clase 5 proporciones

1. Semejanza de triángulos
Definicionesnecesarias
Razón: En matemáticas la razón es una relación binariaentre magnitudes (es decir, objetos,
personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es
a b" o a:b. Enel casode númerostodarazón se puede expresarcomouna fracciónyeventualmente
como un decimal.
La razón geométricaes la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas
vecescontieneunaalaotra.Sólosi lasmagnitudesacomparartienenlamisma unidadde medidala
razón es adimensional.
Ejemplo la mediana de un triángulo contiene 3 veces al segmento determinado en ella por el
baricentro, medido del punto medio de lado a G.
Una razón «X:Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».
El numeradorde la razón (esdecir,el X) se llamaantecedente yal denominador(el Y) se le conoce
como consecuente.
Proporción: Una "proporción aritmética" es una expresión de la relación de igualdad entre 2
razones. Las proporciones aritméticas se pueden representar de varias maneras distintas
a/b = c/d o bien a:b = c:d y también a:b::c:d
y todas se leen "a es a b como c es a d".
Las cantidadesque intervienenenlaproporciónse denominantérminosde laproporcióny toman
susnombresde acuerdoa su posiciónasí: a primertérmino, b segundotérmino, ctercertérmino,y
d cuarto término.
El primeroycuarto términosde unaproporción(a y d),sonlostérminosextremos oextremos.Los
términos segundo y tercero (b y c), son los términos medios.

2. Los términos primero y tercero son los antecedentes y los términos segundo y cuarto los
consecuentes.
Media,tercera y cuarta proporcional
 En una proporción, si a, b, c, d son distintos, se dice que la
proporción es discontinua o proporción geométrica
discretayque a,b,c y d sonunacuarta proporcional geométrica. Lacuarta proporcional es
cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométricadiscreta. Así, en la
proporción 2/5 = 6/15, cualquiera de estos cuatro términos (2, 5, 6, 15) es cuarta
proporcional respecto de los otros tres.
 En una proporción, si los términosmedios son igualesy los externos son distintos, se dice
que la proporción es continua y que los términos externos son tercera proporcional
geométrica.
 En una proporción continua, los términos que se repiten se llaman media proporcional
geométrica.
Propiedades (cada profesor debe realizar las demostraciones correspondiente)
Teorema
En todaproporción,el productode losvaloresde lostérminosextremosesigual al productode
las medidas de los términos medios.
Datos o hipótesis:
a : b = c : d
Tesisa demostrar:
ad = bc
Corolario1: La mediaproporcional de doscantidadesesigual alaraíz cuadrada de suproducto.
Corolario2: Si los antecedentesde unaproporciónsoniguales,losconsecuentestambiénloson.
Corolario3:Si el productode doscantidadesesigual al productode otrasdos,lasdosde cualquiera
de los dos productos puede formar los extremos y las otras dos los medios de una proporción.
Teorema
En toda proporciónse puedencambiarlos mediosunoporel otro,y obtenerotraproporción.
Datos o hipótesis:
a : b = c : d

3. Tesisa demostrar:
a :c = b : d
Teorema
La suma o diferencia de antecedentes y consecuentes de la primera razón es a su antecedente o
consecuente comolasuma o diferenciade antecedente yconsecuentede lasegundarazónes a su
antecedente y consecuente respectivamente.
Datos o hipótesis:
a : b = c : d
Tesisa demostrar:
a + b : b = c + d : d
Teorema
En toda serie de razones la suma de los antecedentes es a la de los consecuentes, como un
antecedente es a su consecuente.
Datos o hipótesis:
a : b = c : d = e : f = g : h
Tesisa demostrar:
a + c + e + g : b + d + f + h = a : b
nota: para demostrarel teoremade Thalesdebe tenerdemostradoque segmentosde paralelas
entraparalelassoniguales(contriángulosiguales)
Teorema de Thales
Si los segmentos determinados, por tres o más paralelas en una transversal son congruentes,
también son congruentes los segmentos determinados en cualquiera otra trasversal.
Demostración

4. Corolario: si se divide un lado de un triángulo en partescongruentes y por el punto de división se
traza unaparalelaaotro lado,el tercerladoquedadivididoenigualnúmerode partescongruentes.

5. Hipótesis: D punto medio de AB
Recta DE paralela a BC
Tesis: E punto medio de AC
Nota: Para la demostración construyo la recta n paralela a AB que pasa por A
Corolario.- la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer
lado e igual a su mitad.
(Este corolario debe ser demostrado)
Teorema de Thales
Los segmentosde lostransversalesentre paralelasson proporcionales.

7. Corolario del teoremade Thales: Si losladosde unánguloo sus prolongacionesse intersectancon
un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en los lados del ángulo son
proporcionales.
BE/EH=EA/EI o bien DB/DF=AC/CG

8. Colorario.- si un segmentodivide alosladosde un triánguloensegmentosproporcionaleses
paraleloal tercerlado.
Ejerciciosde Aplicacióndel teorema
1. Las rectas a, b y c son paralelas.¿Cuál eslalongitudde x

9. 2. Si AE, BF, CG, y DH son paralélelasy
AB=5, CD=15 y GH=24 ¿Cuántomide EF?
3. Las rectas a y b son paralelas,¿podemosafirmar que la
recta c tambiénloes?
4. Si AE, BF, CG, y DH son paralelasy
Si FG¯=21, AB¯=15 y BC¯=30 ¿Cuántomide EF¯?
5.