Ajuste de Controladores.ppt

1
Ajuste de Controladores PID
Control de Procesos
Prof. Efraín Roca
Universidad de Carabobo
Facultad de Ingeniería
Escuela de Eléctrica

2
Control de Procesos
La sintonización es el procedimiento mediante el
cual se ajustan los parámetros del controlador (PID)
a fin de obtener una respuesta específica en lazo
cerrado.
El tipo de respuesta debe ser tal que satisfaga los
requerimientos del producto final. Así por ejemplo,
las especificaciones de regulación de temperatura
para un proceso de inyección de plástico son muy
distintos a los exigidos en un proceso de cultivo
biológico para la producción de vacunas.
1.- Generalidades

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Control de Procesos
2.- Tipo de Respuestas en el Control
La respuesta del control define la característica del sistema que hace
que la variable de proceso retorne al punto de control después de
una perturbación.
Algunos de los criterios deseables se ilustran en la fig. 1 y son:
Fig. 1.- Tipos de Respuestas de Control

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Control de Procesos
2.- Cont. Tipos de respuestas en control
Los tipos de respuestas más nombrados en control son:
1.- Criterio de la Razón de Amortiguamiento.
2.- Criterio de Área Mínima (IAE).
3.- Criterio de Mínima Integral del cuadrado del error (ICE)
4.- Criterio de Mínima Integral en el tiempo del valor absoluto del error (IAET)
5.- Criterio de Mínima Perturbación.
6.- Criterio de Mínima Amplitud.

5
Control de Procesos
2.1- Criterio de la Razón de Amortiguamiento
Bajo este criterio, la amortiguación de la respuesta es tal que la relación
de amplitudes entre las crestas de los dos primeros ciclos sucesivos es
de 0.25. Es decir, la amplitud de cada onda equivale a una cuarta parte
de la anterior.
Fig. 2.- Respuesta con rata de decaimiento de ¼.

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Control de Procesos
2.1- Cont. Criterio de la Razón de Amortiguamiento
Este criterio es un compromiso entre la estabilidad de la respuesta del
controlador y la rapidez de retorno de la variable a un valor estable.
Una relación mayor que ¼ dará mayor estabilidad pero prolongará el
tiempo de normalización de la variable.
Una relación menor que ¼ devolverá la variable más rápidamente al
punto de control o a un valor estable, pero perjudicará la estabilidad del
lazo.
Este criterio es el más importante y se aplica especialmente en los
procesos donde la duración de la desviación es tan importante como el
valor de la misma.

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Control de Procesos
2.2- Criterio de Área Mínima (IAE).
Este criterio indica que el área de la curva de recuperación debe ser
mínima, para lograr que la desviación sea mínima en el tiempo
más corto. La función a minimizar es la siguiente:

t
dt
t
e
0
)
( Minimizar
Se le denomina también Criterio de la Integral Mínima del Valor
Absoluto del Error (IAE).

8
Control de Procesos
2.3- Criterio de Mínima Integral del Cuadrado del Error (ICE*)
Bajo este criterio, debe ser mínima la expresión:
 

t
dt
t
e
0
2
.
)
(
Este criterio penaliza los errores grandes debido al término
cuadrático, lo cual ocurre generalmente al inicio de la curva de
recuperación. Da menos ponderación para errores pequeños, que se
presentan hacia el final de la respuesta.
El criterio ICE genera una alta ganancia del controlador y respuestas
muy oscilatorias (es decir, una razón de asentamiento alta), en las
cuales el error oscila alrededor del cero por un tiempo relativamente
largo.

9
Control de Procesos
2.4- Criterio de Mínima Integral en el tiempo del Valor Absoluto del Error (IAET)
En virtud del gran tiempo de estabilización del criterio ICE, se plantea un
criterio que toma en cuenta el tiempo que transcurre desde el inicio de la
curva de recuperación.
Bajo el criterio ITAE se busca minimizar la siguiente función:

t
dt
t
e
t
0
)
(
.
2.5- Criterio de Mínima Integral del cuadrado del error ponderado en tiempo (ICET)

t
dt
t
e
t
0
2
)
(
.
Bajo este criterio de tienden a penalizar tanto los errores grandes,
así como su duración.

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Control de Procesos
2.6- Criterio de Mínima Perturbación
Aquí se requiere un curva de recuperación no cíclica, y se aplica cuando por
ejemplo, las correcciones rápidas o cíclicas de una válvula de control de vapor,
pueden perturbar seriamente las presión de vapor de alimentación e influir a
otros procesos alimentador por la misma fuente.
Otro caso es el del control en cascada, en donde la señal de salida de un
controlador varía cíclicamente y se aplique como punto de control a otro
controlador, creándole serias variaciones de carga.
2.7.- Criterio de Amplitud Mínima.
De acuerdo con este criterio, la amplitud de la desviación deber ser mínima, lo
cual se aplica especialmente a procesos en que el producto o el equipo puedan
ser dañados por desviaciones momentáneas excesivas.
En estos casos, la magnitud de la desviación es más importante que su duración.

