El documento introduce la función exponencial y su uso para modelar situaciones de crecimiento rápido como la reproducción de bacterias. Los estudiantes ven videos sobre crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial y completan una tabla y gráfica mostrando el crecimiento de la población de amebas que se duplican cada hora desde una ameba inicial. Esto lleva a la fórmula f(x)=2t que modela el crecimiento exponencial, donde t es el tiempo y la base de la exponencial es 2.

1. Función Exponencial
Actividad/es de apertura
Actividad N° 1:
Para comenzar ésta nueva clase se debe tener en cuenta la importancia de la
modelización de determinadas situaciones mediante la utilización de funciones, en
fenómenos como la evolución de población, la desintegración radiactiva y la reproducción
de bacterias en las que se encuentran magnitudes que varían con un ritmo muy
acelerado, produciendo rápidos aumentos o decrecimientos, como por ejemplo el
crecimiento de una población debido a diferentes factores o el crecimiento acelerado de
una bacteria estudiada en un laboratorio, etc. Expone que todos estos, son hechos
acordes a un modelo expresado por la función exponencial.
Presten atención a los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=Gjy-y-ATZTI
https://www.youtube.com/watch?v=Qtt6l-RMwxk
Luego, elaboren un resumen sobre crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial
a partir de lo entendido en el video de Adrián Paenza.
A continuación, a modo de puesta en común en grupo o individualmente, realicen un
comentario en el blog, el cual va ser muy enriquecedor para los demás compañeros.
Actividad/es de desarrollo
Se reúnen en grupos de no más de cuatro integrantes. Una vez organizados, abran el
archivo con nombre (Actividad N°2) que el docente compartió en Google Drive, en el
grupo “Alumnos de 4° año”.
Acá les facilito el link de GeoGebra libre para que todos puedan trabajar:
www.geogebra.org.
Una vez leída la actividad, deberán completar la tabla que figura en el documento. Para
poder realizarla deberán leer detenidamente el enunciado. Pueden hacer las consultas
que consideren pertinentes.
Acá les dejo unos interrogantes que pueden guiarlos mucho: las amebas se DUPLICAN,
¿Qué significa el momento cero? ¿Por qué hay momentos suspensivos?

2. Actividad Nº 2:
Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición).
Cuando el individuo adulto llega a cierto grado de madurez se parte y da lugar a dos
individuos jóvenes. Transcurrido cierto tiempo, cada uno de ellos repite el proceso. Esto
se realiza más o menos rápidamente según las condiciones de cultivo o lugar donde se
encuentren. Supongamos que las condiciones de cultivo son tales que las amebas se
duplican aproximadamente cada hora y que inicialmente hay una ameba.
Con los datos anteriores, completen la siguiente tabla, la cual se encuentra incompleta.
Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 ... t
Número de amebas 1 2 .... ?
Una vez completa la tabla, abran el programa GeoGebra, y repitan datos en una hoja de
cálculo.
Para ello, vayan a la pestaña vista, hoja de cálculo y completen en las columnas A y B
con los datos presentados anteriormente. Se recomienda tomar valores muy grandes para
el tiempo expresado en horas, aprovechar que tal software puede graficar para cantidades
grandes sin inconvenientes.
En la tabla que sigue a continuación se toma hasta las 5 horas, pero ustedes debe usar
valores más elevados, para poder hacer uso también entre otras cosas del zoom del
programa.

3. Luego, seleccionen la tabla, a continuación haciendo clic derecho, se selecciona la
opción crea, se elige la opción lista de puntos, de esta forma podrán visualizar una
gráfica de puntos.
Para que la gráfica quede completa respondan las siguientes preguntas:
 ¿Podemos darle un nombre al eje x (o de las abscisas) y al eje y (o de las
ordenadas)?. ¿Cómo le llamaríamos?.
 A continuación seleccionen el botón texto y agreguen en cada eje el nombre de
las variables.
GeoGebra ajusta la curva a una exponencial, para mayor precisión en la barra de entrada
ingresar: AjusteExp [lista1].
Una vez que hayan obtenido la gráfica, respondan ¿Si los puntos se pueden unir?. ¿Qué
significa unirlos?.
Luego, a través de la gráfica y la tabla se puede llegar a una expresión de la masa total de
células al cabo de t horas, es decir, a la fórmula:
f(x)=y= 2𝑡 para t ∊ R+

