Este documento proporciona una introducción a las funciones exponenciales. Define funciones exponenciales, explora sus propiedades como ser crecientes o decrecientes dependiendo de la base, y muestra cómo graficarlas y resolver ecuaciones exponenciales. También presenta aplicaciones como el interés compuesto, crecimiento poblacional y decaimiento radiactivo. El documento concluye con una pre-prueba, la lección, ejercicios de práctica y una post-prueba para evaluar la comprensión del estudiante.

1. FUNCIONES EXPONENCIALES Modulo Instruccional Para continuar presiona aquí.

2. Índice Puedes escoger a donde quieres ir, solo haz click en el enlace que deseas . Presiona aquí para comenzar Objetivos Evaluación Tutorial Introducción Instrucciones Propósito Carta al Estudiante

3. Presiona el encima de la destrezas que deseas estudiar. Funciones Exponenciales Para ir al principio presiona aquí Presiona aquí para continuar Definición de Función Exponencial Ejemplos de Funciones Exponenciales Propiedades de las Funciones Exponenciales Gráfica de la Función Exponencial Aplicaciones de las Funciones Exponenciales Resolver Ecuaciones Exponenciales Ejercicios de Práctica Función Exponencial base natural e

4. Definición La función exponencial con base a define y se denota: f(x) = a x donde a>0, a≠1 y X es cualquier número real. Constante Para regresar al índice presiona aquí Presiona aquí para continuar

5. Ejemplos de Funciones Exponenciales “ Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.” Volver al índice Presiona aquí para continuar

6. Propiedades de las Funciones Exponenciales 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 5. El dominio es el conjunto de los números reales. 4. El eje de x es una asíntota horizontal. 2. Si a (base) < 0 la función es decreciente. 3. Si a (base) > 0 la función es creciente. 7. Las funciones exponenciales son uno a uno. 6. El alcance es el conjunto de números reales positivos. Volver al índice Presiona aquí para continuar

7. Trazar la Gráfica de una Función Exponencial Podemos trazar la gráfica usando : Escoge entre tabla de valores y calculadora gráfica haciendo un click encima del que deseas. Volver al índice Presiona aquí para continuar x f(x) Tabla de Valores Calculadora Gráfica

8. Para completar la tabla de valores debes evaluar varios valores para x en la función exponencial. Ejemplos: X=0 F(0) = 3 0 F(0) = 1 X=1 F(1) =3 1 F(1) = 3 Una tabla de valores para esta función podría ser la que se encuentra a la izquierda. Trazar la Gráfica de una Función Exponencial Tabla de Valores Presiona aquí para continuar x f(x) 0 1 1 3 2 9 -1 1/3 -2 1/9

9. Trazar la Gráfica de una Función Exponencial Tabla de Valores Presiona aquí para continuar Haz click en el plano para ver la ubicación de los puntos y haz un último click para ver la gráfica completa. x f(x) 0 1 1 3 2 9 -1 1/3 -2 1/9

10. Análisis de la Gráfica Dominio: (-∞,∞) Campo de Valores: : (0,∞) Creciente: : (-∞,∞) Asíntota Horizontal: y = 0 Volver al índice Escoger calculadora gráfica Presiona aquí para continuar

11. Usando la Calculadora Gráfica Presionar Escribirla función Presiona aquí para continuar

12. Gráfica de f(x) = 3 x Presiona Volver al índice Presiona aquí para continuar

13. Resolver Ecuaciones Exponenciales igualando bases Las funciones exponenciales son funciones uno a uno, por lo tanto si y solo si x = y . Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales. Presiona aquí para continuar

14. Resolviendo Recordatorio: Las funciones exponenciales son uno a uno por lo que si las bases son iguales, los exponentes son iguales. Igualamos los exponentes Términos semejantes Despejamos para x Solución Volver al índice Presiona aquí para continuar

15. Práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales 3 4x-6 = 3 -x 27 x = 3 x+1 4 x 2 +2x =2 x 2 +5 (1/2) 4x-2 =2 x-2 Presiona aquí para continuar Solución Solución Solución Solución