11
Control de Procesos
En general todos estos criterios están restringidos a tiempos de retardo
pequeños y medios que cumplen con la condición:
1
)
(
0 0



t
Donde:
t0 = Retardo o Tiempo muerto del Proceso
 = Constante de Tiempo del Proceso
2.8.- Condición para validez de los criterios de estabilidad

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Control de Procesos
3.- Clasificación de los métodos de Ajustes de Controladores.
Métodos de
Ajustes de
Controladores
Experimentales
Analíticos
Lazo Cerrado
 Ganancia Última (Ziegler & Nichols)
 Ajuste ¼ decaimiento (Peter Harriot)
 Balance de Armónicos (Relay-Feedback)
 Métodos de Auto y Self-Tunning
(Chindambara, Kraus & Myron, etc)
Lazo Abierto
 Curva de Reacción (Ziegler & Nichols)
Requieren el conocimiento de la función de
transferencia del proceso

13
Control de Procesos
3.1- Método de Ganancia Ultima – Ziegler & Nichols
Este método de lazo cerrado fue desarrollado por Ziegler & Nichols, en 1941 y
permite calcular los tres términos de ajustes del controlador PID a partir de datos
obtenidos de un ensayo práctico.
Básicamente, se persigue obtener el valor de la ganancia del controlador,
correspondiente al umbral de estabilidad del lazo de control. Para el caso
particular de un análisis de Nyquist , este punto corresponde al cruce por el eje
imaginario negativo, o punto (–1,0).
Fig. 3.- Curva de Nyquist

14
Control de Procesos
3.1- Cont. Método de Ganancia Ultima – Ziegler & Nichols
El diagrama de bloques representativo del ensayo es como sigue:
El método que se describirá solo es válido para plantas estables en lazo abierto
y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Deshabilitar las acciones integral y derivativa del controlador PID, de
manera tal que se obtenga un controlador proporcional puro. En algunos
controladores, no es posible eliminar completamente la acción integral, en cuyo
caso esta debe ajustarse en el punto correspondiente a mínima acción integral
(Ti al máximo o RPM al mínimo).
Fig. 4.- Diagrama de Control para ensayo de ganancia última

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Control de Procesos
Paso 2: Con el controlador en automático (o sea, en lazo cerrado) y partiendo de
un proceso estable, ir incrementando la ganancia (o disminuir la BP) al mismo
tiempo que se aplican pequeños cambios en el punto de control, hasta lograr que
se produzca una oscilación sostenida en la variable de proceso.
Al valor de ganancia en la que se produce la oscilación sostenida se le denomina
Ganancia Última y al periodo de oscilación respectivo: Periodo Último.
Fig. 5.- Comportamiento del lazo de control al aumentar la ganancia

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Control de Procesos
Paso 3: Del registro de tiempo, se mide el periodo de oscilación (Tu) y se calculan
los parámetros PID según las tablas de Ziegler & Nichols para ganancia última.
Tipo de
Controlador
K Ti
(Min/Rep)
Td
(Min)
P Ku/2 - -
PI Ku/2.2 Tu/1.2 -
PID Ku/1.7 Tu/2 Tu/8
Tabla 1.- Ziegler & Nichols para Ganancia Última
* Esta tabla fue generada para plantas que
puedan describirse satisfactoriamente por un
modelo de la forma:
)
1
(
)
(
0
0



S
e
K
s
G
S
t
p

Fig. 6.- Respuesta Oscilatoria
Continua

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Control de Procesos
Nóte de las tablas de Ziegler & Nichols, que cuando se introduce la
acción integral, se fuerza una reducción del 10% en la ganancia del
controlador PI, en comparación con la del controlador proporcional.
Por otro lado, la acción derivada propicia un incremento tanto en la
ganancia como en la magnitud de la acción integral. Esto manifiesta un
efecto estabilizador de la acción derivada.
Los ajustes de Ziegler & Nichols producen un tipo de respuesta con una
razón de asentamiento o decaimiento de ¼.
La respuesta típica para estos ajustes para una perturbación y un cambio
en el punto de control, se ilustra a continuación.

18
Control de Procesos
El comportamiento del tipo de respuesta con amortiguamiento de ¼ es
satisfactorio para la compensación de perturbaciones, más no es muy deseable
frente a cambios del punto de control.
Para este último caso, se produce un sobrepaso (overshoot) de 50%, medido
como:
%
50
100
*
)
( 


c
A
Sobrepaso
Fig. 6.- Comparación de respuesta de ¼ de decaimiento a perturbación y cambio de Set Point

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Control de Procesos
Una de las imprecisiones del tipo de respuesta de amortiguamiento de
¼, es que el conjunto de parámetros de ajustes requerido para
obtenerlo no es único, a excepción del caso del controlador
proporcional.
Para el caso del controlador PI se puede verificar fácilmente que, para
cada valor del tiempo de integración, es posible encontrar un valor de
ganancia con el cual se produce una respuesta de razón de
amortiguamiento de ¼ y viceversa.
La metodología que proponen Ziegler & Nichols son valores de campo
que producen una respuesta rápida en la mayoría de los lazos de
control industriales.
Como limitante del método cabe mencionar que en algunos lazos de
control, no se permite una oscilación tal como la planteada por el
método de ganancia última.

