1. Teorema del factor
En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es
un caso especial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y sólo
si es una raíz de , es decir que .
Ejemplo
Si se desean encontrar los factores de , se tantean las
raíces de para obtener los factores . Si el resultado de sustituir en el
polinomio es igual a 0 (es decir, si es raíz), se sabe que es un factor. Teniendo
en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de son por el
teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.
¿Es un factor de ? Para saberlo, se sustituye en el polinomio:
y se determina que no es un factor de . Se prueba ahora con
de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si
es una raíz del polinomio:
Por tanto, es un factor porque -1 es una raíz de .
Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o
encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener
nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría
Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que no tiene factores
racionales (es decir, no existen más factores de la forma con ), por lo
2. que sólo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del
álgebra, se sabe que tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (
), o ambos complejos no reales ( ).
Categorías:
Teoremas de álgebra
Polinomios
Menú de navegación
Crear una cuenta
Acceder
Artículo
Discusión
Leer
Editar
Ver historial
Portada
Portal de la comunidad
Actualidad
Cambios recientes
Páginas nuevas
Página aleatoria
Ayuda
Donaciones
Notificar un error
Imprimir/exportar
Crear un libro
Descargar como PDF
Versión para imprimir
Herramientas
Lo que enlaza aquí
Cambios en enlazadas
Subir archivo
Páginas especiales
Enlace permanente
Información de la página
3. Elemento de Wikidata
Citar esta página
En otros idiomas
English
Magyar
日本語
ភាសាខ្មែរ
ਪੰਜਾਬੀ
中文
Editar enlaces
Esta página fue modificada por última vez el 15 abr 2015 a las 15:46.
El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución
Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulas adicionales. Léanse los
términos de uso para más información.
Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una
organización sin ánimo de lucro.
Contacto
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a)
= 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
Ejercicio
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.
4. 3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor.
4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.
P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0
(x + 2) es un factor.
Calculo las raícesdel polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) =
0 y P(3) = 0.
P(x) = (x + 2) · (x − 3)
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x =
a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Raíces de un polinomio
5. Son los valores que anulan el polinomio.
Ejemplo
Calcular las raíces del polinomio:
P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y
P(3) = 0.
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del
polinomio.
2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los
binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
Ejemplo
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que
es lo mismo, admite como factor x.
Ejemplo
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1
6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en
factores.
Ejemplo
P(x) = x2 + x + 1
Cálculo de las raíces y factores de un polinomio
6. Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el
teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.
Ejemplo
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
Las raíces son: x = −2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) · (x − 3)
Tema
Exp. algebraicas
Monomios
Operaciones
Polinomios
Suma
Producto
Cociente
Regla de Ruffini
Identidades notables
Teorema del resto
Teorema del factor
Factorización
Frac. algebraicas
Ccomún denominador
Suma fracciones
Producto fracciones
Cociente fracciones
Resumen
Índice