16. Práctica: Construye la grafica de las siguientes Funciones Exponenciales f(x) = 2 x f(x) = (½) x f(x) = (2/3) x f(x) = 10 -x Presiona aquí para continuar Solución Solución Solución Solución

17. Resolver 3 4x-6 = 3 -x Igualamos los exponentes Términos semejantes Despejamos para x Solución Volver al índice Regresar a la Practica

18. Resolver 27x = 3x+1 Reescribir para obtener las bases iguales Utilizamos las leyes de exponentes Igualamos los exponentes Términos semejantes Despejamos para x Solución Volver al índice Regresar a la Practica

19. Resolver 4 x 2 +2x =2 x 2 +5 Regresar a la Practica Volver al índice Reescribir para obtener las bases iguales y utilizamos las leyes de exponentes Igualamos los exponentes Términos semejantes Factorizar Despejamos para x Solución

20. Resolver (1/2) 4x-2 =2 x-2 Reescribir para obtener las bases iguales Utilizamos las leyes de exponentes Igualamos los exponentes Términos semejantes y Despejamos para x Solución Presiona aquí para continuar Volver al índice

21. Solución: Gráfica de una Función Exponencial Tabla de Valores Regresar a la Practica x f(x) 0 1 1 2 2 4 3 8 -1 ½

22. Solución: Gráfica de una Función Exponencial Tabla de Valores Regresar a la Practica x f(x) 0 1 1 ½ 2 ¼ -1 2 -2 4

23. Solución: Gráfica de una Función Exponencial Tabla de Valores Regresar a la Practica x f(x) 0 1 1 2/3 2 4/9 -1 3/2 -2 9/4

24. Solución: Gráfica de una Función Exponencial Tabla de Valores Presiona aquí para continuar x f(x) 0 1 1 1/10 2 1/100 -1 10 -2 100

25. Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aquí algunas de esas aplicaciones. Aplicaciones de las Funciones Exponenciales Presiona aquí para continuar

26. Fórmula del Interés Compuesto Presiona aquí para continuar

27. Interés Compuesto Una suma de $13,600.00 se ha invertido en un fondo de inversión que paga un interés compuesto semestral de un 12%. Determine que cantidad de dinero se tendrá al pasar 25 años . P = $13,600.00 r = 12% = .12 t = 25 años Semestral: n = 2 Tenemos que: Presiona aquí para continuar

28. Crecimiento Poblacional P=P 0 2 t/d donde P = población en el tiempo t P 0 = población en el tiempo t=0 d = tiempo de duplicación Presiona aquí para continuar

29. Crecimiento Poblacional P=P 0 2 t/d México tiene una población aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población en 15 años a partir de ahora? Sustituyendo P 0 = 100, d=21y t = 15, se obtiene P= 100(2 15/21 ) P≈164 millones de personas Presiona aquí para continuar

30. Decaimiento Radiactivo A= A 0 (1/2) t/h Donde A= cantidad al tiempo t A0= cantidad al tiempo t=0 h= Vida media Presiona aquí para continuar

31. El isotopo radiactivo de galio 67 usado en el diagnostico de tumores malignos, tiene una media vida de 46.5 horas . Si se empieza con 100 miligramos de isotopo, ¿cuántos miligramos quedarán después de 24 horas ? Usa el modelo de decaimiento de la vida media: A= A 0 (1/2) t/h Tomando A 0 =100, h=46.5, y t=24 horas se obtiene A= 100(1/2) 24/46.5 A= 69.9 miligramos Decaimiento Radiactivo A= A 0 (1/2) t /h Presiona aquí para continuar