20
Control de Procesos
3.2.- Método de Oscilación Amortiguada (Harriot).
En virtud del inconveniente del relativo alto nivel de la magnitud de la oscilación
sostenida, Peter Harriot propuso un criterio ligeramente distinto.
Bajo este método, no se ajusta la ganancia hasta el punto de inestabilidad, sino
más bien hasta el logro de la relación ¼ de decaimiento en la curva de
recuperación. Los pasos son los siguientes:
1.- Eliminar las acciones Integral y Derivada.
2.- Ajustar la ganancia o banda proporcional, al mismo tiempo que se introducen
pequeños cambios en el punto de control, hasta lograr una razón de
amortiguamiento de ¼.
3.- Los ajustes del controlador PID serán:
 La ganancia es implicita.
 El tiempo integral queda como:
 El tiempo derivado queda como:
T = Periodo de Oscilación con relación de ¼
5
.
1
T
Ti 
6
T
Td 

21
Control de Procesos
3.3.- Método de la Curva de Reacción - Introducción.
Este método fue propuesto por Ziegler & Nichols contemporáneamente al de
Ganancia Límite. Consiste en obtener la curva de reacción del proceso
frente a una excitación tipo escalón.
Asume que la respuesta del proceso corresponde a un modelo de Primer
Orden más Retardo (POMTM), correspondiente a:
1
)
(
0



s
Ke
s
G
S
t

Donde:
K = Ganancia del proceso en estado estacionario (Ganancia Estática)
t0 = Tiempo Muerto del Proceso
 = Constante de Tiempo del Proceso

22
Control de Procesos
3.4.- Caracterización del Proceso
Antes de seguir con el método de la curva de reacción, se describirá la
caracterización del proceso que esta siendo representada por un modelo de
Primer Orden más Retardo (POMTM).
Un lazo típico de control realimentado puede representarse mediante el
siguiente diagrama de bloques, en donde son de interés las señales M(s) y
C(s), ya que son observables en el campo.
Fig. 8.- Diagrama de Bloques de un lazo de control realimentado

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Control de Procesos
3.4.- Cont. Caracterización del Proceso
La simbología es como sigue:
R(s): Transformada de Laplace de la señal del punto de control.
M(s): Transformada de Laplace de la señal de salida del controlador.
C(s): Transformada de Laplace de la señal de salida del Transmisor.
E(s): Transformada de Laplace de la señal de Error
U(s): Transformada de Laplace de la señal de perturbación.
Gc(s): Función de transferencia del Controlador.
Gv(s): Función de transferencia del Elemento Final de Control.
Gm(s): Función de transferencia del proceso entre la variable controlada y la variable manipulada.
Gu(s): Función de transferencia entre la variable controlada y la perturbación.
H(s): Función de transferencia del conjunto sensor-transmisor.
Aplicando el álgebra de diagrama de bloques, podemos simplificar a una forma
mas conveniente, a fin de obtener C(s) como salida:
Fig. 9.- Diagrama Modificado tomando C(s) como salida

24
Control de Procesos
3.4.- Cont. Caracterización del Proceso
Nótese que se han agrupado en un solo bloque las funciones de transferencia del
EFC, del proceso y del conjunto sensor-transmisor.
Llamaremos en lo sucesivo como G(s) a:
)
(
)
(
)
(
)
( s
H
s
Gm
s
Gv
s
G 


Esta es la función de transferencia que se aproxima mediante modelos de 1er y
2do orden con el objeto de caracterizar la respuesta dinámica del proceso.

25
Control de Procesos
3.5.- Desarrollo del ensayo de Curva de Reacción.
Los pasos a seguir para este ensayo son:
 Permitir que el proceso se encuentre en condiciones de estabilidad.
 Colocar al controlador en Manual.
 Manipular la salida del controlador a fin de producir un cambio en escalón
de una amplitud tal que genere un cambio apreciable en la variable de
proceso. Tampoco esta amplitud debe ser tan grande, tal que las no
linealidades del proceso ocacionen una distorsión en la respuesta.
 El registro gráfico de la respuesta del proceso, permite obtener sus
características básicas: Tiempo Muerto, la (s) constantes de tiempo y la
Ganancia estática del proceso. Existen varios métodos que seran expuestos
en esta guía.
 Aplicar la tabla de Ziegler & Nichols específicas para el ensayo de curva de
reacción.

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Control de Procesos
3.5- cont. Método de la Curva de Reacción.
El ensayo de curva de reacción genera el siguiente tipo de respuesta:
m = Amplitud del escalón
de prueba.
Cs = Variación neta final
en la variable de proceso.
Fig. 10.- Ensayo de curva de reacción

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Control de Procesos
3.5.- cont. Método de la Curva de Reacción.
El diagrama de bloques para el ensayo de curva de reacción en lazo abierto
es:
La respuesta C(s) queda expresada como::
)
(
).
(
)
( s
M
s
G
s
C 
Siendo M(s) un escalón y G(s) un proceso de primer orden más retardo, se tiene:
s
m
s
Ke
s
C
s
t





1
)
(
0

Fig. 11.- Diagrama de Bloques en lazo abierto para el ensayo de curva de reacción.

