calcular la m ∠ AOC.
a) 100° b) 50° c) 70°
d) 80° e) N.A
07.Si los puntos A, O y B es una recta, OQ
es bisectriz del ángulo AOM y
7
5
QOBm
QONm
=
∠
∠
. Hallar la medida del
ángulo NOB.
A B
N
M
O
a) 18° b) 25° c) 30°
d) 45° e) 60°
08.En la figura, calcular la medida del ángulo
formando por la bisectriz del ángulo AOB y
COD.
A D
O
B
C
120°
70°
120
a) 85° b) 90° c) 95°
d) 100° e) 105°
09.En la figura si: medida del ángulo BON=
20° ON bisectriz del ángulo AOQ.
OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular
“x”
P Q
O
C
x°
x°
A
a) 51° b) 52° c) 53°
d) 54° e) 55°
10.Se tienen los ángulos adyacentes
suplementarios AOB y BOC . Si OM es
bisectriz del ángulo AOB. Calcular la medida
del ángulo BOM. Siendo además m∠ BOC -
m∠ AOB = 40°.
a) 40° b) 20° c) 10°
d) 30° e) 35°
11.De que ángulo se debe restar su complemento
para obtener 10°.
a) 30° b) 40° c) 50°
d) 60° e) 70°
12.Si el suplemento del suplemento del
suplemento de la medida de un ángulo se la
añade el complemento del complemento del
complemento del doble de la medida de dicho
ángulo, se obtiene el triple de la medida del
ángulo mencionado. Calcular dicho ángulo.
a) 60° b) 45° c) 30°
d) 55° e) 50°
13.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD. Se trazan las bisectrices OP y
OQ de los ángulos AOB y COD
respectivamente. Si m ∠ POQ = 70° y m∠
BOD = 120°. Hallar la medida del ángulo
AOC.
a) 60° b) 20° c) 40°
d) 50° e) 30°
14.Dados los ángulos consecutivos M Oˆ N y
QOˆN , OX es bisectriz del
NOˆM , OY , es bisectriz del
QOˆN , OZ es bisectriz del YOˆX
. Si m∠ NOQ - m ∠ MON = 60°. Calcular
m∠ NOZ:
a) 20° b) 15° c) 30°

d) 25° e) N.a
15.Sabiendo que los ángulos superpuestos
BOˆA y COˆA son complementarios,
siendo OX , bisectriz del ángulo BOC,
entonces el ángulo AOX mide:
a) 30° b) 37° c) 60°
d) 53° e) 45°
16.De la figura: Hallar “x”:
x
2x
a) 30° b) 60° c) 45°
d) 53° e) 36°
17. Se tiene los ángulos consecutivos AOB BOC
y COD tal que OC es bisectriz del ángulo
BOD; además se cumple:
m AOB +m AOD = 100. Hallar m AOC
a) 100° b) 80° c) 50°
d) 60° e) 40°
18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y
BOC; el primero es mayor que el segundo en
40°. Se traza la bisectriz OX del ángulo AOC.
Calcular la m BOX.
a) 40° b) 50° c) 80°
d) 20° e) 70°
19.Sobre una línea se tiene cinco ángulos
consecutivos, los cuales se encuentran en
progresión aritmética. Si el mayor de los
ángulos excede al menor en 20°. Hallar el
menor de dichos ángulos.
a) 20° b) 50° c) 36°
d) 40° e) 70°
20.Hallar “x”. Si: m AOD = 220°; m
BOD=230°, m AOC = 240.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
01.Encontrar la mitad de la tercera parte del
complemento del suplemento de un ángulo
que mide 96°.
a) 1° b) 2° c) 3°
d) 4° e) N.a.
02.Si a un ángulo se le resta su complemento es
igual a la cuarta parte de su suplemento;
calcular dicho ángulo.
a) 80° b) 45° c) 15°
d) 60° e) N.a.
03.Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, calcular la suma de AOC y BOD si el
ángulo formado por las bisectrices vde AOB
y Cod es de 90°
a) 150° b) 135° c) 160°
d) 180° e) N.a.
04.La diferencia de dos ángulos adyacentes es
90. ¿Cuál s la diferencia de los ángulos
formados por sus bisectrices?
a) 40° b) 50° c) 45°
d) 30° e) N.a.
05.Hallar “x” en la figura, si POQ = 100.
x° α
αβ
β
A
R
X
B
P
Y
a) 50° b) 40° c) 30°
d) 20° e) N.a.
06.En la figura:
OB bisectriz de AOE
OC bisectriz de BOE
OC bisectriz de COE
Si BOD = 36. Hallar AOE
A
C
E
B
D
a) 96° b) 72° c) 48°
d) 24° e) N.a.
07.En la figura AOC y BOC son suplementarios.
AOB = 80. Hallar AOC.
A
C
O
B
a) 100° b) 110° c) 120°
d) 130° e) N.a.
08.La suma del complemento de un ángulo “α”
con el suplemento de un ángulo doble es
igual a 3/2 del complemento de un ángulo “β”
y α - β = 24°. Calcular el complemento del
ángulo de “α”.
a) 36° b) 18° c) 24°
d) 45° e) 38°
09.En la figura AOM = BOX
BON = 22.BOX = ?
ON es bisectriz de AOX
OM es bisectriz de AOX
α
α
A
B
X
M
O
X'
N
a) 28° b) 14° c) 56°
d) 95° e) 69°
10.Calcular la medida de un ángulo, sabiendo
que su complemento es a su suplemento como
1 es a 10.
a) 80° b) 75° c) 70°
d) 95° e) 69°
11.Se tienen tres ángulos consecutivos, AOB,
BOC y COD de tal manera que las bisectrices
de los ángulos AOB y COD son
perpendiculares y el ángulo BOd mide 80°.
Calcular la m ADC.
a) 100° b) 50° c) 70°
d) 80° e) N.a.
12.Si los puntos A, O y B están en una recta, OQ
es bisectriz del ángulo AOM y
7
5
QOBm
QONm
=
∠
∠
. Hallar la medida del
ángulo NOB.
Q
B
M
OA
N
a) 18° b) 25° c) 30°
d) 45° e) 60°
13.En la figura la medida del ángulo formado por
la bisectriz del ángulo AOB y COD.

