La función cuadrática se expresa como f(x)=ax2+bx+c, donde su gráfica es una parábola. El parámetro a determina si la parábola se inclina hacia arriba o hacia abajo, b afecta la posición de la parábola, y c corresponde a la ordenada en el origen. Una aplicación es describir la altura alcanzada por un objeto lanzado con velocidad inicial v0 y aceleración, cuya gráfica es una parábola que intersecta el eje x en los tiempos en que la alt

1. 1. FUNCIÓN CONSTANTE
Decimos que una función f pertenece a la familia de las funciones constantes si
se puede expresar analíticamente de la forma:
f(x)=k, siendo k un número real
Su representación gráfica, como ya sabemos, se corresponde con una recta
paralela al eje X.
Como observaremos, a lo largo del desarrollo de esta unidad basta con representar
una función de esa familia, a la que llamaremos función base, para, mediante
transformaciones en el plano (la mayor parte movimientos), obtener la gráfica de
cualquier otra función de esa familia.
Modifica el valor de "a" empleando los cursores correspondientes o escribiendo
directamente en el hueco una cifra seguida de "intro" para obtener la gráfica de
diferentes funciones constantes.
Utiliza el botón "limpiar" para borrar las rectas dibujadas.
Utiliza la escena anterior para representar diferentes funciones constantes, y
contesta a las siguientes preguntas.
1. ¿Qué clase de movimiento realizamos en el plano para pasar de la función base
(y=0) a cualquier otra función de la familia de las constantes?
2. Además de una traslación, ¿a través de qué otro movimiento podemos generar la
gráfica de y= -k a partir de y= k?
3. Describe las características fundamentales (dominio, recorrido, monotonía,
extremos,...) de este tipo de funciones a partir de su gráfica.
2. FUNCIÓN AFÍN
Decimos que una función f pertenece a la familia de las funciones afines si se
puede expresar analíticamente de la forma:

2. f(x)= a·x + b, siendo a y b números reales
Su representación gráfica, como ya sabemos de cursos pasados, se corresponde
con una recta. El parámetro a recibe el nombre de pendiente, y b el de ordenada
en el origen.
Para el estudio de su representación gráfica utilizaremos en este caso como función
base y = x.
Modifica los valores de "a" y "b" empleando los cursores correspondientes o
escribiendo directamente en el hueco una cifra seguida de "intro" para obtener
la gráfica de diferentes funciones afines.
4. Si b=0, ¿cómo son las gráficas de este tipo de funciones cuando a>1 con
respecto a la gráfica de la función base? ¿Y cuándo 0<a<1?<font="">
5. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función cuando a<0?
6. Manteniendo a fijo, varía ahora el valor de b. Observando la gráfica, ¿mediante
qué movimiento en el plano podemos pasar de la función y = a·x a la función y =
a·x + b?
7. ¿Qué movimiento en el plano relaciona la gráfica de la función y=x con y=-x? ¿Y
de y= a·x con y= -a·x?
8. Describe de forma intuitiva qué transformaciones debemos realizar en el plano
para pasar de la gráfica de la función base a las gráfica de las siguientes funciones:
a. y = -x+3 b. y = 2x c. y = 2x-4
d. y = x-1
¿En qué casos se trataría únicamente de movimientos?
</a<1?<>

3. 3. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Decimos que una función f pertenece a la familia de las funciones cuadráticas si
se puede expresar analíticamente de la forma:
f(x)= A·x2 + B·x + C, siendo A, B y C números reales
Para el presente estudio, una expresión analítica como la anterior no nos resulta
interesante. Por ello, a partir de ahora consideraremos que una función pertenece a
la familia de las cuadráticas si se puede expresar de la forma
f(x)= a·(x-b)2 +c, con a, b y c números reales
Es muy fácil comprobar que ambas expresiones son equivalentes.
Así, por ejemplo, mediante compleción de cuadrados, f(x) = 2·x2 + 4·x + 1 =
2·(x+1)2 -1.
Su representación gráfica se corresponde con una parábola. Al punto donde se
apoya la misma se le conoce con el nombre de vértice. Además, dependiendo de si
la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo, diremos respectivamente que se
trata de una parábola positiva o negativa.
Para el estudio de su representación gráfica utilizaremos en este caso como función
base y = x2.
Modifica los valores de "a", "b" y "c" empleando los cursores correspondientes o
escribiendo directamente en el hueco una cifra seguida de "intro" para obtener
la gráfica de diferentes funciones cuadráticas.
9. Fijando los parámetros b y c nulos, y modificando el parámetro a, ¿qué observas
con respecto a la función base cuando a>1? ¿Y cuando 0<a<="" font="">
10. ¿Mediante qué tipo de movimiento en el plano podemos pasar de la gráfica y =
x2 a la gráfica y = - x2?
¿Y de y = a·x2 a y= -a·x2?
11. Mantén fijo ahora el parámetro a (siendo c = 0), y varía el parámetro b, ¿qué