28
Control de Procesos
Al expandir en fracciones parciales, se obtiene:











 
1
1
)
( 0
s
s
e
m
K
s
C s
t


Invirtiendo al dominio del tiempo con las tablas de transformadas de Laplace y
aplicando el teorema de traslación real para el tiempo muerto, se llega a:
Ec 1-1
El término C(t) representa el cambio en la salida de la señal del transmisor
respecto a su valor inicial. El valor en régimen permanente se obtiene como:
m
K
t
C
C
t
s 







)
(
lim Ec 1-2
 

/
)
(
0
0
1
)
(
)
( t
t
e
t
t
u
m
K
t
C 










29
Control de Procesos
La ganancia K es uno de los parámetros del modelo.
El tiempo muerto y la constante de tiempo  se pueden determinar al menos
por tres métodos distintos, cada uno de los cuales generan resultados
distintos, tal como se expone a continuación.
La ganancia en régimen de equilibrio del proceso, resulta ser:
m
Cs
K


 Ec 1-3

30
Control de Procesos
3.5.1.- Método #1 para evaluar el tiempo muerto y la constante de tiempo.
Este método emplea la línea tangente a la curva de reacción del proceso, en el
punto de máxima pendiente, acotando por tanto el valor to. Proyectando esta
recta hasta P1, se obtiene el punto t0+ leido en el eje de tiempo.
P1
Fig. 12.- Método ·1 para la evaluación de t0 y 

31
Esto queda demostrado derivando la ecuación 1-1:
R
Cs
m
K
dt
C
d
t
s
















1
)
(
0
Donde R : Pendiente Máxima
Entonces, tal como se aprecia en la figura 12, la línea de pendiente máxima,
corta en un inicio al eje de tiempo en un valor t=t0. La línea de valor final queda
determinada en un tiempo igual a t+t0.
Control de Procesos
Ec 1-4

32
Control de Procesos
3.5.1.- Cont.. Método #1 para evaluar el tiempo muerto y la constante de tiempo.
Al aplicar los valores de tiempo muerto y constante de tiempo resultantes del
ensayo, a un modelo matemático de primer orden más retardo, se encuentran
diferencias significativas respecto al comportamiento real, tal como se ilustra:
Este método fue el empleado por Ziegler & Nichols.
Fig. 13.- Diferencia entre el comportamiento real y el modelo al
aplicar los valores obtenidos según el método #1.

33
Control de Procesos
En este método se determina t0 de la misma manera que en el método #1
(recta de máxima pendiente), pero para obtener  se fuerza a que la respuesta
del modelo coincida con la respuesta real en el punto t = t0 + . Evaluando la
ecuación 1-1 para t0+ resulta:
Fig. 14.- Método #2 para la evaluación de la constante de tiempo y el tiempo muerto.
  s
C
e
m
K
t
c 







 
632
.
0
1
)
( 1
0  Se observa de la gráfica
que la comparación
entre la respuesta del
modelo y la real es
mucho más cercana
que con el método 1.
El valor de constante de
tiempo que se obtiene
es normalmente menor
respecto al del método
#1.

34
Control de Procesos
Gran parte de la inexactitud de los métodos anteriores, radica en el trazo de la
tangente en el punto de máxima pendiente de la curva. Aún con el método 2 en
donde el valor t0+ es independiente de la tangente, aún hay dependendia de
la misma para los valores de t0 y .
Para eliminar esta dependencia, el Dr. Cecil Smith propone que la respuesta
real y la del modelo coincidan en dos puntos de la zona de máxima rata de
cambio.
Los puntos que se
recomiendan son:
(t0+ 1/3 ) y (t0+ )
t2
t1
Fig. 15.- Método #3 para la
evaluación de la constante de
tiempo y el tiempo muerto.

35
Control de Procesos
3.5.3.- cont. Método #3 para evaluar el tiempo muerto y la constante de tiempo.
Para hallar la correspondencia en valor de la variable de proceso, se evalúa la
ecuación 1-1 en los puntos mencionados, esto es:
  Cs
e
m
K
t
c 








 
632
.
0
1
)
( 1
0 
  Cs
e
m
K
t
c 








 
283
.
0
1
)
3
1
( 3
/
1
0 
De aquí que se pueda obtener el siguiente sistema de ecuaciones:
2
0 t
t 
 1
0
3
1
t
t 
 
y
Lo cual conduce a las expresiones finales :
)
(
2
3
1
2 t
t 

 y 

 2
0 t
t
t1= Tiempo para el cual c = 0.283 Cs
t2= Tiempo para el cual c = 0.632 Cs
Este es el método que se
recomienda para el cálculo de
t0 y , dado que la
experiencia ha demostrado
que genera mejores
resultados para el ensayo de
curva de reacción.
Ec 1-5
Ec 1-6
Ec 1-7

36
Control de Procesos
3.5.4.- Tablas de Ziegler & Nichols para Ensayo de Curva de Reacción
Tipo de
Controlador
Ganancia
Proporcional
Kc
Tiempo
Integral
Ti
Tiempo
Derivativo
Td
P _ _
PI _
PID
1
0
)
(
0
.
1 

t
K
1
0
)
(
9
.
0 

t
K
1
0
)
(
2
.
1 

t
K
0
33
.
3 t
0
0
.
2 t 0
5
.
0 t
Tabla 2.- Fórmulas de ajuste para respuesta de amortiguamiento ¼ basado en la
curva de reacción (Ziegler & Nichols)
K = Ganancia estática T0 = Tiempo Muerto  = Constante de Tiempo