B
B
C
OA
70°
120°
a) 85° b) 90° c) 95°
d) 100° e) 105°
14.En la figura si: m BON = 20°. ON bisectriz
del ángulo AOQ, OM bisectriz del ángulo
AOP. Calcular “x”
QP
M
O
A
Nx°
x°
B
a) 51° b) 52° c) 53°
d) 54° e) 55°
15.Se tienen los ángulos adyacentes
suplementarios AOB y BOC. Si OM es
bisectriz del ángulo AOB. Calcular la medida
del ángulo BOM, siendo además m BOC - m
AOB = 40°
a) 40° b) 20° c) 10°
d) 30° e) 35°
TAREA DOMICILIARIA
01.Se tiene los ángulos consecutivos
suplementarios AOB y BOc que se
diferencian en 38°. Calcular la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo
AOC y el rayo OB.
a) 76° b) 38° c) 20°
d) 19° e) 24°
02.Hallar “x”
x°
30°
a) 30° b) 60° c) 70°
d) 50° e) 25°
03.Se tiene los ángulos consecutivos AOB ,
BOC y COD, siendo 2(AOB) = 3(COD);
AOC = 92° y BOD = 76°. Hallar la medida
de BOC.
a) 24° b) 16° c) 54°
d) 44° e) 64°
04.El doble de la medida de un ángulo es igual al
triple de la media de su complemento. Hallar
la medida del ángulo.
a) 54° b) 36° c) 44|
d) 27° e) 58°
05.Si a la medida de un ángulo se le resta dos
grados mas que a la tercera parte de su
complemento, resulta un cuarto del
suplemento del ángulo, disminuido en un
grado. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
a) 45° b) 46° c) 44°
d) 48° e) 38°
06.Alrededor de un punto O, en sentido horario,
en forma consecutiva se trazan los rayos
ODyOC,OB,AO , siendo
ODOCyOBOA ⊥⊥ . Hallar la
medida del ángulo que forman las bisectrices
de AOC y BOD.
a) 135° b) 45° c) 120°
d) 150° e) 90°
07.Se tiene los ángulos consecutivos: AOB,
BOC y COd de tal modo que AOD = 100° y
BOC = 60°. Calcular el ángulo que forman
las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
a) 60° b) 70° c) 80°
d) 90° e) 85°
08.Sean los ángulos AOB y BOC adyacentes,
suplementarios d modo que BOC - AOB =
44°. Se trazan:
OX: Bisectriz del ángulo BOC
OY: Bisectriz del ángulo AOX
OZ: Bisectriz del ángulo XOY
Hallar el suplemento del complemento de la
medida del ángulo BOZ.
a) 24° b) 24° 30’ c) 25°
d) 27° 30’ e) 115°
09.Los rayos
OEyOD,OC,OB,OA y se
encuentran ubicados en un mismo plano de
modo que la bisectriz del ángulo OX del
ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz
OD del ángulo BOE. Si XOE = 160°.
Calcular el complemento del ángulo BOD
a) 70° b) 40° c) 140°
d) 30° e) 20°
10.La tercera parte de la mitad del suplemento de
la medida de un ángulo excede de 2 a los 3/5
del complemento de la medida del mismo
ángulo.
a) 60° b) 30° c) 10°
d) 120° e) 45°

