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SISTEMA DIEDRICO.
El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos
tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones.
En el sistema diédrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos
planos perpendiculares entre sí, llamados plano de proyección VERTICAL y plano de
proyección HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la
particularidad de ser paralelos entre sí, se cortarán en una recta, recta conocida por LINEA
DE TIERRA (LT).
Doble proyección ortogonal:
También llamada sistema diédrico, la cual es la forma más utilizada para representar un
objeto sobre los planos de proyección vertical (Pv
) y horizontal (Ph
), perpendiculares entre
sí.
De modo que el espacio debido a estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales,
cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE.
Representación de un punto:
Un punto en el espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos
de proyección. En el punto “A” del espacio que representado por las proyecciones Av
en el
plano vertical y Ah
en el plano horizontal.
Al realizar la montea, abatiendo el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre la
vertical, la proyección del punto “A” se traslada con el plano, de manera que las
proyecciones Av
y Ah
quedan situada sobre la perpendicular a la línea de tierra. Cuando
hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, solo nos queda la LT y las
proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.
Cabe señalar que un punto se representa con letras mayúsculas o números y para
representarlos en los planos de proyección hay que hacer referencia a las coordenadas “X”
o línea de tierra “Y” o profundidad (plano horizontal).
Por lo tanto si queremos representar un punto “A” tendrá las siguientes coordenadas.
A(X=30, Y=60, Z=45),por lo tanto en la proyección espacial y en la doble proyección
ortogonal será:
Cota vuelo:
Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y
en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra.
El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del
plano vertical, la proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará
por debajo de la línea de tierra.
Si un punto en el espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota o el
alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrara sobre la línea de
tierra.
Posiciones particulares de un punto:
Un punto puede tener coordenadas con valor: positivo, cero o negativo, dependiendo de su
ubicación con respecto al cuadrante que estemos utilizando, sin embargo, debemos evitar a
la coordenada “X” valores negativos. Con relación a la doble proyección ortogonal en el
sistema diédrico, un punto puede ocupar diferentes posiciones dependiendo el caso.
Punto pertenece al primer cuadrante:
En este caso todas las coordenadas son positivas.
Punto pertenece al segundo cuadrante:
Punto pertenece al tercer cuadrante:
Punto le pertenece al cuarto cuadrante:
Punto sobre la línea de tierra:
Este es un caso particular en donde la cota y el vuelo tienen coordenadas cero.
Representación de una recta:
Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarlos en el sistema
diédrico bastara con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella “A Y B”.
Uniendo las proyecciones homónimas, es decir, Av
Bv
y Ah
Bh
, de obtienen las proyecciones
horizontales y verticales de la recta “r”.
Las rectas se representan en letras minúsculas.
Trazas de una recta:
Una recta puede definirse con sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos de
intersección de la recta con los planos de proyección.
La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto “H” del plano horizontal, y
por lo tanto de cota cero, lo que implica que su proyección vertical (Hv
) se encuentra en la
línea de tierra.
La traza vertical, por tener alejamiento cero, tendrá su proyección horizontal (Vh
), en la
línea de tierra.
Para determinar las parte vista y oculta de una recta debemos considerar la posición de las
trazas. Si, por ejemplo, si una recta tiene su traza V (Vv
-Vh
), en el plano vertical superior y
su traza H (Hv
-Hh
) en el plano horizontal inferior, el segmento comprendido entre las
trazas pertenece al primer cuadrante, la semirecta a partir de la traza vertical le pertenece al
segundo cuadrante y la semirecta a partir de la traza horizontal al tercera.
Cuadrante que atraviesa una traza:
La traza de una recta es el número de penetración donde atraviesan los cuadrantes.
Por lo tanto, las trazas pueden atravesar los siguientes cuadrantes:
a) Cuando la traza atraviesa un cuadrante:
En este caso la recta es paralela a la línea de tierra, por lo que no posee trazas.
b) Cuando la traza atraviesa dos cuadrantes:
Cuando es paralela a uno de los planos principales de proyección, o se cortan sobre la línea
de tierra. En este caso la recta tiene una sola traza.
c) Traza atraviesa tres cuadrantes:
Cuando no se cumple con las dos condiciones anteriores, en este caso tiene dos trazas.
Sistema Axonométrico
Es la parte de la geometría descriptiva que estudia el sistema de representación
de figuras espaciales en un plano por medio de pro yeccio nes obtenidas
según tres ejes. Una proyección axonométrica es una vista proyectada en la
cual el plano de proyección está inclinado con respecto de las caras del objeto.
Clasificación:
Axonometría oblicua: Se fundamenta en una proyección cilíndrica oblicua
(perspectiva caballera y perspectiva militar).