37
Los resultados del método de la curva de reacción, son sumamente sensibles a
cualquier perturbación que ocurra durante el ensayo.
Así mismo, la obtención del valor final de la variable de proceso, puede tener
algún grado de incertidumbre, si durante el ensayo ocurre cualquier
perturbación. Esto último es muy notorio en procesos térmicos y en especial los
de baja capacitancia.
Control de Procesos
3.5.5.- Observaciones finales del ensayo de la curva de reacción

38
Control de Procesos
3.6.- Ajuste mediante los criterios de Integración Mínima
Con anterioridad se mencionaron criterios para definir el tipo de respuesta
deseado en un lazo de control. Además del criterio de ¼ de amortiguamiento se
establecieron los criterios de integración mínimo. Recapitulando:
Tipo Integral a minimizar
Integral del Valor Absoluto
del Error (IAE)
Integral del cuadrado del
error (ICE)
Integral del valor Absoluto
del error ponderado en el
tiempo (IAET)
Integral del cuadrado del
error ponderado en el tiempo
(ICET)



0
)
( dt
t
e
IAE



0
2
)
( dt
t
e
ICE




0
)
( dt
t
e
t
IAET




0
2
)
( dt
t
e
t
ICET

39
Control de Procesos
3.6.- cont. Ajuste mediante los criterios de Integración Mínima
El conjunto óptimo de valores paramétricos no está únicamente dependiente del
tipo de integral que se elige, sino que también depende del tipo de entrada. Esto
es, el error puede generarse tanto por cambios en el punto de control o cambios
en la variable de proceso causados por perturbaciones.
Para un cambio en el punto de control, se puede asumir una entrada del tipo
escalón, lo cual es típico. Sin embargo, para cambios en el error por
perturbacion, es difícil evaluar la forma de onda, creándose cierto tipo de
incertidumbre.
Es posible ajustar al controlador para respuesta óptima a un tipo de perturbación
especifica. Para este caso debe tomarse una decisión adicional respecto a la
función de transferencia del proceso para esa perturbación en particular.
Esta decisión adicional tiene que ver con la velocidad relativa de la respuesta de
la variable controlada a la perturbación. Si la variable controlada responde
lentamente a la perturbación, con más rigor puede ajustarse la respuesta del
controlador y su ganancia puede ser más alta. Por el contrario, si la variable
controlada responde rapidamente a la perturbación, el ajuste de ganancia debera
ser menor.

40
Control de Procesos
3.6.- cont. Ajuste mediante los criterios de Integración Mínima
Esto conlleva a definir los siguientes diagramas de bloques en función del criterio
previamente mencionado:
Fig. 16.- Diagrama de
bloques para una
perturbación que causa una
respuesta inmediata o
rápida sobre la variable
controlada (es igual que un
cambio de set point).
bloques para una
perturbación que causa una
respuesta en velocidad
sobre la variable
controlada igual a la que
genera la acción correctiva
del controlador.
Gc(s)
Gc(s)

41
Control de Procesos
3.6.1.- Fórmulas de ajuste de Mínima Integral para entrada de error causada por
perturbaciones.
López y asociados,
desarrollaron fórmulas
de ajustes para criterios
de mínima integral para
entradas de error por
perturbación y asumen
un esquema tal como el
planteado en la figura
17.
Tabla 3.- Tablas de López
para Integración mínima
(para perturbación)

42
Control de Procesos
3.6.2.- Fórmulas de ajuste de Mínima Integral para cambios en el punto de control.
Tabla 4.- Tablas de Rovira y Asociados para criterios de Integral Mínima con cambios de
Set-Point

43
Control de Procesos
3.7.- Métodos Analíticos – Introducción.
Un método analítico permite de una manera teórica la obtención de los
parámetros de ajuste PID. Bajo esta concepción se parte del hecho de que se
dispone de la función de transferencia de la planta, obtenida en base a las leyes
físicas que gobiernan la dinámica del proceso.
Con esto último, se quiere decir que no tiene sentido hacer ningún tipo de
ensayo práctico a fin de obtener los parámetros característicos del proceso, y
después aplicar este método.
No obstante, en la actualidad existen herramientas de software muy poderosas,
como es el caso de MatLab, que disponen de módulos de identificación de
sistemas (ej. toolbox Ident). Estos programas bien pueden interconectarse con
sistemas de adquisición de datos, sin perturbar a la planta, y obtener un modelo
representativo de la misma, a través del análisis de vectores de datos de las
diversas variables de proceso.
Este tema esta muy relacionado con los tópicos de análisis de estabilidad de los
sistemas de control (ej. Prueba de Routh, Nyquist, Bode, Lugar Geométrico de
las raíces, etc)

44
Control de Procesos
3.7.1- Método de sustitución directa - Introducción
Sea el diagrama de bloques de un lazo de control típico, tal como el que ilustra la
figura 18.
Bloques de un lazo de
control realimentado
típico.
La función de transferencia del sistema vendrá dada por:
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
Gc
s
G
s
Gc
s
R
s
C



 Ec 1-8
Se denomina ecuación característica al denominador de la función de
transferencia, de modo tal que:
0
)
(
)
(
1 

 s
G
s
Gc Ec 1-9

45
Control de Procesos
3.7.1- cont.. Método de sustitución directa
Se dice que la ecuación 1-9 es la ecuación característica de la ecuación
diferencial y del sistema cuya respuesta dinámica representa.
Sus raices se conocen como eigenvalores (del alemán eigenvalues, que significa
valores ‘característicos’ o ‘propios’) de la ecuación diferencial , y cuyo significado
es que son , por definición, característicos de la ecuación diferencial e
independientes de la función de forzamiento de entrada.
El análisis de las raices de la ecuación característica permite determinar la
estabilidad del sistema.
En el punto de estabilidad marginal, la ecuación característica tiene un par de
raíces imaginarias puras, o sea:
u
jw
r 