4. Para encontrar la fórmula haremos hincapié en las operaciones realizadas mentalmente
en la tabla, y primero calculamos mentalmente, es decir, 1 . 2 luego 2 . 2 y para la tercera
columna 4. 2 , aclarando que el 4 puede ser expresado como 2 .2 y así sucesivamente,
siempre utilizando los valores obtenidos en el casillero anterior. Luego ¿De qué forma se
puede abreviar lo obtenido? es decir, como en el casillero 3 veran el producto de tres
factores iguales (2. 2. 2 =23)¿Qué significa el 3 que está como exponente? Dejen registro
de las respuestas.
Luego,vuelvan a la tabla y apliquen ésta nueva expresión general para comprobar los
resultados obtenidos.
Para ir sintetizando: Como el tamaño de la población crece siempre al ritmo de un
porcentaje fijo, el crecimiento es exponencial.
Actividad/es de cierre.
Para finalizar la clase, se institucionaliza el nuevo saber, realizando la siguiente pregunta
retórica: ¿Por qué aparece la función exponencial y su uso es tan frecuente? Cada vez
que aparece un proceso, que evoluciona de modo que el aumento (al que se le llama
Crecimiento Exponencial) o disminución, al que se le llama (Decrecimiento
Exponencial) en un pequeño intervalo de tiempo es proporcional a lo que había al
comienzo del mismo, ese proceso se modela mediante una función exponencial: Por
ejemplo:
 Crecimiento de bacterias.
 Aumento de masa.
 Crecimiento de poblaciones animales y vegetales.
 Interés de dinero acumulado.
 Vida media de algunas sustancias como el Polonio, Carbono.
Luego, tomen apuntes en el cuaderno o en algún soporte online, como lo prefieran, es
arbitrario:
La expresión f(x) = k. 𝑎 𝑥 se denomina función exponencial donde el valor de a puede ser
cualquier número positivo excepto el 1, (0<a<1 o a>1) y k: es el coeficiente de la función,
y es un número R distinto de 0.
También tenemos otra “función exponencial muy utilizada por sus características y sus
diversas aplicaciones científicas, es: f(x) = 𝑒 𝑥 cuya base es el número e, llamado número

5. de Euler. (Peña Baeza, A.R, Ramirez Villena, M. R., Rozbaczylo Jorquera, P.A, Mena
Setz, J., 2012. p 75).
El número e se define como el valor al que se aproxima la expresión (1 + 1/x) 𝑥 cuando x
toma valores muy grandes. Es un número irracional, cuya expresión decimal es,
aproximadamente, 2,7182818284”. (Peña Baeza, A.R, Ramirez Villena, M. R., Rozbaczylo
Jorquera, P.A, Mena Setz, J., 2012. p 74).
Evaluación
La evaluación en esta clase será la observación directa del docente y la interacción que
realiza el curso, la predisposición para colaborar, y la argumentación que los alumnos
realizan frente a nuevas cuestiones.
La función del docente será intervenir para estimular a sus alumnos en la búsqueda de
soluciones, fomentando el intercambio de opiniones.
Recursos
Herramientas disponibles: Proyector, lápiz, papel, tizas, pizarra. Netbooks. Blog de aula
“Didáctica de la Matemática”.Google Drive. Software: GeoGebra. YouTube. Páginas web:
www.geogebra.org.
Guías de actividades: Actividad N°1, actividad N° 2.
Tutoriales:
Bibliografía: Peña Baeza, A.R, Ramirez Villena, M. R., Rozbaczylo Jorquera, P.A, Mena
Setz, J., (2012). Texto del Estudiante Matemática 4° Educación Media. Santiago de Chile:
Santillana.