Axonometría ortogonal: Se denomina así por estar basada en una proyección
cilíndrica ortogonal Perspectivas isométricas (isometría, dimetría y trimetría
Representación del punto:
Sabemos que el triedro de referencia está formado por tres planos que se cortan dos a dos
formando ángulos de 90º, estos planos se consideran ilimitados y dividen el espacio en 8
octantes. Generalmente trabajaremos en el primero que es donde las coordenadas X, Y y Z
tienen sus valores positivos.
Un punto viene determinado por sus coordenadas A (x, y, z), estas definen la posición de
las proyecciones secundarias (a’, a’’ y a’’’ sobre los planos XOY, XOZ y YOZ
respectivamente) (A1, A2 y A3 sobre los planos XOY, XOZ y YOZ respectivamente según
otros autores) y principal del punto (A). Conociendo dos de estas cuatro proyecciones
tenemos definido al punto. Algunos autores denominan a las proyecciones sobre el plano
XOY proyecciones horizontales, y a las de los planos XOZ y YOZ verticales o
laterales. Figuras 2 y 3.
Un punto puede estar situado, con relación al triedro de referencia:
 En uno de los 8 octantes.
 Contenido en algún plano del triedro.
 Contenido en los ejes o aristas del triedro.
Según el octante al que pertenezca, así serán sus coordenadas:
 Primer octante: las tres positivas (x,y,z), 2º octante: (x,-y,z), 3er
octante:(-x,-y,z), 4º
octante: (-x,y,z), 5º octante: (x,y,-z), 6º octante: (x,-y,-z), 7º octante: (-x,-y,-z), 8º
octante: (-x,y,-z)
 Si el punto está en alguno de los planos auxiliares o caras del triedro, tendrá nula
alguna de sus coordenadas, como por ejemplo el punto E (x,0,z) situado en el plano
XOZ.
 Si está situado en un eje, tendrá nulas dos coordenadas, las correspondientes a los
ejes a los que no pertenece, además, su proyección principal coincidirá con dos
secundarias como ocurre en el ejemplo de la figura 3 al punto F (0,y,0)
perteneciente al eje Y.
La recta en el sistema Axonométrico.
Determinación de la recta:
Una recta queda definida por sus proyecciones directas y secundarias. R (r’, r’’, r’’’) o bien
(r1, r2, r3)
Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una recta queda determinada por dos puntos
contenidos en ella, A y B. La proyección directa R surge de unir las directas de estos dos
puntos A y B. Las proyecciones secundarias de unir las secundarias correspondientes a A y
B. Figura 1.
Trazas de una recta:
Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha recta con las caras del triedro,
se designan con mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 y T3 correspondiendo al plano o
cara XOY, XOZ, YOZ respectivamente (Hr, para el plano XOY, Vr para el plano X=Z, Wr
para el plano YOZ, según algunos autores). Son puntos, y como tales tienen sus
proyecciones auxiliares t’, t’’ y t’’’, coincidiendo la proyección secundaria correspondiente
con la principal y las otras dos en los ejes que determinan el plano cortado. Por ejemplo T1
(t1’,t1’’, t1’’’) es la traza de una recta con el plano XOY, T1 y t1’ coinciden en XOZ, t1’’ está
en el eje X y t1’’’ en el eje Y. Figura 2.
Determinación de la recta. Trazas de una recta. Recta contenida en un plano de proyección.
Posiciones particulares de las rectas:
Recta contenida en un plano de proyección: La proyección principal y una secundaria
son coincidentes, el resto coinciden en los ejes
.
Recta paralela a un plano del triedro: La proyección principal es paralela a la secundaria
perteneciente al plano al que la recta es paralela, las otras dos son paralelas a los ejes que
definen dicho plano.
Recta perpendicular a un plano del triedro: La proyección secundaria en dicho plano
queda reducida a un punto, coincidente con la traza de la recta en dicho plano. Las otras dos
proyecciones secundarias y la propia principal son paralelas al eje que no contiene al plano
al que la recta es perpendicular.
Recta que corta a un eje: El punto por donde la proyección principal corta al eje es traza
doble y por ahí pasan dos proyecciones secundarias, la tercera proyección secundaria pasa
por el origen.
Recta paralela a un plano del triedro. Recta perpendicular a un plano del triedro. Recta que
corta a un eje.
Recta que pasa por el origen: Las tres trazas de R coinciden en el origen y por tanto pasan
por aquí principal y secundarias. Para determinar las proyecciones secundarias de R nos
auxiliamos de un punto A de la recta.
Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro: Su proyección directa y sus trazas
quedan reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias, son
prolongaciones de los ejes de coordenadas.
Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera: Su proyección directa
y sus trazas quedan reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias
son paralelas a los ejes.
Estos dos últimos tipos de rectas se denominan proyectantes sobre el cuadro.
Recta que pasa por el origen. Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro. Recta
perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera.
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  • 1. SISTEMA DIEDRICO. El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones. En el sistema diédrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre sí, llamados plano de proyección VERTICAL y plano de proyección HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre sí, se cortarán en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT). Doble proyección ortogonal: También llamada sistema diédrico, la cual es la forma más utilizada para representar un objeto sobre los planos de proyección vertical (Pv ) y horizontal (Ph ), perpendiculares entre sí. De modo que el espacio debido a estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE. Representación de un punto: Un punto en el espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En el punto “A” del espacio que representado por las proyecciones Av en el plano vertical y Ah en el plano horizontal.
  • 2. Al realizar la montea, abatiendo el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre la vertical, la proyección del punto “A” se traslada con el plano, de manera que las proyecciones Av y Ah quedan situada sobre la perpendicular a la línea de tierra. Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, solo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio. Cabe señalar que un punto se representa con letras mayúsculas o números y para representarlos en los planos de proyección hay que hacer referencia a las coordenadas “X” o línea de tierra “Y” o profundidad (plano horizontal). Por lo tanto si queremos representar un punto “A” tendrá las siguientes coordenadas. A(X=30, Y=60, Z=45),por lo tanto en la proyección espacial y en la doble proyección ortogonal será:
  • 3. Cota vuelo: Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical, la proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra. Si un punto en el espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota o el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrara sobre la línea de tierra. Posiciones particulares de un punto: Un punto puede tener coordenadas con valor: positivo, cero o negativo, dependiendo de su ubicación con respecto al cuadrante que estemos utilizando, sin embargo, debemos evitar a la coordenada “X” valores negativos. Con relación a la doble proyección ortogonal en el sistema diédrico, un punto puede ocupar diferentes posiciones dependiendo el caso. Punto pertenece al primer cuadrante: En este caso todas las coordenadas son positivas.
  • 4. Punto pertenece al segundo cuadrante: Punto pertenece al tercer cuadrante:
  • 5. Punto le pertenece al cuarto cuadrante: Punto sobre la línea de tierra: Este es un caso particular en donde la cota y el vuelo tienen coordenadas cero. Representación de una recta: Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarlos en el sistema diédrico bastara con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella “A Y B”. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir, Av Bv y Ah Bh , de obtienen las proyecciones horizontales y verticales de la recta “r”. Las rectas se representan en letras minúsculas.
  • 6. Trazas de una recta: Una recta puede definirse con sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección. La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto “H” del plano horizontal, y por lo tanto de cota cero, lo que implica que su proyección vertical (Hv ) se encuentra en la línea de tierra. La traza vertical, por tener alejamiento cero, tendrá su proyección horizontal (Vh ), en la línea de tierra. Para determinar las parte vista y oculta de una recta debemos considerar la posición de las trazas. Si, por ejemplo, si una recta tiene su traza V (Vv -Vh ), en el plano vertical superior y su traza H (Hv -Hh ) en el plano horizontal inferior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primer cuadrante, la semirecta a partir de la traza vertical le pertenece al segundo cuadrante y la semirecta a partir de la traza horizontal al tercera.
  • 7. Cuadrante que atraviesa una traza: La traza de una recta es el número de penetración donde atraviesan los cuadrantes. Por lo tanto, las trazas pueden atravesar los siguientes cuadrantes: a) Cuando la traza atraviesa un cuadrante: En este caso la recta es paralela a la línea de tierra, por lo que no posee trazas. b) Cuando la traza atraviesa dos cuadrantes: Cuando es paralela a uno de los planos principales de proyección, o se cortan sobre la línea de tierra. En este caso la recta tiene una sola traza.
  • 8. c) Traza atraviesa tres cuadrantes: Cuando no se cumple con las dos condiciones anteriores, en este caso tiene dos trazas. Sistema Axonométrico Es la parte de la geometría descriptiva que estudia el sistema de representación de figuras espaciales en un plano por medio de pro yeccio nes obtenidas según tres ejes. Una proyección axonométrica es una vista proyectada en la cual el plano de proyección está inclinado con respecto de las caras del objeto. Clasificación: Axonometría oblicua: Se fundamenta en una proyección cilíndrica oblicua (perspectiva caballera y perspectiva militar). Axonometría ortogonal: Se denomina así por estar basada en una proyección cilíndrica ortogonal Perspectivas isométricas (isometría, dimetría y trimetría Representación del punto: Sabemos que el triedro de referencia está formado por tres planos que se cortan dos a dos formando ángulos de 90º, estos planos se consideran ilimitados y dividen el espacio en 8 octantes. Generalmente trabajaremos en el primero que es donde las coordenadas X, Y y Z tienen sus valores positivos.