2
,
1
La frecuencia wu con que oscila el sistema es la frecuencia última. En rad/s se
expresa en función del periodo último Tu como:
u
u
T
w

2
 Ec 1-10

46
Control de Procesos
3.7.2- Desarrollo del Método de sustitución directa
El método de sustitución directa consiste en hacer el operador s = jwu en la
ecuación característica, de donde resulta una ecuación compleja que se puede
convertir en dos ecuaciones simultáneas:
Parte Real = 0
Parte Imaginaria = 0
Siguiendo la misma pauta del ensayo de Ziegler & Nichols de ganancia última, el
controlador con función Gc(s) es del tipo proporcional puro.
En la condición de estabilidad marginal, la ganancia del mismo es Ku, por lo que
podemos expresar la ecuación característica para la condición de estabilidad
critica como:
1
)
( 

u
u jw
G
K Ec 1-11
O también:
)
(
1
u
u
jw
G
K



47
Control de Procesos
3.7.3- Ejemplo del método de Sustitución directa.
Ejemplo #1. Considere el modelo de una planta dado por:
3
)
1
(
1
)
(


s
s
G
Determine los parámetros de un controlador PID utilizando el método de ganancia
última (Ziegler & Nichols).
El calculo de Ku y wu es como sigue. Haciendo s= jwu y asumiendo un controlador
proporcional puro de ganancia Ku tal que genere una oscilación constante, se
tiene que (según ec.1-9 o 1-11) :
1
)
( 

u
u jw
G
K
)
1
3
3
(
)
1
(
2
2
3
3
3







 u
u
u
u
u jw
w
j
w
j
jw
K
)
1
3
3
(
2
3





 u
u
u
u jw
w
jw
K
Sustituyendo j2 = -1
Separando parte real e imaginaria, e igualando a cero :
0
0
)
3
(
)
1
3
(
3
2
j
w
w
j
K
w u
u
u
u 






48
Control de Procesos
3.7.3- cont. Ejemplo 1 - método de Sustitución directa.
3

u
w 8

u
K
De la ecuación 1-10, se calcula el
periodo último Tu como:
627
.
3
2


u
u
w
T

Utilizando ahora las tablas de Ziegler &
Nichols de ganancia última:
705
.
4
7
.
1
8
7
.
1


 u
c
K
K
81
.
1
2
627
.
3
2


 u
i
T
T
45
.
0
8
627
.
3
8


 u
d
T
T
El sistema de ecuaciones que resulta es:
0
1
3
2


 u
u K
w
0
3
3

 u
u w
w
Las soluciones son: 0

u
w 1


u
K
La primera solución corresponde a la inestabilidad monotónica que causa la
acción incorrecta del controlador y no se tomará en cuenta.

49
Control de Procesos
3.7.3- Ejemplo 2 - método de Sustitución directa.
Ejemplo #2. Calcule los parámetros PID del sistema de control de temperatura
mostrado en la figura.
Fig. 19.- Intercambiador de calor para el ejemplo 2.

50
Control de Procesos
Los datos para cada elemento son:
Intercambiador de Calor:
Ganancia: 50°C por cada Kg/s de vapor.
Constante de tiempo: 30 segundos.
Conjunto Sensor - Transmisor
Rango = 50 a 150 °C.
Válvula de Control
Capacidad Máxima: 1.6 Kg/s de vapor
Características Lineales.
 
)
/
/(
1
30
50
)
( s
Kg
C
s
s
Gs 


)
/
(%
1
)
50
150
(
%
100
C
C
KH 




)
/
(%
1
10
0
.
1
)
( C
s
s
H 


%
/
)
/
(
016
.
0
%
100
)
/
(
6
.
1
s
Kg
s
Kg
KV 

%
/
)
/
(
1
3
016
.
0
)
( s
Kg
s
s
Gv



51
Control de Procesos
La ecuación característica es:
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1 
 s
Gc
s
Gv
s
Gs
s
H
Sustituyendo:
c
K
s
Gc 
)
(
0
1
3
016
.
0
1
30
50
1
10
1
1 





















 c
K
s
s
s
Reordenando:
0
80
.
0
1
43
420
900 2
3




 c
K
s
s
s
Sustituyendo s= jwu y Kc=Ku se tiene:
0
80
.
0
1
43
420
900
2
2
3
3




 u
u
u
u K
jw
w
j
w
j

52
Control de Procesos
Sustituyendo ahora j2=-1 y separando parte real e imaginaria:
0
0
)
43
900
(
)
80
.
0
1
420
(
3
2
j
w
w
j
K
w u
u
u
u 