27 28
RECTAS
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
Ángulos formados por dos rectas paralelas.
Si L1 // L2
a b
d c
n
pq
m
L
L
Entonces:
1. ∠ Internos .........................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
2. ∠ Externos ........................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
Internos .................
...............................
...............................
3. ∠ Alternos Externos ...............
...............................
...............................
Internos ...........
............................
............................
4. ∠ Conjugados Externos .............
............................
............................
5. ∠ Correspondientes ...........................
............................................................
............................................................
............................................................
Practica de Clase:
01. En la figura, L1 // L2 y α + β = 160°. Hallar
θ
L
L
1
2
α
β
θ
a) 35° b) 40° c) 50°
d) 55° e) 80°
02. Hallar el ángulo en la figura, si L1 // L2
L
L
1
2
α
x
3x/2
a) 144° b) 154° c) 134°
d) 136° e) 146°
03. Si 'YY//'XX .Hallar β - α.
α
X
β
X'
100°100°
Y Y'
38°
a) 72° b) 32° c) 10°
d) -32° e) -10°
04. En la figura, DE;EF//AB es
perpendicular a AC y α y β son entre si
como 2 es a 7. Hallar β - α
α
A
β
B
C
D
E F
a) 100° b) 80° c) 0
d) 60° e) 40°
05. En la figura 'YY//'XX . Hallar
∧
x
X X'
Y Y'
α
α
x
30°
30°
a) 30° b) 60° c) 90°
d) 120° e) 150°
06. En la figura mostrada 'YY//'XX .
Determinar α + β
X X'
Y Y'
α
35°
β
120°
150°
a) 175° b) 185° c) 65°
d) 155° e) 95°
07. En la figura 'YY//'XX y ABCD es
un cuadrado. Hallar el ángulo α.
X X'
Y Y'
α
120°
A
B
C
D
a) 60° b) 30° c) 45°
d) 15° e) N.a.
08. En la figura L1 // L2. Hallar la medida de
DEADyBCADsiFED ⊥⊥
∧
L1α
A
C x
40°
B
D
EF
α
L2
a) 15° b) 10° c) 25°
d) 30° e) 40°
09. En la figura L1 // L2 y L3 // L4. Calcular x/y
L1
140°
L2
L3 L4
60°y
x
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 1/4 e) 1/3
10. En la figura: L1 // L2. Clacular la medida del
ángulo ∧
x sabiendo que: α - β = 160°
L1
L2
α
β
x
a) 35° b) 40° c) 50°
d) 39° e) 50°
11. En la figura L1 // L2. Si el triángulo ABC es
equilátero, hallar α + β

L1
L2
α
β
A
B
C
a)240° b) 180° c) 210°
d) 120° e) 300°
12. En la figura, hallar “a”. Si L1 // L2
L1
L2
2x
3x
x
a
a
a) 15° b) 45° c) 30°
d) 50° e) 60°
13. En la figura adjunta EFyCD,AB
son paralelas, BEF
∧
= 65° y DBE
∧
=
15°, entonces BDC
∧
es igual a:
A B
x
C D
E F
a) 110° b) 145° c) 30°
d) 50° e) 60°
14. En la figura, determinar el suplemento de b,
si se sabe que L1 // L2 y además 4a - b =
30°
L1
L2 a
b
4a
a)90° b) 105° c) 120°
d) 135° e) 130°
15. Del gráfico, calculae el valor de “x”. Si L1 //
L2:
L1
L2
α
x
α
5
3 α4
a) 10° b) 50° c) 70°
d) 80° e) N.a.
16. Si L1 // L2. Hallar:
3
)xy( −
L1
L2
y
35°
30°
x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 10 e) N.a.
17. En la figura mostrada, L1 // L2. Calcular “x”
L1
L2
3
2
n
n
α
α
β
β
θ
θ
x
m
m
a) 100° b) 135° c) 140°
d) 180° e) 200°
18 En la figura, calcular “x”. Si L1 // L2
L1
L2
3
α
α
β
β
xw
w
x
a) 36° b) 40° c) 50°
d) 20° e) N.a.
19. Según el gráfico, L1 // L2. Calcular el valor
de “x”:
L1
L2
αα
θ
x
θ
130°
a) 10° b) 15|
c) 20°
d) 30° e) N.a.
20. Si L1 // L2, hallar “x”:
L1
L2
x°
x°
8x°
a) 45° b) 20°
c) 30°
d) 25° e) 18°
01. Si L1 // L2. Hallar “x”
L1
L2
2x
3x
x°
a) 15° b) 18°
c) 12°
d) 20° e) 30°
02. Si L1 // L2. Hallar “x”, Si a° + b° + c° + d° =
140°
L1
L2
b
a
x°
c
d
a) 30° b) 40°
c) 50°
d) 60° e) 70°