  • 9. Un punto viene determinado por sus coordenadas A (x, y, z), estas definen la posición de las proyecciones secundarias (a’, a’’ y a’’’ sobre los planos XOY, XOZ y YOZ respectivamente) (A1, A2 y A3 sobre los planos XOY, XOZ y YOZ respectivamente según otros autores) y principal del punto (A). Conociendo dos de estas cuatro proyecciones tenemos definido al punto. Algunos autores denominan a las proyecciones sobre el plano XOY proyecciones horizontales, y a las de los planos XOZ y YOZ verticales o laterales. Figuras 2 y 3. Un punto puede estar situado, con relación al triedro de referencia:  En uno de los 8 octantes.  Contenido en algún plano del triedro.  Contenido en los ejes o aristas del triedro. Según el octante al que pertenezca, así serán sus coordenadas:  Primer octante: las tres positivas (x,y,z), 2º octante: (x,-y,z), 3er octante:(-x,-y,z), 4º octante: (-x,y,z), 5º octante: (x,y,-z), 6º octante: (x,-y,-z), 7º octante: (-x,-y,-z), 8º octante: (-x,y,-z)  Si el punto está en alguno de los planos auxiliares o caras del triedro, tendrá nula alguna de sus coordenadas, como por ejemplo el punto E (x,0,z) situado en el plano XOZ.
  • 10.  Si está situado en un eje, tendrá nulas dos coordenadas, las correspondientes a los ejes a los que no pertenece, además, su proyección principal coincidirá con dos secundarias como ocurre en el ejemplo de la figura 3 al punto F (0,y,0) perteneciente al eje Y. La recta en el sistema Axonométrico. Determinación de la recta: Una recta queda definida por sus proyecciones directas y secundarias. R (r’, r’’, r’’’) o bien (r1, r2, r3) Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una recta queda determinada por dos puntos contenidos en ella, A y B. La proyección directa R surge de unir las directas de estos dos puntos A y B. Las proyecciones secundarias de unir las secundarias correspondientes a A y B. Figura 1. Trazas de una recta: Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha recta con las caras del triedro, se designan con mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 y T3 correspondiendo al plano o cara XOY, XOZ, YOZ respectivamente (Hr, para el plano XOY, Vr para el plano X=Z, Wr para el plano YOZ, según algunos autores). Son puntos, y como tales tienen sus proyecciones auxiliares t’, t’’ y t’’’, coincidiendo la proyección secundaria correspondiente con la principal y las otras dos en los ejes que determinan el plano cortado. Por ejemplo T1 (t1’,t1’’, t1’’’) es la traza de una recta con el plano XOY, T1 y t1’ coinciden en XOZ, t1’’ está en el eje X y t1’’’ en el eje Y. Figura 2.
  • 11. Determinación de la recta. Trazas de una recta. Recta contenida en un plano de proyección. Posiciones particulares de las rectas: Recta contenida en un plano de proyección: La proyección principal y una secundaria son coincidentes, el resto coinciden en los ejes . Recta paralela a un plano del triedro: La proyección principal es paralela a la secundaria perteneciente al plano al que la recta es paralela, las otras dos son paralelas a los ejes que definen dicho plano. Recta perpendicular a un plano del triedro: La proyección secundaria en dicho plano queda reducida a un punto, coincidente con la traza de la recta en dicho plano. Las otras dos proyecciones secundarias y la propia principal son paralelas al eje que no contiene al plano al que la recta es perpendicular. Recta que corta a un eje: El punto por donde la proyección principal corta al eje es traza doble y por ahí pasan dos proyecciones secundarias, la tercera proyección secundaria pasa por el origen.
  • 12. Recta paralela a un plano del triedro. Recta perpendicular a un plano del triedro. Recta que corta a un eje. Recta que pasa por el origen: Las tres trazas de R coinciden en el origen y por tanto pasan por aquí principal y secundarias. Para determinar las proyecciones secundarias de R nos auxiliamos de un punto A de la recta. Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro: Su proyección directa y sus trazas quedan reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias, son prolongaciones de los ejes de coordenadas. Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera: Su proyección directa y sus trazas quedan reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias son paralelas a los ejes. Estos dos últimos tipos de rectas se denominan proyectantes sobre el cuadro. Recta que pasa por el origen. Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro. Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera. https://files.acrobat.com/a/preview/e381a56d-d9e1-4347-9e42-01afb1e37c41