El sistema de ecuaciones que resulta es:
0
80
.
0
1
420
2



 u
u K
w
0
43
900
3


 u
u w
w
2186
.
0

u
w 8
.
23

u
K
Las soluciones son:
0

u
w 25
.
1


u
K
Rad/s
Rad/s

53
De la ecuación 1-10, se calcula el periodo último Tu como:
s
w
T
u
u 74
.
28
2



Control de Procesos
14
7
.
1
8
.
23
7
.
1


 u
c
K
K
s
T
T u
i 35
.
14
2
7
.
28
2



5875
.
3
8
7
.
28
8


 u
d
T
T
Utilizando ahora las tablas de
Ziegler & Nichols de ganancia
última:

54
Control de Procesos
3.7.4.- Efecto del Tiempo Muerto
Ajuste de Controladores PID (Método de Sustitución)
En los ejemplos anteriores se vio como el método de sustitución directa (también
aplica la prueba de Routh) permite la evaluación del sistema realimentado en
condiciones de estabilidad marginal. Desafortunadamente estos métodos fallan
cuando en cualquiera de los bloques del circuito existe un término de tiempo
muerto.
Esto se debe a que la ecuación característica ya no es un polinomio, debido a
que el tiempo muerto introduce una función exponencial de la variable de la
transformada de Laplace.
No obstante, es posible obtener valores cercanos para la ganancia y el periodo
último, mediante una aproximación lineal para la función de tiempo muerto.
Una aproximación usual es la aproximación de Padé de primer orden, que se
expresa mediante:
s
t
s
t
e s
t
0
0
2
1
1
2
1
1
0



 Ec 1-12

55
Control de Procesos
3.7.4.- Ejemplo 3. Aproximación para el efecto del Tiempo Muerto
Calcule la ganancia y frecuencia última para el control realimentado de un
proceso de primer orden con tiempo muerto bajo la forma genérica:
1
)
(
0



s
Ke
s
G
S
t

R. La ecuación característica del sistema de control viene dada por:
0
)
(
)
(
1 
 s
G
s
Gc Donde Gc(s) es la función de transferencia del controlador.
Para un ensayo de ganancia última el controlador es proporcional puro, de
manera tal que: Gc(s)=Kc, entonces sustituyendo en la ecuación característica:
0
1
1
0




s
e
KK s
t
c

Aplicando la aproximación de Padé se tiene:
0
)
2
1
1
)(
1
(
)
2
1
1
(
1
0
0





s
t
s
s
t
KKc


56
Control de Procesos
3.7.4.- cont. Ejemplo 3. Aproximación para el efecto del Tiempo Muerto
Tomando factor común a fin de eliminar la fracción y colocar la expresión en
forma polinómica, se tiene:
0
1
)
2
1
2
1
(
2
1 0
0
2
0 




 KKc
s
KKct
t
s
t 
Aplicando el procedimiento de sustitución directa, esto es: s=jwu y Kc=Ku resulta:
0
1
)
2
1
2
1
(
2
1 0
0
2
2
0 




 u
u
u
u KK
jw
t
KK
t
w
j
t 
Haciendo j2=-1 y agrupando términos según la forma de un número complejo:
0
0
)
2
1
2
1
(
)
1
2
1
( 0
0
2
0 j
w
t
KK
t
j
KK
w
t u
u
u
u 






 
Agrupando y reordenando se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
)
(
2
1
0
t
KKu


 1
2 0
0



t
t
wu
y Ec 1-13

57
Control de Procesos
3.7.4.- cont. Ejemplo 3. Aproximación para el efecto del Tiempo Muerto
Analizando las soluciones obtenidas, se pueden hacer las siguientes
observaciones generales:
1.- La estabilidad impone un límite a la ganancia total del sistema. Así, un
incremento en la ganancia del EFC, el sensor-transmisor o el proceso, da como
resultado un decremento en la ganancia última del controlador.
2.- Un incremento en el tiempo muerto genera una reducción en la ganancia
última del sistema, así como también disminuye la frecuencia última.
3.- Un incremento en la constante de tiempo dominante del proceso, da como
resultado un incremento en la ganancia última del sistema y un decremento en
la frecuencia última.
4.- La ganancia última tiende a infinito conforme el tiempo muerto se acerca a
cero. Cualquier cantidad finita de tiempo muerto impone un límite a la
estabilidad.

58
Control de Procesos
3.8 – Métodos de Ajustes automáticos
El ajuste automático de los controladores, es una característica cada vez más
común en los controladores modernos.
En la práctica, aún no hay una clasificación formal de estos métodos. El único
criterio informal el cual se acepta como entendido, clasifica a estos métodos en:
• Métodos de auto-tuning
• Métodos de self-tuning.
Por métodos de auto-tuning se entiende a un mecanismo automático que bajo
petición del operador, toma lugar a fin de ajustar los parámetros PID del
algoritmo de control. Normalmente, estos métodos perturban al proceso de una
u otra manera a fin de lograr su cometido.
Los métodos de self-tuning monitorean las diversas curvas de recuperación
causadas por perturbaciones, arranque de planta o cambios en el punto de
control, a fin de re-adaptar los parámetros del controlador para el logro de un
tipo de respuesta especifica. Normalmente, estos métodos no perturban al
proceso, por lo que son muy deseables en la practica.

59
Control de Procesos
3.8.1. – Método de Chindambara (1970)
Bajo este método se analiza la señal de error obtenida ante cambios en el
punto de control o en la carga del proceso, y mediante un procedimiento
iterativo van corrigiendo los parámetros PID hasta converger en el tipo de
respuesta deseada (razón de amortiguación de ¼).
P
P
Fig. 20.- Análisis de curva de recuperación bajo los Métodos de Chindambara.