4. movimiento en el plano está teniendo lugar?
12. Para un valor de a y b determinados, modifica ahora el valor de c, ¿qué
movimiento el plano está teniendo lugar ahora?
13. ¿Podríamos pasar directamente, mediante un solo movimiento, de la gráfica de
una función del tipo y = a·x2 a una del tipo
y = a·(x-b)2 + c?
14. Modifica libremente los parámetros, ¿qué relación existe entre las coordenadas
del vértice y la expresión analítica de la función?
15. Describe de forma intuitiva qué transformaciones debemos realizar en el plano
para pasar de la gráfica de la función base a la gráfica de las siguientes funciones,
realizando la compleción de cuadrados en su expresión analítica cuando sea
necesario:
a. y = 2·x2 b. y = -x2 + 3 c. y = x2 + 3x
2
d. y= -3·x + 6x - 1
¿En qué casos se trataría únicamente de movimientos?
</a
La función constante es del tipo:
y=n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

5. Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene
infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:
x=K
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Una función cuadrática es de la forma:
Donde:
"a" es la variable dependiente del termino cuadrático, además es el término
principal y a diferencia de las otras ésta no puede ser nula.
"b" es la variable dependiente del termino lineal.
"c" es el termino independiente, a su vez es la ordenada al origen, o sea, la f(0).
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su representación es una curva
como la imagen dada.
"a" modifica la abertura de la parábola, si es negativo la parábola "mira para abajo" y si
es positiva "mira para arriba". Esta función puede sufrir traslaciones.

8. Función cuadrática
Una función cuadrática es de la forma: f(x)= ax2+bx+c y su gráfica es una parábola.
Una de las aplicaciones de la función cuadrática, es la altura h(t) que alcanza un objeto
después de transcurridos t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con
una rapidez inicial v0:
Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2,
entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2.
Si graficamos esta función dándonos algunos valores para t, obtenemos:

9. La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) =
0 en la función:
h(t) = 10t – 5t2
0 = 10t – 5t2
0 = 5t(2 - t)
t1 = 0 ó t2 = 2
Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la
altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo.
Por otro lado, se puede observar en el gráfico en t= 1 segundo se encuentra la máxima
altura, y si reemplazamos h = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10 • 1 – 5 • 12 = 5 m
Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice de la
parábola.
Analicemos a continuación en forma general, las características del gráfico de una
función cuadrática.
1. ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
CUADRÁTICA
Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c. Sus elementos y características principales
son:
Concavidad
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba:

10. Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo:
Intersección con el eje Y:
Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c, cuando la parábola intercepta al eje Y , x = 0
y si reemplazamos este valor en la ecuación, obtenemos:
y = a • 02 + b • 0 + c
y=c
Por lo tanto la intersección entre la parábola y el eje Y es el punto (0,c)
Intersección con el eje x
Cuando la gráfica intercepte el eje x, el valor de y debe ser 0. Reemplazando en la
ecuación, obtenemos:
0= ax2+bx+c
Por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen
resolviendo la ecuación de segundo grado, como las soluciones dependen del signo del
discriminante, entonces tenemos que:
- Si < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje
x.
- Si = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es
tangente al eje x.
- Si > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta
en dos puntos al eje x.

