8.a. sistema axonométrico. fundamentos.

8.a. SISTEMA AXONOMÉTRICO. Fundamentos .

1. FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO.
1.1. AXONOMETRIA ORTOGONAL.
1.2. ESCALA ISOMÉTRICA Y COEFICIENTE DE REDUCCIÓN.
2. EL PUNTO EN ISOMÉTRICA.
2.1. DIFERENTES POSICIONES DEL PUNTO.
3. LA RECTA EN ISOMÉTRICA.
3.1. POSICIONES DE LA RECTA.
3.2. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS. INTERSECCIÓN DE RECTAS.
3.3. PERTENENCIA A RECTA.
4. EL PLANO EN ISOMÉTRICO.
4.1. POSICIONES DEL PLANO.
4.2. POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS. INTERSECCIÓN DE PLANOS.
4.3. PERTENENCIA A PLANO.
4.4. DETERMINACIÓN DE UN PLANO.
4.5. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.

8.a. SISTEMA AXONOMÉTRICO. Fundamentos .

1. SISTEMA AXONOMÉTRICO. FUNDAMENTOS.
http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180 (solo diapositiva 3)
http://www.slideshare.net/konbob/geometra-descriptiva-7610567 (hasta diapositiva 7)
http://www.slideshare.net/dibutec/geometra-descriptiva-axonometra-y-caballera (hasta diapositiva 3)
http://educacion.practicopedia.com/dibujo-tecnico/como-es-el-sistema-axonometrico-2618

El sistema axonométrico es un sistema de representación perspectivo, es decir, permite ver con claridad cómo
es la pieza en el espacio.

Los sistemas axonométricos utilizan proyecciones cilíndricas (o paralela) en sus dos modalidades, ortogonal
(isométrico) y oblicua (caballera). http://www.youtube.com/watch?v=ip8A05oY9ug (se utilizan las dos proyecciones de
la izquierda, las cilíndricas).

Los objetos a dibujar se referencian con respecto a un triedro trirrectángulo. Es decir, tendremos tres planos
perpendiculares entre sí que utilizaremos como planos de proyección ortogonal o planos coordenados.
Las intersecciones de estos tres planos tomados dos a dos se denominan ejes. Tendremos así tres ejes
perpendiculares entre sí en las tres direcciones des espacio (alto, ancho, largo). Los ejes se nombran x, y y z.
El punto de intersección entre los tres planos es el origen. El origen marca sentidos positivos y negativos en los
ejes. En x lo positivo será hacia la derecha, al contrario que en y. En z lo positivo se medirá hacia arriba.

El objeto y sus tres proyecciones sobre los planos de proyección, se vuelven a proyectar sobre el plano del
dibujo o del cuadro, que puede ser cualquier plano. En las axonometrías ortogonales, este cuarto plano no
puede ser paralelo a ninguno de los de proyección. En la axonometría ortogonal se proyectan

perpendicularmente y en la oblicua nunca. Así, en axonométrico trabajaremos con cuatro proyecciones: las tres
sobre los planos de proyección y la que se hace directamente desde el objeto, llamada proyección directa.
El plano de proyección corta a los ejes coordenados formando una sección triangular llamada triángulo de
trazas. http://dibutic.blogspot.com.es/2009/04/sistemas-axonometricos.html

Podemos trabajar en diferentes sistemas axonométricos:
a. Sistemas axonométricos ortogonales:
a. ISOMÉTRICO.
b. DIMÉTRICO.
c. TRIMÉTRICO.
b. Sistemas axonométricos oblicuos: (Se verán en próximos temas)
d. CABALLERA o FRONTAL.
e. MILITAR o PLANIMÉTRICA.

1.1. SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL.

1.1.1.PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ORTOGONAL.
Los tres ejes siempre mantienen la posición entre sí (ya hemos visto que son siempre perpendiculares),
pero no mantienen la posición con respecto al plano del dibujo. Según se encuentre de inclinado éste
tendremos los tres tipos posibles de perspectiva axonométrica ortogonal.

1.1.2. COEFICIENTES DE REDUCCIÓN.
Como los ejes del triedro no son paralelos al plano del dibujo, cualquier medida que tomemos sobre
ellos no se verá en verdadera magnitud al proyectarse en el plano del dibujo. Por eso tendremos que
aplicar un coeficiente de reducción al dibujar esas distancias, que será diferente según la inclinación
del eje con respecto al plano del dibujo.