60
Control de Procesos
3.8.1. – cont. Método de Chindambara (1970)
El método de Chindambara requiere estimar parámetros iniciales de partida para
el ajuste del controlador y deben ser introducidos por el operador. En la medida
que estos parámetros se aproximen más a los valores finales, tanto más rápida
será la convergencia para la respuesta deseada. Las fórmulas son las
siguientes:
Tipo de
Controlador
Banda
Proporcional
Ti
(Min/rep)
Td
(Min)
P _ _
PI _
PID
)
27
.
2
5
.
0
(
1
R
BP
BP n
n



2
1
2
.
1 R
P
TI


2
1
2 R
P
TI


)
27
.
2
5
.
0
(
1
R
BP
BP n
n



)
27
.
2
5
.
0
(
1
R
BP
BP n
n


 2
1
8 R
P
TD


)
ln(
2
1
B
A
R

 • Cuando la relación de amortiguamiento es de ¼, R
toma el valor de R=0.2206, para lo cual BPn+1=BPn

61
Control de Procesos
3.8.2. – Método de Balance de Armónicos.
Este método del tipo ‘auto-tuning’, se basa en la observación de que muchos
procesos pueden hacerse oscilar aproximadamente en formal senoidal, a través
de la aplicación de una señal de características discretas (función relé). De ahí
que también este método sea conocido como ‘Relay Feedback’. Este método
esta asociado y patentado por K. Äström y T.Hägglund (1985). El esquema del
auto-sintonizador se ilustra en la figura 21.
Fig. 21.- Estructura del ‘auto-sintonizador’ por Relay-
Feedback
Cuando el operador exige la
sintonización, el interruptor
es colocado en la posición
de Tuning y el regulador PID
es deshabilitado.
Cuando se logra una
oscilación estable en la
variable de proceso, ya
pueden calcularse el set de
parámetros PID. El control
puede ahora retornar al
modo Auto.

62
Control de Procesos
3.8.2. – cont Método de Balance de Armónicos.
La deducción del método es como sigue. Considere un sistema compuesto por el
diagrama de bloques mostrado en la figura 22.
Fig. 22.- Diagrama de Bloques del ‘auto-sintonizador’ por Relay-Feedback
Para simplificar se hará Uc=0. Se asume que se puede lograr una condición de
oscilación continua en PV, bajo conmutación de la señal de relé, tal que esta sea
una onda cuadrada simétrica. El periodo de oscilación en PV lo denominaremos
Tu.

63
Si la amplitud de la señal de rele es d, la contribución del primer armónico aplicando
una simple expansión de serie de Fourier, será: 4d/.
Producto de esta excitación, la variable de proceso experimentará una oscilación de
magnitud a. Entonces puede establecerse que:
Control de Procesos
)
(
4
u
jw
G
d
a

 Ec 1-14
Invocando la condición para oscilación dada por la ecuación 1-11 y tomando solo
la parte positiva, podemos decir que esta condición ocurre a un punto de ganancia
equivalente que vamos a llamar:
)
(
1
u
u
jw
G
K 
o
d
a
jw
G u
4
)
(


Ec 1-15
Sustituyendo la ecuación 1-14 en 1-15 resulta finalmente:
a
d
Ku

4
 Ec 1-16

64
Ku puede interpretarse como el equivalente de la ganancia del relé para la
transmisión de la señal senoidal de amplitud a, o sea, K(a). Con Ku y Tu ya
obtenidos, pueden emplearse las tablas de Ziegler & Nichols de ganancia última.
El método asume que la dinámica del proceso es de características ‘pasa-baja’ y que
la contribución del primer armónico de la onda del relé, domina la salida.
El único parámetro que requiere el método es la amplitud d de la señal de relé. Esta
puede hacerse tan pequeña como sea posible, siempre y cuando genere una
oscilación a, de valor tal que se pueda diferenciar del ruido de planta. Esto último es
una de sus grandes ventajas, logrando un bajo nivel de oscilación en PV .
Es lógico intuir que los resultados del método son aproximados dada las diversas
simplificaciones que se han hecho para derivarlo.
Este método es excelente como método de pre-tunning, logrando una evaluación
rápida de los parámetros PID del controlador. Posteriormente con esta evaluación
inicial, pueden usarse estrategias más elaboradas de control (ej. control adaptativo).
El método es relativamente fácil de implantar con un PLC o sistema similar.
Control de Procesos

65
Control de Procesos
3.8.3. – Ensayo práctico del sintonizador por Balance de Armónicos.
Un ejemplo de las ondas resultantes se muestran en el siguiente ensayo:
Fig. 23.- Ensayo práctico del sintonizador tipo ‘Relay-Freedback’

66
Control de Procesos
Bibliografía
1.- Control Automático de Procesos.
Smith & Corripio.
Editorial Limusa
2.- Instrumentación Industrial
Antonio Creuss Sole
AlfaOmega & Marcombo Editores - 6ta Edición
3.- Guía de Controladores PID
Virginia Mazzone
Curso de Automatización y Control Industrial
Universidad Nacional de Quilmes
Marzo 2002
4.- Automatic Tuning of simple regulators with specifications on phase and
amplitud margins.
K. Äström y T.Hägglund (1985).

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