32. Más aplicaciones Presiona aquí para continuar

33. Fórmula del Interés Continuo Presiona aquí para continuar

34. Fórmula de crecimiento o decaimiento exponencial Presiona aquí para continuar

35. Pre-prueba Haz click aquí para comenzar

36. 1) ¿Cuál de las siguientes es una Función Exponencial? A D C B

37. NO, lo siento

38. WOW, Muy Bien

39. Incorrecto

40. LO SIENTO

41. 2) La gráfica de f(x)=4 x es… A D C B

42. NO, lo siento

43. WOW, Muy Bien

44. Incorrecto

45. LO SIENTO

46. La gráfica de f(x)=(1/2) x es… A D C B

47. NO, lo siento

48. WOW, Muy Bien

49. Incorrecto

50. LO SIENTO

51. La solución de 4 x-3 =8 es… A D C B

52. NO, lo siento

53. WOW, Muy Bien

54. Incorrecto

55. LO SIENTO

56. La solución de es… A D C B

57. NO, lo siento

58. WOW, Muy Bien

59. Incorrecto

60. LO SIENTO

61. Aplicaciones La cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria de cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por N=N 0 e 1.386t donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N 0 es el número de bacterias presentes cuando t=0 . Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas ? A D C B

62. NO, lo siento

63. WOW, Muy Bien

64. Incorrecto

65. LO SIENTO

66. Presiona en el dibujo para continuar Hasta aquí la pre-prueba

67. Post-prueba Haz click aquí para comenzar

68. 1) ¿Cuál de las siguientes es una Función Exponencial? A D C B

69. NO, lo siento

70. WOW, Muy Bien

71. Incorrecto

72. LO SIENTO

73. 2) La gráfica de f(x)=4 x es… A D C B

74. NO, lo siento

75. WOW, Muy Bien

76. Incorrecto

77. LO SIENTO

78. La gráfica de f(x)=(1/2) x es… A D C B

79. NO, lo siento

80. WOW, Muy Bien

81. Incorrecto

82. LO SIENTO

83. La solución de 4 x-3 =8 es… A D C B

84. NO, lo siento

85. WOW, Muy Bien

86. Incorrecto

87. LO SIENTO

88. La solución de es… A D C B

89. NO, lo siento

90. WOW, Muy Bien

91. Incorrecto

92. LO SIENTO

93. Aplicaciones La cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria de cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por N=N 0 e 1.386t donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N 0 es el número de bacterias presentes cuando t=0 . Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas ? A D C B

94. NO, lo siento

95. WOW, Muy Bien

96. Incorrecto

97. LO SIENTO

98. La Función Exponencial de base natural e Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = e x define a la función exponencial de base e . Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e x . Presiona aquí para continuar

99. Gráfica de f(x)=e x El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función f(x) = e x es una función exponencial natural . Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e x está entre f(x) = 2 x y f(x) = 3 x , como se ilustra a continuación. Volver al índice Presiona aquí para continuar

100. Instrucciones Lee cuidadosamente cada una de las plantillas presentadas. Encontrarás una pre-prueba que deberás contestar, luego está la lección que estudiarás cuidadosamente para que puedas hacer los ejercicios de práctica. Y por último hallarás una post-prueba donde podrás comprobar lo que aprendiste. Presiona aquí para continuar

101. Propósito El siguiente módulo tiene como propósito el presentar los conceptos básicos sobre el tema de los polígonos. Presiona aquí para continuar

102. Objetivos Al finalizar el tema se espera que usted pueda: Evaluar una función exponencial Trazar la gráfica de una función exponencial Trazar la gráfica de una función exponencial natural Comparar gráficas de funciones exponenciales Resolver problemas aplicados Presiona aquí para continuar

103. Introducción Las funciones exponenciales son una de las familia de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biología, reacciones de primer orden en química orbitales moleculares en química física, etc.. En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales. Presiona aquí para continuar

104. Carta al Estudiante ¡ Querido estudiante! La siguiente unidad te ayudará a aprender conceptos fundamentales de la geometría. En este caso aprenderás un poquito sobre los polígonos. Te exhorto a que te animes a completar el módulo, leyéndolo en todas sus partes y realizando todos los ejercicios. El módulo es uno sencillo y te resultará divertido realizarlo. ¡ Adelante y Éxito! Presiona aquí para continuar

105. ¡ FELICIDADES! Has completado el módulo de Funciones Exponenciales, espero te haya ayudado a aprender un poco más sobre el tema. Presiona aquí

106. Haz click en el perrito para continuar!! Hasta aquí la post-prueba

107. Evaluación Lo más que me gusto del modulo fue… Lo que menos me gusto fue… Pueden mejorar en … Presiona aquí para continuar