1.1.3.TIPOS DE PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ORTOGONAL.
Si los tres ángulos entre los ejes coordenados son diferentes, estamos ante una perspectiva
TRIMÉTRICA. Cada eje tendrá un coeficiente de reducción diferente.
Si los ejes forman dos ángulos iguales pero el tercero distinto, hablamos de DIMÉTRICA. Como dos
ejes coinciden en el ángulo con el plano de proyección tendrán el mismo coeficiente de reducción,
que será distinto al del tercer eje.
Si cada eje coordenado forma ángulos iguales con el plano del dibujo, la perspectiva se llama
ISOMÉTRICA. Esta es la que vamos a estudiar en profundidad, por ser el más usual, sencillo y rápido:
 Hemos dicho que los ángulos entre los ejes serán iguales, con lo que todos medirán 120º
(360º/3).
 En la perspectiva isométrica el triángulo fundamental es equilátero, lo que no ocurre con
las otras dos.
 Habrá un coeficiente de reducción igual para los tres ejes, que podemos calcular: 0´816.
(está admitido usar simplemente 0´8.)

http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180 (hasta diapositiva 6)

http://www.slideshare.net/dibutec/geometra-descriptiva-axonometra-y-caballera (diapositivas 4 y 5)

1.2. ESCALA ISOMÉTRICA.
Acabamos de ver que toda medida paralela a uno de los planos de proyección se va a reducir en la misma
medida que dichos planos y que esa escala es 0´816: 1. Es decir, cualquier medida real tendrá que ser
multiplicada por 0´8 para llevarla a la perspectiva isométrica. Esto es lo que llamamos aplicar el coeficiente
de reducción.
Existe una variante en la que no se aplica el coeficiente a las medidas, pero por eso, ya no se llama
perspectiva, sino dibujo isométrico. (En una perspectiva las medidas siempre se ven afectadas).
Dicha escala también se puede determinar de una manera gráfica. Existen varias opciones, aunque todas
se basan en lo mismo; en el ángulo que forman los ejes con el plano del dibujo. En los vídeos siguiente
puedes ver como abatir uno de los planos de proyección para situarlo paralelo al del dibujo (y así poder
tomar en él verdaderas magnitudes).
http://www.youtube.com/watch?v=0MQou9ytTPE&feature=results_main&playnext=1&list=PL784E488A7
BE80FE9
http://www.youtube.com/watch?v=8UGUBpLJBwo (se ve como se abaten dos planos axonométricos, pero
en isométrica es innecesario, puesto que en todos los ejes el coeficiente de reducción es el mismo.)
Escala en dimétrico o trimétrico (en italiano, pero el dibujo se ve bien)
http://www.youtube.com/watch?v=zfAvmZp7trU http://www.youtube.com/watch?v=WvQBelrpJjc
http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180 (de
diapositiva 6 a 11)
http://www.slideshare.net/dibutec/geometra-descriptiva-axonometra-y-caballera (diapositivas 6 y 7)
O también se puede dibujar la escala gráfica en otra parte del dibujo:
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=287

2. EL PUNTO.

Si consideramos un punto cualquiera del espacio P, se proyectará perpendicularmente sobre los tres planos de
proyección. La proyección horizontal, es decir, la que estará en el plano XOY, la llamaremos P´. La proyección
sobre el plano XOZ, la nombraremos P´´, y por P´´´ nos referiremos a la situada en el plano YOZ. Como después
todo este sistema se vuelve a proyectar sobre el plano del dibujo, en él quedarán cuatro proyecciones, las tres
vistas y la llamada proyección directa P.

Es decir, el punto queda designado así P(P´, P´´, P´´´), aunque también podéis encontrar otras variantes según
los libros. (Igual que en diédrico).

Las medidas que ubican los puntos se tomarán sobre los ejes correspondientes P(x, y, z), teniendo en cuenta
que hay que aplicarlas el coeficiente de reducción, multiplicando por 0´8 todas las medidas o realizándolo de
manera gráfica. Recuerda que los valores positivos o negativos de las medidas se tomarán a partir del origen.
En x lo positivo será hacia la derecha, al contrario que en y. En z lo positivo se medirá hacia arriba.

Excepto por el coeficiente de reducción a aplicar a las medidas, todo lo visto en el punto es igual para toda
axonometría ortogonal. (isométrica, dimétrica o trimétrica)
http://trazoide.com/axonometria_986.htm

3. LA RECTA.
http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180
http://www.slideshare.net/kipirinai/ud-10-sistema-axonomtrico-i (solo diapositiva 5)
La recta se dibujara por su proyección directa (r) y sus tres indirectas: la proyección horizontal (r´) y las
proyecciones sobre los planos verticales XOZ (r´´) e YOZ (r´´´).
1ª parte, el resto es diédrico (hasta minuto 1:18): http://www.youtube.com/watch?v=FQqxTa9Xh7U
(nombres y posición de ejes al principio diferentes de nuestras normas)
Aunque depende de los libros, las rectas generalmente se designan con letras minúsculas r(r’, r´´, r´´´)
Para tenerla definida en el espacio sólo necesitamos conocer dos de las cuatro proyecciones posibles.
Al igual que en diédrico, las trazas de una recta son los puntos de intersección de esa recta con los planos de
proyección. Como aquí tenemos tres planos de proyección tendremos tres trazas. Para hallar las trazas, por
ejemplo, con el plano XY, se busca el corte de la proyección directa r con la proyección horizontal r´ sobre dicho
plano.
Sólo se considera vista la parte de la recta que se encuentra en el primer octante del espacio (triedro
fundamental).
Excepto por el coeficiente de reducción a aplicar, esto es válido para toda axonometría ortogonal.
De una recta se considera visto todo lo que se encuentre en el primer octante. Normalmente se trabaja sólo en
ese octante, pero no te olvides que tanto la proyección directa de la recta como las otras tres son infinitas. La
parte oculta de cualquiera de las proyecciones se dibuja discontinua.