11. Si graficamos lo visto hasta ahora, tenemos las siguientes posibilidades:
Vértice :El vértice de la parábola de ecuación: y = ax2+bx+c es el punto de
coordenadas:
IMAGEN
Si a> 0, en la ordenada del vértice se encuentra el mínimo de la función:
Si a< 0, en la ordenada del vértice se encuentra el máximo de la función:

12. Para que practiques con la gráfica de la función cuadrática, te recomendamos el
graficador que está en el sitio:
Gráfica de la función cuadrática
2. TRASLACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La gráfica de la función cuadrática: y = x2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es:
Observemos a continuación, cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos
una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y).
i. Gráfico de y = x2 + 1 : El gráfico de esta función se traslada una unidad hacia arriba

13. ii. Gráfico de y = x2 – 1 : El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia abajo
iii. Gráfico de y = (x – 1) 2: El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia la
derecha.

14. iv. Gráfico de y = (x + 1) 2 : El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia la
izquierda.
Ejemplo:
Graficar la función: y = (x – 1) 2+2
Solución:
Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de la
parábola y = x2, un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba.

15. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
El gráfico de la función es:
A esta gráfica le podemos aplicar las traslaciones horizontales, tal como lo hicimos con
la función: y = x2
Por ejemplo, el gráfico de correspondería al de trasladado una
unidad a la derecha:

16. Función y = x2
La función real de variable real en la que la variable dependiente varía con el valor del
cuadrado de la variable independiente se denomina función cuadrática. La expresión
general de la función cuadrática es la siguiente:
y = f (x) = ax2 + bx + c
siendo a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.
Interpretación geométrica
Por su naturaleza, las funciones cuadráticas son continuas, y se representan
gráficamente mediante paráblas. Así, una función cuadrática y = ax2 + bx + c se
corresponde con la ecuación de una parábola donde las abscisas de los puntos de
intersección de la misma sobre el eje horizontal son las soluciones de la ecuación que
resulta de igualar a cero dicha funcióon, es decir:
La media aritmética de estas dos abscisas proporciona el valor de la abscisa del vértice
de la parábola:
xv = -b/2a.

17. La forma más sencilla de función cuadrática, y = ax2, es una parábola cuyo vértice se
encuentra en el origen de coordenadas, por lo que corresponde a una función simétrica
con respecto al eje vertical.
Toda función cuadrática se puede escribir como y = a(x ? p)2 + q, cuya forma gráfica es
idéntica a la de y = ax2, aunque desplazada p unidades en el eje horizontal y q en el eje
vertical.
Representación de funciones cuadráticas simétricas con respecto al eje vertical.
Intersección entre recta y parábola
Para hallar los puntos de intersección entre una recta y una parábola, se ha de resolver el
sistema formado por las ecuaciones representativas de estas dos entidades geométricas.
En general, dicho sistema se expresaría como:
Por tanto, se trata de determinar los puntos comunes de una función lineal (la recta) y
una función cuadrática (la parábola).
Este sistema de ecuaciones puede resolverse por medios algebraicos (por igualación y
resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta) o por medios gráficos (ver t8).
División del plano por funciones afines
Toda recta, entendida como el lugar geométrico de los puntos que se rigen por una
función lineal o afín, divide a un plano en dos regiones, llamadas semiplanos, que
visualmente pueden percibirse como superiores o inferiores a la recta.
Cada semiplano definido por una recta puede expresarse por medio de una inecuación
lineal. Genéricamente, puede decirse que la recta y = ax + b divide al plano en los dos
siguientes semiplanos:

18. El primer semiplano («superior») está formado por los puntos que cumplen la
inecuación y >ax + b.
El segundo semiplano («inferior») se compone de los puntos que verifican la
inecuación y <ax + b.
Este enfoque facilita la resolución gráfica de los sistemas de inecuaciones lineales por
medio de su representación a modo de semiplanos limitados por funciones afines (rectas
geométricas).
Cuando una inecuación lineal incluye el signo de igualdad ( o ), el semiplano
comprenderá a la recta que lo delimita. En caso de desigualdad estricta, los puntos de
recta quedarán excluidos del semiplano.
Una recta divide al plano en una región «superior» y otra «inferior». En la imagen, el
punto (2,8) está en el semiplano superior, y el punto (2,5),en el semiplano inferior.