03. Hallar “x” si L1 // L2
L1
L2
b
x°
a
a
b
a) 60° b) 75°
c) 105°
d) 135° e) N.a.
04. Si L1 // L2, hallar “x”
L1
L2
a
x°
2a
110°
a) 40° b) 60°
c) 80°
d) 100° e) N.a.
05. Si L1 // L2. Hallar “x”. Si a° + b° + c° + d° =
122°
L1
L2
c
a
x°
b
d
a) 41° b) 51° c) 60°
d) 61° e) 71°
06. Hallar “x”, si L1 // L2
L1
L2
x°
θ
30°
40°
θ
a) 120° b) 100° c) 80°
d) 110° e) 150°
07. Si L1 // L2. Hallar “x”:
L1
L2
2x
4x
a) 15° b) 20° c) 30°
d) 45° e) 60°
08. En la figura AB, Cd y EF so paralelas m∠
FEB = 65°, m∠ EBD = 15°. Entonces m∠
CDB
A B
C D
E F
a) 125° b) 130° c) 115°
d) 145° e) 135°
09. Hallar”x”, si L1 // L2
L1
L2
2
2
α
θ
θ
α
x
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 80° e) 90°
10. Si L1 // L2. Hallar “x”
L1
L2
4x
7x
3x
2x
x
a) 12° b) 10| c) 9°
d) 15° e) 18°
11. En la figura L1 // L2. Hallar “x”:
L1
L2
13α
6α
2α
a) 10° b) 15° c) 12°
d) 18° e) 13°
12. En la figura Ab.BC. Hallar el ángulo “x” en
función de “α”, si FG // AC.
A
B C
F
G
x
a) 90° + α / 2 b) 180° − α c) 90° + 2α
d) 180° - α / 2 e) 90° + 3α / 2
13. Hallar el valor del ángulo “x”. Si COF
∧
= α / 3. L1 // L2 y L3 // L4
L1
L2
α2β α
L3
L4
F
G
O
a) 45° b) 45° c) 270°
d) 30° e) 180° - 2
14. Calcular el valor de α (L1 // L2)
L1
L2
θ
θ
α
5α
a) 12°30’ b) 15° c) 13°
d) 10° e) 8°
15. En la figura mostrada. Calcular “x”, si L1 //
L2

L1
L2
60°
80°
x
α
α
a) 64° b) 168° c) 166°
d) 170° e) 172°
TAREA DOMICILIARIA
01. Si L1 // L2 que se cumple
L1
L2
3b
a
a
3b n
m
a) m - n b) m + n = 90
c) m + 2n = 90 d) m = 2n
e) 2m = n
02. Hallar θ L1 // L2
L1
L2
45
α + 15
φ
α + 30
2φ
θ
a) 2° b) 5° c) 10°
d) 15° e) N.a.
03. AB//EF . Calcular α
F
AB
E
40°
α
a) 2° b) 5° c) 10°
d) 15° e) N.a.
04. Si: m // n. Calcular θ°
F
A
θ
θ
θ
80°
a) 80° / 3 b) 50° / 3 c) 80°
d) 50° e) N.a.
05. En la figura calcular “x”, si: α +θ = 270 y
m // n
θ
m
α
x
a) 45° b) 60° c) 37°
d) 90° e) N.a.
06. Si: L1 // L2 y α + θ = 300°
Calcular:
L
θ
x
1
L 2
α
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 41° e) N.a.
07. Si: α − θ = 6 y m // n.
Calcular “x”
m
n
x
α
θ
a) 84° b) 50° c) 37°
d) 45° e) 90°
08. En la figura L1 // L2.
Calcular “x”
L
L
x + 2
x
145°
x
2
2
1
2
a) 30° b) 33° c) 40°
d) 43° e) N.a.
09. Si: α + θ = 260 y L1 // L2// L3.
Calcular “x”
L
L
1
2
L3
α
β
β
x
θ
a) 20° b) 30° c) 50°
d) 58° e) N.a.
10. Hallar “α”L1 // L2
L
L
1
2
α
2α
3α
7α
4α
a)10° b) 20° c) 30°
d) 50° e) N.a.

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