3.1. POSICIONES DE LA RECTA.
3.1.1. RECTA OBLÍCUA. Recta que no tiene ninguna relación de pertenencia, paralelismo o
perpendicularidad con los planos coordenados. Son las rectas más comunes.
http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180 (solo
diapositiva 16)
3.1.2. RECTAS PARALELAS A LOS PLANOS AXONOMÉTRICOS. La proyección directa es paralela a la
proyección correspondiente del plano paralelo y las otras dos proyecciones serán paralelas a dos ejes.
Según a que planos sean paralelas serán rectas horizontales o frontales.
http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180 (solo
diapositiva 19)
3.1.3. RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS AXONOMÉTRICOS o RECTAS PARALELAS A DOS PLANOS DE
PROYECCIÓN o RECTAS PARALELAS A UN EJE. Las rectas paralelas a un eje son perpendiculares al
plano formado por los otros dos ejes. La proyección sobre el plano al que es perpendicular se
quedará reducida a un punto, que coincidirá con la única traza dibujable de esta recta. Las otras dos
proyecciones serán paralelas a un eje (el que es perpendicular al plano al que es perpendicular la
recta). Según a que planos sean perpendiculares serán rectas horizontales o verticales.
3.1.4. RECTAS QUE CORTAN A LOS EJES. La proyección directa pasa por la línea de tierra, de modo que dos
trazas coincidirán en un mismo punto. http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-
axonomtrico?src=related_normal&rel=5614180 (solo diapositiva 18)
3.1.5. RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN. Las cuatro proyecciones confluirán en el origen, al igual que las
tres trazas. http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-
3.1.6. RECTAS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. Al estar contenidas en un plano axonométrico, estas rectas
se caracterizan por coincidir sus cuatro proyecciones. http://www.slideshare.net/fer0lina/sistema-
3.1.7. RECTAS PERPENDICULARES AL PLANO DEL CUADRO. Su proyección directa se representa como un
punto. Las otras tres proyecciones son paralelas a los ejes.

3.2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS.
Ya vimos al estudiar diédrico, que en el espacio las rectas pueden cruzarse, cortarse o ser paralelas.
3.2.1. RECTAS QUE SE CRUZAN. Igual que en diédrico, dos rectas que se cruzan no tienen un punto en
común, aunque lo parezca al mirar las proyecciones por separado.
3.2.2. RECTAS QUE SE CORTAN. Al igual que en diédrico, si dos rectas se cortan tendrán un punto común.
Todas las proyecciones homónimas, por lo tanto, se cortarán entre sí en las proyecciones homónimas
de dicho punto.
3.2.3. RECTAS PARALELAS. Si dos rectas son paralelas, todas sus proyecciones homónimas serán paralelas,
tanto las directas como las demás, exactamente igual que ocurría en diédrico.

3.3. PERTENENCIA DE PUNTO A RECTA.
Para que un punto esté en una recta las proyecciones del punto estarán sobre las homónimas de la recta. Es
decir, que A esté en r, A´ en r´, A´´ en r´´, y A´´´ en r´´´. (igual que en diédrico).
La recta es la unión de dos puntos, así que por dos puntos siempre podremos hacer una recta.

4. EL PLANO.
http://www.slideshare.net/kipirinai/ud-10-sistema-axonomtrico-i (sólo diapositiva 6)
Como en el sistema diédrico, los planos se representan por sus trazas, no por proyecciones. Es decir, por las
tres intersecciones entre el plano con los de proyección. Estas tres trazas serán tres rectas (1, 2 y 3), que
para los planos más habituales, confluirán de dos en dos en cada eje, de tal manera que dibujarán un triángulo.
Sólo se considera vista la porción de plano comprendida en el primer octante.
Un plano se designa por una letra griega, con sus tres trazas. (1, 2, 3).
Excepto por el coeficiente de reducción a aplicar, esto es válido para toda axonometría ortogonal.

4.1. POSICIONES DE UN PLANO.
4.1.1. PLANO OBLÍCUO.
4.1.2. PLANOS PROYECTANTES o PLANOS PERPENDICULARES A UN PLANO DE PROYECCIÓN o PLANO
PARALELO A UN EJE. Son planos perpendiculares a uno de los coordenados, exactamente igual que en
diédrico. Dos de las trazas del plano serán paralelas a un mismo eje. Si el plano es proyectante
horizontal, se tratará, además. De un plano vertical.
4.1.3. PLANOS PARALELOS A LOS AXONOMÉTRICOS o PLANO PARALELO A DOS EJES o PLANO
PERPENDICULAR A UN EJE. Al ser paralelo a uno de los planos, este tipo carece de una de las trazas (o
se considera en el infinito). Las otras dos trazas serán paralelas a los ejes que dibujan el plano de
proyección al que es paralelo. Según al plano al que sea paralelo, tendremos planos horizontales o
verticales.
4.1.4. PLANOS QUE CONTIENEN A LOS EJES. Al pasar por un eje, dos de las trazas de este plano estarán
sobre ese eje y la tercera podrá tener cualquier posición, siempre que pase por el origen.
4.1.5. PLANO QUE PASA POR EL ORIGEN. Las tres trazas coincidirán en el origen de coordenadas.
4.1.6. PLANO PERPENDICULAR AL PLANO DEL CUADRO. Sus tres trazas son coincidentes en una sola recta.
4.1.7. PLANO PARALELOS AL PLANO DEL CUADRO. Sus tres trazas forman un triángulo equilátero, puesto
que serán perpendiculares a un eje. Es un triángulo de trazas.

4.2. PERTENENCIA A PLANO.
Igual que en diédrico, una recta pertenece a un plano si las trazas de la recta están sobre las trazas
homónimas del plano. Y también igual que en diédrico, un punto está en un plano si se encuentra en una
recta contenida en ese plano.
4.2.1. RECTAS NOTABLES DEL PLANO:
4.2.1.1. RECTA HORIZONTAL DEL PLANO. Una recta horizontal contenida en un plano, tendrá su
proyección horizontal paralela a la traza horizontal de la recta y las otras dos proyecciones
paralelas a los ejes x e y, mientras que las dos trazas verticales de la recta estarán sobre las
trazas verticales homónimas del plano, de manera análoga a lo que ocurría en diédrico.
Obviamente, no tendrá traza horizontal.
4.2.1.2. RECTA FRONTAL DEL PLANO. Puede ser paralela a cualquiera de los dos planos verticales.
Supongamos una recta f paralelas al plano vertical XZ. La proyecciones f (directa) y f´´ son
paralelas a la traza vertical 2 y las proyecciones f´ y f´´´ son paralelas a los ejes X y Z
respectivamente. Por ser una recta paralela al horizontal, no tendrá traza F2. Las trazas F1 y F3
estarán sobre las trazas homónimas del plano.

4.2.2. Igual que en diédrico, el plano nos lo pueden dar por sus trazas, o por tres puntos o por dos rectas
paralelas o que se corten, y se resuelve aplicando los mismos razonamientos que en el diédrico.
4.2.3.Ejercicio http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=323#p897

4.3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS.
Dos planos pueden ser paralelos o pueden cortarse.
4.3.1. PLANOS PARALELOS. Dos planos paralelos mantendrán sus trazas homónimas paralelas, al igual que
ocurría en diédrico.
4.3.2. PLANOS QUE SE CORTAN. Dos planos que se cortan no tendrán sus trazas homónimas paralelas.
Donde las trazas homónimas de las rectas se corten se encontrará la traza homónima de la recta
intersección. (Exactamente igual que en diédrico, pero siendo su dibujo mucho más evidente).
http://www.slideshare.net/kipirinai/ud-10-sistema-axonomtrico-i (sólo diapositiva 7)

4.4. DETERMINACIÓN DE UN PLANO.
Como un plano puede venir determinado por tres puntos, por un punto y una recta, o por dos rectas que
se cortan o que son paralelas, con esos datos se podrá dibujar un plano. Se hace igual que en diédrico:
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=2455&start=0
Plano por tres puntos (triángulo) que contiene una recta horizontal:
http://www.youtube.com/watch?v=8ZmKonvZzac (hasta el minuto 1:27), el resto es diédrico.

4.5. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO. La manera de operar es la misma que en diédrico: Como dibujar la
intersección entre dos planos resulta sencillo, incluiremos la recta en otro plano, generalmente
proyectante para que resulte más fácil su trabajo. El punto de intersección buscado estará en la recta
intersección de esos dos planos. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=2454&start=0

5. Ejercicios de Lasláminas.es sobre isométrica. Si me los dais hechos los corrijo. (Tienen diferente notación).
http://www.laslaminas.es/images/stories/descargas/axonometricas/axo_pto_recta_plano_laminas.pdf

8.a. sistema axonométrico. fundamentos.

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